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2017年湖南学业水平考试数学试题(有答案)

2017 年湖南省普通高中学业水平考试 数学(真题) 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 4 页,时量 120 分钟,满分 100 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知一个几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体可以是( ) A、正方体 B、圆柱 C、三棱柱 D、球 2. 已知集合 A= ?0,1? ,B= ? 1,2? ,则 A ? B 中元素的个数为( A、1 B、2 C、3 D、4 3.已知向量 a=(x,1),b=(4,2),c=(6,3). 若 c=a+b, 则 x=( ) A、 - 10 B、10 C、 - 2 D、2 4. 执行如图 2 所示的程序框图,若输入 x 的值为 - 2 ,则输出 的 y=( ) A、 - 2 B、0 C、2 D、4 5. 在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? 11 , a3 ? 16 ,则公差 d=( ) A、4 输出y ) 正视图 侧视图 俯视图 (图1) 开始 输入x x≥0? 是 y=2-x y=2+x 否 B、5 1 2 C、6 D、7 ?1 结束 6. 既在函数 f ( x) ? x 的图像上,又在函数 g ( x) ? x 的图像上 的点是( ) B、 (1,1) C、 (2, 图2 A F E D 1 1 ) D、 ( ,2) 2 2 7. 如图 3 所示,四面体 ABCD 中,E,F 分别为 AC,AD 的中点, 则直线 CD 跟平面 BEF 的位置关系是( ) A、平行 B、在平面内 B C、相交但不垂直 D、相交且垂直 8. 已知 sin 2? ? sin ? , ? ?(0, ? ) ,则 cos ? =( ) A、(0,0) A、 3 2 图3 C B、 - 1 2 ) C、 1 2 D、 3 2 1 9. 已知 a ? log2 , b ? 1, c ? log2 4 ,则( 2 A、 a ? b ? c B、 b ? a ? c C、 c ? a ? b D、 c ? b ? a 1 10、如图 4 所示,正方形的面积为 1.在正方形内随机撒 1000 粒豆子,恰好有 600 粒豆子落 在阴影部分内,则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为( ) A、 C、 4 5 B、 3 5 1 2 D、 2 5 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. 已知函数 f ( x) ? cos ? x, x ? R (其中 ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,则 ? ? 图4 . 12. 某班有男生 30 人,女生 20 人,用分层抽样的方法从该班抽取 5 人参加社区服务,则抽 出的学生中男生比女生多 人. 13. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 a=4,b=3, sin C ? 1 ,则 ?ABC 的面积 为 . ? x ? 0, ? 14. 已知点 A(1, m) 在不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域内, 则实数 m 的取值范围为 ?x ? y ? 4 ? . 15. 已知圆柱 OO1 及其侧面展开图如图所示, 则该圆柱的 体积为 . O1 4 O 2π 三、解答题:本大题共有 5 小题,共 40 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 6 分) 已知定义在区间 [- p , p ]上的函数 f ( x) ? sin x 的部分函数图象如图所示. (1)将函数 f ( x) 的图像补充完整; (2)写出函数 f ( x) 的单调递增区间. y 1 O π 2 π x 2 17. (本小题满分 8 分) 已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? 3an (n ? N * ) ,且 a2 ? 6 . (1)求 a1 及 a n ; (2)设 bn ? an ? 2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 18. (本小题满分 8 分) 为了解数学课外兴趣小组的学习情况,从某次测试的成绩中随机抽取 20 名学生的成绩 进行分析,得到如图 7 所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数; (2)从成绩不低于 80 分的两组学生中任选 2 人,求选出的两人来自同一组的概率. 3 19. (本小题满分 8 分) ? 2 x , x ? 0, 已知函数 f ( x) ? ? 2 ?2( x ? 1) ? m, x ? 0. (1)若 m = - 1 , 求 f (0) 和 f (1) 的值,并判断函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内是否有零点; (2)若函数 f ( x) 的值域为 é - 2, + ? ) , 求实数 m 的值. ? 20. (本小题满分 10 分) 已知 O 为坐标原点,点 P (1, 2 ) 在圆 M: x2 ? y 2 -4x ? ay ? 1 ? 0 上. (1)求实数 a 的值; (2)求过圆心 M 且与直线 OP 平行的直线的方程; (3)过点 O 作互相垂直的直线 l1、l2 , l1 与圆 M 交于 A,B 两点, l2 与圆 M 交于 C,D 两点, 求 AB ×CD 的最大值. 4 参考答案 1-10. ACDBD BACAB 11. 2 12. 1 13. 6 ? ? ?? 16. (1)略;(2) ? ? , ? . ? 2 2? 14. (0,3) 15. 4? 17. (1) a1 ? 2, an ? 2 ? 3n?1 ; (2) Sn ? 3n ? 2n ? 1. 18. (1)75; (2) 2 . 5 19. (1) f ? 0? ? 1, f ?1? ? ?1 ,有零点; (2) m ? ?2 . 20. (1) a ? 0 ; (2) 2

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