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2015年中考数学突破训练之压轴60题(深圳卷,含答案解析)


2015 年中考数学突破训练之压轴 60 题
一、选择题(共 15 小题)

1. (2014?深圳)如图,已知四边形 ABCD 为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,AD= AE,且 AE=2 ,∠DAE=30° ,作 AE⊥AF 交 BC 于 F,则 BF=( )

,E 为 CD 中点,连接

A.1

B.3﹣

C.

﹣1

D.4﹣2

2. (2013?深圳)如图,已知 l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰直角△ABC 的三个顶点 分别在这三条平行直线上,则 sinα 的值是( )

A.

B.

C.

D.

3. (2012?深圳)如图,已知:∠MON=30° ,点 A1、A2、A3…在射线 ON 上,点 B1、B2、B3…在射线 OM 上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若 OA1=1,则△A6B6A7 的边长为( )

A.6

B.12

C.32

D.64 )

4. (2011?深圳)如图,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,O 为 BC、EF 的中点,则 AD:BE 的值为(

A.

:1

B.

:1

C.5:3

D.不确定
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5. (2010?深圳)如图所示,点 P(3a,a)是反比例函数 y= (k>0)与⊙O 的一个交点,图中阴影部分 的面积为 10π,则反比例函数的解析式为( )

A.y=

B.y=

C.y=

D.y=

6. (2009?深圳)如图,已知点 A,B,C,D 均在已知圆上,AD∥BC,AC 平分∠BCD,∠ADC=120° ,四 边形 ABCD 的周长为 10cm.图中阴影部分的面积为( )

A.

cm2

B. ( π﹣

)cm2

C.

cm2 D.

cm2

7. (2014?坪山新区模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=8,BC=4,分别以 AC、BC 为直径画半圆, 则图中阴影部分的面积为( )

A.20π﹣16

B.10π﹣32

C.10π﹣16

D.20π﹣132

8. (2014?宝安区二模) 如图, 将半径为 6 的⊙O 沿 AB 折叠, 与 AB 垂直的半径 OC 交于点 D 且 CD=2OD, 则折痕 AB 的长为( )

A.

B.

C.6

D.

9. (2009?乐山)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=6,BC=8,⊙O 为△ABC 的内切圆,点 D 是斜边 AB 的中点,则 tan∠ODA=( )

- 2 -

A.

B.

C.

D.2

10. (2009?鄂州)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点 P 在 BC 上移动, 则当 PA+PD 取最小值时,△APD 中边 AP 上的高为( )

A.

B.

C.

D .3

11. (2013?龙岗区模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90° ,点 D 为线段 BC 上一点,连接 AD, 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF, CF 交 DE 于点 P. 若 AC= , CD=2, 则线段 CP 的长 ( )

A.1

B.2

C.

D.

12. (2011?本溪)如图,正方形 ABCD 的边长是 4,∠DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点,则 DQ+PQ 的最小值( )

A.2

B.4

C.2

D.4

13. (2013?宝安区一模)如图,已知抛物线 l1:y=﹣x2+2x 与 x 轴分别交于 A、O 两点,顶点为 M.将抛物 线 l1 关于 y 轴对称到抛物线 l2.则抛物线 l2 过点 O,与 x 轴的另一个交点为 B,顶点为 N,连接 AM、MN、 NB,则四边形 AMNB 的面积( )

- 3 -

A.3

B.6

C.8

D.10

14. (2012?龙岗区模拟)如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: ①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和 1;④a﹣2b+c>0.你认为其中正确的有( )

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个 与 x 轴分别交于 A、B 两点,顶点为 M.将

15. (2011?宝安区一模)如图,已知抛物线

抛物线 l1 沿 x 轴翻折后再向左平移得到抛物线 l2.若抛物线 l2 过点 B,与 x 轴的另一个交点为 C,顶点为 N,则四边形 AMCN 的面积为( )

A.32

B.16

C.50

D.40

二、填空题(共 15 小题) 16. (2014?深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第 5 个图形中所有正三角形的个数有 _________ .

17. (2013?深圳)如图,每一幅图中均含有若干个正方形,第 1 幅图中有 1 个正方形;第 2 幅图中有 5 个 正方形;…按这样的规律下去,第 6 幅图中有 _________ 个正方形.
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18. (2012?深圳)如图,Rt△ABC 中,∠C=90° ,以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE,且正方形对角线交 于点 O,连接 OC,已知 AC=5,OC=6 ,则另一直角边 BC 的长为 _________ .

19. (2011?深圳)如图,△ABC 的内心在 y 轴上,点 C 的坐标为(2,0) ,点 B 的坐标是(0,2) ,直线 AC 的解析式为 ,则 tanA 的值是 _________ .

20. (2009?深圳)刘谦的魔术表演风靡全国,小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒,当任意实数对(a,b) 进入其中时,会得到一个新的实数:a2+b﹣1,例如把(3,﹣2)放入其中,就会得到 32+(﹣2)﹣1=6.现 将实数对(m,﹣2m)放入其中,得到实数 2,则 m= _________ . 21. (2008?广州)对于平面内任意一个凸四边形 ABCD,现从以下四个关系式①AB=CD;②AD=BC; ③AB∥CD;④∠A=∠C 中任取两个作为条件,能够得出这个四边形 ABCD 是平行四边形的概率是 _________ . 22. (2014?坪山新区模拟)如图,已知直线 l:y= x,过点 A(0,1)作轴的垂线交直线 l 于点 B,过点

B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1;过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1,过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于 点 A2;…按此作法继续下去,则点 A2014 的坐标为 _________ . (提示:∠BOX=30° )

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23. (2014?龙岗区模拟)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上.顶点 B 的坐 标为 (6, ) , 点 C 的坐标为 (1, 0) , 点 P 为斜边 OB 上的一个动点, 则 PA+PC 的最小值为 _________ .

24. (2014?宝安区二模)如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=4,BC=6.将腰 CD 以 D 为 旋转中心逆时针旋转 90° 至 DE,连接 AE,则△ADE 的面积是 _________ .

25. (2014?深圳一模)如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣4) (0≤x≤4) ,记为 C1,它与 x 轴交于点 O,A1: 将 C1 绕点 A1 旋转 180° 得 C2,交 x 轴于点 A2; 将 C2 绕点 A2 旋转 180° 得 C3,交 x 轴于 A3; … 如此进行下去,直至得 C10,若 P(37,m)在第 10 段抛物线 C10 上,则 m= _________ .

26. (2011?宁波)正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y=

(x>0)的图象上,顶点 A1、B1 分别 (x>0)的图象上,

在 x 轴、y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形 P2P3A2B2,顶点 P3 在反比例函数 y=

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顶点 A2 在 x 轴的正半轴上,则点 P3 的坐标为 _________ .

27. (2013?福田区一模) 如图所示, 在⊙O 中, 点 A 在圆内, B、 C 在圆上, 其中 OA=7, BC=18, ∠A=∠B=60° , 则 tan∠OBC= _________ .

28. (2013?宝安区一模)四边形 ABCD、AEFG 都是正方形,当正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45° 时,如 图,连接 DG、BE,并延长 BE 交 DG 于点 H,且 BH⊥DG 与 H.若 AB=4,AE= 是 _________ . 时,则线段 BH 的长

29. (2012?深圳二模)如图,在正方形 ABCD 外取一点 E,连接 AE、BE、DE.过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P. 若 AE=AP=1, PB= ④S△APD+S△APB=1+ . 下列结论: ①△APD≌△AEB; ②点 B 到直线 AE 的距离为 .其中正确结论的序号是 _________ . ; ③EB⊥ED;

;⑤S 正方形 ABCD=4+

30. (2012?宝安区二模)如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,BE 平分∠ABC,且 BE⊥CD 于 E,P 是 BE 上 一动点.若 BC=6,CE=2DE,则|PC﹣PA|的最大值是 _________ .

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三、解答题(共 30 小题)

31. (2014?深圳)如图,直线 AB 的解析式为 y=2x+4,交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,以 A 为顶点的抛物 线交直线 AB 于点 D,交 y 轴负半轴于点 C(0,﹣4) . (1)求抛物线的解析式; (2)将抛物线顶点沿着直线 AB 平移,此时顶点记为 E,与 y 轴的交点记为 F, ①求当△BEF 与△BAO 相似时,E 点坐标; ②记平移后抛物线与 AB 另一个交点为 G, 则 S△EFG 与 S△ACD 是否存在 8 倍的关系?若有请直接写出 F 点的 坐标.

32. (2014?深圳)如图,在平面直角坐标系中,⊙M 过原点 O,与 x 轴交于 A(4,0) ,与 y 轴交于 B(0, 3) ,点 C 为劣弧 AO 的中点,连接 AC 并延长到 D,使 DC=4CA,连接 BD. (1)求⊙M 的半径; (2)证明:BD 为⊙M 的切线; (3)在直线 MC 上找一点 P,使|DP﹣AP|最大.

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33. (2013?深圳)如图 1,直线 AB 过点 A(m,0) ,B(0,n) ,且 m+n=20(其中 m>0,n>0) . (1)m 为何值时,△OAB 面积最大?最大值是多少? (2) 如图 2, 在 (1) 的条件下, 函数 求 k 的值. (3)在(2)的条件下,将△OCD 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向平移,如图 3,设它与△OAB 的 重叠部分面积为 S,请求出 S 与运动时间 t(秒)的函数关系式(0<t<10) . 的图象与直线 AB 相交于 C、 D 两点, 若 ,

34. (2013?深圳)如图 1,过点 A(0,4)的圆的圆心坐标为 C(2,0) ,B 是第一象限圆弧上的一点,且 BC⊥AC,抛物线 y= x2+bx+c 经过 C、B 两点,与 x 轴的另一交点为 D. _________ ) ,抛物线的表达式为 _________ ;

(1)点 B 的坐标为( _________ , (2)如图 2,求证:BD∥AC;

(3)如图 3,点 Q 为线段 BC 上一点,且 AQ=5,直线 AQ 交⊙C 于点 P,求 AP 的长.

35. (2012?深圳)如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)的位置随 b 的不同取值而变化. (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4,2) ,半径为 2. 当 b= 当 b= _________ 时,直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)经过圆心 M; _________ 时,直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)与⊙M 相切;

(2)若把⊙M 换成矩形 ABCD,其三个顶点坐标分别为:A(2,0) 、B(6,0) 、C(6,2) .设直线 l 扫
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过矩形 ABCD 的面积为 S,当 b 由小到大变化时,请求出 S 与 b 的函数关系式.

36. (2012?深圳)如图,已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(﹣4,0) 、B(1,0) 、C(﹣2,6) . (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式; (2)设直线 BC 交 y 轴于点 E,连接 AE,求证:AE=CE; (3)设抛物线与 y 轴交于点 D,连接 AD 交 BC 于点 F,试问以 A、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似 吗?

37. (2011?深圳)如图 1,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为 C(1,4) ,交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于 点 D,其中点 B 的坐标为(3,0) . (1)求抛物线的解析式; (2)如图 2,过点 A 的直线与抛物线交于点 E,交 y 轴于点 F,其中点 E 的横坐标为 2,若直线 PQ 为抛 物线的对称轴,点 G 为直线 PQ 上的一动点,则 x 轴上是否存在一点 H,使 D、G,H、F 四点所围成的 四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点 G、H 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 3,在抛物线上是否存在一点 T,过点 T 作 x 轴的垂线,垂足为点 M,过点 M 作 MN∥BD,交 线段 AD 于点 N,连接 MD,使△DNM∽△BMD?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

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38. (2011?深圳)深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备,全部运 往大运赛场 A、B 两馆,其中运往 A 馆 18 台、运往 B 馆 14 台;运往 A、B 两馆的运费如表 1: 表 1 出发地甲地 目的地 A馆 B馆 表 2 出发地甲地 目的地 A馆 B馆 x台 _________ (台) 乙地 800 元/台700 元/台 500 元/台600 元/台 乙地

_________ (台) _________ (台)

(1)设甲地运往 A 馆的设备有 x 台,请填写表 2,并求出总运费元 y(元)与 x (台) 的函数关系式; (2)要使总运费不高于 20200 元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案; (3)当 x 为多少时,总运费最小,最小值是多少? 39. (2010?深圳)如图 1 所示,以点 M(﹣1,0)为圆心的圆与 y 轴,x 轴分别交于点 A,B,C,D,直 线 y=﹣ x﹣ 与⊙M 相切于点 H,交 x 轴于点 E,交 y 轴于点 F.

(1)请直接写出 OE,⊙M 的半径 r,CH 的长; (2)如图 2 所示,弦 HQ 交 x 轴于点 P,且 DP:PH=3:2,求 cos∠QHC 的值; (3)如图 3 所示,点 K 为线段 EC 上一动点(不与 E,C 重合) ,连接 BK 交⊙M 于点 T,弦 AT 交 x 轴于 点 N.是否存在一个常数 a,始终满足 MN?MK=a,如果存在,请求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.

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40. (2010?深圳)如图所示,抛物线 y=ax2+c(a>0)经过梯形 ABCD 的四个顶点,梯形的底 AD 在 x 轴上, 其中 A(﹣2,0) ,B(﹣1,﹣3) . (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 为 y 轴上任意一点,当点 M 到 A,B 两点的距离之和为最小时,求此时点 M 的坐标; (3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点 P 使 S△PAD=4S△ABM 成立,求点 P 的坐标.

41. (2009?深圳)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(﹣2,0) ,连接 OA,将线段 OA 绕原点 O 顺时 针旋转 120° ,得到线段 OB. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点 C 的坐标;若不 存在,请说明理由; (4)如果点 P 是(2)中的抛物线上的动点,且在 x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出 此时 P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. (注意:本题中的结果均保留根号) .

