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西藏拉萨中学2015届高三第一次月考数学(理)试题含解析


西藏拉萨中学 2015 届高三第一次月考数学(理)试题
【试卷综析】试题在重视基础,突出能力,体现课改,着眼稳定,实现了新课标高考数学试 题与老高考试题的尝试性对接. 纵观新课标高考数学试题,体现数学本质,凸显数学思想,强化思维量,控制运算量, 突出综合性,破除了试卷的八股模式,以全新的面貌来诠释新课改的理念,试题图文并茂, 文字阐述清晰,图形设计简明,无论是在试卷的结构安排方面,还是试题背景的设计方面, 都进行了大胆的改革和有益的探索,应当说是一份很有特色的试题. 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知两个集合 A ? x | y ? ln(? x ? x ? 2) , B ? ? x |
2

?

?

? ?

2x ? 1 ? ? 0? ,则 A ? B = e?x ?
D. ?2, e ?

A. ? - , 2?

? 1 ? 2

? ?

B. ? - 1, - ? 2

? ?

1? ?

C. ?- 1,e ?

【知识点】交集及其运算.A1 【答案解析】B 解析:解:由 A 中的函数 y=ln(﹣x +x+2)}, 2 2 得到﹣x +x+2>0,即 x ﹣x﹣2<0,整理得:(x﹣2)(x+1)<0,即﹣1<x<2, ∴A=(﹣1,2), 由 B 中的不等式变形得:(2x+1)(e﹣x)≤0,且 e﹣x≠0,即(2x+1)(x﹣e)≥0,且 x≠e, 解得:x≤﹣ 或 x>e,即 B=(﹣∞,﹣ ]∪(e,+∞),则 A∩B= ? - 1, - ? .故选:B. 2
2

? ?

1? ?

【思路点拨】求出 A 中函数的定义域确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【题文】2.已知 i 是虚数单位,a,b∈R,且 (a ? i)i ? b ? 2i ,则 a+b= A.1 B.-1 C.-2 D.-3 【知识点】复数相等的充要条件;复数代数形式的乘除运算.L4 【答案解析】D 解析:由(a+i)i=b﹣2i, 可得:﹣1+ai=b﹣2i.∴ .∴a+b=﹣3.故选:D.

【思路点拨】 把给出的等式左边的复数利用复数的多项式乘法运算化简, 然后利用复数相等 的条件求出 a 和 b,则 a+b 可求. 【题文】3.在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4, 则

a12 ? a2

1

A.3

B. ?

1 3

C.3 或

1 3

D. ?3 或 ?

1 3

【知识点】等比数列的性质。D3 【答案解析】C 解析:由数列{an}为等比数列, 则 a3a13=a5a11=3,又 a3+a13=4,联立解得:a3=1,a13=3 或 a3=3,a13=1. ∴ = =3 或 = .故选 C.

【思路点拨】直接由等比数列的性质和已知条件联立求出 a3 和 a13,代入 答案.

转化为公比得

【题文】4.已知 l 、m 是两条不同的直线, ? 是个平面,则下列命题正确的是 A.若 l // ? , m // ? , 则 l / / m B.若 l ? m , m // ? , 则 l ? ?

C.若 l ? m , m ? ? ,则 l // ? D.若 l // ? , m ? ? ,,则 l ? m 【知识点】命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面 之间的位置关系.A2 G3 G4 【答案解析】D 解析:A.由 l∥a,m∥a,则 l∥m 或相交或异面直线,因此不正确; B.由 l⊥m,m∥a,则 l 与 a 相交或平行或 l?a,因此不正确; C.由 l⊥m,m⊥a,则 l∥a 或 l?a,因此不正确; D.由 l∥a,m⊥a,利用线面垂直与平行的性质定理可得:l⊥m.故选:D. 【思路点拨】利用空间中线面位置关系判定与性质定理即可得出. 【题文】5.在 n 的值是 A.10 B.9 C.8 D.7 【知识点】二项式定理的应用.J3 【答案解析】C 解析:由题意得,该二项展开式的通项公式 Tr+1= ?(﹣1) x ,∴其二项式系数 an=(﹣1) ?
2 r r r

中,若 2a2+an﹣5=0,则自然数

, +(﹣1)
n﹣5

∵2a2+an﹣5=0,∴2(﹣1) ∴n﹣5 为奇数,∴2 ∴2× = =

+(﹣1) = ,

n﹣5

=0,即 2

=0,



∴(n﹣2)(n﹣3)(n﹣4)=120.∴n=8.故答案为:8. 【思路点拨】由二项展开式的通项公式 Tr+1=
2

?(﹣1) x 可得 an=(﹣1) ?

r r

r

,于是有 2

(﹣1)

2

+(﹣1)

n﹣5

=0,由此可解得自然数 n 的值.

