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江苏省扬州中学2016-2017学年高一10月月考数学试题Word版含答案.doc


扬州中学高一年级十月质量检测 数学试题
2016.10.6 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.集合 A ? ?0,2, a? , B ? 1, a 2 ,若 A ? B ? ?0,1,2,3,9? ,则 a 的值为 2.函数 y ?

? ?



.

1 ? x ? 1 的定义域为 x



. ▲ .

3.设集合 A ? ?x |1 ? x ? 2? , B ? ?x | x ? a? ,满足 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 4.已知 x ? ax ? b ? 0 的解集为 ?1,3? ,则 a ? b ?
2



.

5.已知 f (1 ? 2 x) ? 6.函数 f ( x) ?

1 ?1? ,那么 f ? ? = 2 x ?2?




.

2x ?1 的对称中心为 x ?1

.

7.某班共 50 人,其中 21 人喜爱篮球运动,18 人喜爱乒乓球运动,20 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ▲ .

8.如果二次函数 y=3x2+2(a-1)x+b 在区间 (??,1] 上是减函数,那么 a 的取值范围是 ▲ .

9.已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

满足不等式 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 解集是 10.函数 y ? 2x ? 1 ? 3x 的值域是 11.若函数 f ( x) ? ▲

▲ .

.

x ax 2 ? ax ? 1

的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是



. ▲ .

12.若 f(x)=x(|x|-2)在区间[-2,m]上的最大值为 1,则实数 m 的取值范围是

13.设 X ? ? , , , ? ,若集合 G ? X ,定义 G 中所有元素之乘积为集合 G 的“积数” (单元素集合的“积数”是这个元素本身) ,则集合 X 的所有非空子集的“积数”的总和为

?1 1 1 1 ? ?2 3 4 5?



.
*

函数 y ? f (k ) 是定义在 N 上的增函数, 且 f ( f (k )) ? 3k , 则 f( 9 ) = 14.设 f : N * ? N * , ▲ .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分 14 分) 设全集是实数集 R,集合 A ? ?x ?1<x<3? , B ? ?x m ? 2<x<m ? 2? . (1)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围; (2)若 2 ? B ,求 A ? B .

16. (本题满分 14 分) 设全集 U ? R ,集合 A ? ?x |1 ? x ? 4? , B ? ?x | 2a ? x ? 3 ? a? . (1)若 a ? ?2 ,求 B ? A , B ? CU A ; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

17.(本题满分 15 分) 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律: 每生产产 品 x (百台) ,其总成本为 G ? x ? (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的 生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) . 销 售 收 入 R?x ? ( 万 元 ) 满 足
2 ? ??0.4 x ? 4.2 x ? 0≤x≤5? ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) ,根据上 R ? x? ? ? 11 x ? 5 ? ? ? ?

述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y ? f ? x ? 的解析式(利润=销售收入-总成本) ; (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

18.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

2x ?1 。 x ?1

(1)判断并证明函数 f ( x ) 在 [0, ??) 的单调性; (2)若 x ? [1, m] 时函数 f ( x ) 的最大值与最小值的差为

1 ,求 m 的值。 2

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?| 2 ?

1 | ( x ? 0) . x 1 1 1 2 ? 的值;②求 2 ? 2 的取值范围; a b a b

(1)当 0 ? a ? b 且 f (a) ? f (b) 时,①求

(2)已知函数 g ( x) 的定义域为 D ,若存在区间 [m, n] ? D ,当 x ?[m, n] 时, g ( x) 的值 域为 [m, n] ,则称函数 g ( x) 是 D 上的“保域函数” ,区间 [m, n] 叫做“等域区间” .试判断 函数 f ( x ) 是否为 (0, ??) 上的“保域函数”?若是,求出它的“等域区间” ;若不是,请说 明理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ?1 ( a 为实常数). (1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间(直接写结果) ; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x ) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

高一 10 月阶段测试数学参考答案
1. 3 2.

