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河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试(二)理数试题(B卷) Word版含解析


河南省天一大联考 2016-2017 学年高中毕业班阶段性测试 (二)
理数试题(B 卷) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? x | y ? A. ?1, 2? D. [1, ??) 【答案】A

?

x ? 1 , B ? ??2, ?1,1, 2? ,则 A ? B ? (
B. ?1, 2 ?

?



C. ??1, ? 2?

考点:1、集合的表示方法;2、集合的交集. 2.在等比数列 ?an ? 中,若 a4 a5a6 ? 27 ,则 a1a9 ? ( A.3 D.9 【答案】D 【解析】 试题分析: 因为等比数列 ?an ? 中, 若 a4 a5a6 ? 27 ? a53 ? 27 , 得 a5 ? 3 , 所以 a1a9 ? a52 ? 9 , 故选 D. 考点:等比数列的性质.
2 3.已知命题 p : ?x0 ? R , x0 ? 4 x0 ? 6 ? 0 ,则 ? p 为(

) C.27

B.6

) B. ?x0 ? R , x0 ? 4 x0 ? 6 ? 0
2

A. ?x ? R , x ? 4 x ? 6 ? 0
2

C. ?x ? R , x0 ? 4 x0 ? 6 ? 0
2

D. ?x0 ? R , x0 ? 4 x0 ? 6 ? 0
2

【答案】A

【解析】 试题分析: 因为特称命题的否定是将存在量词改成全称量词, 然后否定结论, 所以特称命题 p :

?x0 ? R , x02 ? 4 x0 ? 6 ? 0 的否定是全称命题 ?x ? R , x2 ? 4 x ? 6 ? 0 ,故选 A.
考点:1、存在量词与全称量词;2、特称命题的否定形式. 4.设函数 f ( x) ? ? A.1 D.2 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 f (13) ? f ?13 ? 4? ? f ?9? ? log3 9 ? 2 , 2 f ( ) ? 2 log 3

?log3 x, 0 ? x ? 9, 1 则 f (13) ? 2 f ( ) 的值为( 3 ? f ( x ? 4), x ? 9,
B.0

) C. ?2

1 3

1 ? ?2 ,所以 3

1 f (13) ? 2 f ( ) ? 2 ? 2 ? 0 ,故选 B. 3
考点:1、分段函数的解析式;2、对数的基本运算. 5.已知向量 a , b 的夹角为 A. 2 3 D. 84 【答案】C

?

?

? ? ? ? 2? ,且 a ? (3, ?4) , | b |? 2 ,则 | 2a ? b |? ( 3
B.2 C. 2 21



考点:1、向量的模与夹角;2、平面向量的数量积公式. 6.函数 f ( x) ?| x ? x | 的图象大致是(
1 3



【答案】D

【解析】 试题分析:由 f ( x) ?| x ? x 3 |? 0 ,得 x ? ? 1, x ? 0, x ? 1 ,所以函数 f ( x) ?| x ? x 3 | 的图象与
1 1

x 轴有且只有三个交点,只有选项 D 符合条件,故选 D.
考点:函数的图象与性质. 7.将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? 一半,

?
2

?? ?

?
2

)图象上所有点的横坐标缩短为原来的

? 个单位长度得到函数 y ? sin x 的图象,则 ? , ? 的值分别为( 6 1 ? ? ? A. , B. 2, C. 2, 2 6 3 6 1 ? D. , ? 2 6
再向右平移 【答案】A



考点:1、三角函数的解析式;2、三角函数图象的变换. 8.曲线 y ? ax cos x ? 16 在 x ? A. ? D. ?

?
2

处的切线与直线 y ? x ? 1 平行,则实数 a 的值为( B.



2

2

?
2

?

?

C.

? 2

【答案】A 【解析】 试题分析:因为 y ? ax cos x ?16 ? f ? x ? ,所以 f ' ? x ? ? a cos x ? ax sin x ,又因为曲线

y ? ax cos x ? 16 在 x ?

?
2

处的切线与直线 y ? x ? 1 平行,所以

a? 2 ?? ? f '? ? ? ? ? 1 ? a ? ? ,故选 A. 2 ? ?2?

