kl800.com省心范文网

【2019年整理】清华微积分(高等数学)课件微积分(一)期末小结_图文

微积分期末考试
时间:2002年1月5日 下午:2:30—4:30 地点:(1) 二教401 结11、结12、水工13学号279—288

(2) 二教402

水工11、水工12、

水工13学号289—298 (3) 二教403
2019/4/20

结13、结14、文9、
1

水工13学号299—308、其他

期末考试答疑

时间: 2002年1月3日下午、
1月4日上、下午

上午:8:30 ~ 11:30
下午:2:30 ~ 5:30 地点:三教 1109
2019/4/20 2

微积分 (一)期末小结

2019/4/20

3

一.函数
1.基本初等函数 2.初等函数 3.非初等函数 *分段函数 *隐函数方程

*参数方程表示的函数 *变限定积分 4.函数的初等性质
2019/4/20 4

二.极限
1.极限的? ? N , ? ? ? 定义 2.极限的性质 3.极限的有关定理 4.求极限的方法 ? 基本公式 ? 等价无穷小替换 ? 罗必达法则 ? 泰勒公式
2019/4/20 5

三.连续函数
1.连续的基本概念 2.闭区间上连续函数的性质 ? 有界性 ? 零点定理
? 介值定理 ? 最值定理 ? 一致连续性
2019/4/20 6

四.导数与微分
1.定义 : 设y ? f ( x ),f ( x )在x0点的导数: f ( x ) ? f ( x0 ) f ' ( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0

f ( x )在x0点可微:

?y ? f ' ( x0 )dx ? ? ( ?x )
微分为dy ? f ' ( x0 )dx
2019/4/20 7

2.导数与微分的计算

? 基本公式
? 四则运算法则 ? 复合函数求导法 ? 隐函数求导法 ? 反函数求导法 ? 对数微分法 ? 参数方程求导法
2019/4/20 8

五.导数应用
(一)微分学基本定理 ? 罗尔定理
? 拉格朗日定理 ? 柯西定理

(二)函数性态的研究
? 增减性、极值 ?凸性、拐点 ? 渐近线

(三)不等式的证明
2019/4/20 9

(四)罗必达法则
(五)泰勒公式 1.皮亚诺型余项的泰勒公式
则当x ? x0时, 有

假设函数f ( x )在点 x0 存在1 到n阶导数,
1 f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) ? f ' ' ( x0 )( x ? x0 ) 2 2! 1 ( n) ? ? ? f ( x0 )( x ? x0 ) n ? o[( x ? x0 ) n ] n!
2019/4/20 10

2.拉格朗日型余项的泰勒公式
假设函数f ( x )在点 x0 ? ( a, b ) 有1 到n ? 1阶导 数,则? x ? ( a, b ), 有 1 f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) ? f ' ' ( x0 )( x ? x0 ) 2 2! 1 ( n) n ??? f ( x0 )( x ? x0 ) n! 1 ( n ?1 ) n?1 ? f (? )( x ? x0 ) ( n ? 1)! 其中?是介于 x0与 x 之间的某个点。
2019/4/20 11

3.常用的麦克劳林公式 ( x0 ? 0,皮亚诺型余项 )
1 2 1 n n 1) e ? 1 ? x ? x ? ? ? x ? o( x ) 2! n!
x

x x x k ?1 2k 2) sinx ? x ? ? ? ? ? ( ?1) ? o( x ) 3! 5! ( 2k ? 1)!

3

5

2 k ?1

x x k x 2k 3) cos x ? 1 ? ? ? ? ? ( ?1) ? o( x ) 2! 4! ( 2k )!
2019/4/20 12

2

4

2k

x x n?1 x n 4) ln( 1 ? x) ? x ? ? ? ? ? ( ?1) ? o( x ) 2 3 n!
5) (1 ? x ) ? 1 ? ?x ?
?

