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四川省南充市2015届高三第一次高考适应性考试数学(理)试题含解析


【名师解析】四川省南充市 2015 届高三第一次高考适应性考试数学(理)试题 【试卷综述】 本试卷试题主要注重基本知识、 基本能力、 基本方法等当面的考察, 覆盖面广, 注重数学思想方法的简单应用,试题有新意,符合课改和教改方向,能有效地测评学生,有 利于学生自我评价, 有利于指导学生的学习, 既重视双基能力培养, 侧重学生自主探究能力, 分析问题和解决问题的能力,突出应用,同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。 【题文】第 I 卷 只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.设 i 为虚数单位,则复数 z ? i ? i 的实部和虚部分别是
2

选择题(满分 50 分)

【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,

A.-1, i B.-1,1 C.1, i 【知识点】复数代数形式的运算.L4
2

D.1,1

【答案】 【解析】B 解析:因为 z ? i ? i = ?1 ? i ,所以复数 z ? i ? i 的实部和虚部分别是
2

?1,1 ,故选 B.
【思路点拨】把复数化简后根据复数实部和虚部定义可得答案. 【题文】2.已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1 ?, N ? ?x | log2 x ? 1? ,则 M A. ?x | ?1 ? x ? 2? B. ?x | ?1 ? x ? 0? C. ?x | 0 ? x ? 1 ?

N?
D. ?x | ?1 ? x ? 1 ?

【知识点】集合及其运算.A1 【答案】 【解析】C 解析:由题意:

M ? ?x | ?1 ? x ? 1?, N ? ?x | log2 x ? 1? ? ?x | 0 ? x ? 2? ,所以 M
故选 C. 【思路点拨】先解出集合 N,再求出交集即可。 【题文】3.“ ? =

N ? ?x | 0 ? x ? 1? ,

? ”是 y ? cos( x ? ? ) 为奇函数的 2
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【知识点】充要条件.A2

? ? 时, y ? cos( x ? ? ) ? cos( x ? ) ? ? sin x 为奇函数; 2 2 ? ? 当 y ? cos( x ? ? ) 为奇函数时, ? ? 2k? ? ,所以“ ? = ”是 y ? cos( x ? ? ) 为奇函数 2 2
【答案】 【解析】A 解析:当 ? = 的充分而不必要条件,故选 A. 【思路点拨】对两个条件进行双向判断即可。 【题文】4.递增等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a9 =0 ,则 Sn 取最小值时 n 等于 A.4 B.5 C.6 D.4 或 5 【知识点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和.D2

1

【答案】 【解析】D 解析:因为该数列是递增等差数列,所以 d ? 0 ,由 a1 ? a9 =0 可解得:

a1 ? ?4d ,根据等差数列的前 n 项和公式有 Sn ? na1 ?
或 5 时 Sn 取最小值,故选 D.

n ? n ? 1? d d ? ? n 2 ? 9n ? ,当 n ? 4 2 2

【思路点拨】先由题意得到 d ? 0 ,再根据等差数列的性质得 a1 ? ?4d ,最后结合二次函数 的性质可得结果。 【题文】5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l∥ ? , m ? ? ,则 l⊥m B.若 l⊥m, m / /? 则 l ? ? C.若 l⊥m, m ? ? ,则 l / /? D.若 l / /? , m / /? 则 l / / m 【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.G4 G5 【答案】 【解析】A 解析:对于 A,若 l∥ ? , m ? ? ,则 l⊥m,故 A 正确; 对于 B,若 l⊥m, m / /? 则 l ? ? 或 l / /? 或 l ? ? ,故 B 错误; 对于 C,若 l⊥m, m ? ? ,则 l / /? 或 l ? ? ,故 C 错误; 对于 D,若 l / /? , m / /? 则 l / / m 或重合或异面;故 D 错误; 故选 A. 【思路点拨】利用空间中线线、线面间的位置关系进行判断即可。

? y ? 2x ? 【题文】6.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A. ?

5 2

B.0

C.

5 3

D.

