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2012年高二数学知识点讲练-圆与圆的位置关系

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题目 第七章直线和圆的方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 高考要求 1.掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识,能够从代数特征(解或讨论 方程组)或几何性质去考虑 2.会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量 知识点归纳 1 研究圆与直线的位置关系最常用的方法:①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的 大小关系。
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直 线 Ax ? By ? C ? 0 与 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的 位 置 关 系 有 三 种 , 若

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则 d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0
2 两圆位置关系的判定方法
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设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d ① d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ② d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ③ r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ④ d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ⑤ 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

内含 0 r1-r2 内切

相交 r1+r2 外切

相离

d
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3 直线和圆相切: 这类问题主要是求圆的切线方程 求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k 或已知直线上一点 两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况
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① 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 x ? y ? r 的以P( x0 , y0 ) 为 切 点 的 切 线 方 程 是
2 2 2

x0 x ? y0 y ? r 2 。

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当点 P( x0 , y0 ) 在圆外时, x0 x ? y0 y ? r 2 表示切点弦的方程。 一般地,曲线 Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的以点P( x0,y0 ) 为切点的切线方程是:

Ax0 x ? Cy 0 y ? D ?

x ? x0 y ? y0 ?E? ? F ? 0。 2 2

当点 P( x0 , y0 ) 在圆外时, Ax0 x ? Cy 0 y ? D ? 程。

x ? x0 y ? y0 ?E? ? F ? 0 表示切点弦的方 2 2

这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规 过程去做。 ②过圆外一点的切线方程: 4 直线和圆相交: 这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题
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5 经过两个圆交点的圆系方程:经过 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ,
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x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程是: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 。
在过两圆公共点的图象方程中,若λ =-1,可得两圆公共弦所在的直线方程 6
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经过直线与圆交点的圆系方程:

经 过 直 线 l:Ax ? By ? C ? 0 与 圆

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0
7 几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小 8 代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数 题型讲解 例 1 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为 坐标原点) ,求该圆的圆心坐标及半径 分析:由于 OP⊥OQ,所以 kOP·kOQ=-1,问题可解
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解:由 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0
2 2

消去 x 得 5y2-20y+12+m=0

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设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,则 y1、y2 满足条件 y1+y2=4,y1y2=

12 ? m 5

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∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2,

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∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=-15+ 4 ? ∴-15+ 4 ?

12 ? m 12 ? m + =0 5 5

12 ? m 5

∴m=3,此时Δ >0,圆心坐标为(-

1 5 ,3) ,半径 r= 2 2
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点评:(1)在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须 注意这样的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑 (2)体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用:处理 y1,y2 与 x1,x2 的对称式 在 解析几何中经常运用韦达定理来简化计算
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例 2 求经过两圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 13 和 x2 ? ( y ? 3)2 ? 37 的交点,且圆心在直线 x-y -4=0 上的圆的方程
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2 2 ? ?( x ? 3) ? y ? 13 分析:根据已知,可通过解方程组 ? 2 得圆上两点,由圆心在直线 x-y 2 ? ? x ? ( y ? 3) ? 37

-4=0 上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知,设所求圆的方程为

( x ? 3)2 ? y 2 ?13 ? ? ( x2 ? ( y ? 3)2 ? 37) ? 0 ,再由圆心在直线 x-y-4=0 上,定出参数λ ,得
圆方程 解:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13 和 x2+(y+3)2=37 的交点,
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所以设所求圆的方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ?13 ? ? ( x2 ? ( y ? 3)2 ? 37) ? 0 展开、配方、整理,得 ( x ? 圆心为 (?

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3 2 3? 2 4 ? 28? 9(1 ? ? 2 ) ) +(y ? ) = + 1? ? 1? ? 1? ? (1 ? ? ) 2
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3 3? ,? ) ,代入方程 x-y-4=0,得λ =-7 1? ? 1? ? 1 2 7 2 89 故所求圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 2
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点评:圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆 C1、C2 相交, 那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ ∈R 且λ ≠-1) 它表示除圆 C2 以外的所有经过两圆 C1、C2 公共点的圆
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例 3 已知圆 C: ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 25 ,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m
2 2

∈R) (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 分析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得 (1)证明:l 的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0
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∵m∈R,∴ ?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ? x ? 3 得? ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ?1
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即 l 恒过定点 A(3,1)

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∵圆心 C(1,2) ,|AC|= 5 <5(半径) , ∴点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点 (2)解:弦长最小时,l⊥AC,由 kAC=-
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1 , 2

∴l 的方程为 2x-y-5=0 点评:若定点 A 在圆外,要使直线与圆相交则需要圆心到直线的距离小于半径。
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例 4 一直线经过点 P ? ?3, ? ? 被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程 解: (1)当斜率 k 不存在时, 过点 P 的直线方程为 x ? ?3 , 代入 x 2 ? y 2 ? 25 ,得 y1 ? 4, y2 ? ?4
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? ?

