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26.3实际问题与二次函数2


26.3实际问题与二次函数(2)

旅行社何时营业额最大
某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行 团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助 分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以 获得最大营业额?
?设旅行团人数为x人,营业额为y元,则

y ? x?800 ? 10?x ? 30??

? ?10?x ? 55? ? 30250.
2

? ?10 x ? 1100 x
2

1.有一个抛物线型拱桥,拱顶O离水面高4米, 水面宽度AB=10米,现有一竹排运送一只货箱 欲从桥下经过,已知货箱的长10米,宽6米, 高2.55米(竹排与水面持平)问:货箱能否 顺利通过该桥?
y D O E x

A

C F

B

2.周朗学过了抛物线的图象后,想测学校大 门的高度,如图所示,大门的地面宽度AB=18 米.他站在门内,在离门脚B点1米远的D处, 垂直地面立起一根1.7米长的木杆,其顶部 恰好在抛物线门上C处,由此,他求出了大门 的高度.你知道他求得的结果是什么?
y

C
A D

O

B

x

(1).一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,篮球运行 的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时, 达到最高高度3.5m,然后准确落入篮筐,已知篮筐 中心到地面的距离为3.05m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式 (2)该运动员是国家队后卫刘伟 的身高1.88m,在这次跳投中, 球在头顶上方0.25m处出手, 问:球出手时,他离地面的高 度是多少?姚明的身高是2.26m, 如果这名运动员是姚明,他 2.5m 跳离地面的高度是多少? 4m

1 2 (2) 一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线 y ? ? 5 x ? 3.5 运行,然后准确落入蓝筐内,已知蓝筐的中心离地面 的距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米? 2、如果运动员跳投时,球出手离地面的高度 为2.25m ,则他离篮筐中心的水平距离AB是多少?

6.如图:在平面直角坐标系中,坐标原点为 O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB 的中心P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的正半 轴交于点C. (1)求经过A,B,C三点的抛物线对应的解析式; (2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应 的函数解析式; y M (3)试说明直线MC与⊙P C 的位置关系,并 证明你的结论. N A
B O

P

x

探究性题:
当k为何值时,对于函数y=x2+2x-k 不论k取何实数时,y的值总大于0?

4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点 坐标为(1,-4),与y轴的交点坐标为 (0,-3). (1)求这个二次函数的表达式; (2)若这个二次函数的图象与x轴的交点 是A,B(A在B的左边),点C的坐标为(2,4) ,求⊿ABC的面积.

2.如图,一个中学生推铅球,铅球在A点处出手, 在B点处落地,它的运行路线是一条抛物线,在平 面直角坐标系中,这条抛物线的关系式
1 2 2 3 为: y ? ? x ? x ? 12 3 5 1 2 2 3 (1)请用配方法把 y ? ? x ? x ? 化成 12 3 5

y ? a( x ? h) ? k 的形式;
2

(2)求出铅球在运行过程中

y(米)

到达最高点离地面的距离
和这个学生推铅球

A

的成绩(单位:米)

O

B

X(米)

m ?1 3.已知自变量为x的二次函数 y ? x ? m x ? 2 2 m ?2
2 2

与 y ? x2 ? m x?

2 中的一条与x轴交于A,B两个不同的点. (1)试判断哪个二次函数的图象可能经过A,B两 点; (2)若A点的坐标为(-1,0),试求出B点的坐标; (3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函 数,写出顶点坐标,画出草图,并指出,当x取何值 y y 时,y的值随x的 增大而减小.
-1

,这两个二次函数的图象

o 1 -1

-1 o
x -4

x
X=1

4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧 道其高度为6m,宽度OM为12m,现以O为原点,OM所 在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图: (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标; (2)求出这条抛物线的关系式; (3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架” CDAB,使A,D点在抛物线上,B,C点在地面0M上,为 了筹备材料,需要求出“脚手架”三根木杆 AB,AD,DC的长度之和的 y P 最大值是多少,请你帮 D 施工队算一下.
A O B C x

5.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5)和 点B(3,2). (1)求抛物线的解析式; (2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动 的动圆,问当⊙P在运动过程中,是否存在 ⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出 圆心P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上,当 ⊙Q与两坐标轴都相切时,求半径r的值.

求符合下列条件的二次函数的解析式:

(5).如图是抛物线拱桥,已知当水位在AB 位置时,水面宽 4 6 m,水位上升3m时就达 到警戒线CD,这时水面宽4 3 m,若洪水到 来时,水位以每小时0.25m速度上升,求水 位过警戒线后几小时淹没到拱桥顶?
y M
C A D B x

N
O

3.如图:(单位m)等腰直角三角形ABC以 2米/秒的速度沿直线l向正方形移动,直 到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方 形重 叠部分面积为ym2. (1)写出y与x的关系式. (2)当x=2, 3.5时,y 分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正 方形面积一半时,三角形移动了多长时间?
(1)y=2x2 (2)8, 24.5
10 10

(3)5秒
1.gsp

I

练习:在矩形荒地ABCD中,AB=a,BC=b, (a>b > 0),今在四边上分别选取E、F、G、 H四点,且AE=AH=CF=CG=x,建一个花园, 如何设计,可使花园面积最大?
G

D
H A E

C
F b B

a

1.已知抛物线y=x2-x+m

(1)m为何值时,抛物线的顶点在x轴的上方;
(2)若抛物线与y轴交于点A,作AB平行于x

轴交抛物线于另一点B,当S⊿AOB=4时,求抛
物线的解析式.

1 2 2.一条抛物线 y ? x ? mx ? n 经过点 4 3 3
(0,
2

)与(4,

2

)

(1)求抛物线的解析式,并求出顶点坐标; (2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动 的动圆,当⊙P与坐标轴相切时,求圆心P

坐标.

1 2 2 3.如图,已知抛物线 y ? ? x ? 5 ? m x ? m ? 3 2 与x轴有两个交点A,B,点A在x轴的正半轴,点B 在x轴的负半轴,且OA=OB,与轴交于点C. (1)求m的值; (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标; (3)问:在抛物线上是否存在一点M,使 ⊿MAC≌⊿OAC?若存在,求出点M的坐标;若不存 y 在,请说明理由.

?

?

B
O

A
x

4.在平面直角坐标系中,已知二次函数

y ? a?x ?1? ? k 的图象与x轴相交于点A,B,顶
2

点为点C,点D在这个二次函数的对称轴上,若
四边形ABCD是一个边长为2,且有一个内角为

60°的菱形,求此二次函数的表达式.
y D x y D

A

B

A
C

B
(2)

x

C

(1)


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