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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.8


讲案 2.8 二次函数 课前自主研习 温故而知新 可以为师矣 知 识 导 读 1.二次函数的解析式 (1) 一 般 式 : f(x) = ____________________________. (2) 顶 点 式 : f(x) = ____________________________. (3) 零 点 式 : f(x) = ____________________________. 注: 求解析式都是用待定系数 法. 2.二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0) 的图象与性质: 定义域为__________. 单调性与值域:当 a>0 时,值域为 __________,单调增区间为__________, 单调减区间为__________;当 a<0 时, 值 域 为 __________ , 单 调 增 区 间 为 ____________ , 单 调 减 区 间 为 __________.

奇 偶 性 : 函 数 为 偶 函 数 ? __________. 图 象 : 二 次 函 数 的 图 象 是 __________ . 对 称 轴 方 程 是 __________ . 当 a > 0 时 , 图 象 开 口 __________ ; 当 a < 0 时 , 图 象 开 口 __________. 当 Δ=b2-4ac>0 时, 图象与 x 轴有 __________交点,两个交点间的距离为 Δ |a| .当 Δ<0 时,若 a>0,则函数的值 __________ ; 若 a < 0 , 则 函 数 的 值 __________.当 Δ=0 时,图象与 x 轴 ____________. 3. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c, (a≠0) 在区间[p, q]上的最值问题. 一般情况下, 需 要 分 __________ , __________ 和 __________三种情况讨论解决. 4. 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的 区间根问题. 一般情况下,需要从三个方面考虑: ①判别式;②区间端点函数值的正负;

b ③对称轴 x=-2a与区间端点的关系. 设 x1、x2 是实系数二次方程 ax2+bx +c=0(a>0)的两实根,则 x1、x2 的分布 范围与二次方程系数之间的关系,填写 下表. 充要 根的分布 图象 条件 _____ x1<x2<k _____ _____ k<x1<x2 _____ _____ x1<k<x2 _____ _____ x1、x2∈(k1,k2) _____ x1,x2 有且仅有 _____ _____ 一个在(k1,k2)内 导读校对:1.(1)ax2+bx+c,(a≠0) (2)a(x+k)2+h,(a≠0) (3)a(x-x1)· (x- ?4ac-b2 ? ? ? x2) , (a≠0) 2.R ,+∞? ? 4a ? ?

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ? ? 4ac-b2? ? ? -∞, 4a ? ? ? ? ? ? b ?- ,+∞? b=0 ? 2a ?

? b? ?-∞,- ? 2a? ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ?

一条抛物线 两个 恒正

x= 恒负

b -2a

向上

向下

只有一个公共点

b 3.- 2a <p

b p≤-2a

≤q

b - 2a > q

?Δ>0 ? ?f?k?>0 4. ? ? b ?-2a<k ?

?Δ>0 ? ?f?k?>0 ? ? b ?-2a>k ?

f(k) < 0

?Δ≥0 ? ?f?k1?>0 ?f?k2?>0 ? ?k1<- b <k2 2a ?

b f(k1)· 2)<0 或 f(k1)=0,k1 <- 2a < f(k k1+k2 k1+k2 b 2 或 f(k2)=0, 2 <-2a<k2 基 础 热 身 1.已知函数 f(x)=ax2 +2ax+4(a> 0),若 x1<x2,x1+x2=0,则( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解法一:(作差比较): f(x1)-f(x2)=ax2+2ax1-ax2-2ax2 1 2 = a(x 2 - x 2 ) + 2a(x1 - x2) = a(x1 - 1 2 x2)(x1+x2+2). ∵x1+x2=0,x1<x2,a>0,

∴x1-x2<0,x1+x2+2=2>0, ∴a(x1 -x2)(x1 +x2 +2)=2a(x1 -x2) <0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 解法二:(利用数形结合):

∵x1<x2,x1+x2=0, ∴x1<0,x2>0.又∵a>0, ∴函数 f(x)的图象开口向上, 且对称 轴为 x=-1. ∵|x1 -(-1)|=|x1 +1|<|x2 -(-1)| =|x2+1|, ∴f(x1)<f(x2). 答案:A 2. 已知[1,3]是函数 y=-x2+4ax 的 单调递减区间,则实数 a 的取值范围是 ( ) ? 1? A.?-∞,2? B.(-∞, ? ? 1]

?1 3? C.?2,2? ? ?

?3 ? D.?2,+∞? ? ?

1 解析:对称轴 x=2a≤1,∴a≤2. 答案:A 3. 若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x) =2x, f(0)=1, f(x)的表达式为( 且 则 ) A.f(x)=-x2 -x-1 B.f(x)=- x2+x-1 C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2-x +1 解析:由 f(0)=1,可设 f(x)=ax2+ bx+1(a≠0), 故 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1 ∴f(x+1)-f(x)=2ax+a+b, 由已知:f(x+1)-f(x)=2x,即 2ax +a+b=2x
?2a=2 ? ∴? ?a+b=0 ? ?a=1 ? ∴? ?b=-1 ?