考点:1、两直线平行的性质;2、利用导数求曲线切线的斜率. 9.过双曲线 与 双曲线的渐进线交于 C ,D 两点,若 | AB |?

x2 y 2 B 两点, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A , a 2 b2

5 3 5 D. (1, ] 4

A. [ , ??)

3 | CD | ,则双曲线离心率的取值范围为( 5 5 5 B. [ , ??) C. (1, ] 4 3



【答案】B 【解析】

? b2 ? ? x2 y 2 b2 2b 2 b2 ? 试题分析: 当 x ? c 时代入 2 ? 2 ? 1 得 y ? ? , 则 A ? c, ? , B ? c, ? ? , 则 AB ? , a b a a a? ? a? ?
将 x ? c 代入 y ? ?

b bc bc ? ? bc ? ? x ,得 y ? ? ,则 C ? c, ? , D ? c, ? ? ,则 a a a? ? a? ?

CD ?


3 9 2 9 2 2bc 3 2b 2 3 2bc 2 c ? c2 ? a2 ? c , ,? AB ? CD ,? ? ? ,即 b ? c ,则 b ? 5 25 25 a 5 a 5 a

16 2 25 5 c ? a 2 ,则 e 2 ? ,则 e ? ,故选 B. 25 16 4

考点:1、双曲线的几何性质;2、双曲线的离心率. 10.设函数 f ( x) ? ?

? ?2 f ( x ? 2), x ? (1, ??), 若关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? 0 ( a ? 0 且 1 ? | x |, x ? ? 1,1 , ? ? ? ?

a ? 1)
在区间 ?0,5? 内恰有 5 个不同的根,则实数 a 的取值范围是( A. 1, 3 ) C. ( 3, ??)

?

?

B. ( 4 5, ??)

D. ( 4 5, 3) 【答案】C

考点:1、分段函数的解析式;2、函数与方程及数形结合思想. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数与方程及数形结合思想,属于难题.数形 结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要 思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特 功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透,这样才 能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解,本题 就是根据数形结合思想将方程的根转化为图象交点问题来解答的. 11.对于正整数 k ,记 g (k ) 表示 k 的最大奇数因数,例如 g (1) ? 1 , g (2) ? 1 , g (10) ? 5 .设

Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? … ? g (2n ) .给出下列四个结论:① g (3) ? g (4) ? 10 ;②
?m ? N * ,都有

g (2m) ? g (m) ;③ S1 ? S2 ? S3 ? 30 ;④ Sn ? Sn?1 ? 4n?1 , n ? 2 , n ? N * .则其中所有
正确结论的序 号为( ) B.②③④ C.③④

A.①②③ D.②④ 【答案】B

考点:1、等差数列前 n 项和公式;2、转化与划归思想的应用及新概念问题. 【方法点睛】本题通过新定义“ g (k ) 为 k 的最大奇数因数”主要考查等差数列前 n 项和公式、 转化与划归思想的应用,属于难题.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清 新定义的性质,按新定义的要求, “照章办事” ,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本 题四个命题都围绕“ g (k ) 为 k 的最大奇数因数”这一重要性质展开的,只要能正确运用这一 条件,将其转化为数列问题就能迎刃而解. 12.等腰直角△ AOB 内接于抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , O 为抛物线的顶点, OA ? OB ,
2

△ AOB 的 面积是 16,抛物线的焦点为 F ,若 M 是抛物线上的动点,则

| OM | 的最大值为( | MF |



A.

3 3

B.

6 3

C.

2 3 3

D.

2 6 3

【答案】C

【解析】 试题分析:因为等腰直角△ AOB 内接于抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , O 为抛物线的顶点,

OA ? OB 所以,可设 A ? a, a ? , S ?ABC ?

1 a ? 2a ? 16 ,得 a ? 4 ,将 A? 4 ,4 ? 代入 y2 ? 2Px , 2

得 P ? 2 ,抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,所以 F ?1,0 ? ,设 M ? x, y ? ,则 x ? 0 ,设

OM 1 ? t? ? 0 ? t ? 1? ,则 x ?1 MF

x2 ? y2 x ?1
2

?

4 ? 1? 4 2 3 1 x2 ? 4 x 2 3 ? ?3t 2 ? 2t ? 1 ? ? 3? t ? ? ? ? 1? ? ,t ? ? 2 3 3 ? 3? 3 x ?1 x ? 1 ? x ? 1? 3

时, “ ? ” 成立.故选 C. 考点:1、抛物线的标准方程及几何性质;2、配方法圆锥曲线求最值. 【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、圆锥曲线求最值,属于难题.解决 圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几 何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函 数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式 法,本题就是根据这种思路,利用配方法求

| OM | 的最大值的. | MF |

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. ) 13.已知 sin ? ? cos ? ? 【答案】 ?