5 2

【知识点】简单的线性规划.E5

? y ? 2x ? 【答案】 【解析】C 解析:根据 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 画出线性区域如下图: ? y ? ?1 ?

2

y

A x B C

则线性目标函数 z ? x ? 2 y 过 A ? ,

5 ?1 2? ? 时有最大值,最大值为 3 。 ?3 3?
sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

【思路点拨】先根据线性约束条件画出线性区域,再求出目标函数过 A 时取得最大值即可。 【题文】7.已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?1) ,则 A.3 B.

1 3

C. ?

1 3

D. ?3

【知识点】同角三角函数的基本关系式.C2 【答案】 【解析】D 解析:因为角 ? 的终边经过点 P(2, ?1) ,所以 tan ? ? ?

1 ,则 2

1 ? ?1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? 2 ? ?3 ,故选 D. 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ?1 2 sin ? ? cos ? 【思路点拨】先根据已知条件得到 tan ? ,再化简 代入即可得到结果。 sin ? ? cos ? x2 y 2 【题文】8.已知双曲线 C 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别是 M、N.正三角形 AMN 的一边 AN a b 与双曲线右支交于点 B,且 AN ? 4BN ,则双曲线 C 的离心率为 3 13 ? 1 13 3 ?1 A. B. C. D. ?1 ?1 2 3 3 2
【知识点】双曲线的性质;余弦定理.C8 H6 【答案】 【解析】 B 解析: 因为正三角形 AMN, 其边长 MN=2c, AN ? 4BN , 设 | BN |? m , 则 | AN |? 4m =2c,解得 m ?

c c ,根据双曲线的定义可得 | BM |? 2a ? m ? 2a ? ,在三角 2 2

3

c2 ? c? 4c ? ? ? 2a ? ? 1 4 ? 2? 0 ? ,整理得: 3e2 ? 2e ? 4 ? 0 , 形 AMN 中,由余弦定理 cos 60 ? c 2 2 ? 2c ? 2
2

2

即e ?

13 ? 1 ? 13 ? 1 ,或 e ? (舍去) ,故选 B. 3 3

【思路点拨】先利用已知条件得到三角形 AMN 的边长,再结合余弦定理即可。 【题文】9.设 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 函数 g ( x ) ? f ( x ) ?

f ( x) ? 0 ,则关于 x 的 x

1 的零点个数为 x

A. 1 B.0 C.2 D.0 或 2 【知识点】根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的单调性.B9 B12 【答案】 【解析】B 解析:由 f ?( x) ?

f ( x) xf ? ( x) + f ( x) ? 0 ,得 >0, x x

( x) + f ( x) > 0 ,即 xf ( x) ? > 0 ,函数 xf ( x) 单调递增; 当 x > 0 时, xf ?

[ [

] ]

( x) + f ( x) < 0 ,即 xf ( x) ? < 0 ,函数 xf ( x) 单调递减. 当 x < 0 时, xf ?
又 g ( x) = f ( x) + 的零点个数. 当 x > 0 时, y = xf ( x) +1>1,当 x < 0 时, y = xf ( x) +1>1,所以函数 y = xf ( x) +1无零 点,所以函数 g(x)=f(x)+x
﹣1

1 xf ( x) +1 xf ( x ) +1 = , 函数 g ( x ) = 的零点个数等价为函数 y = xf ( x) +1 x x x

的零点个数为 0 个.故选 B.

【 思 路 点 拨 】 由 题 意 可 得 f ?( x) ?

f ( x) ? 0 , 进 而 可 得 函 数 xf ( x) 单 调 性 , 而 函 数 x

g ( x) =

xf ( x ) +1 的零点个数等价为函数 y = xf ( x) +1的零点个数,可得 y = xf ( x) +1>1, x

无零点.
2 ? ?m 1 ? x , x ? ? ?1,1? 【题文】10.已知函数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 ,且函数 f ( x ) 满足 1 ? x ? 2 , x ? 1,3 ? ? ? ? f ( x ? 4) ? f ( x) .若方程 3 f ( x) ? x=0 恰有 5 个根,则实数 m 的取值范围是

A. ?

? 15 ? , 7 ? ? 3 ? ? ?