∴f(x)=x2-x+1. 答案:D

4. 二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3 -x)(x∈R)且 f(x)=0 有两个实根 x1、x2, 则 x1+x2 等于( ) A.0 B.3 C.6 D.不能确定 解析:由 f(3+x)=f(3-x)知函数 y =f(x)的图象关于直线 x=3 对称,应有 x1+x2 2 =3?x1+x2=6. 答案:C 5.(2010· 安徽卷)设 abc>0,二次函 数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )

解析:由 A,C,D 知,f(0)=c< b 0.∵abc>0, ∴ab<0, ∴对称轴 x=-2a >0,知 A、C 错误,D 符合要求.由 B b 知 f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=-2a<0, B 错误. 答案:D

6. 已知函数 f(x)=x2-kx+5 在区间 (1,2)上是增函数, 那么 f(2)的取值范围是 __________. 解析:由函数 f(x)=x2-kx+5 在区 间(1,2)上是增函数知,其图象开口向上, k k 对称轴为 x=2,则对称轴 x=2应与直线 k x=1 重合,或在其左侧,于是有2≤1, 即 k≤2.而 f(2)=9-2k(k≤2),问题等价 于求一次函数 g(k)=9-2k(k≤2)的值 域.∴9-2k≥5. 故 f(2)的取值范围为[5,+∞). 答案:[5,+∞). 思维互动启迪 博学而笃志 切问而近思 疑难精讲 1.若二次项的系数含有字母参数, 必 须对二次项系数是否为零进行分类讨 论,否则容易造成丢解. 2.二次函数在某区间上的最值(或

值域)的求法要掌握熟练,特别是含参数 的两类“定轴动区间、定区间动轴”解 法是:抓住“三点一轴”数形结合,三 点指的是区间两个端点和区间中点,一 轴指的是对称轴.如求 y=x2-tx+1 在 (-∞,1]上的最小值. 互动探究 题型 1 求二次函数的解析式 例 1.已知二次函数 f(x)满足 f(2)=- 1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8, 试确定此二次函数. 【解法一】 利用二次函数一般式. 设 f(x)=ax2+bx+c,(a≠0), ?4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意 得 ? 2 ?4ac-b ? 4a =8. ? ?a=-4, ? 得?b=4, ?c=7. ?



∴所求二次函数为 y=-4x2+4x+ 7. 【解法二】 利用二次函数顶点式. 设 f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(- 1), 2+?-1? 1 ∴抛物线对称轴为 x= =2. 2 1 ∴m=2,又根据题意函数有最大值 为 n=8, ? 1?2 ∴y=f(x)=a?x-2? +8. ? ? ? 1?2 ∵f(2)=-1,∴a?2-2? +8=-1. ? ? ? 1?2 解得 a=-4.∴f(x)=-4?x-2? +8 ? ? =-4x2+4x+7. 【解法三】 利用双根式. 由已知, f(x)+1=0 的两根为 x1=2, x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2 -ax-2a-1.又函数有 最大值 ymax=8.

4a?-2a-1?-a2 即 =8,∴a=0(舍) 4a 或 a=-4. ∴f(x)=-4x2+4x+7.

题型 2 二次函数在闭区间上的最值 例 2.求二次函数 f(x)=x2-2x+3 在 区间[t,t+1]上的最大值与最小值. 【解析】 须分三种情形分别求解: 对称轴 x=1 在区间[t, t+1]的左侧, 内部及右侧. f(x)=(x-1)2+2, f(t)=t2-2t+3, f(t +1)=t2+2. 当 t>1 时,f(x)在[t,t+1]上是增函 数,故此时 f(x)max =f(t+1)=t2 +2,f(x)min =f(t) =t2-2t+3; 当 0≤t≤1 时,f(x)在[t,t+1]上的 最小值为 f(1)=2, 而其最大值为 f(t)与 f(t +1)中较大一个.

1 当 0≤t≤ 2 时,f(x)max =f(t)=t2 -2t +3; 1 当2<t≤1 时,f(x)max=f(t+1)=t2+ 2; 当 t<0 时,f(x)在[t,t+1]上是减函 数, f(x)min =f(t+1)=t2 +2,f(x)max =f(t) =t2-2t+3.

题型 3“三个二次”关系的综合应 用 例 3.已知 f(x)=-3x2+(6-a)ax+b. (1)若不等式 f(x)>0 的解集为{x|1< x<2},求 a,b 的值; (2)若方程 f(x)=0 有一根小于 1,另 一根大于 1,当 b>-6 且 b 为常数时, 求实数 a 的取值范围. 【解析】 (1)由题意知方程-3x2+ a(6-a)x+b=0 的二根为 1 和 2 则

a?6-a? ? ?1+2= 3 ? ?1×2=-b 3 ?

?a=3 ? ?? ?b=-6 ?

(2)∵-3<0,由图象知,只需 f(1) >0 便可. ∴-3+a(6-a)+b>0?a2-6a+3 -b<0? 3- b+6<a<3+ b+6. 错解辨析 例 4.已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+ 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原 点的右侧,求实数 m 的取值范围. 【错解】 当 m<0 时,抛物线 y= f(x)的开口向下,故它与 x 轴的两交点必 在坐标原点的两侧, m<0 符合题设要 即 求. 当 m>0 时, 抛物线开口向上, 由题 意有

?Δ=?m-3?2-4m≥0, ? ? b 3-m 解得 0 ?-2a= 2m >0, ? <m≤1. 综上知,m 的范围是 m<0 或 0< m≤1. 【错因】 原条件没有说明函数 f(x) 是二次函数,所以二次项系数 m 有可能 为 0. 错误原因是没有考虑 m=0 的情况 是否满足题意. 【正解】 ①当 m=0 时,f(x)=- ?1 ? 3x+1 和 x 轴有交点?3,0?,适合题意; ? ? ②当 m≠0 时,Δ=(m-3)2-4m= m2-10m+9=(m-9)(m-1)≥0, ∴m≥9 或 m≤1,且 m≠0. (ⅰ)当 m<0 时,∵f(0)=1, ∴此时 f(x)与 x 轴交点必有一个在原 点右侧. (ⅱ)当 0<m≤1 或 m≥9 时, 可以从 反面考虑,与 x 轴右侧无交点,

3-m 则对称轴 x= 2m ≤0,解得 m≥3 或 m<0, ∴若与 x 轴右侧有交点, 则 0<m<3,∴0<m≤1. 由①②可知 m 的取值范围为(-∞, 1].


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