1 ,则 sin(? ? 2? ) ? 2



3 4

考点:1、诱导公式;2、同角三角函数关系及正弦的二倍角公式.
2 2 14. 过点 C (3, 4) 作圆 x ? y ? 5 的两条切线,切点分别为 A , B ,则点 C 到直线 AB 的距

离为



【答案】 4 【解析】 试题分析:以 OC 为直径的圆方程为 ? x ?

? ?

3? 2 ?5? ? ? ? y ? 2? ? ? ? , AB 为圆 C 与圆 2? ? 2?

2

2

2 ?? 3? 25 2? O x2 ? y 2 ? 5 的公共弦, 所以 AB 方程为 x 2 ? y 2 ? ?? x ? ? ? ? y ? 2 ? ? ? 5 ? ,化为 2 4 ? ? ? ? ? ?

?

?

3x ? 4 y ? 5 ? 0 , C 到 AB 的距离为 d ?

3? 3 ? 4 ? 4 ? 5 32 ? 42

? 4 ,故答案为 4 .

考点:1、两圆公共弦方程的求法;2、圆的标准方程及点到直线距离公式. 15.已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 1 , a2 ? 1 , a4 ? 1 称等比数列,且

a2 ? a3 ? ?12 ,

an ?



【答案】 ?2 n ? 1

考点:1、等比数列的性质;2、等差数列的通项公式. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式,属于中档题.等差数列基 本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量 a1 , d , n, an , Sn , ,一般可以“知 二求三” ,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的 有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 16.在△ ABC 中,若 3sin C ? 2sin B ,点 E , F 分别是 AC , AB 的中点,则 围 为 .

BE 的取值范 CF

【答案】 ( , )

1 7 4 8

【解析】

考点:1、余弦定理的应用;2、正弦定理及求范围问题. 【方法点睛】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问 题的常见方法有 ①配方法;②换元法;③不等式法;④图象法;⑤函数单调性法:将问题转 化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后 再根据其单调性求凼数的值域; 本题就是先将

BE 表示为关于 t 的函数, 再根据方法⑤解答的. CF

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期与单调递增区间; (2)若 x ? ?

? 5? 3? ? 时,函数 f ( x ) 的最大值为 0,求实数 m 的值. , ? 24 4 ? ?
1 . 2

【答案】 (1) T ? ? ; (2) m ? 【解析】

试题分析: (1) f ( x ) 化为 sin(2 x ?

?

1 2? ) ? m ? ,可得周期 T ? ? ? ,由 6 2 2

?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?

? 5? 3? ? ? 2k? 可得单调递增区间; (2)因为 x ? ? ,所以 , 2 ? 24 4 ? ?

2x ?

?

1 1 ? ? 4? ? ? ? , ? ,进而 f ( x) 的最大值为 1 ? m ? ? 0 ,解得 m ? . 2 2 6 ?4 3 ?

试题解析: (1)

f ( x) ?

? 1 3 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? cos 2 x ? m ? sin 2 x ? ? m ? sin(2 x ? ) ? m ? , 6 2 2 2 2

则函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? ? , 根据 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? , k ? Z ,

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z . 3 ? 6 ?

考点:1、三角函数值的周期性及单调性;2、三角函数在闭区间上的最值. 18.已知圆 ( x ?1) ? y ? 25 ,直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆相交于不同的两点 A , B .
2 2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) ,求实数 a 的值. 【答案】 (1) (??, 0) ? ( 【解析】 试题分析: (1)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 代入圆的方程,消去 y 整理,得 (2)根据点 (a2 ? 1) x2 ? 2(5a ?1) x ? 1 ? 0 ,利用; ? ? 4(5a ?1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 可得结果;

5 3 , ??) ; (2) a ? . 12 4

斜式可得弦 AB 的垂直平分线的方程为 y ? ? 必在该直线上,进而求得实数 a 的值.