2

3

n

? (? ? 1)

2! ? (? ? 1) ?? (? ? 1) ? (? ? n ? 1) n n ? x ? o( x ) n! 1 2 n n 6) ? 1 ? x ? x ? ? ? x ? o( x ) 1? x
2019/4/20 13

x ??
2

要求
1.掌握函数在一点的泰勒公式 2.会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式 3.能利用泰勒公式求某些函数的极限 4.利用泰勒公式证明不等式 5.利用泰勒公式作近似计算 6.利用泰勒公式进行级数判敛
2019/4/20 14

六.不定积分
(一)基本概念 1.原函数
若在区间I上F ' ( x ) ? f ( x ),则称F ( x ) 是f ( x )在区间I上的一个原函数。

2.不定积分
f ( x )的全体原函数F ( x ) ? C,(C为 任意常数)称为f ( x )在区间上的不定积分, 记作? f ( x )dx ? F ( x ) ? C
2019/4/20 15

(二)基本性质
1. ? F ' ( x)dx ? F ( x) ? C 2. (? f ( x)dx)' ? f ( x) 3. d ( ? f ( x )dx)) ? f ( x )dx 4. ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx, k ? 0 5. ? ( f ( x) ? g ( x))dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
2019/4/20 16

(三)基本公式
1 1. ? x dx ? x ? ?1 ? C 1?? 1 2. ? dx ? ln x ? C x 3. ? e x dx ? e x ? C
?
x

(? ? ?1)

6. ? cos xdx ? si nx ? C
2019/4/20

1 x 4. ? a dx ? a ? C ( a ? 0, a ? 1) ln a 5. ? si nxdx ? ? cos x ? C
17

7. ? se c xdx ? tan x ? C
2

8. ? csc2 xdx ? ? cot x ? C
1 9. ? dx ? arctan x ? C 2 1? x 1 10. ? dx ? arcsi nx ? C 1 ? x2

11. ? tan x se cxdx ? se cx ? C 12. ? cot x csc xdx ? ? csc x ? C
2019/4/20 18

1 1 x 13. ? 2 dx ? arctan ? C ( a ? 0) 2 a ?x a a 1 x 14. ? dx ? arcsi n ? C ( a ? 0) a a2 ? x 2

15. ? se cxdx ? l n tan x ? se cx ? C 16. ? csc xdx ? ? l ncot x ? csc x ? C

1 1 a? x 17. ? 2 dx ? ln ?C 2 a ?x 2a a ? x
2019/4/20 19

18. ?

1 a ?x
2 2

dx ? l n (x ? a ? x ) ? C
2 2

19. ? shxdx ? chx ? C 20. ? chxdx ? shx ? C

(四)计算方法
1.利用基本公式
2019/4/20 20

2.凑微分法

? f ( x )dx ? ? g (? ( x ))? ' ( x )dx ? ? g (? ( x ))d? ( x )
3. 变量置换法

? f ( x )dx

令x ?? ( t )

?

? f (? ( t ))? ' ( t )dt

? F ( t ) ? C ? F (? ?1 ( x )) ? C
4.分部积分法

? udv ? uv ? ? vdu
2019/4/20 21

七.定积分
(一)基本概念

1.定义
设f ( x )在[a, b]上有定义, 对[a, b]的任意 划分{ xk }n k ? 0 : a ? x0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? b 及?? k ? [ xk ?1 , xk ] ( k ? 1, 2, ? , n) , 令

?xk ? xk ? xk ?1 ( k ? 1, 2, ? , n), ? ? m ax( ?xk )
1? k ? n

如果极限 l i m? f (? k ) ?xk 存在, 则称此极
? ?0
k ?1
2019/4/20 22

n

限值为f ( x )在[a, b]上的定积分,记作

?

b a

f ( x )dx ? l i m? f (? k )?xk
? ?0
k ?1

n

此时称f ( x )在[a, b]上可积.

2.定积分的几何意义

?

b a

f ( x )dx表示f ( x )与x轴及直线x ? a,

x ? b之间所围面积的代数和 .
2019/4/20 23

(二)函数的可积性
1. f ( x )在[a, b]上可积,则f ( x )在[a, b] 上有界. 2.若f ( x ) ? C[a, b],则f ( x )在[a, b]上 可积.

