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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(1)


2.4.1平面向量数量积的物理背景 及其含义(一) 复习引入 向量的夹角 注意 : 两向量的夹角定义, 两向量必须 是同起点的,范围是0 ? ? ? ? .   两个非零向量 a和b,作OA ? a, OB ? b,则?AOB ? ? 叫做向量a和b的夹角 . B b O a b ? O b B O a a A A A B 若? ? 0?,a 与b 同向 记作 a ? b ? a O A ? 若? ? 90 ,a 与b 垂直 B b 若? ? 180?,a 与b 反向 问题 1 :如果我们将公式中的力与位移类比推广 到两个一般向量,其结果又该如何表述? W ? F ? S ? cos ? a ? b ? | a | | b| c o s ? 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积。 数量积是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 1.平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为? ,我们把数 量 | a || b | cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b . 即: a ? b ?| a || b | cos? 说明: (1) 规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 a ? 0 ? 0. (2) a ·b中间的· 在向量的运算中不能省略,也不能写 成a×b ,a×b . 问题2:向量的数量积运算与实数同向量积的线 性运算的结果有什么不同? 实数同向量积的线性运算的结果是向量. 两向量的数量积是一个实数是一个数量. 问题3:影响数量积大小的因素有哪些? 这个数值的大小不仅和向量的模有关,还和它们的夹角有关。 夹角的范围 0? ? ? ? 90 ? 数量积 正 ? ? 90? 零 90? ? ? ? 180 ? 负 数量积符号由cos?的符号所决定 2.平面向量的数量积的运算性质 问题4:设a与b都是非零向量,若a⊥b,则 a ·b 等于多少?反之成立吗? a⊥b ? a ·b=0 问题5: ①当a与b同向时,a ·b等于什么? ②当a与b反向时,a ·b等于什么? ③特别地,a ·a等于什么? ① ② 2 ③ | a || b | ? | a || b | a ? a ? a ?| a |2 或 | a |? a ? a . 问题6:︱a ·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何?.. 为什么为什么? ︱a ·b︱≤︱a︱︱b︱ 问题7:对于向量a,b,如何求它们的夹角θ? cos ? ? a ?b | a || b | 平面向量的数量积的运算性质(小结) 设向量a、b为两非零向量,则: (1)a⊥b ? a · b=0 . (2)当a与b同向时,a · b=|a|· | b |; 当a与b反向时,a · b= -| a | · | b |. 2 a ? a ? | a | 或 | a |? a ? a . 特别地, (3)|a · b| ≤ | a | · | b |. a ?b . (4) cos ? ? a?b 3.平面向量数量积的几何意义 作OA ? a, OB ? b ,过点B作 BB1垂直于直线OA,垂足为 B1 , 则 OB1 ? | b | cosθ C B | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影. b ? O a B1 A 向量a在b方向上的投 影是什么? 投影一定是正数吗? ︱a︱cos θ (1) b B B b b B ? O a ? B1 A B1 O a A ?

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