B. ?

? 15 8 ? ? ? 3 , 3? ? ?

C. ? ,

?4 ?3 ?

7? ? 3 ? ?

D. ? , ?

? 4 8? ? 3 3?

【知识点】函数的周期性;根的存在性及根的个数判断.B4 B9 【答案】 【解析】A 解析:∵ 当 x∈(﹣1,1]时,将函数化为方程 x +
2

y2 = 1( y m

0) ,

4

∴ 实质上为一个半椭圆,其图象如图所示, 同时在坐标系中作出当 x∈(1,3]得图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象,

由图易知直线 y =

x y2 2 = 1( y 与第二个椭圆 ( x - 4) + 3 m

0) 相交,

而与第三个半椭圆 x - 8

(

)

2

+

y2 = 1( y m

0) 无公共点时,方程恰有 5 个实数解,

将y=

x y2 2 = 1( y 代入 ( x - 4) + 3 m
2

2 2 2 2 2 0) 得, (9m +1) x ﹣72m x+135m =0, 令 t=9m (t>0) , 2 2

则(t+1)x ﹣8tx+15t=0,由△ =(8t) ﹣4×15t (t+1)>0,得 t>15,由 9m >15,且 m> 0 得 m>

15 , 3
x y2 2 = 1( y 与第三个椭圆 ( x - 8) + 3 m
? 15 ? , 7 ? ? 3 ? ,故选 A. ? ?

同样由 y =

0) 由△<0 可计算得 m< 7 ,

综上可知 m∈ ?

【思路点拨】根据对函数的解析式进行变形后发现当 x∈(﹣1,1],[3,5],[7,9]上时,f (x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有 5 个实数解,则需直线 y =

x 与第二 3

个椭圆相交, 而与第三个椭圆不公共点. 把直线分别代入椭圆方程, 根据△ 可求得 m 的范围. 【题文】第 II 卷(非选择题,满分 100 分) 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】11. (2 ? x)(1 ? 3x) 的展开式中, x 的系数等于________.(用数字作答) 【知识点】二项式定理;二项式系数的性质.J3
4
2

5

r 4- r - 3x 【答案】 【解析】120 解析:先利用二项式定理的展开式 Tr +1 = C4 1

(

)

r

,令 r = 2 ,

2 1 则展开式中 x 的系数为 9C4 , 展开式中 x 的系数为 - 3C4 , 所以 (2 ? x)(1 ? 3x)4 的展开式中,
2

2 1 x 2 的系数为 2? 9C4 =120,故答案为 120. 3C4

【思路点拨】先把 1 - 3 x

(

)

4

利用二项式定理的展开式求出 x 的系数以及 x 的系数,然后分

2

别乘以 2 和-1 再求和即可。 【题文】12.执行下图的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 P 的值是_____.

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】 105 解析: k,p 的起始值为 k=1,p=1,根据流程图的指向, 第二次循环时 k=3,p=1; 第三次循环时 k=5,p=3;第四次循环时 k=7,p=15;此时输出 p=105;故答案为 105. 【思路点拨】根据流程图的指向依次计算直到满足条件为止。 【题文】13.南充市教科所派出 4 名调研员到 3 个县,调研该县的高三复习备考情况,要求 每个县至少一名,则不同的分配方案有__________种. 【知识点】排列组合的应用.J2 【答案】 【解析】36 解析:根据题意可得:
2 1 1 C4 C2C1 3 ? A3 ? 36 ,故答案为 36. 2 A2

【思路点拨】 先把 4 名调研员分成 3 组,然后再分配即可。 【题文】14.已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点, 若圆周上存在一点 C,使得△ABC 为等边三角形,则实数 m 的值为__________. 【知识点】直线与圆的位置关系.H4 【答案】 【解析】 ? 2 解析:根据题意画出图形,连接 OA,OB,作 OD 垂直于 AB 于 D 点,

A

D

B

O

C

6

因为△ABC 为等边三角形,所以 ? AOB 120 ,由余弦定理知:

0

AB2 = OA2 +OB2 - 2OA?OB cos1200
直线 AB 的距离

2 3 ,故 BD = 3 ,所以 OD = 1 ,所以 O(0,0)到
2 ,故答案为 ? 2 。
0

|m| = 1 ,解得 m = 2

【思路点拨】 先由圆心角与圆周角的关系得到 ? AOB 120 , 再利用余弦定理得到 BD,最后 借助于点到直线的距离公式可解得 m 即可。 【题文】15.在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正 确的是_________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行,又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线. 【知识点】直线的一般式方程.H1 【答案】 【解析】①③⑤ 解析:① 令 y=x+ 本命题正确; ② 若 k= 2 ,b= 2 ,则直线 y= 2 x+ 2 经过(﹣1,0) ,所以本命题错误; 设 y=kx 为过原点的直线,若此直线 l 过不同的整点(x1,y1)和(x2,y2) , 把两点代入直线 l 方程得:y1=kx1,y2=kx2, 两式相减得:y1﹣y2=k(x1﹣x2) , 则(x1﹣x2,y1﹣y2)也在直线 y=kx 上且为整点, 通过这种方法得到直线 l 经过无穷多个整点, 又通过上下平移得到 y=kx+b 不一定成立.则③ 正确,④ 不正确; ⑤ 令直线 y= 2 x 恰经过整点(0,0) ,所以本命题正确. 综上,命题正确的序号有:① ③ ⑤ . 故答案为:① ③ ⑤ 【思路点拨】① 举一例子即可说明本命题是真命题; ② 举一反例即可说明本命题是假命题; ③ 假设直线 l 过两个不同的整点,设直线 l 为 y=kx,把两整点的坐标代入直线 l 的方程,两 式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线 l 上,利用同样的方法,得到 直线 l 经过无穷多个整点,得到本命题为真命题; ④ 根据③ 为真命题,把直线 l 的解析式 y=kx 上下平移即不能得到 y=kx+b,所以本命题为假命 题; ⑤ 举一例子即可得到本命题为真命题. 【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
7

1 ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,所以 2

骤. 【题文】16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x ? sin x, 2sin x), b ? (cos x ? sin x, ? cos x) .令 f ( x) ? a b , (1)求 f ( x ) 的最小正周期;

? ? 3? ? 时,求 f ( x ) 的最小值以及取得最小值时 x 的值. , ?4 4 ? ? 【知识点】 y ? Asin ??x ? ? ? 的图像及性质.C4
(2)当 x ? ? 【答案】 【解析】 (1) T ? ? ;(2)当 x ?

3? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 . 8

解析: f ( x) ? (cosx ? sin x)(cosx ? sin x) ? 2 sin x(? cos x) ………………………2 分

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x
? ? 2 sin( 2 x ? ) 4

?

…………………………………………………………5 分

(1)由最小正周期公式得: T ? ? ………………………………………………6 分 (2) x ? [

? 5? ?[ , ] 4 4 4 4 4 ? ? 3? 令 2 x ? ? ,则 x ? , 4 2 8 ? 3? 3? 3? ] 单调递减,在 [ , ] 单调递增 ………………10 分 从而 f ( x) 在 [ , 4 8 8 4 3? 即当 x ? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 ……………………………12 分 8
? 3?
, ] ,则 2 x ?

?

【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开,再利用辅助角公式进行化简, (1)由最小正周 期公式得结果; (2)借助于三角函数的单调性求出单调区间,同时求出最大值。 【题文】17.(本小题满分 12 分) 第十七届亚运会于 2014 年 9 月 19 日至 10 月 4 日在韩国仁川举行.为了搞好接待工作,组委 会在首尔大学某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者从事礼宾接待和语言翻译工作, 将这 30 名志愿者的身高(单位:cm)编成茎叶图(如图所示) :

组委会安排决定:身高 175cm 以上(包含 175cm)的志愿者从事礼宾接待,身高在 175cm 以下的志愿者从事语言翻译. (I) 如果从分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取 5 人,
8

再从这 5 人中随机选 2 人,那么至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少? (II)若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选 3 名志愿者,用 ? 表示从事礼宾接待的志愿 者中女志愿者的人数,试写出 ? 的分布列,并求出 ? 的数学期望. 【知识点】茎叶图;对立事件的概率;离散型随机变量的分布列及期望.K5 K6 【答案】 【解析】 (I)

7 (II)分布列见解析,1. 10 5 1 ? 。 30 6

解析: (I)根据茎叶图,有从事礼宾接待的志愿者 12 人,有从事语言翻译的志愿者 18 人, 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有 12 ?