3? 2?

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? 弦长为 y1 ? y2 ? 8 ,符合题意

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(2)当斜率 k 存在时,设所求方程为 y ? 即

3 ? k ? x ? 3? , 2

kx ? y ? 3k ?

3 ?0 2

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k ? 0 ? 0 ? 3k ?
由已知,弦心距 OM ? 5 ? 4 ? 3 ?
2 2

3 2

k 2 ?1

? 3,

解得

k ??

3 4

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所以此直线方程为

y?

3 3 ? ? ? x ? 3? ,即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 2 4
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所以所求直线方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0

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点评: 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解, 也可用代数法的弦长公式求解 本题还要注意,斜率不存在时直线 x ? 3 ? 0 符合题意 例 5 自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆
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x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在的直线方程
2 2

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‘ 解 : 由 已 知 可 得 圆 C : ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 1 关 于 x 轴 对 称 的 圆 C 的 方 程 为

? x ? 2?
?

2

? ? y ? 2 ? ? 1 ,其圆心 C‘ (2,-2) ,则 l 与圆 C’相切,
2

设 l : y-3=k(x+3),

y
A 3 2 1 -3 -2 -1 C

5k ? 5 1? k
2

?1,

3 4 整理得 12k2+ 25k+12=0, 解得 k ? ? 或 k ? ? , 4 3

o

1

2 C'

3

x

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所以所求直线方程为 y-3= ?

3 4 (x+3)或 y-3= ? (x+3), 4 3
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即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 点评: 关于求切线问题 ,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件 ,是求圆的切线方程 的常用方法 若本题由“ ? ? 0 ”求切线方程也可,但过程要复杂些
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例 6 如果实数满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,求

y 的最大值、2x-y 的最小值 x

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解 : ( 1 ) 问 题 可 转 化 为 求 圆

( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 上一 点到原点 连线的斜率
值, 由图形性质可知, 由原点向圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 作切线, 其中切线斜率的最大值即为
-3 -2 -1

y
2 1

k?

y 的 最 大 x

o
-1 -2

1

x

y 的最大值 x

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设过原点的直线为 y=kx,即 kx-y=0, 由

?2k ? 0 k 2 ?1

? 3 ,解得 k ? 3 或 k ? ? 3

?y? ?? ? ? 3 ? x ?max
(2)

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x,y 满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,

? ? x ? ?2 ? 3 cos? ?? ? ? y ? 3 sin ?

? 2 x ? y ? ? 4? 2 3 c? o? s ??2 x ? y?min ? ?4 ? 15
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3?s? in ? ?

4

?5 ?s ?i? n ?1

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另法:应用线性规划的思路,如图, 2x-y 的最小值或最大值就在直线 2x-y = b 与圆

( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 的切点处达到。


?4 ? b 5

? 3 ,解得 b ? ?4 ? 15 或 b ? ?4 ? 15

??2 x ? y?min ? ?4 ? 15
点评: 圆的有关几何性质的应用往往可以简化问题 ,由圆的参数方程设圆上一点的坐标 在解题中应用也非常广泛
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例 7 一个圆和已知圆 x ? y ? 2 x ? 0 外切 , 并与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于点 M
2 2

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( 3, ? 3 ),求该圆的方程

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解: 已知圆方程化为: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,其圆心 P(1,0),半径为 1 设所求圆的圆心为 C(a,b), 则半径为

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? a ? 3?

2

? b? 3

?

?

2

,
2

因为两圆外切, PC ? 1 ? 从而

? a ? 3? ? a ? 3?
2

? b? 3

?

?

2

, (1)

? a ? 1?

2

? b2 ? 1+

? b? 3

?

?

2

又所求圆与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于 M( 3, ? 3 ),

? 直线 CM ? l , kCM kl ? ?1,于是 ?


