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2014福建省普通高中毕业班质量检查(理科数学)试卷及答案


1.A; 2.B; 3.A; 4.A;5.A;6.D;7.C;8.D;9.C;10.A. 11.1+ i ; 12.20; 13.8; 14. n ? 2 ;
n

15.①.

16.解法一: (I) f ? x ? ? 3 sin

x x x 3 1 1 cos ? cos 2 ? m ? sin x ? cos x ? ? m 2 2 2 2 2 2

?? 1 ? ……………………3 分 ? sin ? x ? ? ? ? m . 6? 2 ? 5? 1 ? 5? ? ? 1 因为 f ? x ? 的图象过点( ,0) ,所以 sin ? ? ? ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? . ………5 分 6 2 ? 6 6? 2 ? ? ? 2? ? ?? ? ? 2k ? ? x ? ? 2k ? , k ? Z . 所以 f ? x ? ? sin ? x ? ? ,由 ? ? 2k ? ? x ? ? ? 2k ? ,得 ? 2 6 2 3 3 6? ? ? ? 2? ? 故 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? ……………7 分 ? 2k ?, ? 2k ?? , k ? Z . 3 ? 3 ?

3 1 sin x ? cos x . 2 2 ? t? 3 1 sin x ? cos x 所以 S ? ? ? ……………9 分 ? ?dx 0? 2 2 ? ? ? ? ? ? 3 1 3 1 3 1 3 ? ?? ? cost ? sint ? ? cos 0 ? sin 0 ?? cosx ? sin x t0 ? ? ? sin t ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? 3? 2 ? ? ? ?
(Ⅱ)由(I)得, f ? x ? ? . ……………12 分 所以 S ? t ? ? sin ? t ? 解法二:

? ?

2? ?? 3 (0 ? t ? ). ?? 3 3? 2

……………13 分

?5 ? f ? ?? ? 0 . ?6 ? 3 5 1 5 1 5 5 5 ?5 ? 又 f ? ? ? ? 3 sin sin ? ? cos ? ? ? m ? cos ? ? cos2 ? ? m ? 2 6 2 6 2 12 12 12 ?6 ? 3 3 1 1 ………………3 分 ? ? ? ?m ? ?m. 4 4 2 2 1 1 所以 ? m ? 0 ,解得 m ? ? . ………………5 分 2 2
(Ⅰ)因为函数 f ? x ? 的图象过点( 以下同解法一. (II)由(I)得 f ? x ? ? sin ? x ? 所以 S ?

5? ,0) ,所以 6

? ?

?? ?. 6?
……………9 分 ………………12 分

x ? ?dx ? sin ? 6? ?
0 t 0

t

?

??

?? ? ? ? cos ? x ? ? 6? ?

3 ? ?? . ? ? cos ? t ? ? ? ? 6? 2 ? ?
2? ?? 3 (0 ? t ? ). ?? 3 6? 2

所以 S ? t ? ? ? cos ? t ?

………………13 分

1

17.本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用 用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)依题意可知,该地区吸烟者人数占总人数的 所以抽取的 3 个人中至少 1 人吸烟的概率为

1 . 8

……………..2 分

1 7 p ? 1 ? C30 ( )0 ( )3 ……………..5 分 8 8 169 ? . 512

……………..6 分

(Ⅱ)由频率分布直方图可知,吸烟者烟草消费支出的平均数为

0.15 ? 0.1 ? 0.25 ? 0.3 ? 0.35 ? 0.3 ? 0.45 ? 0.1 ? 0.55 ? 0.1 ? 0.65 ? 0.1 ? 0.36 (万元) .
又该地区吸烟者人数为 ? 100 万, ……………..8 分

1 8

……………..10 分
4

所以该地区年均烟草消费税为 ?100 ?10 ? 0.4 ? 0.36 ? 18000 (万元).……………..12 分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为 18800 万元,它超过了当地烟草消费税, 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用.……………..13 分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识, 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思 想.满分 13 分. 解: (I)取 AB 中点 O,连接 OM,OC. ∵M 为 A1B1 中点,∴MO∥A1A,又 A1A⊥平面 ABC,∴MO⊥平面 ABC,∴MO⊥AB…………….2 分 ∵△ABC 为正三角形,∴AB⊥CO 又 MO∩CO=O,∴AB⊥平面 OMC 又∵MC ? 平面 OMC ∴AB⊥MC……………5 分 (II) 以 O 为原点, 以 OB ,OC ,OM 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系. 如 图.依题意

1 8

O(0,0,0), A(?2,0,0), B(2,0,0), C(0, 2 3,0), M (0,0, 2 6) .
设 P(0, 2 3, t )(0 ? t ? 2 6) ,

…………….6 分

则 MC ? (0, 2 3, ?2 6), AB ? (4,0,0), OP ? (0, 2 3, t ) .………….7 分 要使直线 MC ? 平面 ABP ,只要 ?