1 1 ? 2 人, 从事语言翻译的志愿者有 18 ? ? 3 人。 6 6

用事件 A 表示 “至少有 1 名从事礼宾接待的志愿者被选中” , 则它的对立事件 A 表示 “没 有 1 名从事礼宾接待的志愿者被选中” , 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

C32 7 ? ………………………………………………………6 分 C52 10

(II)由题意: ? 的可能取值为 0,1,2,3. 则 P(? ? 0) ?
3 1 2 C8 C4 C 14 28 , , ? P(? ? 1) ? 3 8 ? 3 C12 55 C12 55

P(? ? 2) ?
因此,

2 1 3 C4 C8 12 C4 1 , , ? P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C12 55 C12 55

故 E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1………………………………………12 分 55 55 55 55

【思路点拨】 (I)先用分层抽样的方法,计算出每个人被抽中的概率,再利用对立事件的概 率和为 1 可求得结果; (II)由题意分别计算出 ? 取值为 0,1,2,3 时各自的概率,然后列 出分布列并求出期望。 【题文】18.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下如所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. (I)证明:BN⊥平面 C1B1N;(II)设直线 C1N 与 CNB1 所成的角为 ? ,求 cos ? 的值.

9

【知识点】线面垂直的判定定理;线面角.G5 G11 【答案】 【解析】 (I)见解析; (II) cos ? ?

7 。 3

解析: (1)证明: 方法一:由题意:该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为 直角梯形. 则 B1C1 ? 面ABB 1 N ,且在面 ABB 1 N 内,易证 ?BNB 1 为直角。

? B1C1 ? 面ABB 1 N,且BN ? 面ABB 1 N ,? B 1C1 ? BN

又 BN ? B1N , 且B1N

B1C1 ? B1 ,? BN ? 面B1NC1

方法二:该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则 BA , BC , BC1 两两垂直。 以 BA , BC , BC1 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系,

则 N (4,4,0) , B1 (0,8,0) , C1 (0,8,4) , C (0,0,4) ,

BN ? NB1 ? 0, BN ? B1C1 ? 0
? BN ? NB1 , 且BN ? B1C1 , 又 B1 N

B1C1 ? B1

? BN ? 面B1NC1 ……………………………………………………………………6 分
(2)方法一:利用等体积法可求 C1 到面 CB1 N 的距离为 h ?

4 6 , 3

10

则直线 C1 N 与平面 CNB1 所成的角 ? 的正弦值为 sin ? ? 方法二:设 n ? ( x0 , y0 , z0 ) 为平面 CNB1 的一个法向量, 则 ?

2 7 ,从而 cos ? ? 3 3

?

? ?n ? CN ? 0 ? ?n ? NB1 ? 0

即?

? x0 ? y0 ? z0 ? 0 ? ,令 x0 ? 1 ,则 n ? (1,1,2) 。 ? x0 ? y0 ? 0

又 C1 N ? (4, ?4, 4) 则 sin ? ?| cos ? n, C1 N ?|?

2 7 ,从而 cos ? ? ……………………………12 分 3 3

【思路点拨】 (I)先由题意判断出该几何体的直观图,再利用线面垂直的判定定理即可; (II)先利用等体积法可求 C1 到面 CB1 N 的距离。 【题文】19.(本小题满分 12 分) 已知递增等差数列 ?an ? 中的 a2 , a5 是函数 f ( x) ? (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;

1 3 7 2 x ? x ? 10 x ? 5 的两个极值点.数列 3 2 ?bn ? 满足,点 (bn , Sn ) 在直线 y ? ? x ? 1 上,其中 Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和.