【题文】6.右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随 时间 t 变化的可能图象是 A. B. C. D.

【知识点】函数的图象与图象变化.B10 【答案解析】B 解析:该三视图表示的容器是倒放的圆锥,下面细,上面粗,随时间的增 加,可以得出高度增加的越来越慢.刚开始高度增加的相对快些.曲线越“竖直”,之后, 高度增加的越来越慢,图形越平稳.故选 B. 【思路点拨】 根据几何体的三视图确定几何体的形状是解决本题的关键, 可以判断出该几何 体是圆锥,下面细上面粗的容器,判断出高度 h 随时间 t 变化的可能图象. 【题文】7.右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, p 为该题的 最终得分,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 9.5 时, x3 等于 A.10 B.9

C.8 D.7 【知识点】选择结构。L1 【答案解析】A 解析:当 x1=6,x2=9 时,|x1﹣x2|=3 不满足|x1﹣x2|≤2, 故此时输入 x3 的值,并判断|x3﹣x1|<|x3﹣x2|, 若满足条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|,此时 p= = =9.5,解得,x3=13,

这与|x3﹣x1|=7,|x3﹣x2|=4,7>4 与条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|矛盾,故舍去, 若不满足条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|, 此时 p= , 解得, x3=10,

此时|x3﹣x1|=4,|x3﹣x2|=1,|x3﹣x1|<|x3﹣x2|不成立,符合题意,故选 A. 【思路点拨】根据已知中 x1=6,x2=9,p=9.5,根据已知中的框图,分类讨论 条件|x3﹣x1|<|x3﹣x2|满足和不满足时 x3 的值,最后综合讨论结果,即可得答案. 【题文】8.函数 y=2 A.[2kπ -
sinx

的单调增区间是

?
2

,2kπ +

?
2

] (k∈Z)

B.[2kπ +

?
2

,2kπ +

3? ] (k∈Z) 2

C.[2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z)
3

D.[2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z) 【知识点】复合三角函数的单调性.C3 【答案解析】A 解析:因为 y=2 是增函数,求函数 y=2 的单调增区间,就是 g(x)=sinx 的增区间,它的增区间是[2kπ ﹣π /2,2kπ +π /2](k∈Z)故选 A. u 【思路点拨】由于 y=2 是增函数,只需求 u=sinx 的增区间即可. 9.函数 y=1﹣ A. 的图象是( B. ) C. D.
x sinx

【知识点】函数的图象.B10 【答案解析】B 解析:把 把 把 的图象向右平移一个单位得到 y= 的图象, 的图象.故选:B. 的图象,

的图象关于 x 轴对称得到 的图象向上平移一个单位得到

【思路点拨】把函数

先向右平移一个单位,再关于 x 轴对称,再向上平移一个单位.

【题文】10.若 x>1,则函数 y = x + A.16 B.8 C.4 【知识点】基本不等式。E6 【答案解析】B 解析:令 t = x +

1 16 x 的最小值为( + x x 2 +1



D.非上述情况

y =t +

16 ? 2 16 t

1 1 16 ,原式可化简为: y = x + + ,即 x x x+1 x 1 8 ,此时 t = x + = 4 等号成立,故选 B. x

【思路点拨】先利用换元法化简原式,再结合基本不等式即可. 【题文】11.设函数 A.2

f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 的图象过点(1,–3) ,则 a 的值
8 B.–2 C.–

1 1 D. 2 2 【知识点】对数函数的图像与性质. 【来.源:全,品?中&高*考*网】B7 【答案解析】A 解析:因为函数 所以 ,所以

f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1)

的图象过点( ,﹣3),

,所以 a=2.故选 A.

【思路点拨】因为函数图象过点( ,﹣3) ,把点的坐标代入函数解析式即可求得 a 的值.

4

【题文】12.给出定义:若 x ? (m ?