?x | x ? ?1, x ? 0?
9. {2}

3. a ? 2

4. ?1

5. 16

6. (?1, 2)

7. 12 13. 2 14. 18

8. a ? ?2

10. (??, ]

2 3

11. 0 ? a ? 4

12. [?1, 2 ? 1]

15. (1) 若 A ? B ? ? ,则有 m-2≥3 或 m+2≤-1 即 m≥5 或 m≤-3 所以 m 的取值范围为 m≥5 或 m≤-3. (2) ∵ 2 ? B ∴0<m<4 当 0<m≤1 时, A ? B ? ? ?1, m ? 2? 当 1<m<4 时, A ? B ? ? m ? 2,3? 16. 解: (1) ? U A ? ?x | x ? 1 或 x ? 4? , a ? ?2 时, B ? ??4 ? x ? 5? ,?????2 分 所以 B ? A ? [1,4) , B ? ? U A = ?x | ?4 ? x ? 1或4 ? x ? 5? (2)若 A ? B ? A 则 B ? A ,分以下两种情形: ① B ? ? 时,则有 2 a ? 3 ? a ,∴ a ? 1 ??????8 分 ??????12 分 ??????6 分

? 2a ? 3 ? a 1 ? ② B ? ? 时,则有 ? 2a ? 1 ,∴ ? a ? 1 2 ?3 ? a ? 4 ?
综上所述,所求 a 的取值范围为 a ? 17.

1 2

??????14 分

18. (1) 函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是单调增函数。

证明如下:任取 x1 , x2 ?[0, ??) ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ?

3( x1 ? x2 ) 3 3 ? (2 ? )? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

因为 x1 , x2 ?[0, ??) ,且 x1 ? x2 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。 所以 f ( x ) 在 [0, ??) 上是单调增函数。 (2)由(1)知 f ( x ) 在 [1, m] 递增,所以 f ( m) ? f (1) ?

1 ,所以 m ? 2 2

19. 解:(1)由题意,

∴f(x)在

上为减函数,在

上为增函数.



①∵0<a<b,且 f(a)=f(b), ∴ ∴ ②由①知 ∴ ∵ ,∴ .… .… , , ,且 ,

(2)假设存在[m,n]?(0,+∞),当 x∈[m,n]时,f(x)的值域为[m,n],则 m>0. ∵ ①若 ,∴ .… 上为减函数,

,∵f(x)在



解得 mn ? 1 则 n ?

1 ,不合题意.… m
上为增函数,

②若

,∵f(x)在



解得

不合题意.…

综上可知,不存在[m,n]?(0,+∞),当 x∈[m,n]时,f(x)的值域为[m,n],即 f(x) 不是(0,+∞)上的“保域函数”.… 20. 解:⑴ f ( x) 的单调增区间为 ( , ??) , ( ?

1 1 , 0) 2 2 1 1 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ) , (0, ) ?2 分 2 2

注:区间除正,负无穷大外,其余端点可开可闭;有任何错误都不给分
2 ⑵由于 a ? 0 ,当 x ? [1, 2] 时, f ( x) ? ax ? x ? 2a ? 1 ? a( x ?

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, f ( x) 在 [1, 2] 为增函数, g (a) ? f (1) ? 3a ? 2 2a 2 1 1 1 1 1 ? 2 ,即 ? a ? 时, g (a) ? f ( ) ? 2a ? ?1 当1 ? 2a 4 2 2a 4a 1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 [1, 2] 为减函数, g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 当 2a 4
当0 ?

综上可得

1 ? ?6a ? 3,0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? g ( a ) ? ?2 a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? ?3a ? 2, a ? 2 ?

?????8 分

⑶ h( x) ? ax ?

2a ? 1 ? 1 在区间 [1, 2] 上任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 x

则 h( x2 ) ? h( x1 ) ? (ax2 ?

2a ? 1 2a ? 1 ? 1) ? (ax1 ? ? 1) x2 x1

? ( x2 ? x1 )(a ?

2a ? 1 x2 ? x1 )? [ax1 x2 ? (2a ? 1)] (*) x1 x2 x1 x2

∵ h( x) 在 [1, 2] 为增函数,∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ∴(*)可转化为 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 对任意 x1 、 x2 ?[1, 2] 且 x1 ? x2 都成立, 即 ax1 x2 ? 2a ? 1 ?12 分

当 a ? 0 时,上式显然成立,

2a ? 1 2a ? 1 ? 1 ,解得 0 ? a ? 1 , ,由 1 ? x1 x2 ? 4 ,得 a a 2a ? 1 2 a ? 1 1 ? 4 ,得 ? ? a ? 0 , ??15 分 当 a ? 0 时, x1 x2 ? , a a 2
当 a ? 0 时, x1 x2 ?

所以实数 a 的取值范围是 [ ? ,1]

1 2

???16 分


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