(2)令 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 【知识点】 利用导数求函数的极值; 等差、 等比数列的通项公式; 错位相减法求数列的和.B12 D2 D3 D4 【答案】 【解析】 (1) an ? n, n ? N * , bn ? ( ) , n ? N (2) Tn ? 2 ? ( n ? 2)( ) , n ? N
n *
n

1 2

1 2

*

解析: (1) f ( x) ?

1 3 7 2 x ? x ? 10 x ? 5, x ? R ,则 f ?( x) ? x2 ? 7 x ? 10 . 3 2 1 3 7 2 因为 a2 , a5 是函数 f ( x) ? x ? x ? 10 x ? 5 的两个极值点,则 3 2

?a2 ? a5 ? 7 ? a 2 ? 2 ? a2 ? 5 ,解得: ? 或? . ? ?a5 ? 5 ?a5 ? 2 ?a2 ? a5 ? 10
又等差数列 {an } 递增,则 ?

? a2 ? 2 ,所以 an ? n, n ? N * . …………………………3 分 ?a5 ? 5

因为点 在直线 y ? ? x ? 1 上,则 Sn ? ?bn ? 1。 (bn , Sn) 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? ?b1 ? 1,即 b1 ?

1 . 2 1 bn ?1 . 2

当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (?bn ? 1) ? (?bn ?1 ? 1) ,即 bn ?

11

1 1 1 ,公比为 的等比数列,即 bn ? ( ) n , n ? N * .……………6 分 2 2 2 1 (2)由(1)知: an ? n, n ? N * 且 bn ? ( ) n , n ? N * , 2 1 则 cn ? an ? bn ? n ? ( ) n , n ? N * 2 1 1 1 1 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? ? n ? ( ) n ① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ②. 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 n ?1 ① -②得: Tn ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? 1 ? (n ? 2)( ) . 2 2 2 2 2 2 2 1 n 所以 Tn ? 2 ? ( n ? 2)( ) , n ? N * . ……………………………………………………12 分 2
所以数列 {bn } 为首项为
【思路点拨】 (1) 先对原函数求导得到极值点, 再利用等差、等比数列的通项公式即可; (2) 直接使用错位相减法求之即可。 【题文】20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的短轴长为 2,离心率为 .直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 a b 2
C 交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;
2 (2)若线段 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) ,证明: 2k ? 1 ? 2m ;

1 2

(3)在(2)的前提下,求△AOB(O 为原点)面积的最大值. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的综合应用.H5 H8

【答案】 【解析】 (1)

x2 2 ? y2 ? 1; (2)见解析; (3) 2 2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

解析: (1)设椭圆 C 的标准方程

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ? 由已知可得 ?2b ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
解得 a ? 2, b ? 1 .
2 2

故椭圆 C 的标准方程

x2 ? y 2 ? 1 .………………………………………4 分 2

12

? y ? kx ? m ? (2)联立方程 ? x 2 ,消 y 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
当 ? ? 8(2k 2 ? m 2 ? 1) ? 0 ,即 2k ? 1 ? m ①时,
2 2

x1 ? x 2 ?

? 4km 2m 2 ? 2 x ? x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2km m ? ? , 1 . 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

y1 ? y 2 1 ? (? ) 2 2 ? ? 1 ,化简整理得: 2k 2 ? 1 ? 2m ②. ……………………………9 分 又 x1 ? x2 k ?0 2 (3)代②入①得: 0 ? m ? 2 .
又原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

|m| 1? k 2
2

.

| AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 2 1 ? k
2

4k 2 ? 2m 2 ? 2 . 1 ? 2k 2

所以 S ?AOB ?

1 | m | 4k 2 ? 2m 2 ? 2 . | AB | ?d ? 2 1 ? 2k 2
1 4m ? 2m 2 , 0? m? 2. 2

2 而 2k ? 1 ? 2m 且 0 ? m ? 2 ,则 S ?AOB ?

