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三角函数综合复习知识点


三角函数综合复习 一、概 念 1、角 象限角 。正角 。 负角 零角 。

分别用角度制,弧度制表示四个象限角的集合:

轴线角:_____________________________________.



终边相同角的集合: ;弧度制

。 。 。 。 度;1 度= 90 ° 120 ° 135 ° 150 ° 弧度. 180 ° 270 ° 360 °

2、角度制 1 弧度角的规定 任意圆中圆心角弧度的算法 角度制与弧度制的换算:1 弧度= 度 0° 30 ° 弧 度 3、单位圆 三角函数值的定义: 4、三角函数值的符号判定: 三角函数 象限 sinx cosx tanx 特殊角三角函数值: 第一象限 45 ° 60 °



第二象限

第三象限

第四象限

角度 0° α 弧α sinα cosα tanα 三角函数基本性质: y=sinx 性质 定义域 值 域 y∈[-1,1] 当 x= y 最大值= 最 值 当 x= y 最小值= 图 象 时, . 当 x= y 最小值= 时, . 时, ; y∈[-1,1] 当 x= y 最大值= 时, ; 无 y∈R y=cosx y=tanx 30 45 60 90 120 135 180 270 360

(一个 周期) 周 期 T= T= T=

奇偶性

单调性

对称性

5、正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 中: 振幅 ;周期 ;频率 ;相位 ;初相 。

(1)将正弦函数 y ? sin x 变成正弦型函数 y ? A sin x(?x ? ? ) 的过程: (2)把 a sin x ? b cos x 引入辅助角化成一个角的三角函数,求函数 y=asinx+bcosx 的最大值、 最小值、周期、单调区间. 二、公式 1、有关概念的公式: 扇形的面积计算公式 2、诱导公式: A 组(函数名不变,符号看象限) 。

(1)sin(k ? 360? ? ? ) ?
(2)sin(? ? ? ) ? (3)sin(? ? ? ) ? (4)sin(?? ) ? (5)sin(2? ? ? ) ?

, cos(k ? 360? ? ? ) ?
, cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ?

, tan(k ? 360? ? ? ) ?
, , , ,

,

, tan( ? ? ?) ? , tan( ? ??) ? , tan(?? ) ?

, cos(?? ) ? , cos(2? ? ? ) ?

, tan(2? ? ? ) ?

B 组(函数名要变,符号看象限)

(1)sin(90? ? ? ) ?
(2)sin(90? ? ? ) ? (3)sin(270? ? ? ) ? (4)sin(270? ? ? ) ?

, cos(90? ? ? ) ?
, cos(90? ? ? ) ? , cos(270? ? ? ) ? , cos(270? ? ? ) ?

, tan( 90? ? ? ) ?
, tan( 90? ? ? ) ? , tan(270? ? ? ) ? , tan(270? ? ? ) ? ,

,

, ,

3、同角三角函数间的关系公式 (1)平方关系 ; (2)商数关系 (3)倒数关系 ;

4、直角坐标系中两点间的距离公式 5、两角和与差的三角函数及变形公式:



sin(? ? ? ) ?



tan( ? ? ?) ?

cos(? ? ? ) ?
6、二倍角公式:



sin 2? ?
tan2? ?
(1)降幂公式: sin (2)半角公式: sin 注意:公式的逆用:
2

cos2? ?


?

?



x?

; cos ; cos

2

x?




x ? 2

x ? 2

1 ? tan? tan 45? ? tan ? ? ? tan(45? ? ? ) ; ? 1 ? tan? 1 ? tan 45 ? tan?
sin
2

?
12

-cos

2

?
12

= 1+cos2α =

公式的变形 sinα ?cosα = 1-cos2α = 降幂公式:sin α = ① 半角公式:sin
2

cos α =

2

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ? =± ; cos =± ; 2 2 2 2
1 ? cos? = 1 ? cos?

tan ② 万能公式:

? = ± 2

sin? 1 ? cos? = . 1 ? cos? sin?

2 tan ?
sin2α =

1 ? tan 2 ?
;cos2α =

1 ? tan 2 ?

1 ? tan 2 ?

;tan2α =

2 tan ? 1 ? tan 2 ?
.

三、解题方法、技巧 1、三角函数式的化简、证明过程中常用的方法与技巧:

(1)消“1” ; (2)化“1” ; (3)切、化弦。 2、求任意角的三角函数值步骤: 3、三角函数式的化简、证明过程的巧配角: (1)未知角用已知角来表示; (2)非特殊的角用特殊角来表示。 4、对三角函数式的化简、证明问题的特征分析: (1)对角的特征分析(2)对函数名称进行分析(3)对幂指数进行分析。 5、根据已知条件求角的大小的方法: (1)选取恰当的三角函数求值; (2)根据角的范围得角的大小 (在求、判断角的范围时有时要根据三角函数值去逼出角在一个更小的范围才能求角的大小) 。 6 sin x ? cos x与sin x cos x的关系: 7、(1) (3) 。 (2) (4)

1 ? sin x ?

1 ? sin x ?

1 ? cos x ?

1 ? cos x ?

8、三角函数不等式的解法:利用正弦函数、余弦函数、正切函数的图象求解: 9、根据正、余弦型函数的图象写解析式的方法: π 例题:函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则该函数的表达式为( y= 2 π? 2sin? ?2x+6?) 10.三角形中的三角函数: ⑴在△ABC 中,0<A,B,C<π ,且 A+B+C=π , sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= ? cosC; ⑵正弦定理: a=2RsinA, b=2RsinB, 其中 R 是△ABC 的外接圆的半径. a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. ⑶余弦定理:a =b +c -2bccosA;b =a +c -2accosB; c =a +b -2abcosC. 或 cosA= cosB= cosC=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

c=2RsinC,


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