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42. (2009?深圳)如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y=﹣2x﹣8 分别与 x 轴,y 轴相交于 A,B 两点, 点 P(0,k)是 y 轴的负半轴上的一个动点,以 P 为圆心,3 为半径作⊙P. (1)连接 PA,若 PA=PB,试判断⊙P 与 x 轴的位置关系,并说明理由; (2)当 k 为何值时,以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.

43. (2015?深圳一模)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 过 A(3,3.5) 、B(4,2) 、C(0,2)三点,点 P 是 x 轴上的动点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图甲所示,连接 AC、CP、PB、BA,是否存在点 P,使四边形 ABPC 为等腰梯形?若存在,求出 点 P 的坐标;若不存在,说明理由; (3)点 H 是题中抛物线对称轴 l 上的动点,如图乙所示,求四边形 AHPB 周长的最小值.

44. (2014?坪山新区模拟)如图 1,在平面直角坐标系中,直线 α:y=﹣x﹣ 点, (1)求点 A 的坐标及∠CAO 的度数; (2)点 B 为直线 y=﹣ 求 B 点的坐标;

与坐标轴分别交于 A,C 两

上的一个动点,以点 B 为圆心,AC 长为直径作⊙B,当⊙B 与直线 α 相切时,

(3)如图 2,当⊙B 过 A,O,C 三点时,点 E 是劣弧上一点,连接 EC,EA,EO,当点 E 在劣弧上运动 时(不与 A,O 两点重合) , 的值是否发生变化?如果不变,求其值,如果变化,说明理由.

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45. (2014?龙岗区模拟)如图,在平面直角坐标系中,?ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为 A(0,4) 、 B(1,4) 、C(0,1) ,将?ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90° ,得到?A′B′CD′,A′D′与 BC 相交于点 E. (1)求经过点 D、A、A′的抛物线的函数关系式; (2)求?ABCD 与?A′B′CD′的重叠部分(即△CED’)的面积; (3)点 P 是抛物线上点 A、A′之间的一动点,是否存在点 P 使得△APA′的面积最大?若存在,求出△APA′ 的最大面积,及此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

46. (2014?宝安区二模)已知:如图 1,在平面直角坐标系中,⊙P 的圆心 P(3,0) ,半径为 5,⊙P 与 抛物线 y=ax2+bx+c (a≠0)的交点 A、B、C 刚好落在坐标轴上. (1)求抛物线的解析式; (2)点 D 为抛物线的顶点,经过 C、D 的直线是否与⊙P 相切?若相切,请证明;若不相切,请说明理 由; (3)如图 2,点 F 是点 C 关于对称轴 PD 的对称点,若直线 AF 交 y 轴于点 K,点 G 为直线 PD 上的一动 点,则 x 轴上是否存在一点 H,使 C、G、H、K 四点所围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值 及点 G、H 的坐标;若不存在,请说明理由.

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47. (2014?福田区模拟)如图所示,对称轴是 x=﹣1 的抛物线与 x 轴交于 A、B(1,0)两点,与 y 轴交于 点 C(3,0) ,作直线 AC,点 P 是线段 AB 上不与点 A、B 重合的一个动点,过点 P 作 y 轴的平行线,交 直线 AC 于点 D,交抛物线于点 E,连结 CE、OD. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当 P 在 A、O 之间时,求线段 DE 长度 s 的最大值; (3)连接 AE、BC,作 BC 的垂直平分线 MN 分别交抛物线的对称轴 x 轴于 F、N,连接 BF、OF,若 ∠EAC=∠OFB,求点 P 的坐标.

48. (2013?龙岗区模拟)如图,Rt△OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中,直角边 OA 与 x 轴重合, ∠OAB=90° ,OA=4,AB=2,把 Rt△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90° ,点 B 旋转到点 C 的位置,一条抛物线正 好经过点 O,C,A 三点. (1)求该抛物线的解析式; (2)在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P,过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点 P,点 M 作 x 轴的垂线,交 x 轴于 E,F 两点,问:四边形 PEFM 的周长是否有最大值?如果有,请求出最值,并写 出解答过程;如果没有,请说明理由. (3)如果 x 轴上有一动点 H,在抛物线上是否存在点 N,使 O(原点) 、C、H、N 四点构成以 OC 为一边 的平行四边形?若存在,求出 N 点的坐标;若不存在,请说明理由.

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49. (2013?龙岗区模拟)如图,已知点 A(2,0) 、B(﹣1,0) ,C 是 y 轴的负半轴上一点,且 OA=OC, 抛物线经过 A、B、C 三点. (1)此抛物线的关系式. (2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使△PBC 为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)Q 是抛物线上一点,过点 Q 作指点 BC 的垂线,垂足为 D,若△QDB 与△BOC 相似,请求点 Q 的坐 标.

50. (2013?宝安区一模)如图,抛物线 于 C 点,已知 B 点坐标(4,0) .

的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交

(1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC 的外接圆的圆心 P 位置,并求圆心 P 坐标; (3)若 D 是抛物线上一动点,是否存在点 D,使以 P、B、C、D 为顶点的四边形是梯形?如果存在,请
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直接写出满足条件的点 D 的坐标;如果不存在,请说明理由. 51. (2012?龙岗区二模)如图 1,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD= ,AD=5,BC=3.以 AD 所

在的直线为 x 轴,过点 B 且垂直于 AD 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系.抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、C、 D 三点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)设(1)中的抛物线与 BC 交于点 E,P 是该抛物线对称轴上的一个动点(如图 2) : ①若直线 PC 把四边形 AOEB 的面积分成相等的两部分,求直线 PC 的函数表达式; ②连接 PB、PA,是否存在△PAB 是直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P 的坐标,并直接写出 相应的△PAB 的外接圆的面积;若不存在,请说明理由.

52. (2007?玉溪)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0) ,直线 y=x+m 与该二次函数的图象交 于 A、B 两点,其中 A 点的坐标为(3,4) ,B 点在 y 轴上. (1)求 m 的值及这个二次函数的关系式; (2)P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A、B 不重合) ,过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于 点 E,设线段 PE 的长为 h,点 P 的横坐标为 x,求 h 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段 AB 上是否存在一点 P,使得四边形 DCEP 是平行四边形?若存在,请求出此时 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

53. (2012?盐田区二模)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以点 P(2, 切于点 A,与 x 轴相交于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左边) . (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式;

)为圆心的圆与 y 轴相

(2)在(1)中的抛物线上是否存在点 M,使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 .如果存在,请直接写
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出所有满足条件的 M 点的坐标;如果若不存在,请说明理由; (3)如果一个动点 D 自点 P 出发,先到达 y 轴上的某点,再到达 x 轴上某点,最后运动到(1)中抛物线 的顶点 Q 处,求使点 D 运动的总路径最短的路径的长.

54. (2009?云南)已知在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为 A(3,0) 、C (0,4) ,点 D 的坐标为 D(﹣5,0) ,点 P 是直线 AC 上的一动点,直线 DP 与 y 轴交于点 M.问: (1)当点 P 运动到何位置时,直线 DP 平分矩形 OABC 的面积,请简要说明理由,并求出此时直线 DP 的函数解析式; (2)当点 P 沿直线 AC 移动时,是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点 M,若存在,请求出点 M 的坐标; 若不存在,请说明理由; (3)当点 P 沿直线 AC 移动时,以点 P 为圆心、半径长为 R(R>0)画圆,所得到的圆称为动圆 P.若设 动圆 P 的直径长为 AC,过点 D 作动圆 P 的两条切线,切点分别为点 E、F.请探求是否存在四边形 DEPF 的最小面积 S,若存在,请求出 S 的值;若不存在,请说明理由.注:第(3)问请用备用图解答.

55. (2013?南沙区一模)如图 1,已知抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 C,且 OB=2OA=4. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)设 P 是(1)中抛物线上的一个动点,以 P 为圆心,R 为半径作⊙P,求当⊙P 与抛物线的对称轴 l 及 x 轴均相切时点 P 的坐标.
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(3)动点 E 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动,动点 F 从点 B 出发,以每秒



单位长度的速度向终点 C 运动,过点 E 作 EG∥y 轴,交 AC 于点 G(如图 2) .若 E、F 两点同时出发,运 动时间为 t.则当 t 为何值时,△EFG 的面积是△ABC 的面积的 ?

56. (2013?济宁)如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,P 是反比例函数 y= 意一点,以 P 为圆心,PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A、B. (1)求证:线段 AB 为⊙P 的直径; (2)求△AOB 的面积; (3)如图 2,Q 是反比例函数 y=

(x>0)图象上任

(x>0)图象上异于点 P 的另一点,以 Q 为圆心,QO 为半径画圆与

坐标轴分别交于点 C、D.求证:DO?OC=BO?OA.

57. (2007?梅州)如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90° ,AB=6,AD=4,DC=3,动点 P 从点 A 出发,沿 A→D→C→B 方向移动,动点 Q 从点 A 出发,在 AB 边上移动.设点 P 移动的路程为 x,点 Q 移 动的路程为 y,线段 PQ 平分梯形 ABCD 的周长. (1)求 y 与 x 的函数关系式,并求出 x,y 的取值范围; (2)当 PQ∥AC 时,求 x,y 的值; (3)当 P 不在 BC 边上时,线段 PQ 能否平分梯形 ABCD 的面积?若能,求出此时 x 的值;若不能,说明 理由.

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58. (2008?济南)已知:如图,直线 y=﹣ (1)求点 P 的坐标; (2)请判断△OPA 的形状并说明理由;

x+4

与 x 轴相交于点 A,与直线 y=

x 相交于点 P.

(3)动点 E 从原点 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿着 O、P、A 的路线向点 A 匀速运动(E 不与点 O, A 重合) ,过点 E 分别作 EF⊥x 轴于 F,EB⊥y 轴于 B,设运动 t 秒时,矩形 EBOF 与△OPA 重叠部分的面 积为 S. 求:①S 与 t 之间的函数关系式.②当 t 为何值时,S 最大,并求出 S 的最大值.

59. (2011?泉州)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,8) ,点 B(b,t)在直线 x=b 上运动,点 D、 E、F 分别为 OB、0A、AB 的中点,其中 b 是大于零的常数. (1)判断四边形 DEFB 的形状.并证明你的结论; (2)试求四边形 DEFB 的面积 S 与 b 的关系式; (3)设直线 x=b 与 x 轴交于点 C,问:四边形 DEFB 能不能是矩形?若能.求出 t 的值;若不能,说明理 由.

60. (2009?河北)某公司装修需用 A 型板材 240 块、B 型板材 180 块,A 型板材规格是 60cm× 30cm,B 型 板材规格是 40cm× 30cm. 现只能购得规格是 150cm× 30cm 的标准板材. 一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、
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B 型板材,共有下列三种裁法: (如图是裁法一的裁剪示意图) 裁法一 A 型板材块数 B 型板材块数 1 2 裁法二 2 m 裁法三 0 N

设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁 x 张、按裁法二裁 y 张、按裁法三裁 z 张,且所裁出的 A、B 两种型号的板材刚好够用. (1)上表中,m= _________ ,n= _________ ;

(2)分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式; (3)若用 Q 表示所购标准板材的张数,求 Q 与 x 的函数关系式,并指出当 x 取何值时 Q 最小,此时按三 种裁法各裁标准板材多少张?

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2015 年中考数学突破训练之压轴 60 题(深圳卷) 参考答案与试题解析

一、选择题(共 15 小题) 1. (2014?深圳)如图,已知四边形 ABCD 为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,AD= AE=2 ,∠DAE=30° ,作 AE⊥AF 交 BC 于 F,则 BF=( ) ,E 为 CD 中点,连接 AE,且

A.1

B.3﹣

C.

﹣1

D.4﹣2

考点: 等腰梯形的性质. 专题: 压轴题. 分析: 延长 AE 交 BC 的延长线于 G,根据线段中点的定义可得 CE=DE,根据两直线平行,内错角相等可得到 ∠DAE=∠G=30° ,然后利用“角角边”证明△ADE 和△GCE 全等,根据全等三角形对应边相等可得 CG=AD, AE=EG,然后解直角三角形求出 AF、GF,过点 A 作 AM⊥BC 于 M,过点 D 作 DN⊥BC 于 N,根据等腰梯 形的性质可得 BM=CN,再解直角三角形求出 MG,然后求出 CN,MF,然后根据 BF=BM﹣MF 计算即可得 解. 解答: 解:如图,延长 AE 交 BC 的延长线于 G, ∵E 为 CD 中点, ∴CE=DE, ∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠G=30° , 在△ADE 和△GCE 中, , ∴△ADE≌△GCE(AAS) , ∴CG=AD= ,AE=EG=2 +2 =4 , ,

∴AG=AE+EG=2

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∵AE⊥AF, ∴AF=AGtan30° =4 GF=AG÷ cos30° =4 × ÷ =4, =8,

过点 A 作 AM⊥BC 于 M,过点 D 作 DN⊥BC 于 N, 则 MN=AD= ,

∵四边形 ABCD 为等腰梯形, ∴BM=CN, ∵MG=AG?cos30° =4 × =6, ﹣ =6﹣2 ,

∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣ ∵AF⊥AE,AM⊥BC, ∴∠FAM=∠G=30° , ∴FM=AF?sin30° =4× =2, ∴BF=BM﹣MF=6﹣2 故选:D.

﹣2=4﹣2



点评: 本题考查了等腰梯形的性质,解直角三角形,全等三角形的判定与性质,熟记各性质是解题的关键,难点 在于作辅助线构造出全等三角形,过上底的两个顶点作出梯形的两条高.

