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高中数学3.2等比数列前n项求和教学设计北师大版必修5_图文

3.2 等比数列前 n 项求和”的教学设计(1) 一、教材分析 “等比数列的前 n 项和”是第一章“数列”第三节的内容,一方面它是“等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续,是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型, 在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用, 为进一步学习“数列的极限”等内容作准备; 另一方面,等比数列的前 n 项和公式的探究 与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养 学生应用意识和数学能力的良好载体。 二、教学目标 知识与技能目标: 理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 掌握等比数列的前 n 项和 公式并能运用公式解决一些简单问题。 过程与方法目标:通过公式的推导过程,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决 问题的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想 及转化思想,优化思维品质。 情感与态度目标:通过经历对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇 于探索、敢于创新,磨练思维品质,从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、结构的对称 美、形式的简洁美、数学的严谨美。 三、教学重点和难点 重点:等比数列的前 n 项和公式的推导及其简单应用。可通过抓“三线”来突重点,即 知识技能线:问题情境→公式推导→公式运用;过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→ 错 位相减法等→转化、方程思想;能力线:观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力 及严谨态度。 难点:等比数列的前 n 项和公式的推导及 q 是否等于1的讨论。可通过“抓两点”来突 破难点,即一抓学生情感和思维的兴奋点,激发他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索, 及时地给以鼓励,使他们知难而进;二抓知识选择的切入点,从学生原有的认知水平和所需 的知识特点入手,教师在学生主体下给予适当的提示和指导。 四、教学方法 利用计算机辅助教学,采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式。 五、教学过程 教 学 过 程 设计意图 1 创 设 情 境 网购已经成了老百姓生活中不可缺少的一种重要购物方式,据 悉,淘宝双 11 活动于 2012 年 11 月 11 日 0 点圆满结束,支付宝交易 总额 191 亿元,其中天猫 132 亿,淘宝 59 亿。小张是一家“五钻”淘 宝运动鞋专营店店主,但最近一段时间由于快递、买家没及时付款等 情况靠成了资金周转不灵,他准备向老同学小李借 5 万元钱,小李二 话不说就答应了,不过一向喜欢开玩笑他却提出要签定一个借款与还 款协议,协议规定: “5 万元分 20 天给,每天给 2500 元,而在这 20 天里,小张每天必需还一部分钱,第一天还 1 元钱,第二天还 2 元钱, 第三天还 4 元钱, 以后每天还的钱数是前一天的 2 倍” 。 虽然知道老同 学在出难题考验自己,但小张一下子还真拿不定主意,同学们,你们 说小张这份协议能不能签呢? 依托市场经 济背景, 运用 学生熟悉的 网购编拟故 事,以趣引 思 , 激发学生 学习热情,领 悟数学应用价 值 (1)如何判断协议能不能签?小张每天得到的钱、 小张每天返还的 钱分别组成一个什么数列? (2)如何计算 S20 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 通过提出问题 及学生个别学 互相讨论, 即如何求该等比数列 习, ? 219 , 揭示知识的内 在联系. 通过 生生、师生间 的探讨、 合作, 培养学生的洞 察力.增强学 生思维的严谨 性 . 通过实物 展示学生解决 问题的方法, 破除思维定 势. 剖析公式中 的基本量及 结构特征, 识 记公式. 的前 20 项和?这就是我们今天要学习的内容(引出课题) (3)等差数列前 n 项公式的推导用了什么方法?小张还钱的总数 能否用倒序相加法得到呢? (倒序相加法实际上是通过等差数列的性质 。 新 消去了很多项) (4)观察该式相邻两个数之间有什么关系?(后一个数是前一个 的 2 倍)能否有一种方法再得到一个式子,通过消去两式中相同的项 来得出结果呢? 知 法一(错位相减法) S20 ? 1 ? 2 ? 22 ? 2S20 ? 2 ? 22 ? 23 ? 20 ? 218 ? 219 ① ,两边同乘以 2 得, ? 219 ? 220 ② ,两式相减得, 20 ?S20 ? 1 ? 2 ,所以 S20 ? 2 ?1 ? 1048575 。 所以小张还的钱比借到钱多很多,小张不能签协议。 探 (5)①式两边为什么乘以 2,乘以 3 行吗? (6)除了错位相减法,你还有什么办法得出 S20 吗? S20 ? 1 ? 2 ? 22 ? 究 ? 218 ? 219 ? 1? 2 ( 1 ? 2 ? ? 218) ? 1? 2 (S20 - 219 ) 所以 S20 ? 220 ?1 ? 1048575 。 (7) 若等比数列 {an } 的首项为 a1 , 公比为 q , 又如何得出其 n 项 和公式呢? 一般等比数列前 n 项和: S n 即 S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q 由错位相减法得 2 ? a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a n?1 ? a n ? ? n?2 ? a1q n?1 ? ? 2 2 n?2 ? ? a1q n?1 ?S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? a1q ? 2 3 n ?1 ? ? a1q n ?qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? a1q ? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n ? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ? na ? ? 1 q ?1 q ?1 (8)等比数列前 n 项和公式中涉及哪几个基本量,这几个量有什 么实际意义?知道其中几个可以求出另外几个? 涉及 a1 , q, n, an , Sn 五个量,已知其中任意三个

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