3.若f ( x )在[a, b]上有界,只有有限个 间断点,则f ( x )在[a, b]上可积.
2019/4/20 24

4.若f ( x )在[a, b]上单调有界,则 f ( x )在 [a, b]上可积.
5. f ( x )在[a, b]上可积 ? 对[a, b]的任意 划分{ xk }n k ? 0 , 有 l i ms ? l i mS , 其中
? ?0 ? ?0
n n

S ? ? M k ?xk , s ? ? mk ?xk ,
k ?1 k ?1

Mk ?
2019/4/20

xk ? 1 ? x ? xk

su p f ( x ) , mk ?

xk ?1 ? x ? xk

inf

f ( x) .
25

(三)定积分的性质
1 ) ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx , k为常数.
a a b b

2 ) ? ( f ( x) ? g( x))dx ? ? f ( x)dx ? ? g( x)dx
a a a

b

b

b

3 ) ? f ( x)dx ? 0
a

a

4 ) ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dx
a b

b

a

5 ) ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a a c
2019/4/20 26

b

c

b

6 )若f ( x ) ? g ( x ) , x ? [a, b] , 则

?

b a

f ( x )dx ? ? g ( x )dx;
a b

b

若f ( x )、g ( x ) ? C[a, b], f ( x ) ? g ( x ) 则? f ( x )dx ?
a

?
b

b a

g ( x )dx.

7 ) ? f ( x )dx ?
a

b

?
b a

a

f ( x ) dx

8 )估值定理 若m ? f ( x ) ? M , 则 m( b ? a ) ?
2019/4/20

?

f ( x )dx ? M ( b ? a )
27

9 )中值定理 若f ( x ) ? C[a, b] , 则存在? ? [a, b] , 使得? f ( x )dx ? f (? )(b ? a ).
a b

10 )广义中值定理 若f ( x ) ? C[a, b], g ( x ) ? R[a, b]且在[a, b] 上不变号, 则存在? ? [a, b] , 使得

?

b a

f ( x ) g ( x )dx ? f (? ) ? g ( x )dx .
a
28

b

2019/4/20

(四)变上限定积分
设f ( x ) ? R[a, b] , F ( x ) ? ? f ( x )dx
a x

x ? [a, b], F ( x )称为变上限定积分。 1 )若f ( x ) ? R[a, b] , 则F ( x ) ? ? f ( x )dx
a x

在[a, b]上连续. 2 )若f ( x ) ? C[a, b] , 则F ( x ) ? ? f ( x )dx
a x

在( a, b)内可导, 且F ' ( x ) ? f ( x ).
2019/4/20 29

(五)牛顿-莱布尼兹公式
设f ( x ) ? C [a, b] , F ( x )是f ( x )的一个 原函数, 则

?

b a

f ( x )dx ? F ( x ) b a ? F (b) ? F (a)

(六)定积分计算
1.变量置换法 f ( x ) ? C [a, b], 设x ? ? ( t )满足a ? ? (? ), b ? ? ( ? ), a ? ? ( t ) ? b, ? ' ( t )连续,则
2019/4/20

?

b a

f ( x )dx ?

??

?

f (? ( t ))? ' ( t )dt
30

2.分部积分法

? u( x )dv( x ) ? u( x )v( x )
a

b

b a

? ? v( x )du( x )
a

b

3.特殊函数的积分性质
1 )设f ( x ) ? C[a, b] , 则
a ? a ?2? f ( x )dx , f ( x )为偶函数 0 ??a f ( x )dx ? ? ? f ( x )为奇函数 ?0 , 2 )设f ( x )为连续的周期函数, 周期为T ,

则?
2019/4/20

a ?T

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx , ?a ? R.
0
31

T

n 2 3 ) si n xdx ? ? 0

?

?

?
2 0

cosn xdx n为偶数 n为奇数

?n ?1 n ? 3 1 ? ? n ? n ? 2? 2 ? 2 ?? n?1 n? 3 2 ? ? ? ?1 n?2 3 ? n

4 )要注意被积函数中的? , ? 在积分 区间上的符号。
2019/4/20 32

(七)定积分应用
定积分应用问题的特征 :

所求量依赖于区间,并 对区间具有 可加性。 解决问题的方法:微元分析法
通过分析未知函数的增 量求出其微分 ( 1 )分小取微分 ( 2 )积分求结果
2019/4/20 33

应用问题
? 平面图形的面积

? 平行截面面积已知的空 间体体积
? 旋转体体积 ? 平面曲线的弧长 ? 旋转面的面积
? 重心

? 质量 ? 转动惯量

? 动能 ? 变力作功
34

? 引力
2019/4/20

(八)广义积分 1.无穷区间上的广义积分 (1)定义
设f ( x ) ? C[a, ? ?), 若 l i m ?
B? ? ? B a

f ( x )dx存在,

则称此极限为f ( x )在[a, ? ?)上的广义积分, 记作?
2019/4/20

?? a

f ( x )dx ? l i m ?
x?? ?