2. (2013?深圳)如图,已知 l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这 三条平行直线上,则 sinα 的值是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 全等三角形的判定与性质;平行线之间的距离;等腰直角三角形;锐角三角函数的定义. 专题: 压轴题.
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分析: 过点 A 作 AD⊥l1 于 D, 过点 B 作 BE⊥l1 于 E, 根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE, 然后利用“角角边” 证明△ACD 和△CBE 全等,根据全等三角形对应边相等可得 CD=BE,然后利用勾股定理列式求出 AC,再 根据等腰直角三角形斜边等于直角边的 得解. 解答: 解:如图,过点 A 作 AD⊥l1 于 D,过点 B 作 BE⊥l1 于 E,设 l1,l2,l3 间的距离为 1, ∵∠CAD+∠ACD=90° , ∠BCE+∠ACD=90° , ∴∠CAD=∠BCE, 在等腰直角△ABC 中,AC=BC, 在△ACD 和△CBE 中, , ∴△ACD≌△CBE(AAS) , ∴CD=BE=1, 在 Rt△ACD 中,AC= 在等腰直角△ABC 中,AB= ∴sinα= 故选:D. = . = AC= × = = , , 倍求出 AB,然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可

点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数的定义,作辅助线构造出全 等三角形是解题的关键.

3. (2012?深圳)如图, 已知: ∠MON=30° ,点 A1、 A2、A3…在射线 ON 上, 点 B1、B2、 B3…在射线 OM 上, △A1B1A2、 △A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若 OA1=1,则△A6B6A7 的边长为( )

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A.6

B.12

C.32

D.64

考点: 等边三角形的性质;含 30 度角的直角三角形. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出 A1B1∥A2B2∥A3B3,以及 A2B2=2B1A2,得出 A3B3=4B1A2=4, A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2…进而得出答案. 解答: 解:∵△A1B1A2 是等边三角形, ∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60° , ∴∠2=120° , ∵∠MON=30° , ∴∠1=180° ﹣120° ﹣30° =30° , 又∵∠3=60° , ∴∠5=180° ﹣60° ﹣30° =90° , ∵∠MON=∠1=30° , ∴OA1=A1B1=1, ∴A2B1=1, ∵△A2B2A3、△A3B3A4 是等边三角形, ∴∠11=∠10=60° ,∠13=60° , ∵∠4=∠12=60° , ∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3, ∴∠1=∠6=∠7=30° ,∠5=∠8=90° , ∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3, ∴A3B3=4B1A2=4, A4B4=8B1A2=8, A5B5=16B1A2=16, 以此类推:A6B6=32B1A2=32. 故选:C.

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点评: 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质,根据已知得出 A3B3=4B1A2,A4B4=8B1A2, A5B5=16B1A2 进而发现规律是解题关键.

4. (2011?深圳)如图,△ABC 与△DEF 均为等边三角形,O 为 BC、EF 的中点,则 AD:BE 的值为(



A.

:1

B.

:1

C.5:3

D.不确定

考点: 相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 专题: 压轴题. 分析: 连接 OA、OD,由已知可以推出 OB:OA=OE:OD,推出△ODA∽△OEB,根据锐角三角函数即可推出 AD: BE 的值. 解答: 解:连接 OA、OD, ∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形,O 为 BC、EF 的中点, ∴AO⊥BC,DO⊥EF,∠EDO=30° ,∠BAO=30° , ∴OD:OE=OA:OB= :1,

∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA 即∠DOA=∠EOB, ∴△DOA∽△EOB, ∴OD:OE=OA:OB=AD:BE= 故选:A. :1.

点评: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质,本题的关键在于找到需要证相似的三角形, 找到对应边的比即可.

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5. (2010?深圳)如图所示,点 P(3a,a)是反比例函数 y= (k>0)与⊙O 的一个交点,图中阴影部分的面积为 10π,则反比例函数的解析式为( )

A.y=

B.y=

C.y=

D.y=

考点: 反比例函数图象的对称性. 专题: 压轴题;转化思想. 分析: 根据 P(3a,a)和勾股定理,求出圆的半径,进而表示出圆的面积,再根据圆的面积等于阴影部分面积的 四倍,求出圆的面积,建立等式即可求出 a 的值,从而得出反比例函数的解析式. 解答: 解:由于函数图象关于原点对称,所以阴影部分面积为 圆面积, 则圆的面积为 10π× 4=40π. 因为 P(3a,a)在第一象限,则 a>0,3a>0, 根据勾股定理,OP= 于是 π = A.

=40π,a=± 2, (负值舍去) ,故 a=2.

P 点坐标为(6,2) . 将 P(6,2)代入 y= , 得:k=6× 2=12. 反比例函数解析式为:y= 故选:D. .

点评: 此题是一道综合题,既要能熟练正确求出圆的面积,又要会用待定系数法求函数的解析式.

6. (2009?深圳)如图,已知点 A,B,C,D 均在已知圆上,AD∥BC,AC 平分∠BCD,∠ADC=120° ,四边形 ABCD 的周长为 10cm.图中阴影部分的面积为( )

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A.

cm2

B.( π﹣

)cm2

C.

cm2

D.

cm2

考点: 扇形面积的计算. 专题: 压轴题. 分析: 要求阴影部分的面积,就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的,然后依面积公式计算. 解答: 解:∵AC 平分∠BCD, ∴ = ,

∵AD∥BC,AC 平分∠BCD,∠ADC=120° 所以∠ACD=∠DAC=30° , ∴ = ,

∴∠BAC=90° ∠B=60° , ∴BC=2AB, ∴四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD= BC× 3+BC=10, 解得 BC=4cm, ∴圆的半径= × 4=2cm, ∴阴影部分的面积=[ π× 22﹣(2+4)× 故选:B. 点评: 本题的关键是要证明 BC 就是圆的直径,然后根据给出的周长求半径,再求阴影部分的面积. ÷ 2]÷ 3= π﹣ cm2.

7. (2014?坪山新区模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=8,BC=4,分别以 AC、BC 为直径画半圆,则图中 阴影部分的面积为( )

A.20π﹣16

B.10π﹣32

C.10π﹣16

D.20π﹣132

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考点: 扇形面积的计算. 分析: 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积,然后利用三角形的面积计算即可. 解答: 解:设各个部分的面积为:S1、S2、S3、S4、S5, 如图所示: ∵两个半圆的面积和是:S1+S5+S4+S2+S3+S4,△ABC 的面积是 S3+S4+S5,阴影部分的面积是:S1+S2+S4, ∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积. 即阴影部分的面积= π× 16+ π× 4﹣ × 8× 4=10π﹣16. 故选:C.

点评: 本题考查了扇形面积的计算,的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积.

8. (2014?宝安区二模)如图,将半径为 6 的⊙O 沿 AB 折叠, 痕 AB 的长为( )

与 AB 垂直的半径 OC 交于点 D 且 CD=2OD,则折

A.

B.

C .6

D.

考点: 垂径定理;勾股定理;翻折变换(折叠问题) . 分析: 延长 CO 交 AB 于 E 点,连接 OB,构造直角三角形,然后再根据勾股定理求出 AB 的长 解答: 解:延长 CO 交 AB 于 E 点,连接 OB, ∵CE⊥AB, ∴E 为 AB 的中点, ∵OC=6,CD=2OD, ∴CD=4,OD=2,OB=6, ∴DE= (2OC﹣CD)= (6× 2﹣4)= × 8=4,

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∴OE=DE﹣OD=4﹣2=2, 在 Rt△OEB 中, ∵OE2+BE2=OB2, ∴BE= ∴AB=2BE=8 故选:B. . = =4

点评: 本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答 此题的关键.

9. (2009?乐山)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=6,BC=8,⊙O 为△ABC 的内切圆,点 D 是斜边 AB 的中点, 则 tan∠ODA=( )

A.

B.

C.

D.2

考点: 三角形的内切圆与内心;锐角三角函数的定义. 专题: 压轴题. 分析: 设⊙O 与 AB,AC,BC 分别相切于点 E,F,G,连接 OE,OF,OG,则 OE⊥AB.根据勾股定理得 AB=10, 再根据切线长定理得到 AF=AE, CF=CG, 从而得到四边形 OFCG 是正方形, 根据正方形的性质得到设 OF=x, 则 CF=CG=OF=x,AF=AE=6﹣x,BE=BG=8﹣x,建立方程求出 x 值,进而求出 AE 与 DE 的值,最后根据 三角形函数的定义即可求出最后结果. 解答: 解:过 O 点作 OE⊥AB OF⊥AC OG⊥BC, ∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90° , ∵∠C=90° ,AC=6 BC=8, ∴AB=10
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∵⊙O 为△ABC 的内切圆, ∴AF=AE,CF=CG (切线长相等) ∵∠C=90° , ∴四边形 OFCG 是矩形, ∵OG=OF, ∴四边形 OFCG 是正方形, 设 OF=x,则 CF=CG=OF=x,AF=AE=6﹣x,BE=BG=8﹣x, ∴6﹣x+8﹣x=10, ∴OF=2, ∴AE=4, ∵点 D 是斜边 AB 的中点, ∴AD=5, ∴DE=AD﹣AE=1, ∴tan∠ODA= 故选:D. =2.

点评: 此题要能够根据切线长定理证明:作三角形的内切圆,其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的 一半;直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半.

10. (2009?鄂州)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点 P 在 BC 上移动,则当 PA+PD 取最小值时,△APD 中边 AP 上的高为( )

A.

B.

C.

D.3

考点: 轴对称-最短路线问题;勾股定理. 专题: 压轴题.
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分析: 要求三角形的面积,就要先求出它的高,根据勾股定理即可得. 解答: 解:过点 D 作 DE⊥BC 于 E, ∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴四边形 ABED 是矩形, ∴BE=AD=2, ∵BC=CD=5, ∴EC=3, ∴AB=DE=4, 延长 AB 到 A′,使得 A′B=AB,连接 A′D 交 BC 于 P,此时 PA+PD 最小,即当 P 在 AD 的中垂线上,PA+PD 取最小值, ∵B 为 AA′的中点,BP∥AD ∴此时 BP 为△AA′D 的中位线, ∴BP= AD=1, 根据勾股定理可得 AP= 在△APD 中,由面积公式可得 △APD 中边 AP 上的高=2× 4÷ 故选:C. = . = ,

点评: 此题综合性较强,考查了梯形一般辅助线的作法、勾股定理、三角形的面积计算等知识点.

11. (2013?龙岗区模拟)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90° ,点 D 为线段 BC 上一点,连接 AD,以 AD 为一 边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF,CF 交 DE 于点 P.若 AC= ,CD=2,则线段 CP 的长( )

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A.1

B.2

C.

D.

考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 分析: 根据 ADEF 是正方形推出 AD=AF,∠DAF=90° ,证△ABD≌△ACF,推出 CF=BD,求出 AD,证 △FEP∽△DCP,得出比例式,代入求出即可. 解答: 解:过 A 作 AM⊥BD 于 M, ∵∠BAC=90° ,AB=AC=4 ,

∴∠B=∠ACB=45° ,由勾股定理得:BC=8, ∵CD=2, ∴BD=8﹣2=6, ∵∠BAC=90° ,AB=AC,AM⊥BC, ∴∠B=∠BAM=45° , ∴BM=AM, ∵AB=4 ,

∴由勾股定理得:BM=AM=4, ∴DM=6﹣4=2, 在 Rt△AMD 中,由勾股定理得:AD= ∵四边形 ADEF 是正方形, ∴EF=DE=AF=AD=2 ∵ADEF 是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90° . ∵∠BAC=90° , ∴∠BAD=∠CAF=90° ﹣∠DAC. 设 CP=x, ∵在△ABD 和△ACF 中 ,∠E=90° , =2 ,

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∴△ABD≌△ACF(SAS) , ∴CF=BD=6,∠B=∠ACB=∠ACF=45° , ∴∠PCD=90° =∠E, ∵∠FPE=∠DPC, ∴△FPE∽△DPC, ∴ = ,



=



x2+3x﹣4=0, x=﹣4(舍去) ,x=1, 即 CP=1, 故选:A.

点评: 本题考查了正方形性质,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,关键是能得出关于 x 的方程,题目比较好,但是有一定的难度.

12. (2011?本溪)如图,正方形 ABCD 的边长是 4,∠DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上 的动点,则 DQ+PQ 的最小值( )

A.2

B.4

C .2

D.4

考点: 轴对称-最短路线问题;正方形的性质. 专题: 压轴题;探究型.

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分析: 过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F, 交 AC 于 D′,再过 D′作 D′P′⊥AD,由角平分线的性质可得出 D′是 D 关于 AE 的对称点,进而可知 D′P′即为 DQ+PQ 的最小值. 解答: 解:作 D 关于 AE 的对称点 D′,再过 D′作 D′P′⊥AD 于 P′, ∵DD′⊥AE, ∴∠AFD=∠AFD′, ∵AF=AF,∠DAE=∠CAE, ∴△DAF≌△D′AF, ∴D′是 D 关于 AE 的对称点,AD′=AD=4, ∴D′P′即为 DQ+PQ 的最小值, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠DAD′=45°, ∴AP′=P′D′, ∴在 Rt△AP′D′中, P′D′2+AP′2=AD′2,AD′2=16, ∵AP′=P′D', 2P′D′2=AD′2,即 2P′D′2=16, ∴P′D′=2 故选:C. ,即 DQ+PQ 的最小值为 2 .

点评: 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.

13. (2013?宝安区一模)如图,已知抛物线 l1:y=﹣x2+2x 与 x 轴分别交于 A、O 两点,顶点为 M.将抛物线 l1 关于 y 轴对称到抛物线 l2. 则抛物线 l2 过点 O, 与 x 轴的另一个交点为 B, 顶点为 N, 连接 AM、 MN、 NB, 则四边形 AMNB 的面积( )

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A.3

B.6

C .8

D.10

考点: 二次函数综合题. 分析: 根据抛物线 l1 的解析式求出顶点 M,和 x 轴交点 A 的坐标,然后根据对称图形的知识可求出 M、N 的坐标, 也可得到四边形 NBAM 是等腰梯形,求出四边形 NBAM 的面积即可. 解答: 解:∵抛物线 l1 的解析式为:y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1, ∴顶点坐标为:M(1,1) , 当 y=0 时,﹣x2+2x=0, 解得:x=0 或 x=2, 则 A 坐标为(2,0) , ∵l2 和 l1 关于 y 轴对称, ∴AM=BN,N 和 M 关于 y 轴对称,B 和 A 关于 y 轴对称, 则 N(﹣1,1) ,B(﹣2,0) , 过 N 作 NC⊥AB 交 AB 与点 C, ∵AM=BN,MN∥AB, ∴四边形 NBAM 是等腰梯形, 在等腰梯形 NBAM 中, MN,1﹣(﹣1)=2,AB=2﹣(﹣2)=4, NC=1, ∴S 四边形 NBAM= (MN+AB)?NC=3. 故选:A.