1 1 , m ? ] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲 2 2

密的整数”, 记作 {x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题:①函数
y ? f ( x) 在 x ? (0,1) 上是增函数;②函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

k (k ? Z ) 对称;③函 2

数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1;④当 x ? (0, 2] 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个 零点. 其中正确命题的序号是____________. A.②③④ B.①③ C.①② 【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案解析】A 解析:①x∈(0,1)时,m= ∞,

D.②④

1 1 ,∴f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣ |,函数在(﹣ 2 2

1 1 )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数,故①不正确; 2 2 1 1 1 1 ②∵ x ? (m ? , m ? ] ,∴k﹣m﹣ <k﹣x≤k﹣m+ (m∈Z) 2 2 2 2
∴{k﹣x}=k﹣m,∴f(k﹣x)=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣(k﹣m)|=|x﹣{x}|=f(x) ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈z)对称,故②正确; ③∵ x ? (m ?

1 1 1 1 , m ? ] ,∴﹣ <(x+1)﹣(m+1)≤ , 2 2 2 2

∴{x+1}={x}+1=m+1,∴f(x+1)=|(x+1)﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f(x), ∴函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④由题意,当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. ∴正确命题的序号是②③④故选 A. 【思路点拨】①x∈(0,1)时,m=

1 1 ,可得 f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣ |,从而可得函数的 2 2

单调性;②利用新定义,可得{k﹣x}=k﹣m,从而可得 f(k﹣x)=|k﹣x﹣{k﹣x}|=|k﹣x﹣ (k﹣m)|=|x﹣{x}|=f(x);③验证{x+1}={x}+1=m+1,可得 f(x+1)=|(x+1)﹣{x+1}|=|x ﹣{x}|=f(x);④由上,在同一坐标系中画出函数图象,即可得到当 x∈(0,2]时,函数 g(x)=f(x)﹣lnx 有两个零点. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值是 【知识点】函数的最值及其几何意义.B3 【答案解析】5 解析:∵ 则 =cosα ,(α ∈[0, ] ,∴可设 =sinα , .

变形为 y=3sinα +4cosα =5sin(α +?),(tan?= ) 当 α +?= 时,y 有最大值 5,故答案为 5

5

【思路点拨】因为 设 ,

,所以可以考虑用三角换元来求最值, 一个为某个角的正弦,则另一个必为同角的余弦,再利用辅助角公式,

化一角一函数,最后利用正弦函数的有界性即可求出 y 的最大值. 【题文】14.

?

2

0

(3 x 2 ? k )dx ? 10, 则k ?

【知识点】定积分的简单应用.B13 【答案解析】1 解析:∵∫0 (3x +k)dx=(x +kx)|0 =2 +2k. 3 由题意得:2 +2k=10,∴k=1.故答案为:1. 【思路点拨】欲求 k 的值,只须求出函数 3x +k 的定积分值即可,故先利用导数求出 3x +k 的原函数,再结合积分定理即可求出用 k 表示的定积分.最后列出等式即可求得 k 值. 【题文】15.不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集是 【知识点】绝对值不等式的解法.E2 【答案解析】 0,1
2 2 2 2 3 2 3

( )

解析:不等式|2x﹣1|<1?﹣1<2x﹣1<1,?0<2x<2?0<x<1.

∴不等式|2x﹣1|<1 的解集是:(0,1)故答案为:(0,1) 【思路点拨】直接利用绝对值不等式的等价形式,转化求解即可. 【题文】16.已知 f ( x) ?

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? 2 ? f (an ) ,若 1? x
.

a12 ? a14 ,则 a13 ? a2014 ?
【知识点】数列递推式.D1 【答案解析】

解:由题意,an+2=



∵a1=1,∴a3= ,∴a5= ,a7= ,a9= ,a11= ∵a12=a14,∴a12= ∵a12>0,∴a12= ∴a13+a2014= ,且偶数项均相等. ,∴a2014= .故答案为: , .

,a13=



【思路点拨】由题意,an+2=

,再分奇数项、偶数项,求出 a13、a2014,即可求得结论.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ? ( x ? 0) a x

6

(1)判断 f ( x) 在 (0,??) 上的增减性,并证明你的结论 (2)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 (3)若 f ( x) ? 2 x ? 0 在 (0,??) 上恒成立,求 a 的取值范围 【知识点】 函数单调性的判断与证明; 函数恒成立问题; 利用导数求闭区间上函数的最值. B3 B12 【答案解析】(1)减函数;(2){x|x>0};(3)a<0 或 a≥ . 解析:(1)f(x)在(0,+∞)上为减函数,证明如下: ∵f'(x)=﹣ <0,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. <0.