1 b? 3 ? ? ?1 , 3 a ?3
(2)

b ? 3a ? 4 3

将(2)代入(1)化简,得 a2-4a=0, ? a=0 或 a=4 当 a=0 时, b ? ?4 3 ,所求圆方程为 x 2 ? y ? 4 3 当 a=4 时,b=0,所求圆方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4
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?

?

2

? 36

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例 8 已知⊙O 方程为 x2+y2=4,定点 A(4,0) ,求过点 A 且和⊙O 相切的动圆圆心的 轨迹 分析: 两圆外切, 连心线长等于两圆半径之和, 两圆内切, 连心线长等于两圆半径之差, 由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件, 然后将这个几何条件坐标化, 即得到它 的轨迹方程 解法一:设动圆圆心为 P(x,y) ,因为动圆过定点 A,所以|PA|即动圆半径 当动圆 P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2; 当动圆 P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|-2 综合这两种情况,得||PO|-|PA||=2 将此关系式坐标化,得
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| x 2 ? y 2 - ( x ? 4) 2 ? y 2 |=2 化简可得(x-2)2-
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y2 =1 3 解法二:由解法一可得动点 P 满足几何关系 ||OP|-|PA||=2, 即 P 点到两定点 O、A 的距离差的绝对值为定值 2,所以 P 点轨迹是以 O、A 为焦点,2 为实轴长的双曲线,中心在 OA 中点( 2 , 0 ) ,实半轴长 a=1 ,半焦距 c=2 ,虚半轴长
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b= c 2 ? a 2 = 3 ,所以轨迹方程为(x-2)2-
小结:

y2 =1 3

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1 有关直线和圆的位置关系,一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定 2 当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径,求切线长一般 要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形;与圆相交时,弦长的计算也要用弦 心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形 3 有关圆的问题,注意圆心、半径及平面几何知识的应用 4 在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时,经常要用到距离,因此,两点间的 距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握,灵活运用 5 使用圆的参数方程在解决有关最值问题时可以使运算变得简单 6 解圆与直线的综合问题时,注意数形结合及利用圆的几何性质 学生练习
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1 x 轴与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的位置关系是(
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) 通过圆心

A 相切 答案: A
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B 相离

C 相交且不过圆心

D

2 圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是(
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A 相离 答案:C
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B 外切

C 相交

D

内切

3 由点 M(5,3)向圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 所引切线长是(
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A

51

B

3

C 51

D

1

答案: A 4 圆 x ? y ? 2 x ? 0 与圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是(
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2

2

2

2

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A 相离 答案: C
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B 外切
2

C 相交

D

内切

5 在圆 x ? y ? 4 上,与直线 4x+3y-12=0 的距离最小的点的坐标为(
2
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A

?8 6? ? ,? ? ?5 5?

B

?8 6? ? , ? ?5 5?
2

C ?? , ?

? 8 6? ? 5 5?

D

? 8 6? ?? ,? ? ? 5 5?

答案: B
2 6 若动圆与圆 ? x ? 2 ? ? y ? 4 相外切,且与直线 x=2 相切,则动圆圆心的轨迹方程是 (
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A y2+12x-12=0 答案: A
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B y2-12x+12=0
2

C y2+8x=0

D y2-8x=0

2 7 直线 x=2 被圆 ? x ? a ? ? y ? 4 所截弦长等于 2 3 ,则 a 的值为(
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A -1 或-3 答案: C 8 集合 A ?
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B

2 或? 2

C 1或3

D

3
? y2 ? 1 ,

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?? x, y ? ax ? y ? 1? , B ? ?? x, y ? x ? ay ? 1? , C ? ?? x, y ? x

2

?

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且?A A 1 答案: B
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B ? C 仅有 2 个元素,则 a 的值为(
B 0 C -1 D 0,1



9 设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为
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A 相切
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B 相交
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C 相切或相离
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D 相交或相切
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1? m ,圆半径为 m 2 1 1 1? m ∵d-r= - m = (m-2 m +1)= ( m -1)2≥0, 2 2 2
解:圆心到直线的距离为 d=
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∴直线与圆的位置关系是相切或相离 答案:C 10 圆 x2+y2-4x+4y+6=0 截直线 x-y-5=0 所得的弦长等于
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A

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6

B

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5 2 2

C1
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D5
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解:圆心到直线的距离为 答案:A