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点评: 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和等腰梯形的面积求法,根据对称 图形得出 N,B 的坐标是解答本题的关键.

14. (2012?龙岗区模拟) 如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中, 刘星同学观察得出了下面四条信息: ①a+b+c=0; ②b>2a;③ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和 1;④a﹣2b+c>0.你认为其中正确的有( )

A.4 个

B.3 个

C .2 个

D.1 个

考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 数形结合. 分析: 由于抛物线过点(1,0) ,则 a+b+c=0,可判断①正确;根据抛物线对称轴方程得到 x=﹣ =﹣1,则 2a﹣

b=0, 可判断②错误; 根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴两交点坐标为 (﹣3, 0) , (1, 0) , 则 ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和 1,可判断③正确;利用 b=2a,a+b+c=0 得到 c=﹣3a,则 a﹣2b+c=a﹣4a﹣3a=﹣7a, 而抛物线开口向上,得到 a>0,于是可对④进行判断. 解答: 解:∵抛物线过点(1,0) , ∴a+b+c=0,所以①正确; ∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ ∴2a﹣b=0,所以②错误; ∵点(1,0)关于直线 x=﹣1 的对称点为(﹣3,0) , ∴抛物线与 x 轴两交点坐标为(﹣3,0) , (1,0) , ∴ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和 1,所以③正确; ∵b=2a,a+b+c=0,
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=﹣1,

∴a+2a+c=0,即 c=﹣3a, ∴a﹣2b+c=a﹣4a﹣3a=﹣7a, ∵抛物线开口向上, ∴a>0, ∴a﹣2b+c=﹣7a<0,所以④错误. 故选:C. 点评: 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当 a>0,抛物 线开口向上;对称轴为直线 x=﹣ ;抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,c) .也考查了一次函数的性质.

15. (2011?宝安区一模)如图,已知抛物线

与 x 轴分别交于 A、B 两点,顶点为 M.将抛物线 l1

沿 x 轴翻折后再向左平移得到抛物线 l2.若抛物线 l2 过点 B,与 x 轴的另一个交点为 C,顶点为 N,则四边形 AMCN 的面积为( )

A.32

B.16

C.50

D.40

考点: 二次函数综合题;轴对称的性质. 分析: 由抛物线 l1 的解析式可求 AB 的长,根据对称性可知 BC=AB,再求抛物线的顶点坐标,用计算三角形面积 的方法求四边形 AMCN 的面积. 解答: 解:由 y=x2﹣6x+5 得 y=(x﹣1) (x﹣5)或 y=(x﹣3)2﹣4, ∴抛物线 l1 与 x 轴两交点坐标为 A(5,0) ,B(1,0) ,顶点坐标 M(3,﹣4) , ∴AB=5﹣1=4, 由翻折,平移的知识可知,BC=AB=4,N(﹣1,4) , ∴AC=AB+BC=8, S 四边形 AMCN=S△ACN+S△ACM= × 8× 4+ × 8× 4=32. 故选:A. 点评: 本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点.主要考查学生数形结合的数学思 想方法.
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二、填空题(共 15 小题) 16. (2014?深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第 5 个图形中所有正三角形的个数有 485 .

考点: 规律型:图形的变化类. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 由图可以看出: 第一个图形中 5 个正三角形, 第二个图形中 5× 3+2=17 个正三角形, 第三个图形中 17× 3+2=53 个正三角形,由此得出第四个图形中 53× 3+2=161 个正三角形,第五个图形中 161× 3+2=485 个正三角形. 解答: 解:第一个图形正三角形的个数为 5, 第二个图形正三角形的个数为 5× 3+2=17, 第三个图形正三角形的个数为 17× 3+2=53, 第四个图形正三角形的个数为 53× 3+2=161, 第五个图形正三角形的个数为 161× 3+2=485. 如果是第 n 个图,则有 2× 3n﹣1 个 故答案为:485. 点评: 此题考查图形的变化规律,找出数字与图形之间的联系,找出规律解决问题.

17. (2013?深圳)如图,每一幅图中均含有若干个正方形,第 1 幅图中有 1 个正方形;第 2 幅图中有 5 个正方形;… 按这样的规律下去,第 6 幅图中有 91 个正方形.

考点: 规律型:图形的变化类. 专题: 压轴题. 分析: 观察图形发现第一个有 1 个正方形,第二个有 1+4=5 个正方形,第三个有 1+4+9=14 个正方形,…从而得到 答案.
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解答: 解:观察图形发现第一个有 1 个正方形, 第二个有 1+4=5 个正方形, 第三个有 1+4+9=14 个正方形, … 第 n 个有: n(n+1) (2n+1)个正方形, 第 6 个有 1+4+9+16+25+36=91 个正方形, 故答案为:91 点评: 本题考查了图形的变化类问题,解题的关键是仔细关系图形并找到规律,本题采用了穷举法.

18. (2012?深圳)如图,Rt△ABC 中,∠C=90° ,以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE,且正方形对角线交于点 O, 连接 OC,已知 AC=5,OC=6 ,则另一直角边 BC 的长为 7 .

考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 过 O 作 OF 垂直于 BC,再过 A 作 AM 垂直于 OF,由四边形 ABDE 为正方形,得到 OA=OB,∠AOB 为直 角,可得出两个角互余,再由 AM 垂直于 MO,得到△AOM 为直角三角形,其两个锐角互余,利用同角的 余角相等可得出一对角相等,再由一对直角相等,OA=OB,利用 AAS 可得出△AOM 与△BOF 全等,由全 等三角形的对应边相等可得出 AM=OF,OM=FB,由三个角为直角的四边形为矩形得到 ACFM 为矩形,根 据矩形的对边相等可得出 AC=MF,AM=CF,等量代换可得出 CF=OF,即△COF 为等腰直角三角形,由斜 边 OC 的长,利用勾股定理求出 OF 与 CF 的长,根据 OF﹣MF 求出 OM 的长,即为 FB 的长,由 CF+FB 即可求出 BC 的长. 解答: 解法一:如图 1 所示,过 O 作 OF⊥BC,过 A 作 AM⊥OF, ∵四边形 ABDE 为正方形, ∴∠AOB=90° ,OA=OB, ∴∠AOM+∠BOF=90° , 又∠AMO=90° ,∴∠AOM+∠OAM=90° ,
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∴∠BOF=∠OAM, 在△AOM 和△BOF 中, , ∴△AOM≌△BOF(AAS) , ∴AM=OF,OM=FB, 又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90° , ∴四边形 ACFM 为矩形, ∴AM=CF,AC=MF=5, ∴OF=CF, ∴△OCF 为等腰直角三角形, ∵OC=6 ,

∴根据勾股定理得:CF2+OF2=OC2, 解得:CF=OF=6, ∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1, 则 BC=CF+BF=6+1=7. 故答案为:7.

解法二:如图 2 所示, 过点 O 作 OM⊥CA,交 CA 的延长线于点 M;过点 O 作 ON⊥BC 于点 N. 易证△OMA≌△ONB,∴OM=ON,MA=NB. ∴O 点在∠ACB 的平分线上, ∴△OCM 为等腰直角三角形. ∵OC=6 ,

∴CM=ON=6. ∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1,
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∴BC=CN+NB=6+1=7. 故答案为:7.

点评: 此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及等腰直角三角形的判定与性质、角 平分线的判定,利用了转化及等量代换的思想,根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键.

19. (2011?深圳)如图,△ABC 的内心在 y 轴上,点 C 的坐标为(2,0) ,点 B 的坐标是(0,2) ,直线 AC 的解析 式为 ,则 tanA 的值是 .

考点: 一次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: 根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO,根据点 C、点 B 的坐标得出 OB=OC,∠OBC=45° ,∠ABC=90° 可知△ABC 为直角三角形,BC=2 即可得出答案. 解答: 解:根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO, ∵已知点 C、点 B 的坐标, ∴OB=OC,∠OBC=45° ,∠ABC=90° 可知△ABC 为直角三角形,BC=2 ∵点 A 在直线 AC 上,设 A 点坐标为(x, x﹣1) , 根据两点距离公式可得: , ,然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点 A 坐标,从而得出 AB,

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AB2=x2+ AC2=(x﹣2)2+ 在 Rt△ABC 中, AB2+BC2=AC2,

, ,

解得:x=﹣6,y=﹣4, ∴AB=6 ∴tanA= , = = .

故答案为: . 点评: 本题主要考查了三角形内心的特点,两点间距离公式、勾股定理,综合性较强,难度较大.

20. (2009?深圳)刘谦的魔术表演风靡全国,小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其 中时,会得到一个新的实数:a2+b﹣1,例如把(3,﹣2)放入其中,就会得到 32+(﹣2)﹣1=6.现将实数对(m, ﹣2m)放入其中,得到实数 2,则 m= 3 或﹣1 .

考点: 解一元二次方程-因式分解法. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据题意,把实数对(m,﹣2m)代入 a2+b﹣1=2 中,得到一个一元二次方程,利用因式分解法可求出 m 的值. 解答: 解:把实数对(m,﹣2m)代入 a2+b﹣1=2 中得 m2﹣2m﹣1=2 移项得 m2﹣2m﹣3=0 因式分解得(m﹣3) (m+1)=0 解得 m=3 或﹣1. 故答案为:3 或﹣1. 点评: 根据题意,把实数对(m,﹣2m)代入 a2+b﹣1=2 中,并进行因式分解,再利用积为 0 的特点解出方程的 根.

21. (2008?广州)对于平面内任意一个凸四边形 ABCD,现从以下四个关系式①AB=CD;②AD=BC;③AB∥CD; ④∠A=∠C 中任取两个作为条件,能够得出这个四边形 ABCD 是平行四边形的概率是 .

考点: 概率公式;平行四边形的判定.
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专题: 压轴题. 分析: 本题是一道列举法求概率的问题,属于基础题,可以直接应用求概率的公式. 解答: 解:从四个条件中选两个共有六种可能:①②、①③、①④、②③、②④、③④, 其中只有①②、①③和③④可以判断 ABCD 是平行四边形,所以其概率为 = . 故答案为: . 点评: 用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形;一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形.

22. (2014?坪山新区模拟)如图,已知直线 l:y=

x,过点 A(0,1)作轴的垂线交直线 l 于点 B,过点 B 作直线

l 的垂线交 y 轴于点 A1;过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1,过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2;…按此作法 继续下去,则点 A2014 的坐标为 (0,42014) . (提示:∠BOX=30° )

考点: 一次函数图象上点的坐标特征. 专题: 规律型. 分析: 根据所给直线解析式可得 l 与 x 轴的夹角,进而根据所给条件依次得到点 A1,A2 的坐标,通过相应规律得 到 A2014 坐标即可 解答: 解:∵直线 l 的解析式为;y= ∴l 与 x 轴的夹角为 30° , ∵AB∥x 轴, ∴∠ABO=30° , ∵OA=1, ∴OB=2, ∴AB= , x,

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∵A1B⊥l, ∴∠ABA1=60° , ∴A1O=4, ∴A1(0,4) , 同理可得 A2(0,16) , … ∴A2014 纵坐标为 42014, ∴A2014(0,42014) . 故答案为: (0,42014) .

点评: 本题考查的是一次函数综合题,先根据所给一次函数判断出一次函数与 x 轴夹角是解决本题的突破点;根 据含 30° 的直角三角形的特点依次得到 A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键.

23. (2014?龙岗区模拟)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上.顶点 B 的坐标为(6, ) ,点 C 的坐标为(1,0) ,点 P 为斜边 OB 上的一个动点,则 PA+PC 的最小值为 .

考点: 轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质. 分析: 作 A 关于 OB 的对称点 D, 连接 CD 交 OB 于 P, 连接 AP, 过 D 作 DN⊥OA 于 N, 则此时 PA+PC 的值最小, 求出 AM,求出 AD,求出 DN、CN,根据勾股定理求出 CD,即可得出答案. 解答: 解:作 A 关于 OB 的对称点 D,连接 CD 交 OB 于 P,连接 AP,过 D 作 DN⊥OA 于 N, 则此时 PA+PC 的值最小, ∵DP=PA,
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∴PA+PC=PD+PC=CD, ∵B(6,2 ∴AB=2 ) , ,OA=6,∠B=60° ,由勾股定理得:OB=4 ,

由三角形面积公式得: × OA× AB= × OB× AM, ∴AM=3, ∴AD=2× 3=6, ∵∠AMB=90° ,∠B=60° , ∴∠BAM=30° , ∵∠BAO=90° , ∴∠OAM=60° , ∵DN⊥OA, ∴∠NDA=30° , ∴AN= AD=3,由勾股定理得:DN=3 ∵C(1,0) , ∴CN=6﹣1﹣3=2, 在 Rt△DNC 中,由勾股定理得:DC= 即 PA+PC 的最小值是 故答案为: . . = , ,

点评: 本题考查了三角形的内角和定理, 轴对称﹣最短路线问题, 勾股定理, 含 30 度角的直角三角形性质的应用, 关键是求出 P 点的位置,题目比较好,难度适中.

24. (2014?宝安区二模)如图,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=4,BC=6.将腰 CD 以 D 为旋转中心 逆时针旋转 90° 至 DE,连接 AE,则△ADE 的面积是 4 .