(2)由 f(x)>0 得﹣ + >0,即

①当 a>0 时,不等式解集为{x|0<x<2a}. ②当 a<0 时,原不等式为 解集为{x|x>0}. (3)若 f(x)+2x≥0 在(0,+∞)上恒成立,即﹣ + +2x≥0.∴ ≤ +2x. ∵ +2x≥4,∴ ≤4.解得 a<0 或 a≥ . 【思路点拨】(1)求导,判断导数在(0,+∞)上的符号,判断出单调性,(2)由 f(x) >0 得﹣ + >0,整理得 <0.求解时要对参数 a 的范围进行分类讨论,分类解不等 >0.

式;(3)对恒等式进行变形,得到 ≤ +2x.求出 +2x 的最小值,令 小于等于它即可解 出参数 a 的取值范围. 【题文】18. (本小题满分 12 分) 如图 ABCD 是正方形,PD⊥面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 中点. (1)证明:DE⊥面 PBC; (2)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

【知识点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.G5 G11 【答案解析】(1)见解析;(2)60°. 解析:(1)∵PD⊥面 ABCD,BC?面 ABCD,∴PD⊥BC,
7

又∵BC⊥DC,PD∩DC=D,PD,DC?面 PDC,∴BC⊥面 PDC 又∵ED?面 PDC ∴BC⊥DE, 又∵PD=DC,E 是 PC 的中点 ∴DE⊥PC 又∵BC∩PC=C,BC,PC?面 PBC ∴DE⊥面 PBC (2)作 EF⊥PB 于 F,连 DF, ∵DE⊥面 PBC,PB?面 PBC ∴DF⊥PB 所以∠EFD 是二面角的平面角 ∵PD=DC=BC=2,∴PC=DB=2 ∵PD⊥DB, ∴PB= DF= = =2 ,DE= PC=

由(1)知:DE⊥PC,DE⊥PB,PC∩PB=P,∴DE⊥平面 PBC. ∵EF?平面 PBC,∴DE⊥EF. 在 Rt△DEF 中,sin∠EFD= =

∴∠EFD=60°.故所求二面角 C﹣PB﹣D 的大小为 60°.

【思路点拨】(1)由 PD⊥平面 ABCD 得 DE⊥BC,DE⊥PC.由线面垂直的判定定理得 DE⊥平 面 PBC.(2)由 PB⊥FD.结合 EF⊥PB,由二面的定义可得∠EFD 就是二面角 C﹣PB﹣D 的平 面角,解三角形 EFD 即可得到答案. 【题文】19. (本小题满分12分) 某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究,对该校高二年级800名 学生上学期期末语文和外语成绩,按优秀和不优秀分类得结果:语文和外语都优秀的有60 人,语文成绩优秀但外语不优秀的有140人,外语成绩优秀但语文不优秀的有100人。 (Ⅰ) 能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系? (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校高二年纪学生成绩中,有放回地随机抽取 3 名学生的成绩,记抽取的 3 个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为 X,求 X 的分布列和期望 E(X).
8

p(K ≥k0) k0 附:

2

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828 .

【知识点】离散型随机变量及其分布列;独立性检验;离散型随机变量的期望与方差.K6 I4 【答案解析】 (Ⅰ)能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握 9 一门外语有关系; (Ⅱ)见解析;E (X)= 。 8 解析: (Ⅰ)由题意得列联表: 语文优秀 语文不优秀 总计 外语优秀 60 100 160 外语不优秀 140 500 640 总计 200 600 800 2 800(60×500-100×140) 2 因为 K = ≈16.667>10.828, 160×640×200×600 所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语 有关系. ?5 分 3 (Ⅱ)由已知数据,语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 . 8 k 8-k 3 5 k 3 则 X~B (3, ),P (X=k)=C8( ) ( ) ,k=0,1,2,3. 8 8 8 X 的分布列为 X 0 1 2 3 125 225 135 27 p ?10 分 512 512 512 512 3 9 E (X)=3× = . ?12 分 8 8 2 【思路点拨】(Ⅰ)由题意得列联表,可计算 K ≈16.667>10.828,可得结论;(Ⅱ)可得 语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 P(X=k)= C8(
k

3 3 ,X~B(3, ), 8 8

3 k 5 8-k ) ( ) ,,k=0,1,2,3,计算可得各个概率,可得分布列,进而可得期 8 8

望. 【题文】20. (本小题满分12分) 已知点 M 是椭圆 C:

x2 y 2 =1(a>b>0)上一点,F1、F2 分别为 C 的左、右焦点,|F1F2|=4, ? a 2 b2
4 3 3 【来.源:全,品?中&高*考*网】

∠F1MF2 =60 , ? F1 MF2 的面积为
o

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 N(0,2) ,过点 p(-1,-2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、 NB 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1+k2 为定值. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8