2 2 2 ,半径为 2 ,弦长为 2 ( 2 ) 2 ? ( ) = 6 2 2

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11 圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为
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A x+ 3 y-2=0
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B x+ 3 y-4=0
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C x- 3 y+4=0
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D x- 3 y+2=0
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解法一:x2+y2-4x=0, y=kx-k+ 3 ? x2-4x+(kx-k+ 3 )2=0 该二次方程应有两相等实根,即Δ =0,解得 k= ∴y- 3 =

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3 3

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3 (x-1) ,即 x- 3 y+2=0 3

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解法二:∵点(1, 3 )在圆 x2+y2-4x=0 上, ∴点 P 为切点,从而圆心与 P 的连线应与切线垂直 又∵圆心为(2,0) ,∴ 解得 k= 答案:D 12 若过两点 A(-1,0),B(0,2)的直线 l 与圆 ( x ?1) ? ( y ? a) ? 1 相切,则 a=_____
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0? 3 ·k=-1 2 ?1

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3 ,∴切线方程为 x- 3 y+2=0 3

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2

2

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答案:
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4? 5
2 2

13 如果直线 l 将圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 平分,且不通过第四象限,那么 l 的斜率取值范围是
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__________ 答案:

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?0, 2?
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2 2 14 方程 ( x ? y ? 1) x ? y ? 4 ? 0 的曲线形状是__________
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答案:圆或二射线 15 过圆 x2+y2=r2 上一点 P(3,1)的切线方程为__________ 答案: 3x+y=r2 16 两圆 x2+y2=16 及(x-4)2+(y+3)2=R(R>0)在交点处的切线互相垂直,则 R=__________ 答案:3 17.由点 P(6,8)作圆 x2+y2=9 的切线,则切线长等于 ( 91 ),两切点所在的直线方程是
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(6x+8y─9=0) 说明求切线的方法 18.经过圆(x─a)2+(y─b)2=r2 上一点(x0,y0)的圆的切线方程是 ( (x0─a)(x─a)+(y0─b)(y─b)=r2 )说明: 当圆的方程为 x2+y2=r2 (即 a=b=0) 时, 过圆上一点 2 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r ,应记住这个公式 19 . P(3,0) 为 圆 C:x2+y2─8x─2y+12=0 内 一 点 , 过 P 点 的 最 短 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 ( x+y─3=0 ) 用勾股定理推导出所求直线垂直于 CP(提问是哪条直线即可,然后立即给出答案) 20 .已知圆的方程是 (x─1)2+y2=1, 过原点 O 作圆的弦,则弦的中点 M 的轨迹方程是 ( (x─1/2)2+y2=1/4 (x?0) ) 提示:设已知圆的圆心是 P,则 M 的轨迹是以 OP 为直径的圆去掉 O 21.若圆(x─3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x─3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的取值 范围是 ( 4<r<6 ) 提示:圆心 P(3,─5)到直线 4x─3y=2 的距离等于 5,由|5─r|<1 得 4<r<6
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22.圆 x2+y2+2x+4y─3=0 上到直线 4x─3y=2 的距离为 2 的点公有___个 ( 3 )提示:圆的半径为 2 2 ,计算圆心(─1,─2)到直线 x+y+1=0 的距离为 d= 2 ,即可作出判 断
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23 曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 (?2 ? x ? 2) 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范围
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是_____________ 答案: ?
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? 12 ? , ?? ? ?5 ?

24 圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4) 、B(0,-2) ,则圆 C 的 方程为____________ 解析:∵圆 C 与 y 轴交于 A(0,-4) ,B(0,-2) ,∴由垂径定理得圆心在 y=-3 这条直 线上 又已知圆心在直线 2x-y-7=0 上,∴联立 y=-3,2x-y-7=0 解得 x=2,
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∴圆心为(2,-3) ,半径 r=|AC|= 2 2 ? [?3 ? (?4)] 2 = 5 ∴所求圆 C 的方程为(x-2)2+(y+3)2=5 答案: (x-2)2+(y+3)2=5
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25 若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 ? y 2 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是___
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答案:-1<k≤1 或 k=- 2 26 一个圆的圆心在直线 x-y-1=0 上,与直线 4x+3y+14=0 相切,在 3x+4y+10=0 上截得弦长为 6, 求圆的方程 解:由圆心在直线 x-y-1=0 上,可设圆心为(a,a-1),半径为 r,由题意可得
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? 4a ? 3 ? a ? 1? ? 14 ?r ? 5 ? ? 2 ?r 2 ? 9 ? ? 3a ? 4 ? a ? 1? ? 10 ? ? ? ? 5 ? ? ?