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考点: 直角梯形;全等三角形的判定与性质;旋转的性质. 专题: 计算题. 分析: 如图作辅助线,利用旋转和三角形全等,求出△ADE 的高,然后得出三角形的面积. 解答: 解:作 EF⊥AD 交 AD 延长线于 F,作 DG⊥BC.如下图所示: ∵CD 以 D 为中心逆时针旋转 90° 至 ED, ∵AD=4,BC=6, ∴DE=DC,DE⊥DC,∠CDG=∠EDF, ∴△CDG≌△EDF, ∴EF=CG. 又∵DG⊥BC,所以 AD=BG, ∴EF=CG=BC﹣AD=6﹣4=2, ∴△ADE 的面积是: AD?EF= × 4× 2=4. 故答案为:4.

点评: 本题考查梯形的性质和旋转的性质:旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋 转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:①定点为旋转中心;②旋转方向;③旋转角度.

25. (2014?深圳一模)如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣4) (0≤x≤4) ,记为 C1,它与 x 轴交于点 O,A1: 将 C1 绕点 A1 旋转 180° 得 C2,交 x 轴于点 A2; 将 C2 绕点 A2 旋转 180° 得 C3,交 x 轴于 A3; … 如此进行下去,直至得 C10,若 P(37,m)在第 10 段抛物线 C10 上,则 m= ﹣3 .

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考点: 二次函数图象与几何变换. 专题: 规律型. 分析: 求出抛物线 C1 与 x 轴的交点坐标,观察图形可知第偶数号抛物线都在 x 轴下方,再根据向右平移横坐标相 加表示出抛物线 C10 的解析式,然后把点 P 的横坐标代入计算即可得解. 解答: 解:∵一段抛物线:y=﹣x(x﹣4) (0≤x≤4) , ∴图象与 x 轴交点坐标为: (0,0) , (4,0) , ∵将 C1 绕点 A1 旋转 180° 得 C2,交 x 轴于点 A2; 将 C2 绕点 A2 旋转 180° 得 C3,交 x 轴于点 A3; … 如此进行下去,直至得 C10. ∴C10 与 x 轴的交点横坐标为(36,0) , (40,0) ,且图象在 x 轴下方, ∴C10 的解析式为:y10=(x﹣36) (x﹣40) , 当 x=37 时,y=(37﹣36)× (37﹣40)=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,根据平移规律得出 C10 与 x 轴的交点坐标,进而得到解析式是解题关 键.

26. (2011?宁波)正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y=

(x>0)的图象上,顶点 A1、B1 分别在 x 轴、 (x>0)的图象上,顶点 A2 在 x 轴的

y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形 P2P3A2B2,顶点 P3 在反比例函数 y= 正半轴上,则点 P3 的坐标为 ( +1, ﹣1) . .

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考点: 反比例函数综合题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 作 P1C⊥y 轴于 C,P2D⊥x 轴于 D,P3E⊥x 轴于 E,P3F⊥P2D 于 F,设 P1(a, ) ,则 CP1=a,OC= ,易 得 Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D, 则 OB1=P1C=A1D=a, 所以 OA1=B1C=P2D= ﹣a, 则 P2 的坐标为 ( , ﹣a) ,然后把 P2 的坐标代入反比例函数 y= ,得到 a 的方程,解方程求出 a,得到 P2 的坐标;设 P3 的坐 标为(b, ) ,易得 Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E,则 P3E=P3F=DE= ,通过 OE=OD+DE=2+ =b,这样得到关于 b 的方程,解方程求出 b,得到 P3 的坐标. 解答: 解:作 P1C⊥y 轴于 C,P2D⊥x 轴于 D,P3E⊥x 轴于 E,P3F⊥P2D 于 F,如图, 设 P1(a, ) ,则 CP1=a,OC= , ∵四边形 A1B1P1P2 为正方形, ∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D, ∴OB1=P1C=A1D=a, ∴OA1=B1C=P2D= ﹣a, ∴OD=a+ ﹣a= , ∴P2 的坐标为( , ﹣a) , 把 P2 的坐标代入 y= ∴P2(2,1) , 设 P3 的坐标为(b, ) , 又∵四边形 P2P3A2B2 为正方形, ∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E, ∴P3E=P3F=DE= , ∴OE=OD+DE=2+ , ∴2+ =b,解得 b=1﹣ ∴ = = ﹣1, +1, ﹣1) . ﹣1) . (舍) ,b=1+ , (x>0) ,得到( ﹣a)? =2,解得 a=﹣1(舍)或 a=1,

∴点 P3 的坐标为 ( 故答案为: ( +1,

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点评: 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值;也考查了正方形的性质和三角形全等 的判定与性质以及解分式方程的方法.

27. (2013?福田区一模)如图所示,在⊙O 中,点 A 在圆内,B、C 在圆上,其中 OA=7,BC=18,∠A=∠B=60° , 则 tan∠OBC= .

考点: 垂径定理;等边三角形的判定与性质;勾股定理. 专题: 计算题. 分析: 过 O 作 OD⊥BC, 延长 AO,交 BC 于点 E,由∠A=∠B=60° ,得到三角形 ABE 为等边三角形,确定出∠AEB 与∠EOD 的度数,在直角三角形 ODE 中,设 DE=x,表示出 OE 与 OD,根据 AE=BE 列出关于 x 的方程, 求出方程的解得到 x 的值,确定出 OD 的长, 解答: 解:过 O 作 OD⊥BC,延长 AO,交 BC 于点 E, ∵∠A=∠B=60° , ∴∠OED=60° ,∠EOD=30° , 在 Rt△ODE 中,设 DE=x,则 OE=2x,OD= ∵OD⊥BC, ∴D 为 BC 的中点, 即 BD=CD= BC=9, ∵AE=BE, ∴7+2x=9+x, 解得:x=2,
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x,

即 OD=2

, = .

∴tan∠OBC= 故答案为:

点评: 此题考查了垂径定理,勾股定理,以及等边三角形的判定与性质,熟练掌握定理是解本题的关键.

28. (2013?宝安区一模)四边形 ABCD、AEFG 都是正方形,当正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45° 时,如图,连接 DG、BE,并延长 BE 交 DG 于点 H,且 BH⊥DG 与 H.若 AB=4,AE= 时,则线段 BH 的长是 .

考点: 旋转的性质;正方形的性质. 分析: 连结 GE 交 AD 于点 N,连结 DE,由于正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45° ,AF 与 EG 互相垂直平分,且 AF 在 AD 上,由 AE= BE= 可得到 AN=GN=1,所以 DN=4﹣1=3,然后根据勾股定理可计算出 DG= ,则

,解着利用 S△DEG= GE?ND= DG?HE 可计算出 HE,所以 BH=BE+HE.

解答: 解:连结 GE 交 AD 于点 N,连结 DE,如图, ∵正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45° , ∴AF 与 EG 互相垂直平分,且 AF 在 AD 上, ∵AE= ,

∴AN=GN=1, ∴DN=4﹣1=3, 在 Rt△DNG 中,DG= = ;

由题意可得:△ABE 相当于逆时针旋转 90° 得到△AGD,
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∴DG=BE=



∵S△DEG= GE?ND= DG?HE, ∴HE= = , + . = .

∴BH=BE+HE= 故答案为:

点评: 本题考查了旋转及正方形的性质,解题的关键是会运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算.

29. (2012?深圳二模)如图,在正方形 ABCD 外取一点 E, 连接 AE、 BE、 DE. 过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P.若 AE=AP=1, PB= ⑤S 正方形 ABCD=4+ . 下列结论: ①△APD≌△AEB; ②点 B 到直线 AE 的距离为 .其中正确结论的序号是 ①③⑤ . ; ③EB⊥ED; ④S△APD+S△APB=1+ ;

考点: 正方形的性质;垂线;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;勾股定理. 专题: 综合题;压轴题. 分析: ①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB; ②由①可得∠BEP=90° ,故 BE 不垂直于 AE 过点 B 作 BM⊥AE 延长线于 M,由①得∠AEB=135° 所以 ∠EMB=45° ,所以△EMB 是等腰 Rt△,故 B 到直线 AE 距离为 BF= ③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确; ④由△APD≌△AEB,可知 S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB,然后利用已知条件计算即可判定; ⑤连接 BD,根据三角形的面积公式得到 S△BPD= PD× BE= ,所以 S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 即可判定. ,由此 ,故②是错误的;

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解答: 解:由边角边定理易知△APD≌△AEB,故①正确; 由△APD≌△AEB 得,∠AEP=∠APE=45° ,从而∠APD=∠AEB=135° , 所以∠BEP=90° , 过 B 作 BF⊥AE,交 AE 的延长线于 F,则 BF 的长是点 B 到直线 AE 的距离, 在△AEP 中,由勾股定理得 PE= 在△BEP 中,PB= ,PE= , ,

,由勾股定理得:BE=

∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90° ,AE=AP, ∴∠AEP=45° , ∴∠BEF=180° ﹣45° ﹣90° =45° , ∴∠EBF=45° , ∴EF=BF, 在△EFB 中,由勾股定理得:EF=BF= 故②是错误的; 因为△APD≌△AEB,所以∠ADP=∠ABE,而对顶角相等,所以③是正确的; 由△APD≌△AEB, ∴PD=BE= , ,因此④是错误的; ,

可知 S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP= + 连接 BD,则 S△BPD= PD× BE= , 所以 S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 所以 S 正方形 ABCD=2S△ABD=4+ . ,

综上可知,正确的有①③⑤.

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点评: 此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理,综合性比较强,解 题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题.

30. (2012?宝安区二模)如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,BE 平分∠ABC,且 BE⊥CD 于 E,P 是 BE 上一动点.若 BC=6,CE=2DE,则|PC﹣PA|的最大值是 .

考点: 梯形;三角形三边关系;等腰三角形的判定与性质. 专题: 压轴题. 分析: 延长 BA 交 CD 的延长线于 F,求出 BF=BC,EF=CE,求出 DF=DE= CF,求出 PF=PC,根据两点之间线 段最短得出|PC﹣PA|的最大值是 PA,得出 P 和 B 重合时,得出最大值是 AF 的长,根据相似求出 AF 的值即 可. 解答: 解:

延长 BA 交 CD 的延长线于 F, ∵BE 平分∠ABC, ∴∠FBE=∠CBE, ∵BE⊥CD, ∴∠BEF=∠BEC=90° , ∵在△FBE 和△CBE 中 , ∴△FBE≌△CBE(ASA) , ∴BF=BC=6,EF=EC, ∵BE⊥CF,
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∴PC=PF(线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等) , 即|PC﹣PA|=|PF﹣PA|, 根据两点之间线段最短得:|PF﹣PA|≤AF, 即当|PC﹣PA|的最大值是 AF, ∴当 P 和 B 重合时,|PC﹣PA|=|BC﹣BA|=AF, ∵EF=CE,CE=2DE, ∴DF=DE= CE= CF, ∵AD∥BC, ∴△AFD∽△BFC, ∴ = = ,

∴AF= BC= × 6= , 即|PC﹣PA|的最大值是 , 故答案为: .

点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,线段垂直平分线定理等知识点的应用, 关键是找出最大值是指哪一条线段的长,题目具有一定的代表性,但是有一定的难度.

三、解答题(共 30 小题) 31. (2014?深圳)如图,直线 AB 的解析式为 y=2x+4,交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,以 A 为顶点的抛物线交直线 AB 于点 D,交 y 轴负半轴于点 C(0,﹣4) . (1)求抛物线的解析式; (2)将抛物线顶点沿着直线 AB 平移,此时顶点记为 E,与 y 轴的交点记为 F, ①求当△BEF 与△BAO 相似时,E 点坐标; ②记平移后抛物线与 AB 另一个交点为 G,则 S△EFG 与 S△ACD 是否存在 8 倍的关系?若有请直接写出 F 点的坐标.

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考点: 二次函数综合题. 专题: 代数几何综合题;压轴题. 分析: (1)求出点 A 的坐标,利用顶点式求出抛物线的解析式; (2)①首先确定点 E 为 Rt△BEF 的直角顶点,相似关系为:△BAO∽△BFE;如答图 2﹣1,作辅助线, 利用相似关系得到关系式:BH=4FH,利用此关系式求出点 E 的坐标; ②首先求出△ACD 的面积:S△ACD=8;若 S△EFG 与 S△ACD 存在 8 倍的关系,则 S△EFG=64 或 S△EFG=1;如答图 2﹣2 所示,求出 S△EFG 的表达式,进而求出点 F 的坐标. 解答: 解: (1)直线 AB 的解析式为 y=2x+4, 令 x=0,得 y=4;令 y=0,得 x=﹣2. ∴A(﹣2,0) 、B(0,4) . ∵抛物线的顶点为点 A(﹣2,0) , ∴设抛物线的解析式为:y=a(x+2)2, 点 C(0,﹣4)在抛物线上,代入上式得:﹣4=4a,解得 a=﹣1, ∴抛物线的解析式为 y=﹣(x+2)2.

(2)平移过程中,设点 E 的坐标为(m,2m+4) , 则平移后抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣m)2+2m+4, ∴F(0,﹣m2+2m+4) . ①∵点 E 为顶点,∴∠BEF≥90°, ∴若△BEF 与△BAO 相似,只能是点 E 作为直角顶点, ∴△BAO∽△BFE, ∴ ,即 ,可得:BE=2EF.

如答图 2﹣1,过点 E 作 EH⊥y 轴于点 H,则点 H 坐标为:H(0,2m+4) .