2 所以当 m ? 1 ,即 k ?

1 2 时, S ?AOB 取得最大值 . ……………………………13 分 2 2

【思路点拨】 (1)利用待定系数法求出 a,b 的值即可求出椭圆的标准方程; (2)把直线方程 与椭圆方程联立,转化成关于 x 的一元二次方程利用根与系数的关系即可证明; (3)借助于 弦长公式表示出三角形的面积公式,再求出面积的最大值即可。 【题文】21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln( x ? 1) .
2

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; 4 (2)当 x ??0, ??? 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(1)当 a ? ?

2 4 8 2n (3)求证: (1 ? )(1 ? )(1 ? )...(1 ? n?1 ) ? e (其中 n ? N * ,e 是 n 2?3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2 ? 1)

13

自然对数的底数). 【知识点】利用导数研究函数的单调性;不等式恒成立问题;不等式的证明.B12 【答案】 【解析】 (1)函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1,??) .(2) (3)见解析. (??,0] ; 解析: (1)当 a ? ?

1 1 2 时, f ( x ) ? ? x ? ln( x ? 1)( x ? ?1) 4 4

1 1 ( x ? 2)(x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ?? ( x ? ?1) 2 x ?1 2( x ? 1)
由 f ?( x) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 , 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1,??) . ……4 分 (2)当 x ? [0,??) 时,不等式 f ( x) ? x ? 0 恒成立,即 ax2 ? ln(x ? 1) ? x ? 0 恒成立. 设 g ( x) ? ax2 ? ln(x ? 1) ? x( x ? 0) ,只需 g ( x)max ? 0 即可.

1 x(2ax ? (2a ? 1)) ?1 ? x ?1 x ?1 ?x ?0, ⅰ) 当 a ? 0 时,g ?( x) ? 函数 g ( x) 在 [0,??) 上单调递减, 故 g ( x)max ? g (0) ? 0 x ?1 g ?( x) ? 2ax ?
成立. ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? 若

x(2ax ? (2a ? 1)) 1 ? 0 ,则 x ? ?1或 x ? 0 x ?1 2a

1 ? 1 ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0,??) 上单调递增,则函数 g ( x) 在 [0,??) 上无最大值,不满 2a 1 1 1 ? 1 ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0, ? 1) 上单调递减,在 ( ? 1,?? ) 上单调递增,则函数 2a 2a 2a

足条件. 若

g ( x) 在 [0,??) 上无最大值,不满足条件.
ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

x(2ax ? (2a ? 1)) ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0,??) 上单调递减,故 x ?1

g ( x)max ? g (0) ? 0 成立.
综上:实数 a 的取值范围是 (??,0] . …………………………………9 分

(3)由(2)知,当 a ? 0 时, ln(x ? 1) ? x ,且

2n 1 1 ? 2( n?1 ? n ) . n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

14

ln(( 1?

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ?1 )) 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1) 2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? n ?1 ) 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

? ln(1 ?

2 4 8 2n ? ? ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( n ?1 ? n ) 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2( ? n ) ? 1 . 2 2 ?1
所以, (1 ?

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ?1 ) ? e ……………14 分 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)
1 1 2 时,f ( x ) ? ? x ? ln( x ? 1)( x ? ?1) , 然后求导, 借助于 f ? ? x ? 4 4

【思路点拨】 (1) 当a ? ?

的符号判断单调区间; ( 2 ) 当 x ? [0,??) 时 , 不 等 式 f ( x) ? x ? 0 恒 成 立 , 即

ax2 ? ln(x ? 1) ? x ? 0 恒成立. 设 g ( x) ? ax2 ? ln(x ? 1) ? x( x ? 0) ,只需 g ( x)max ? 0 即
可. g ?( x) ? 2ax ?

1 x(2ax ? (2a ? 1)) ?1 ? ,然后对 a 分类讨论即可; (3)借助于 a ? 0 x ?1 x ?1

时, ln(x ? 1) ? x ,且

2n 1 1 ? 2( n?1 ? n ) .证明即可。 n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

15


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