1 ( x ? 2) ? 4 , 根据圆的弦的性质知圆心 M (1,0) a

试题解析: (1)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 代入圆的方程, 消去 y 整理,得 (a2 ? 1) x2 ? 2(5a ?1) x ? 1 ? 0 , 由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A , B 两点, 故 ? ? 4(5a ? 1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 ,

5 或a ? 0, 12 5 所以实数 a 的取值范围是 (??, 0) ? ( , ??) . 12
2 即 12a ? 5a ? 0 ,解得 a ?

考点:1、直线与圆的位置关系;2、圆的几何性质. 19.已知等差数列 ?an ? 满足 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? … ? (an ? an?1 ) ? 2n(n ? 1) ( n ? N * ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和 Sn . n ?1 ? ?2 ?
2n ? 3 . 2n ?1

【答案】 (1) an ? 2n ? 1; (2) 6 ? 【解析】

试题分析: (1) 由 (a1 ? a ( a ) ? …(? an ? a )n? 2 ? ( n 1 )n ? 2) ? 2 ?3a 1 可解得等差数列 ?an ? 首项与公差,进而得 ?an ? 的通项公式; (2) 相减法”可得数列 ?

, 令n ?1 , n? 2 列方程组,

an 2n ? 1 ? n ?1 ,利用“错位 n ?1 2 2

? an ? 的前 n 项和 Sn . n ?1 ? ?2 ?

试题解析: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由已知得 ?

?a1 ? a2 ? 4, ?(a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? 12,

即?

?a1 ? a2 ? 4, ?a1 ? (a1 ? d ) ? 4, ?a1 ? 1, 所以 ? 解得 ? ?d ? 2, ?(a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? 8, ?a2 ? a3 ? 8,

所以 an ? 2n ? 1.

an 2n ? 1 (2)由(1)得, ? n ?1 n ?1

2 2 3 5 2n ? 3 2n ? 1 所以 S n ? 1 ? 1 ? 2 ? … ? n ? 2 ? n ? 2 ,① 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? … ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ② ? ①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2
考点:1、等差数列的通项公式;2、 “错位相减法”求和. 20.已知函数 f ( x) ? log2 g ( x) ? (k ?1) x . (1)若 g (log 2 x) ? x ?1 ,且 f ( x ) 为偶函数,求实数 k 的值;
2 (2)当 k ? 1 , g ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? a 时,若函数 f ( x ) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范

围. 【答案】 (1) k ?

1 ; (2) ?0,1? . 2

试题解析: (1)令 t ? log 2 x ,则 x ? 2 ,代入 g (log 2 x) ? x ? 1,得 g (t ) ? 2t ? 1 ,
t

∴ f ( x) ? log2 (2x ? 1) ? (k ?1) x . ∵函数 f ( x ) 是偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) , ∴ log2 (2x ? 1) ? (k ?1) x ? log2 (2? x ? 1) ? (k ?1) x ,

2x ? 1 ? ?2(k ? 1) x , log2 2x ? ?2(k ?1) x , 即 log 2 ? x 2 ?1
∴ x ? ?2(k ? 1) x 对一切 x ? R 恒成立,∴ 2(k ? 1) ? ?1,即 k ?
2 (2)设当 k ? 1 时, f ( x) ? log 2 ? ? ax ? (a ? 1) x ? a ? ?,

1 . 2

当 a ? 0 时,要使函数 f ( x ) 的值域为 R ,则 ? 综上所述 a 的取值范围为 ?0,1? .

?a ? 0, ?a ? 0, 即? 解得 0 ? a ? 1 . 2 2 ?? ? 0, ?(a ? 1) ? 4a ? 0,

考点:1、函数的解析式及奇偶性;2、复合函数的值域. 21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 过椭

1 ,且椭圆 C 经过点 P(2,3) , 2

C 于 A , B 两点. 圆 C 的左焦点 F 1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G ,求△ PF1G 的面积 S 的取值范围.

【答案】 (1)

9 x2 y 2 ? ? 1; (2) ( ,3) . 4 16 12

试题解析: (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

?c 1 ?a ? 2 , 2 ? ? ? ?a ? 16, 2 2 则 ?c ? a ? b , 解得 ? 2 ? ?b ? 12, ?4 9 ? 2 ? 2 ? 1, ? ?a b
故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) .

由?

? y ? k ( x ? 2), ?3x ? 4 y ? 48 ? 0
2 2

消去 y 并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16(k 2 ? 3) ? 0 .