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∵B(0,4) ,H(0,2m+4) ,F(0,﹣m2+2m+4) , ∴BH=|2m|,FH=|﹣m2|. 在 Rt△BEF 中,由射影定理得:BE2=BH?BF,EF2=FH?BF, 又∵BE=2EF,∴BH=4FH, 即:4|﹣m2|=|2m|. 若﹣4m2=2m,解得 m=﹣ 或 m=0(与点 B 重合,舍去) ; 若﹣4m2=﹣2m,解得 m= 或 m=0(与点 B 重合,舍去) ,此时点 E 位于第一象限,∠BEF 为钝角,故此情 形不成立. ∴m=﹣ , ∴E(﹣ ,3) . ②假设存在. 联立抛物线:y=﹣(x+2)2 与直线 AB:y=2x+4,可求得:D(﹣4,﹣4) , ∴S△ACD= × 4× 4=8. ∵S△EFG 与 S△ACD 存在 8 倍的关系, ∴S△EFG=64 或 S△EFG=1. 联立平移抛物线:y=﹣(x﹣m)2+2m+4 与直线 AB:y=2x+4,可求得:G(m﹣2,2m) . ∴点 E 与点 G 横坐标相差 2,即:|xG|﹣|xE|=2.

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当顶点 E 在 y 轴左侧时,如答图 2﹣2,S△EFG=S△BFG﹣S△BEF= BF?|xG|﹣ BF|xE|= BF?(|xG|﹣|xE|)=BF. ∵B(0,4) ,F(0,﹣m2+2m+4) ,∴BF=|﹣m2+2m|. ∴|﹣m2+2m|=64 或|﹣m2+2m|=1, ∴﹣m2+2m 可取值为:64、﹣64、1、﹣1. 当取值为 64 时,一元二次方程﹣m2+2m=64 无解,故﹣m2+2m≠64. ∴﹣m2+2m 可取值为:﹣64、1、﹣1. ∵F(0,﹣m2+2m+4) , ∴F 坐标为: (0,﹣60) 、 (0,3) 、 (0,5) . 同理,当顶点 E 在 y 轴右侧时,点 F 为(0,5) ; 综上所述,S△EFG 与 S△ACD 存在 8 倍的关系,点 F 坐标为(0,﹣60) 、 (0,3) 、 (0,5) . 点评: 本题是二次函数压轴题,涉及运动型与存在型问题,难度较大.第(2)①问中,解题关键是确定点 E 为直 角顶点,且 BE=2EF;第(2)②问中,注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与 整体思想的应用.

32. (2014?深圳)如图,在平面直角坐标系中,⊙M 过原点 O,与 x 轴交于 A(4,0) ,与 y 轴交于 B(0,3) ,点 C 为劣弧 AO 的中点,连接 AC 并延长到 D,使 DC=4CA,连接 BD. (1)求⊙M 的半径; (2)证明:BD 为⊙M 的切线; (3)在直线 MC 上找一点 P,使|DP﹣AP|最大.

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考点: 圆的综合题. 专题: 几何综合题;压轴题. 分析: (1)利用 A,B 点坐标得出 AO,BO 的长,进而得出 AB 的长,即可得出圆的半径; (2)根据 A,B 两点求出直线 AB 表达式为:y=﹣ x+3,根据 B,D 两点求出 BD 表达式为 y= x+3,进 而得出 BD⊥AB,求出 BD 为⊙M 的切线; (3)根据 D,O 两点求出直线 DO 表达式为 y= x 又在直线 DO 上的点 P 的横坐标为 2,所以 p(2, ) , 此时|DP﹣AP|=DO= .

解答: (1)解:∵由题意可得出:OA2+OB2=AB2,AO=4,BO=3, ∴AB=5, ∴圆的半径为 ;

(2)证明:由题意可得出:M(2, ) 又∵C 为劣弧 AO 的中点,由垂径定理且 MC= ,故 C(2,﹣1) 过 D 作 DH⊥x 轴于 H,设 MC 与 x 轴交于 K, 则△ACK∽△ADH, 又∵DC=4AC, 故 DH=5KC=5,HA=5KA=10, ∴D(﹣6,﹣5) 设直线 AB 表达式为:y=ax+b, ,

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解得:

故直线 AB 表达式为:y=﹣ x+3, 同理可得:根据 B,D 两点求出 BD 的表达式为 y= x+3, ∵kAB× kBD=﹣1, ∴BD⊥AB,BD 为⊙M 的切线;

(3)解:取点 A 关于直线 MC 的对称点 O,连接 DO 并延长交直线 MC 于 P, 此 P 点为所求,且线段 DO 的长为|DP﹣AP|的最大值; 设直线 DO 表达式为 y=kx, ∴﹣5=﹣6k, 解得:k= , ∴直线 DO 表达式为 y= x 又∵在直线 DO 上的点 P 的横坐标为 2,y= , ∴P(2, ) , 此时|DP﹣AP|=DO= = .

点评: 此题主要考查了勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式以及两直线垂直系数的关系等知识,得出直线 DO,AB,BD 的解析式是解题关键.

33. (2013?深圳)如图 1,直线 AB 过点 A(m,0) ,B(0,n) ,且 m+n=20(其中 m>0,n>0) . (1)m 为何值时,△OAB 面积最大?最大值是多少?
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(2)如图 2,在(1)的条件下,函数 求 k 的值.

的图象与直线 AB 相交于 C、D 两点,若



(3)在(2)的条件下,将△OCD 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向平移,如图 3,设它与△OAB 的重叠部分 面积为 S,请求出 S 与运动时间 t(秒)的函数关系式(0<t<10) .

考点: 反比例函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)由 A(m,0) ,B(0,n) ,可以表示出 OA=m,OB=n,由三角形的面积公式就可以求出结论; (2)由(1)的结论可以求出点 A 点 B 的坐标,就可以求出直线 AB 的解析式,根据双曲线的对称性就可 以求出 S△OBD=S△OAC 的值,再由三角形的面积公式就可以求出其值; (3)根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD,再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出 S△O′C′D′ 和 S△O′CD 的面积关系,从而可以求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式. 解答: 解: (1)∵A(m,0) ,B(0,n) , ∴OA=m,OB=n. ∴S△AOB= .

∵m+n=20, ∴n=20﹣m, ∴S△AOB= ∵a=﹣ <0, ∴抛物线的开口向下, ∴m=10 时,S 最大=50; = m2+10m=﹣ (m﹣10)2+50

(2)∵m=10,m+n=20,
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∴n=10, ∴A(10,0) ,B(0,10) , 设 AB 的解析式为 y=kx+b,由图象,得 , 解得: y=﹣x+10. , ∴设 S△OCD=8A.则 S△OAC=a, ∴S△OBD=S△OAC=a, ∴S△AOB=10a, ∴10a=50, ∴a=5, ∴S△OAC=5, ∴ OA?y=5, ∴y=1. 1=﹣x+10, x=9 ∴C(9,1) , ∴1= , ∴k=9; ,

(3)∵C(9,1) , ∴D(1,9) . 移动后重合的部分的面积是△O′C′D′,t 秒后点 O 的坐标为 O′(t,0) , O′A=10﹣t,O′E=10. ∵C′D′∥CD, ∴△O′C′D′∽△O′CD, ∴ ,

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S=40? ∴

, (0<t<10) .

点评: 本题考查了二次函数的最值的运用,反比例函数的图象的对称性的运用,相似三角形的相似比与面积之比 的关系的运用,动点问题直线问题的运用,解答时求出函数的解析式及交点坐标是解答本题的关键.

34. (2013?深圳)如图 1,过点 A(0,4)的圆的圆心坐标为 C(2,0) ,B 是第一象限圆弧上的一点,且 BC⊥AC, 抛物线 y= x2+bx+c 经过 C、B 两点,与 x 轴的另一交点为 D. ) ,抛物线的表达式为 y= x2+ x﹣7 ;

(1)点 B 的坐标为( 6 , 2 (2)如图 2,求证:BD∥AC;

(3)如图 3,点 Q 为线段 BC 上一点,且 AQ=5,直线 AQ 交⊙C 于点 P,求 AP 的长.

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考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)如答图 1,作辅助线,证明△AOC≌△CEB,由此得到点 B 的坐标;再由点 C、B 的坐标,利用待定 系数法求出抛物线的表达式; (2)如答图 2,作辅助线,求出△BCD 三边的长度,再利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形,从而 问题得证; (3)如答图 3,利用勾股定理依次求出 CQ、CF、AF 的长度,然后利用垂径定理 AP=2AF 求出 AP 的长度. 解答: (1)解:如答图 1 所示,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E. ∵AC⊥BC, ∴∠ACO+∠BCE=90° , ∵∠ACO+∠OAC=90° ,∠BCE+∠CBE=90° , ∴∠OAC=∠BCE,∠ACO=∠CBE. ∵在△AOC 与△CEB 中,

∴△AOC≌△CEB(ASA) . ∴CE=OA=4,BE=OC=2, ∴OE=OC+CE=6. ∴B 点坐标为(6,2) . ∵点 C(2,0) ,B(6,2)在抛物线 y= x2+bx+c 上,





解得 b= ,c=﹣7. ∴抛物线的表达式为:y= x2+ x﹣7.

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(2)证明:在抛物线表达式 y= 解得 x=2 或 x=7,∴D(7,0) .

x2+ x﹣7 中,令 y=0,即

x2+ x﹣7=0,

如答图 2 所示,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,则 DE=OD﹣OE=1,CD=OD﹣OC=5. 在 Rt△BDE 中,由勾股定理得:BD= 在 Rt△BCE 中,由勾股定理得:BC= 在△BCD 中,BD= ∵BD2+BC2=CD2 ∴△BCD 为直角三角形,∠CBD=90° , ∴∠CBD=∠ACB=90° , ∴AC∥BD. ,BC= ,CD=5, = = = = ; .

(3)解:如答图 3 所示: 由(2)知 AC=BC= ,又 AQ=5, = = .

则在 Rt△ACQ 中,由勾股定理得:CQ= 过点 C 作 CF⊥PQ 于点 F, ∵S△ACQ= AC?CQ= AQ?CF, ∴CF= = =2.

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在 Rt△ACF 中,由勾股定理得:AF= 由垂径定理可知,AP=2AF, ∴AP=8.

=

=4.

点评: 本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、勾股定理、勾股定 理的逆定理、垂径定理等知识点.本题设计考点清晰,层次合理:第(1)问主要考查全等三角形和待定系 数法,第(2)问主要考查勾股定理及其逆定理,第(3)问主要考查垂径定理与勾股定理.

35. (2012?深圳)如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)的位置随 b 的不同取值而变化. (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4,2) ,半径为 2. 当 b= 当 b= 10 时,直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)经过圆心 M; 10± 2 时,直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)与⊙M 相切;

(2)若把⊙M 换成矩形 ABCD,其三个顶点坐标分别为:A(2,0) 、B(6,0) 、C(6,2) .设直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积为 S,当 b 由小到大变化时,请求出 S 与 b 的函数关系式.

考点: 一次函数综合题. 专题: 压轴题.
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分析: (1)①当直线经过圆心 M(4,2)时,将圆心坐标代入直线解析式,即可求得 b 的值; ②当若直线与⊙M 相切,如答图 1 所示,应有两条符合条件的切线,不要遗漏. 欲求此时 b 的值,可以先求出切点 P 的坐标,代入解析式即可;欲求切点 P 的坐标,可以构造相似三角形 △PMN∽△BAO,求得 PN=2MN,然后在 Rt△PMN 中利用勾股定理求出 MN 和 PN,最后求出 P 点坐标; (2) 本问关键是弄清直线扫过矩形 ABCD 的运动过程, 可以分为五个阶段, 分别求出每一阶段 S 的表达式, 如答图 2﹣4 所示. 解答: 解: (1)①直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)经过圆心 M(4,2)时,则有:2=﹣2× 4+b,∴b=10; ②若直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)与⊙M 相切,如答图 1 所示,应有两条符合条件的切线. 设直线与 x 轴、y 轴交于 A、B 点,则 A( ,0) 、B(0,b) ,∴OB=2OA. 由题意,可知⊙M 与 x 轴相切,设切点为 D,连接 MD; 设直线与⊙M 的一个切点为 P,连接 MP 并延长交 x 轴于点 G; 过 P 点作 PN⊥MD 于点 N,PH⊥x 轴于点 H. 易证△PMN∽△BAO, ∴PN:MN=OB:OA=2:1, ∴PN=2MN. 在 Rt△PMN 中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得:MN= ∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣ ∴P(4﹣ ,2﹣ ,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣ ; ,PN= , ,

) ,代入直线解析式求得:b=10﹣2 .

同理,当切线位于另外一侧时,可求得:b=10+2

(2)由题意,可知矩形 ABCD 顶点 D 的坐标为(2,2) . 由一次函数的性质可知,当 b 由小到大变化时,直线 l:y=﹣2x+b(b≥0)向右平移,依次扫过矩形 ABCD 的不同部分. 可得当直线经过 A(2,0)时,b=4;当直线经过 D(2,2)时,b=6;当直线经过 B(6,0)时,b=12;
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当直线经过 C(6,2)时,b=14. ①当 0≤b≤4 时,S=0; ②当 4<b≤6 时,如答图 2 所示. 设直线 l:y=﹣2x+b 与 x 轴交于点 P,与 AD 交于点 Q. 令 y=0,可得 x= ,∴AP= ﹣2; 令 x=2,可得 y=b﹣4,∴AQ=b﹣4. ∴S=S△APQ= AP?AQ= ( ﹣2) (b﹣4)= b2﹣2b+4;

③当 6<b≤12 时,如答图 3 所示. 设直线 l:y=﹣2x+b 与 x 轴交于点 P,与 CD 交于点 Q. 令 y=0,可得 x= ,∴AP= ﹣2; 令 y=2,可得 x= ﹣1,∴DQ= ﹣3. S=S 梯形 APQD= (DQ+AP)?AD=b﹣5;

④当 12<b≤14 时,如答图 4 所示. 设直线 l:y=﹣2x+b 与 BC 交于点 P,与 CD 交于点 Q. 令 x=6,可得 y=b﹣12,∴BP=b﹣12,CP=14﹣b; 令 y=2,可得 x= ﹣1,∴DQ= ﹣3,CQ=7﹣ .