?? a

f ( x )dx.

此时称广义积分收敛, 否则发散。
35

(2)判敛法则
? 比较判敛法 ? 比阶判敛法 ? 绝对值判敛法 ? 柯西判敛准则

2.无界函数的广义积分
(1)定义 : 设 f ( x ) ? C[a, b ? ? ] (? ? 0),
x ?b

lim f ( x ) ? ?, 若 l i m ? ? ?
? ?0

b ?? a

f ( x )dx存在, 则称

此极限为f ( x )在[a, b]上的广义积分, 记作

?

b a

f ( x )dx ? l i m ? ?
? ?0

b ?? a

f ( x )dx
36

2019/4/20

(2)判敛法则
? 比较判敛法 ? 柯西判敛准则 ? 比阶判敛法 ? 绝对值判敛法

3.两个重要的例
(1) ?
?? a

1 dx ( a ? 0 ), p ? 1收敛,p ? 1发散。 p x

1 ( 2) ? dx , p ? 1收敛,p ? 1发散。 p a ( x ? a)
b
2019/4/20 37

要求
1.掌握定积分的概念及性质 2.了解定积分存在的条件与可积函数类 3.能利用定积分性质对问题进行分析
与证明

4.掌握变上限积分求导 5.掌握牛顿莱布尼兹公式
2019/4/20 38

6.掌握定积分的变量置换法与分部积
分法 7.掌握弧长的微分与曲率的计算 8.会用定积分解决几何与物理的简单 问题 9.掌握广义积分的概念及判敛法则
2019/4/20 39

八.无穷级数
(一)数项级数的概念
设级数? un , 记Sn ? ? uk 称为级数的n项
n ?1 k ?1 ? n

部分和。若数列 { Sn }存在极限S , 则称级数

? u 收敛 , 且和为S , 即? u
n ?1 n n ?1 ? n ?1

?

?

n

? l i mSn ? S .
n? ?

若{ Sn }不收敛 , 称级数? un 发散。
2019/4/20 40

(二)级数的基本性质
1. 若? un收敛,则l i mun ? 0.
n?1 n?? ?

2.设? un , ? vn收敛,则
n?1 n?1

?

?

? (k u
n?1

?

1 n

? k2vn ) ?k1 ? un ? k2 ? vn
n?1 n?1

?

?

3.级数去掉或加上有限项 ,不改变级 数的敛散性。
2019/4/20 41

4.若 ? un 收敛,则任意加括号后
n?1

?

组成的新级数仍收敛, 且其和不变。

(三)柯西收敛准则

? u 收敛 ? ?? ? 0 , ?N ? 0 , ?m ? n ? N ,
n ?1 n

?

有 un?1 ? un? 2 ? ? um ? ?
2019/4/20 42

(四)正项级数的判敛法则 1.比较判敛法 2.比阶判敛法 3.达朗贝尔判敛法

4.柯西根式判敛法
5.柯西积分判敛法
2019/4/20 43

(五)任意项级数的判敛法则
1.交错级数的莱布尼兹判敛法

2.绝对收敛、条件收敛
任意项级数? un , 若? un 收敛则称级数
n?1 n?1 ? ?

绝对收敛;若? un 发散, 而? un收敛,
n?1 n?1

?

?

则称? un条件收敛。
n?1
2019/4/20 44

?

(六)重要级数

1. ? r ,
n n?1

?

r ? 1 收敛, r ? 1发散。

1 2. ? p , n?1 n
2019/4/20

?

p ? 1 收敛, p ? 1发散。

45

要求
1. 掌握级数的概念和性质 2. 掌握正项级数的比较、比阶、 比值和根值判定准则 3. 掌握任意项级数的绝对收敛和 条件收敛 4. 交错级数的莱布尼茨判定准则
2019/4/20 46