,经计算得 a=2,r=5

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所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25 27 已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径 的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由 解:设直线 L 的斜率为1,且 L 的方程为 y=x+b,则
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?y ? x ?b ? 2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0

消元得方程2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,设此方程两根为 x1,x2,

则 x1 + x2 = - ( b+1 ) ,y1+y2= x1 + x2+2b=b-1, 则 A B 中 点 为 ? ?

? b ? 1 b ?1 ? , ? ,又弦长为 2 ? ? 2
2 2

k 2 ? 1 x1 ? x2 =
2

? b ? 1 ? ? b ?1 ? 2 ? ?b2 ? 6b ? 9 ? , 由 题 意 可 列 式 ? ? ?? ? ? 2 ? ? 2 ?



? 2 ? ?b2 ? 6b ? 9 ? ? ? ? 解得 b=1 或 b=-9,经检验 b=-9 不合题意.所以所求直线方程为 y=x+1 ? ? 2 ? ? ? ?
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28 求 圆 C1: x ? y ? 1 与 圆 C2: x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的 公 共 弦 所 在 直 线 被 圆
2 2 2 2
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C3: ? x ? 1? ? ? y ? 1? ?
2 2

25 所截得的弦长 4

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解: 圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线方程为:

x 2 ? y 2 ? 1 ? ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1? ? 0 即 x+y-1=0
圆心 C3 到直线 x+y-1=0 的距离 d ?

1 ?1 ?1 2

?

2 。 2

所以所求弦长为 2 r ? d ? 2
2 2

25 1 ? ? 23 。 4 2

课前后备注 1 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1,则半径 r
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的范围是 A (4,6) B [4,6) C (4,6] D [4,6] 答案:A 2 已知直线 ax+by+c=0(abc≠0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别为|a|、|b|、|c| 的三角形 A 是锐角三角形 B 是直角三角形 C 是钝角三角形 D 不存在
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解:由题意得 直角三角形 答案:B
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|a?0?b?0? c| a ?b
2 2

=1,即 c2=a2+b2,∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为

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1 =0 与直线 y=-1 相切, 且其圆心在 y 轴的左侧, 则 m 的值为____________ 4 m2 ?1 m m 解:圆方程配方得(x+ )2+y2= ,圆心为(- ,0) 4 2 2
3 若圆 x2+y2+mx-
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由条件知-

m2 ? 1 m <0,即 m>0 又圆与直线 y=-1 相切,则 0-(-1)= ,即 m2=3, 4 2
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∴m= 3

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答案: 3 4 直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于________ 解:由 x2+y2-6x-2y-15=0,得(x-3)2+(y-1)2=25 知圆心为(3,1) ,r=5
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由点(3,1)到直线 x+2y=0 的距离 d=

|3? 2| 5

= 5

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可得

1 弦长为 2 5 ,弦长为 4 5 2

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答案:4 5 5 自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 x2 +y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程 解:圆(x-2)2+(y-2)2=1 关于 x 轴的对称方程是 (x-2)2+(y+2)2=1 设 l 方程为 y-3=k(x+3) ,由于对称圆心(2,-2)到 l 距离为圆的半径 1,从而可得 k1
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3 4 ,k2=- . 4 3
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故所求 l 的方程是 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 6 已知 M(x0,y0)是圆 x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=r2 与此圆有何 种位置关系? 分析:比较圆心到直线的距离与圆半径的大小
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解:圆心 O(0,0)到直线 x0x+y0y=r2 的距离为 d=

r2
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2 2 x0 ? y0

2 2 ∵P(x0,y0)在圆内,∴ x0 <r ? y0
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则有 d>r,故直线和圆相离 7 方程 ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0 表示圆,求 a 的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方 程
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解: (1)∵a≠0 时,方程为[x- 由于 a2-2a+2>0 恒成立, ∴a≠0 且 a∈R 时方程表示圆 (2)r2=4·

4 ( a 2 ? 2 a ? 2) 2(a ? 1) 2 2 ] +(y+ )2= , a a a2

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a 2 ? 2a ? 2 1 1 1 =4[2( - )2+ ] , 2 2 2 a a
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∴a=2 时,rmin2=2 此时圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2
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