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高中数学必修五第一章知识点总结


高中数学必修五第一章知识点总结
一.正弦定理(重点) 1.正弦定理 (1)在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a b c ? = = 2R(其中R是该三角形外接圆的半径) sin A sin B sin C (2)正弦定理的变形公式: ① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
2.正弦定理的应用(重难点) (1)已知任意两角与一边:有三角形的内角和定理,先算出第三个角,再有正弦定理 计算出另两边 (2) 已知任意两边与其中一边的对角: 先应用正弦定理计算出另一边的对角的正弦值, 进而确定这个角和三角形其他的边与角(注意:这种情况可能出现解的个数的判断问题,一 解,两解,或无解) (3)面积公式

S?

?C ?

?

1 1 b sc i n ? ? 2 2

1 a b s i nC ? 2

a c s? i n

二余弦定理(重点) 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍.即

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

应用:已知三角形的两边及其夹角可以求出第三边
2.推论

cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc

cos ? ?

a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? 2ab

应用: (1)已知三边可以求出三角形的三个角 (2)已知三边可以判断三角形的形状:先求出最大边所对的角的余弦值, 若大于0,则该三角形为锐角三角形 若大于0,则该三角形为直角三角形 若小于0,则该三角形为钝角三角形 跟踪练习 1.在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________ 2.在△ABC 中,若 b=2a sin B ,则A=

1 ,则 ?ABC 的外接圆的半径为 2 4.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? ____________
3.在 ?ABC 中, 若 a ? 3, cos A ? ? 5.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.等腰三角形
0



6.在△ABC 中,若 a = 2 , b ? 2 3 , A ? 30 A. 60 B. 60 或 120

, 则 B 等于(

) D. 30 或 150 )

C. 30

7.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.不能确定 8.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( A. 90
0

)

B. 60

0

C. 135

0

D. 150

0

9.在△ABC 中, A ? 1200 , a ? 21, S ABC ? 3 ,求 b, c 。

10. 在△ABC 中, 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac , 且t a n A? t a n 上的高为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长

C 3? 3 ?

,AB 边


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