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S=S 矩形 ABCD﹣S△PQC=8﹣ CP?CQ= ⑤当 b>14 时,S=S 矩形 ABCD=8.

b2+7b﹣41;

综上所述,当 b 由小到大变化时,S 与 b 的函数关系式为:



点评: 本题是动线型压轴题,综合考查了一次函数的图象与性质、圆的切线性质、相似三角形、矩形、梯形、勾 股定理以及图形面积等重要知识点, 涉及的考点较多, 难度较大, 对同学们的解题能力提出了很高的要求. 本 题的难点在于: (I)第(1)②问中,圆的切线有两条,容易遗漏.求切点坐标时候,注意运用相似关系化 简运算; (II)第(2)问中,动直线的运动过程分析是难点,注意划分为五个阶段,分别求出每个阶段 S 的 表达式.

36. (2012?深圳)如图,已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(﹣4,0) 、B(1,0) 、C(﹣2,6) . (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式; (2)设直线 BC 交 y 轴于点 E,连接 AE,求证:AE=CE; (3)设抛物线与 y 轴交于点 D,连接 AD 交 BC 于点 F,试问以 A、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似吗?

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考点: 二次函数综合题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式; (2)求出直线 BC 的函数解析式,从而得出点 E 的坐标,然后分别求出 AE 及 CE 的长度即可证明出结论; (3)求出 AD 的函数解析式,然后结合直线 BC 的解析式可得出点 F 的坐标,由题意得∠ABF=∠CBA,然 后判断出 是否等于 即可作出判断.

解答: 解: (1)设函数解析式为:y=ax2+bx+c, 由函数经过点 A(﹣4,0) 、B(1,0) 、C(﹣2,6) ,

可得



解得:



故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为:y=﹣x2﹣3x+4;

(2)设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b, 由题意得: 解得: , ,

即直线 BC 的解析式为 y=﹣2x+2. 故可得点 E 的坐标为(0,2) , 从而可得:AE= 故可得出 AE=CE; =2 ,CE= =2 ,

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(3)相似.理由如下: 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b, 则 解得: , ,

即直线 AD 的解析式为 y=x+4. 联立直线 AD 与直线 BC 的函数解析式可得: ,

解得:



即点 F 的坐标为(﹣ ,

) ,

则 BF=

=



又∵AB=5,BC= ∴ ∴ = = , , = ,

=3



又∵∠ABF=∠CBA, ∴△ABF∽△CBA. 故以 A、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似.

点评: 此题属于二次函数的综合题目,涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式,两点间 的距离公式,解答本题要求我们仔细审题,将所学知识联系起来,综合解答.

37. (2011?深圳)如图 1,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为 C(1,4) ,交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 D,其 中点 B 的坐标为(3,0) .
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(1)求抛物线的解析式; (2)如图 2,过点 A 的直线与抛物线交于点 E,交 y 轴于点 F,其中点 E 的横坐标为 2,若直线 PQ 为抛物线的对 称轴,点 G 为直线 PQ 上的一动点,则 x 轴上是否存在一点 H,使 D、G,H、F 四点所围成的四边形周长最小? 若存在,求出这个最小值及点 G、H 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 3,在抛物线上是否存在一点 T,过点 T 作 x 轴的垂线,垂足为点 M,过点 M 作 MN∥BD,交线段 AD 于点 N,连接 MD,使△DNM∽△BMD?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)2+4,然后将点 B 的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析 式; (2)作 F 关于 x 轴的对称点 F′(0,﹣1) ,连接 EF′交 x 轴于 H,交对称轴 x=1 于 G,四边形 DFHG 的周 长即为最小,则根据题意即可求得这个最小值及点 G、H 的坐标; (3)首先设 M 的坐标为(a,0) ,求得 BD 与 DM 的长,由平行线分线段成比例定理,求得 MN 的长,然 后由相似三角形对应边成比例,即可得 DM2=BD?MN,则可得到关于 a 的一元二次方程,解方程即可求得 答案. 解答: 解: (1)设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)2+4, ∵点 B 的坐标为(3,0) . ∴4a+4=0, ∴a=﹣1, ∴此抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;

(2)存在. 抛物线的对称轴方程为:x=1,
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∵点 E 的横坐标为 2, ∴y=﹣4+4+3=3, ∴点 E(2,3) , ∴设直线 AE 的解析式为:y=kx+b, ∴ ∴ , ,

∴直线 AE 的解析式为:y=x+1, ∴点 F(0,1) , ∵D(0,3) , ∴D 与 E 关于 x=1 对称, 作 F 关于 x 轴的对称点 F′(0,﹣1) , 连接 EF′交 x 轴于 H,交对称轴 x=1 于 G, 四边形 DFHG 的周长即为最小, 设直线 EF′的解析式为:y=mx+n, ∴ 解得: , ,

∴直线 EF′的解析式为:y=2x﹣1, ∴当 y=0 时,2x﹣1=0,得 x= , 即 H( ,0) , 当 x=1 时,y=1, ∴G(1,1) ; ∴DF=2,FH=F′H= = ,DG= = ,

∴使 D、G,H、F 四点所围成的四边形周长最小值为:DF+FH+GH+DG=2+

+

+

=2+2



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(3)存在. ∵BD= 设 M(c,0) , ∵MN∥BD, ∴ 即 ∴MN= = , , (1+c) ,DM= , =3 ,

要使△DNM∽△BMD, 需 ,即 DM2=BD?MN, × (1+c) ,

可得:9+c2=3

解得:c= 或 c=3(舍去) . 当 x= 时,y=﹣( ﹣1)2+4= ∴存在,点 T 的坐标为( , . ) .

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点评: 此题考查了待定系数法求函数的解析式,周长最短问题,相似三角形的判定与性质,以及平行线分线段成 比例定理等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意数形结合思想的应用.

38. (2011?深圳)深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备,全部运往大运赛 场 A、B 两馆,其中运往 A 馆 18 台、运往 B 馆 14 台;运往 A、B 两馆的运费如表 1: 表 1 出发地甲地 目的地 A馆 B馆 表 2 出发地甲地 目的地 A馆 B馆 x台 18﹣x (台) 乙地 800 元/台700 元/台 500 元/台600 元/台 乙地

17﹣x (台) x﹣3 (台)

(1)设甲地运往 A 馆的设备有 x 台,请填写表 2,并求出总运费元 y(元)与 x (台) 的函数关系式; (2)要使总运费不高于 20200 元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案; (3)当 x 为多少时,总运费最小,最小值是多少?

考点: 一次函数的应用. 专题: 优选方案问题;压轴题. 分析: (1)根据甲地、乙地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备,全部运往大运赛场 A、B 两馆,其 中运往 A 馆 18 台、运往 B 馆 14 台,得出它们之间的等量关系; (2)根据要使总运费不高于 20200 元,得出 200x+19300≤20200,即可得出答案; (3)根据一次函数的增减性得出一次函数的最值. 解答: 解: (1)根据题意得:甲地运往 A 馆的设备有 x 台, ∴乙地运往 A 馆的设备有(18﹣x)台, ∵甲地生产了 17 台设备, ∴甲地运往 B 馆的设备有(17﹣x)台, 乙地运往 B 馆的设备有 14﹣(17﹣x)=(x﹣3)台, ∴y=800x+700(18﹣x)+500(17﹣x)+600(x﹣3) ,
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=200x+19300(3≤x≤17) ;

(2)∵要使总运费不高于 20200 元, ∴200x+19300≤20200, 解得:x≤4.5,又 x﹣3≥0,x≥3, ∴x=3 或 4, 故该公司设计调配方案有: 甲地运往 A 馆 4 台,运往 B 馆 13 台,乙地运往 A 馆 14 台,运往 B 馆 1 台; 甲地运往 A 馆 3 台,运往 B 馆 14 台,乙地运往 A 馆 15 台,运往 B 馆 0 台; ∴共有两种运输方案;

(3)∵y=200x+19300, ∵200>0, ∴y 随 x 的增大而增大, ∴当 x 为 3 时,总运费最小,最小值是 y=200× 3+19300=19900 元. 点评: 此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题,根据题意用 x 表示出运往各地 的台数是解决问题的关键.

39. (2010?深圳)如图 1 所示,以点 M(﹣1,0)为圆心的圆与 y 轴,x 轴分别交于点 A,B,C,D,直线 y=﹣ ﹣ 与⊙M 相切于点 H,交 x 轴于点 E,交 y 轴于点 F.

x

(1)请直接写出 OE,⊙M 的半径 r,CH 的长; (2)如图 2 所示,弦 HQ 交 x 轴于点 P,且 DP:PH=3:2,求 cos∠QHC 的值; (3)如图 3 所示,点 K 为线段 EC 上一动点(不与 E,C 重合) ,连接 BK 交⊙M 于点 T,弦 AT 交 x 轴于点 N.是 否存在一个常数 a,始终满足 MN?MK=a,如果存在,请求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.

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考点: 一次函数综合题;等腰三角形的性质;垂径定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义. 专题: 压轴题. 分析: (1)在直线 y=﹣ x﹣ 中,令 y=0,可求得 E 的坐标,即可得到 OE 的长为 5;连接 MH,根据△EMH

与△EFO 相似即可求得半径为 2;再由 EC=MC=2,∠EHM=90° ,可知 CH 是 RT△EHM 斜边上的中线,根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出 CH 的长; (2)连接 DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QDP,从而求得 DQ 的长,在直角三角形 CDQ 中,即可求得∠D 的余弦值,即为 cos∠QHC 的值; (3)连接 AK,AM,延长 AM,与圆交于点 G,连接 TG,由圆周角定理可知,∠GTA=90° ,∠3=∠4,故 ∠AKC=∠MAN,再由△AMK∽△NMA 即可得出结论. 解答: 解: (1)∵直线 y=﹣ 令 x=0,则 y=﹣ ∴EF= ∵M(﹣1,0) , ∴EM=4, ∵∠E=∠E,∠AOE=∠EHM, ∴△EMH∽△EFO, ∴ = ,即 = , x﹣ 中,令 y=0,则 x=﹣5,即 OE=5; ) ,

,故 F 点坐标为(0,﹣ = ,

∴r=2; ∵CH 是 RT△EHM 斜边上的中线, ∴CH= EM=2.

(2)连接 DQ、CQ.
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∵∠CHP=∠D,∠CPH=∠QPD, ∴△CHP∽△QDP. ∴CH:DQ=HP:PD=2:3, ∴DQ=3. ∴cos∠QHC=cos∠D= .

(3)如图 3,连接 AK,AM,延长 AM,与圆交于点 G,连接 TG,则∠GTA=90° , ∴∠MAN+∠4=90° , ∵∠3=∠4 ∴∠MAN+∠3=90° 由于∠BKO+∠3=90° ,故∠BKC=∠MAN; 而∠BKC=∠AKC, ∴∠AKC=∠2, 在△AMK 和△NMA 中,∠AKC=∠MAN;∠AMK=∠NMA, 故△MAK∽△MNA, = ;

即:MN?MK=AM2=4, 故存在常数 a,始终满足 MN?MK=a, 常数 a=4.

点评: 此题要能够把一次函数的知识和圆的知识结合起来.掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理的推论、 锐角三角函数的概念等,此题的综合性较强.

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40. (2010?深圳)如图所示,抛物线 y=ax2+c(a>0)经过梯形 ABCD 的四个顶点,梯形的底 AD 在 x 轴上,其中 A (﹣2,0) ,B(﹣1,﹣3) . (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 为 y 轴上任意一点,当点 M 到 A,B 两点的距离之和为最小时,求此时点 M 的坐标; (3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点 P 使 S△PAD=4S△ABM 成立,求点 P 的坐标.

考点: 二次函数综合题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)将 A、B 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值; (2)由于 A、D 关于抛物线对称轴即 y 轴对称,那么连接 BD,BD 与 y 轴的交点即为所求的 M 点,可先求 出直线 BD 的解析式,即可得到 M 点的坐标; (3)设直线 BC 与 y 轴的交点为 N,那么△ABM 的面积即为梯形 ABNO、△BMN、△AOM 的面积差,由此 可求出△ABM 和△PAD 的面积;在△PAD 中,AD 的长为定值,可根据其面积求出 P 点纵坐标的绝对值, 然后代入抛物线的解析式中即可求出 P 点的坐标. 解答: 解: (1)由题意可得: 解得 ; ,

∴抛物线的解析式为:y=x2﹣4;

(2)由于 A、D 关于抛物线的对称轴(即 y 轴)对称,连接 BD. 则 BD 与 y 轴的交点即为 M 点; 设直线 BD 的解析式为:y=kx+b(k≠0) ,则有: , 解得 ;

∴直线 BD 的解析式为 y=x﹣2,点 M(0,﹣2) ;

- 79 -

(3)设 BC 与 y 轴的交点为 N,则有 N(0,﹣3) ; ∴MN=1,BN=1,ON=3; S△ABM=S 梯形 AONB﹣S△BMN﹣S△AOM= (1+2)× 3﹣ × 2× 2﹣ × 1× 1=2; ∴S△PAD=4S△ABM=8; 由于 S△PAD= AD?|yp|=8, 即|yp|=4; 当 P 点纵坐标为 4 时,x2﹣4=4, 解得 x=± 2 ∴P1(﹣2 , ,4) ,P2(2 ,4) ;

当 P 点纵坐标为﹣4 时,x2﹣4=﹣4, 解得 x=0, ∴P3(0,﹣4) ; 故存在符合条件的 P 点,且 P 点坐标为:P1(﹣2 ,4) ,P2(2 ,4) ,P3(0,﹣4) .

点评: 此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法,轴对称的性质等知识的综合应 用能力;当所求图形不规则时,一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求.