易知 ? ? 0 , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

?16k 2 16k 2 ? 48 x x ? , , 1 2 4k 2 +3 4k 2 ? 3

? ?8k 2 x ? , ? ? 0 4k 2 ? 3 设 M ( x0 , y0 ) 是 AB 的中点,则 ? ? y ? k ( x ? 2) ? 6k . 0 ? 0 4k 2 ? 3 ?
线段 AB 的垂直平分线 MG 的方程为 y ? y0 ? ? 令 y ? 0 ,得 xG ? x0 ? ky0 ?

1 ( x ? x0 ) , k

?8k 2 6k 2 2 ? ?? . 2 2 3 4k ? 3 4k ? 3 4? 2 k

因为 k ? 0 ,所以 ? 因为 S ? S ?PF1G ?

1 ? xG ? 0 , 2

1 1 3 | F1G | ? | yP |? | xG ? 2 | , xG ? ( ? , 0) , 2 2 2 9 所以 S 的取值范围是 ( ,3) . 4
考点:1、待定系数求椭圆方程;2、直线与椭圆的位置关系和三角形面积公式. 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和三角形面积公 式,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在

x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ;③找关系:根据已知条件,建立关于 a 、 或 ? ? a 2 b2 b2 a 2
b 、 c 的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
22.已知函数 f ( x) ? b ln x . (1)当 b ? 1 时,求函数 G( x) ? x ? x ? f ( x) 在区间 ? , e ? 上的最大值与最小值; 2
2

?1 ?

? ?

(2)若在 ?1, e? 上存在 x0 ,使得 x0 ? f ( x0 ) ? ?

1? b 成立,求 b 的取值范围. x0

【答案】 (1) e ? e ? 1 , 0 ; (2) (??, ?2) ? (
2

e2 ? 1 , ??) . e ?1

试题解析: (1)当 b ? 1 时, G( x) ? x ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln x( x ? 0) ,
2 2

G '( x) ?

(2 x ? 1)( x ? 1) , x

令 G '( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 当 x 变化时, G ( x) , G '( x) 的变化情况如下表:

x
g '( x )
G ( x)
因为 G ( ) ? ?

(0,1)

1 0 极小值

(1, ??)

?

?

1 2

1 1 1 ? ln ? ? ? ln 2 ? 1 , G(1) ? 0 , 4 2 4

G(e) ? e2 ? e ?1 ? e(e ?1) ?1 ? 1 ,
所以 G( x) ? x2 ? x ? f ( x) 在区间 ? , e ? 上的最大值与最小值分别为: 2

?1 ?

? ?

G( x)max ? G(e) ? e2 ? e ?1 , G( x)min ? G(1) ? 0 .

(2)设 h( x) ? x ? b ln x ?

1? b 1? b .若在 ?1, e? 上存在 x0 ,使得 x0 ? f ( x0 ) ? ? ,即 x x0

x0 ? b ln x0 ?
零.

1? b 1? b 在 ?1, e? 上的最小值小于 ? 0 成立,则只需要函数 h( x) ? x ? b ln x ? x x0

b 1 ? b x 2 ? bx ? (1 ? b) ( x ? 1) ? x ? (1 ? b)? ? 又 h '( x) ? 1 ? ? 2 ? , x x x2 x2
令 h '( x) ? 0 ,得 x ? ?1 (舍去)或 x ? 1 ? b . ①当 1 ? b ? e ,即 b ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1, e? 上单调递减, 故 h( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ?

1? b e2 ? 1 ? b ? 0 ,可得 b ? . e e ?1

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 ,所以 b ? 因为 . e ?1 e ?1
②当 1 ? b ? 1 ,即 b ? 0 时, h( x) 在 ?1, e? 上单调递增, 故 h( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? b ? 0 , 可得 b ? ?2 (满足 b ? 0 ) .

考点:1、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值;2、不等式成立问题. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不 等式成立问题,属于难题.利用导数研究函数 f ? x ? 的单调性进一步求函数最值的步骤:①确 定函数 f ? x ? 的定义域;②对 f ? x ? 求导;③令 f ' ? x ? ? 0 ,解不等式得 x 的范围就是递增区 间;令 f ' ? x ? ? 0 ,解不等式得 x 的范围就是递减区间;④根据单调性求函数 f ? x ? 的极值及 最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).


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