? ? MC OP ? 0, ? ? MC AB ? 0.
…………….8 分

即 (2 3)2 ? 2 6t ? 0 ,解得 t ? 6 . ∴ P 的坐标为 (0, 2 3, 6) .

2

∴当 P 为线段 CC1 的中点时, MC ? 平面 ABP .…………….10 分 (Ⅲ)取线段 AC 的中点 D ,则 D(?1, 3,0) ,易知 DB ? 平面 A 1 ACC1 , 故 DB ? (3, ? 3,0) 为平面 PAC 的一个法向量.……….11 分 又由(II)知 MC ? (0, 2 3, ?2 6) 为平面 PAB 的一个法向量. 设二面角 B ? AP ? C 的平面角为 ? ,则 …………….12 分

cos ? ?

MC DB MC DB

?

3? 0 ? 3 ? 2 3 ? 0 ? 2 6 3 . ? 6 2 3?6
3 . 6
…………….13 分

∴二面角 B ? AP ? C 的余弦值为

19.本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)设 M ( x, y ) , P ( x p , y p ) , 因为 PQ 垂直 x 轴于点 Q , M 为直线 l 上一点,且 PQ ? 2 MQ , 所以 x p ? x , y p ?

2 y ,…………….2 分
2 2

因为点 P 在圆 O : x2 ? y 2 ? 2 上,所以 xp ? y p ? 2 即 x2 ? ( 2 y)2 ? 2 ,整理得

x2 ? y 2 ? 1. 2

x2 ? y 2 ? 1.…………….4 分 故曲线 ? 的方程为 2
(Ⅱ)设三角板的直角顶点放置在圆 O 的圆周上的点 N (a, b) 处,则

a 2 ? b2 ? 2 ,
又设三角板的另一条直角边所在直线为 l ? . (ⅰ)当 a ? 1 时,直线 NF ? x 轴, l ? : y ? ?1 , 显然 l ? 与曲线 ? 有且只有一个公共点. (ⅱ)当 a ? 1 时,则 k NF ……………5 分

b ? . a ?1

若 b ? 0 时,则直线 l ? : x ? ? 2 ,显然 l ? 与曲线有且只有一个公共点;………6 分
3

1? a , b 1? a 1? a 2?a x? 所以 l ? : y ? b ? ,……………7 分 ? x ? a ? ,即 y ? b b b
若 b ? 0 时,则直线 l ? 的斜率 k ?

? x2 ? y 2 ? 1, ? ? 1 ? 1 ? a ?2 ? 2 2 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ?? 2 ? a ? 2 ? ? 2 ? x ? ?? 由? 得? ?? ? ?x ? ? ? 1? ? 0 , b2 ?2 ? b ? ? ? ?? b ? ? ? y ? 1? a x ? 2 ? a , ? ? ? ? b b ?
2 2 2 2 2 即 ?b ? 2 ?1 ? a ? ? x ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? x ? 2 ?? 2 ? a ? ? b ? ? 0 . (*)

?

?

?

?

又b ? 2?a ,
2 2

……………8 分
2 2

2 所以方程(*)可化为 ? a ? 2 ? x ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? x ? 4 ? a ? 1? ? 0 ,

所以 ? ? ? ? 4 ?1 ? a ?? 2 ? a ? ? ? ? 16 ? a ? 2 ?
2

2

? a ? 1?

2

? 0,

……………9 分

所以直线 l ? 与曲线 ? 有且只有一个公共点. 综上述,该同学的结论正确。 (Ⅲ)当 OT ? 当 OT ? 当 OT ?

