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函数的单调性(教师版)


函数的单调性
知识网络
增函数 单调性的定义 函数的单调性 减函数 单调区间

定义法证明函数的单调性

y

基础知识回顾
观察函数 f ( x) ? x , f ( x) ? x 2 的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). f ( x) ? x 的图象是_________的, 0

f ( x) ? x

f ( x) ? x 2

y

x

0

x

f ( x) ? x 2 的图象在 y 轴左侧是______的, f ( x) ? x 2 的图象在 y 轴右侧是_______的.
(2). f ( x) ? x 在 (??,??) 上,f(x)随着 x 的增大而___________; f ( x) ? x 2 在 (??,0] 上,f(x)随着 x 的增大而_______; f ( x) ? x 2 在 (0,??) 上,f(x)随着 x 的增大而 ________. ※ 增函数、减函数的定义 ;增函数: x ? x ? f ( x ) ? f ( x ) 1 2 1 2

减函数:

x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
y 3 2 1 x

例1 下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x) , 根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间 上,它是增函数还是减函数?

-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 -1 -2 思维点拔: 观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域. -3 例2 证明:函数 f ( x) ? 证明: 、

1 在 (0,??) 上是减函数. x

归纳:用定义法证明函数单调性的一般步骤: ( ) ( ) (

)

(

)

(

)

【双基自测】
1.下列函数中,在 (??,0) 上为减函数的是( A.y=3x B.y=-x
2

) C.y=︱x︱ D.y=2x+1 )

2.函数 f ( x) ? (k ? 1) x ? 3 在 (??,??) 上单调递减,则 k 的取值范围是( A.k>0 B.k<0 C.k>-1 )函数. D.先减后增 ) D.k<-1

3.函数 y ? x 2 ? 6x ? 10 在区间(1,4)上为( A.单调递增 B.单调递减

C.先增后减

4.已知函数 f ( x) 在(-2,3)上是减函数,则有( A.f(-1)<f(0) 5.证明函数 f ( x ) ? B.f(0)<f(2) C.f(1)<f(0)

D.f(-1)<f(1)

3x ? 2 在区间 (??,0) 上是增函数. x

【能力提升】
一、选择题: 1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1
2

( C.y=



B.y=3x +1

2

2 x

D.y=2x +x+1

2

2.函数 f(x)=4x -mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函 数,则 f(1)等于 A.-7 A.(3,8) 4.函数 f(x)= B.1 B.(-7,-2) C.17 C.(-2,3) D.25 ( ) D.(0,5) 3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( )

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ( ) x?2 1 1 A.(0, ) B.( ,+∞) C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2
|f(x+1)|<1 的解集的补集是 ( )

5.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式 A.(-1,2) ∞) 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t) =f(5-t),那么下列式子一定成立的是 A.f(-1)<f(9)<f(13) C.f(9)<f(-1)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) D.f(13)<f(-1)<f(9) ( ) B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+

7.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是 A. (??,0], (??,1] B. (??,0],[1,??) C. [0,??), (??,1] D [0,??),[1,??)





8.已知函数 f ?x ? ?x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是( A.a≤3 A.f(-1)<f(3) 二、填空题: 10.函数 y=(x-1) 的减区间是___ 11.函数 y=x-2 1 ? x +2 的值域为__
2



B.a≥-3 B.f (0)>f(3)

C.a≤5 C.f (-1)=f (-3) _.

D.a≥3 ) D.f(2)<f(3)

9.定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对称轴是 x=0,则(

-2

___.

12 、 函 数 f(x) = ax + 4(a + 1)x - 3 在 [2 , + ∞ ] 上 递 减 , 则 a 的 取 值 范 围 是 __ 三、解答题: 13.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( (1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f( .

x ) = f(x)-f(y) y
1 ) <2 . x

14.函数 f(x)=-x +1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是 减函数?试证明你的结论.

3

15.试讨论函数 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,1]上的单调性.

16.已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取 值范围.

*17.已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞] x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

参考答案

一、选择题: CDBBD CCAA 二、填空题:10. (1,+∞), 11. (-∞,3),12. ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?

三、解答题:13.解析:①在等式中 令x ? y ? 0 ,则 f(1)=0. ②在等式中令 x=36,y=6 则 f (

36 ) ? f (36) ? f (6), ? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 6

故原不等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

1 x

?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? 故不等式等价于: ? ? 0 ?0? x? . x 2 ? ? ?0 ? x( x ? 3) ? 36
14.解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下: 设 x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x1 +1, f(x2)=-x2 +1.
3 3

f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+
∵x1<x2,∴x2-x1>0 而(x1+
3

x2 2 3 2 ) + x2 ] . 4 2

x2 2 3 2 ) + x2 >0,∴f(x1)>f(x2). 4 2

∴函数 f(x)=-x +1 在(-∞,+∞)上是减函数. 15.解析: 设 x1、x2∈-1,1]且 x1<x2,即-1≤x1<x2≤1.

f(x1)-f(x2)= 1 ? x1 - 1 ? x 2 =

2

2

(1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) 1 ? x1 ? 1 ? x2
2 2

2

2

=

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 1 ? x1 ? 1 ? x2
2 2

∵x2-x1>0, 1 ? x1 ? 1 ? x 2 >0,∴当 x1>0,x2>0 时,x1+x2>0,那么 f(x1)>

2

2

f(x2).
当 x1<0,x2<0 时,x1+x2<0,那么 f(x1)<f(x2). 故 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,0]上是增函数,f(x)= 1 ? x 2 在区间[0,1]上是减 函数. 16.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数 ∴由 f(m-1)-f(1-2m)>0,得 f(m-1)>f(1-2m)

? ?? 1 ? m ? 3 ?? 2 ? m ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ∴ ?? 2 ? 1 ? 2m ? 2,即?? ? m ? 2 ?m ? 1 ? 1 ? 2 m ? 2 ? 2 ? m? ? 3 ?

解得 ?

1 2 1 2 ? m ? ,∴m 的取值范围是(- , ) 2 3 2 3

18.解析: (1)当 a=

1 1 时,f(x)=x+ +2,x∈1,+∞) 2 2x
x ? x2 1 1 ? x1 ? =(x2 - x1) + 1 =(x2- x1)(1 - 2 x1 x 2 2 x2 2 x1 1 >0,则 f(x2)>f(x1) 2 x1 x 2

设 x2 > x1 ≥ 1 ,则 f(x2) -f(x1)=x2 +

1 )∵x2>x1≥1 2 x1 x 2

x2-x1>0,1-

可知 f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)在区间[1,+∞ ) 上,f(x)=

7 . 2

x2 ? 2x ? a 2 >0 恒成立 ? x +2x+a>0 恒成立 x 2 2 设 y=x +2x+a,x∈1,+∞),由 y=(x+1) +a-1 可知其在[1,+∞)上是增函数,
当 x=1 时,ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0 时函数 f(x)>0 恒成立.故 a>-3.


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