9

【答案解析】(I)

(Ⅱ)见解析。

解析:(I)在△F1MF2 中,由 |MF1||MF2|sin60°= 由余弦定理,得
2 2

,得|MF1||MF2|=


2

=|MF1| +|MF2| ﹣2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|+|MF2|) ﹣
2

2|MF1||MF2|(1+cos60°)又∵|F1F2|=2c=4,|MF1|+|MF2|=2a,故 16=4a ﹣16, 解得 a =8,故 b =a ﹣c =4,故椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1)
2 2 2 2



,得(1+2k )x +4k(k﹣2)x+2k ﹣8k=0

2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2= ,

从而 k1+k2=

+

=

=2k﹣(k﹣4)

=4.

11 分

当直线 l 斜率不存在时,得 A(﹣1, 综上,恒有 k1+k2=4. 【思路点拨】(I)由余弦定理可得
2

),B(﹣1,﹣

),此时 k1+k2=4

=|MF1| +|MF2| ﹣2|MF1||MF2|cos60°,结合
2

2

2

|F1F2|=2c=4,|MF1|+|MF2|=2a,求出 a ,b 的值,可得椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1) ,与出椭圆方程联立后,利用韦达 定理,化简 k1+k2 可得定值;当直线 l 斜率不存在时,求出 A,B 两点坐标,进而求出 k1、k2, 综合讨论结果,可得结论. 【题文】21. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? ax ( a ? R ). (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在
1 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, 0),B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 ,

10

求证: f ?(

x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用.B12 【答案解析】 (Ⅰ) y ? 2 x ? 1 (Ⅱ) (1, 2?
1 ] (Ⅲ)见解析。 e2

2 ,, ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) x 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 . ······ 2 分

解析: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? 2 x , f ?( x) ?

(Ⅱ) g ( x) ? 2ln x ? x 2 ? m ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 故 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1 . ·················· 4 分 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e 2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e 2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e 1 ∴ g ( x) 在 [ ,e] 上的最小值是 g (e) . ···················· 6 分 e ? g (1) ? m ? 1 ? 0, 1 1 解得 1 ? m ? 2 ? 2 , g ( x) 在 [ ,e] 上有两个零点的条件是 ? 1 1 ? e e ? g ( ) ? m ? 2 ? 2 ? 0,
? e e

1 ∴实数 m 的取值范围是 (1, 2 ? 2 ] . ····················· 8 分 e (Ⅲ)∵f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0),B(x2,0),

∴方程 2lnx﹣x +ax=0 的两个根为 x1,x2,则

2

两式相减得



又 f(x)=2lnx﹣x +ax,

2





=



下证

(*),即证明





,∵0<x1<x2,∴0<t<1,

即证明

在 0<t<1 上恒成立.

∵ 又 0<t<1,∴u′(t)>0,
11



∴u(t)在(0,1)上是增函数,则 u(t)<u(1)=0,从而知



故(*)式<0,即

成立.

【思路点拨】(I)利用导数的几何意义即可得出; (II)利用导数研究函数的单调性极值、最值,数形结合即可得出; (III)由于 f(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,可得方程 2lnx ﹣ x +ax=0 的 两 个 根 为 x1 , x2 , 得 到
2

.可得

=

. 经 过 变 形 只 要 证 明

,通过换元再利用导数研究其单调性即可得出. 【题文】22. (本小题满分 10 分)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: (Ⅰ) + + ≥8;

(Ⅱ)(1+ )(1+ )≥9. 【知识点】不等式的证明.E7 【答案解析】(1)见解析; (Ⅱ)见解析。 解析:(1)∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 1 1 1 a+b ?1 1? ∴ + + = + + =2? + ?。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分

a b ab a b ab ?a b? a + b a + b b a ? ?=2? + ?+4 + =2? ? ? b ? ? a ? ?a b? b a ≥4 × +4=8. a b
1 1 1 ∴ + + ≥8.

a b ab

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分

? 1?? 1? 1 1 1 (2)∵?1+ ??1+ ?= + + +1, ?
a?? b? a b ab
1 1 1 由(1)知 + + ≥8.

a b ab b?

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分

? 1?? 1? ∴?1+ ??1+ ?≥9.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 ?
a??
【思路点拨】(Ⅰ)利用“1”的代换,结合基本不等式,即可证明结论;(Ⅱ)(1+ ) (1+ )=1+ + + ,由(Ⅰ)代入,即可得出结论.

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