……………10 分

2 时,直线 m 与椭圆 ? 没有公共点; 2 时,直线 m 与椭圆 ? 有且只有一个公共点; 2 时,直线 m 与椭圆 ? 有两个公共点.
………….13 分

20.本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识 等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)函数 f ?x ? 的定义域为 (0, ??) ,且 f ( x) ?
/

1 a x?a ? ? 2 .……………1 分 x x2 x

当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0 ,所以 f ?x ? 在区间 (0, ??) 内单调递增;…………………2 分 当 a ? 0 时,由 f / ( x) ? 0 ,解得 x ? a ;由 f / ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? a . 所以 f ?x ? 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) .……………………3 分 综上述: a ? 0 时, f ?x ? 的单调递增区间是 (0, ??) ;

a ? 0 时, f ?x ? 的单调递减区间是 (0, a ) ,单调递增区间是 (a, ??) .…………………4 分
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ?x ? 无最小值,不合题意;……………………………5 分 当 a ? 0 时, [ f ( x)]min ? f (a) ? 1 ? a ? ln a ? 0. …………………………………6 分 令 g ( x) ? 1 ? x ? ln x( x ? 0) ,则 g ( x) ? ?1 ?
/

1 1? x ? , x x
4

/ / 由 g ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;由 g ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

所以 g ? x ? 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . 故 [ g ( x)]max ? g (1) ? 0 ,即当且仅当 x=1 时, g ? x ? =0. 因此, a ? 1 .………………………………………8 分 (ⅱ)因为 f ( x) ? ln x ? 1 ? 由 a1 ? 1, 得 a2 ? 2, 于是 a3 ?

1 1 ,所以 an ?1 ? f (an ) ? 2 ? 1 ? ? ln an . x an

3 1 5 ? ln 2 .因为 ? ln 2 ? 1 ,所以 2 ? a3 ? . 2 2 2 5 猜想当 n ? 3 , n ? N 时, 2 ? an ? .……………………………………10 分 2
下面用数学归纳法进行证明.

3 5 ? ln 2 ,故 2 ? a3 ? 成立.………………………………11 分 2 2 5 ②假设当 n=k( k ? 3 , k ? N )时,不等式 2 ? ak ? 成立. 2
①当 n ? 3 时, a3 ? 则当 n=k+1 时, ak ?1 ?? 1 ?

1 ? ln ak , ak
1 ? 5? ? ln x 在区间 ? 2, ? 单调递增, x ? 2? 1 ? ln 2 ? 2 , 2

由(Ⅰ)知函数 h( x) ? f ? x ? ? 2 ? 1 ?

所以 h(2) ? h( ak ) ? h( ) ,又因为 h(2) ? 1 ?

5 2

5 2 5 2 5 h( ) ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? 1 ? . 2 5 2 5 2 5 故 2 ? ak ?1 ? 成立,即当 n=k+1 时,不等式成立. 2
根据①②可知,当 n ? 3 , n ? N 时,不等式 2 ? an ? 因此, Sn ? [a1 ] ? [a2 ] ?

5 成立.…………………………13 分 2

? [an ] = 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1. …………………………………14 分

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.满分 7 分.

? 3 x? t, ? ? 2 ? t为参数 ? . 解: (Ⅰ)依题意知,直线的参数方程为 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
由 ? 2 ? 4? sin ? ? 1 ,得 x ? y ? 4 y ? 1 ,
2 2
2 所以圆 C 的标准方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 5 . 2

………….2 分

………….4 分
5

? 3 2 2 x? t, ? ? 3 ? ?1 2 ? ? 2 2 (Ⅱ) 设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 , 将? 代入 x ? ? y ? 2 ? ? 5 , 得? t ? 1? ? 5 , ? 2 t? ? ?? ? ? ? ?2 ? y ? 1? 1 t ? ? 2 2 即 t ? t ? 4 ? 0 ,所以 t1 ? t2 ? 1 , t1t2 ? ?4 ,所以 t1 ? t2 ? 17 ,
由参数 t 的几何意义知 AB ? t1 ? t2 ? 17 . (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查平均值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与转化思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)因为 a, b, c ? R ? ,所以 2 ? a ? b ? c ? 33 abc ,故 abc ? 当且仅当 a ? b ? c ? ………….7 分

8 .………….3 分 27
………….4 分

2 8 时等号成立,所以 abc 的最大值为 . 3 27

(Ⅱ)证明:因为 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 2 ,所以根据柯西不等式, 可得

1 1 1 1 1 1 1 ? ? = ? a ? b ? c ? ( ? ? ) ………….5 分 a b c 2 a b c
= [( a ) ? ( b ) ? ( c ) ] ? [(
2 2 2

1 2

1 2 1 1 ) ? ( )2 ? ( )2 ] a b c

?

9 1 1 1 1 ( a? ? b? ? c ? )2 = . 2 2 a b c
1 1 1 9 ? ? ? . a b c 2
………….7 分

所以

6


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