41. (2009?深圳)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(﹣2,0) ,连接 OA,将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120° ,得到线段 OB. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请 说明理由; (4)如果点 P 是(2)中的抛物线上的动点,且在 x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时 P 点 的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. (注意:本题中的结果均保留根号) .

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考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)由已知得 OA=2,将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120° ,则 OB 与 x 轴的正方向夹角为 60° ,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,解直角三角形可得 OD、BD 的长,可表示 B 点的坐标; (2)直接将 A、O、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式; (3)因为点 A,O 关于对称轴对称,连接 AB 交对称轴于 C 点,C 点即为所求,求直线 AB 的解析式,再 根据 C 点的横坐标值,求纵坐标; (4)设 P(x,y) (﹣2<x<0,y<0) ,用割补法可表示△PAB 的面积,根据面积表达式再求取最大值时, x 的值. 解答: 解: (1)过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,由已知可得:OB=OA=2,∠BOD=60° , 在 Rt△OBD 中,∠ODB=90° ,∠OBD=30° ∴OD=1,DB= ∴点 B 的坐标是(1, ) .

(2)设所求抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ,

由已知可得:



解得:a=

,b=

,c=0,

- 81 -

∴所求抛物线解析式为 y=

x2+

x.

(3)存在, 由 y= x2+ x 配方后得:y= (x+1)2﹣

∴抛物线的对称轴为 x=﹣1 (也可用顶点坐标公式求出) ∵点 C 在对称轴 x=﹣1 上,△BOC 的周长=OB+BC+CO; ∵OB=2,要使△BOC 的周长最小,必须 BC+CO 最小, ∵点 O 与点 A 关于直线 x=﹣1 对称,有 CO=CA △BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA ∴当 A、C、B 三点共线,即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时,BC+CA 最小,此时△BOC 的周长 最小. 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,则有: ,

解得:k=

,b=

, x+ ,

∴直线 AB 的解析式为 y= 当 x=﹣1 时,y= ,

∴所求点 C 的坐标为(﹣1,

) ,

(4)设 P(x,y) (﹣2<x<0,y<0) , 则 y= x2+ x①

过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q,PG⊥x 轴于点 G,过点 A 作 AF⊥PQ 轴于点 F,过点 B 作 BE⊥PQ 轴于点 E, 则 PQ=﹣x,PG=﹣y, 由题意可得:S△PAB=S 梯形 AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP = (AF+BE)?FE﹣ AF?FP﹣ PE?BE = (﹣y+ = 将①代入②,
- 82 -

﹣y) (1+2)﹣ (﹣y) (x+2)﹣ (1﹣x) ( ②

﹣y)

化简得:S△PAB=﹣ = ∴当 此时 ∴点 P 的坐标为 (x+ )2+

x2﹣

x+

时,△PAB 得面积有最大值,最大面积为





点评: 本题考查了坐标系中点的坐标求法,抛物线解析式的求法,根据对称性求线段和最小的问题,也考查了在 坐标系里表示面积及求面积最大值等问题; 解答本题(4)也可以将直线 AB 向下平移至与抛物线相切的位置,联立此时的直线解析式与抛物线解析式, 可求唯一交点 P 的坐标.

42. (2009?深圳)如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y=﹣2x﹣8 分别与 x 轴,y 轴相交于 A,B 两点,点 P(0,k) 是 y 轴的负半轴上的一个动点,以 P 为圆心,3 为半径作⊙P. (1)连接 PA,若 PA=PB,试判断⊙P 与 x 轴的位置关系,并说明理由; (2)当 k 为何值时,以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.

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考点: 切线的判定;一次函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 专题: 压轴题. 分析: (1)通过一次函数可求出 A、B 两点的坐标及线段的长,再在 Rt△AOP 利用勾股定理可求得当 PB=PA 时 k 的值,再与圆的半径相比较,即可得出⊙P 与 x 轴的位置关系. (2)根据正三角形的性质,分两种情况讨论, ①当圆心 P 在线段 OB 上时,②当圆心 P 在线段 OB 的延长线上时,从而求得 k 的值. 解答: 解: (1)⊙P 与 x 轴相切, ∵直线 y=﹣2x﹣8 与 x 轴交于 A(﹣4,0) ,与 y 轴交于 B(0,﹣8) , ∴OA=4,OB=8. 由题意,OP=﹣k, ∴PB=PA=8+k. ∵在 Rt△AOP 中,k2+42=(8+k)2 ∴k=﹣3, (2 分) ∴OP 等于⊙P 的半径. ∴⊙P 与 x 轴相切.

(2)设⊙P1 与直线 l 交于 C,D 两点,连接 P1C,P1D, 当圆心 P1 在线段 OB 上时,作 P1E⊥CD 于 E, ∵△P1CD 为正三角形, ∴DE= CD= ,P1D=3. ∴P1E= .

∵∠AOB=∠P1EB=90° ,∠ABO=∠P1BE, ∴△AOB∽△P1EB.



,即


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. (2 分) .

∴P1O=BO﹣BP1=8﹣ ∴P1(0, ∴k= ﹣8) . ﹣8.

当圆心 P2 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P2(0,﹣ ∴k=﹣ ∴当 k= ﹣8. ﹣8 或 k=﹣

﹣8) .

﹣8 时,以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.

点评: 本题考查了一次函数图象,圆的切线的判定,相似三角形的判定及性质,等边三角形等内容,范围较广, 题目较复杂.

43. (2015?深圳一模)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 过 A(3,3.5) 、B(4,2) 、C(0,2)三点,点 P 是 x 轴上的 动点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图甲所示,连接 AC、CP、PB、BA,是否存在点 P,使四边形 ABPC 为等腰梯形?若存在,求出点 P 的坐 标;若不存在,说明理由; (3)点 H 是题中抛物线对称轴 l 上的动点,如图乙所示,求四边形 AHPB 周长的最小值.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)利用待定系数法,将点 A,B,C 的坐标代入解析式即可求得; (2)根据等腰梯形的判定方法分别从 PC∥AB 与 BP∥AC 去分析,注意不要漏解; (3)首先确定点 P 与点 H 的位置,再求解各线段的长即可.
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解答: 解:∵抛物线 y=ax2+bx+c 过 A(3,3.5) 、B(4,2) 、C(0,2)三点, ∴

解得:



∴此抛物线的解析式为:y=﹣ x2+2x+2;

(2)∵A(3,3.5) 、B(4,2) 、C(0,2) , ∴AC= ,AB= ,

①若 PC∥AB,则过点 B 作 BE∥x 轴,过点 A 作 AE∥y 轴,交点为 E, ∴AE=1.5,BE=1, 当 ∴ ∴OP= , ∴点 P 的坐标为: ( ,0) , ∴BP= , 时,AB∥PC, ,

∴AP≠BC, ∴此点不符合要求,舍去;

②若 BP∥AC,则过点 A 作 AE∥y 轴,过点 C 作 CE∥x 轴,相交于点 E,过点 B 作 BF∥y 轴, 当 ∴ 时,BP∥AC, ,
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解得:PF=4, ∴点 P 与点 O 重合, ∴PC=2≠AB. ∴此点不符合要求,舍去;

(3)过 A 作对称轴的对称点 A′,过 B 作 x 轴对称点 B′,连接 A′B′,分别交对称轴与 x 轴于 H 点、P 点,则 这两点即为所求. ∴AH=A′H,PB=PB′, ∴AB+AH+PH+PB=AB+A′H+HP+PB′=AB+A′B′, ∵抛物线的 y=﹣ x2+2x+2 的对称轴为:x=2, ∵A(3,3.5) ,B(4,2) , ∴A′(1,3.5) ,B′(4,﹣2) , ∴AB= ,A′B′= , + .

∴四边形 AHPB 周长的最小值为:

点评: 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,等腰梯形的判定与性质以及周长和最小问题.此题比较复杂, 注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

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44. (2014?坪山新区模拟)如图 1,在平面直角坐标系中,直线 α:y=﹣x﹣ (1)求点 A 的坐标及∠CAO 的度数; (2)点 B 为直线 y=﹣ 坐标;

与坐标轴分别交于 A,C 两点,

上的一个动点,以点 B 为圆心,AC 长为直径作⊙B,当⊙B 与直线 α 相切时,求 B 点的

(3)如图 2,当⊙B 过 A,O,C 三点时,点 E 是劣弧上一点,连接 EC,EA,EO,当点 E 在劣弧上运动时(不与 A,O 两点重合) , 的值是否发生变化?如果不变,求其值,如果变化,说明理由.

考点: 圆的综合题. 分析: (1)已知点 A,C 的坐标,故可推出 OA=OC,最后可得∠CAO=45° . (2)设 B(m,﹣ ) .依题意,由于直线 BM 的斜率为 1,则设直线 BM 为:y=x+b,代入 B 求得直线 BM

的解析式,解两个解析式构成的方程组求得交点 M 的坐标,然后根据 BM 等于圆 B 的半径,列出方程,解 这个方程即可求得; (3)在 CE 上截取 CK=EA,连接 OK,证明△OAE≌△OCK 推出 OE=OK,∠EOA=∠KOC, ∠EOK=∠AOC=90° .最后可证明 解答: 解: (1)令直线 a:y=﹣x﹣ ∴A(﹣ ,0) , ,∴C(0,﹣ ) , = . ,

中,y=0 求出 x=﹣

令 x=0 求出 y=﹣ ∴OA=OC, ∵OA⊥OC,

∴△AOC 为等腰直角三角形, ∴∠CAO=45° ;

(2)如图 1,设 B(m,﹣ ∵⊙B 与直线 α 相切,

) .

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∴BM⊥AC, ∴直线 BM 的斜率为 1, ∴设直线 BM 为:y=x+b, 代入 B 点的坐标得:b=﹣m﹣ , ,

∴直线 BM 的解析式为:y=x﹣m﹣



得:



∴交点 M( ﹣ ∴( ﹣

,﹣ ﹣

) , + , , ) ; )2=( )2

﹣m)2+(﹣ ﹣ ,或 m=﹣1﹣ )或(﹣1﹣

解得:m=1﹣ ∴B(1﹣ ,

(3)

的值不变,等于

,如图 2,

在 CE 上截取 CK=EA,连接 OK, ∵∠OAE=∠OCK,OA=OC, ∴△OAE≌△OCK, ∴OE=OK,∠EOA=∠KOC, ∴∠EOK=∠AOC=90° , ∴EK= EO,∴ = .

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点评: 此题综合考查了点的坐标的求法、函数、图形的平移与旋转、圆的有关性质等知识.此题综合性强,难度 较大,把重点知识穿插进行了考查.

45. (2014?龙岗区模拟)如图,在平面直角坐标系中,?ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别为 A(0,4) 、B(1,4) 、 C(0,1) ,将?ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90° ,得到?A′B′CD′,A′D′与 BC 相交于点 E. (1)求经过点 D、A、A′的抛物线的函数关系式; (2)求?ABCD 与?A′B′CD′的重叠部分(即△CED’)的面积; (3)点 P 是抛物线上点 A、A′之间的一动点,是否存在点 P 使得△APA′的面积最大?若存在,求出△APA′的最大面 积,及此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,根据平行四边形的性质和旋转的性质易求点 D 的坐标和 A′坐标, 再把 D(﹣1,1) 、A(0,4) 、A′(3,1)代入求出 a、b、 c 的值即可; (2)根据旋转:∠CED’=90° ,所以可证明△CED′∽△CAB,利用相似三角形的性质:面积比等于相似比 的平方即可求出?ABCD 与?A′B′CD′的重叠部分(即△CED’)的面积; (3)易得:yAA'=﹣x+4,设 P(t,﹣t2+2t+4) ,则 Q(t,﹣t+4) ,所以 PQ=(﹣t2+2t+4)﹣(﹣t+4)=﹣t2+3t, 利用三角形的面积公式即可得到 s 和 t 的二次函数关系式利用函数的性质即可求出△APA′的最大面积, 进而
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可求出点 P 的坐标. 解答: 解: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,将?ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90° ,得到?A′B′CD′, 顶点 A、B、C 的坐标分别为 A(0,4) 、B(1,4) 、C(0,1) , ∴D(﹣1,1) 、A′(3,1) , 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,

将 D(﹣1,1) 、A(0,4) 、A′(3,1)代入得:



解得:



∴y=﹣x2+2x+4 或:y=﹣(x﹣1)2+5; (2)根据旋转:∠CED’=90°, ∴△CED′∽△CAB, ∴ ,







; ,

或易得:yBC=3x+1 与



得:E(



) ,

∴ (3)易得:yAA'=﹣x+4



设 P(t,﹣t2+2t+4) ,则 Q(t,﹣t+4) , ∴PQ=(﹣t2+2t+4)﹣(﹣t+4)=﹣t2+3t, ∴ ∴△APA’的最大面积为 此时,P( , ) .
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, ,

点评: 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判 定和性质、函数图象的交点等知识点,综合性强,同时也考查了数形结合的数学思想方法.

46. (2014?宝安区二模) 已知: 如图 1, 在平面直角坐标系中, ⊙P 的圆心 P (3, 0) , 半径为 5, ⊙P 与抛物线 y=ax2+bx+c (a≠0)的交点 A、B、C 刚好落在坐标轴上. (1)求抛物线的解析式; (2)点 D 为抛物线的顶点,经过 C、D 的直线是否与⊙P 相切?若相切,请证明;若不相切,请说明理由; (3)如图 2,点 F 是点 C 关于对称轴 PD 的对称点,若直线 AF 交 y 轴于点 K,点 G 为直线 PD 上的一动点,则 x 轴上是否存在一点 H,使 C、G、H、K 四点所围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点 G、H 的坐标; 若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0) ,由已知条件可求出 A,B,C 的坐标代入抛物线解析式求出 a,b,c 的值即可; (2)直线 CD 与⊙P 相切,易求直线 yCD=k1x+b1 连接 PC,设经过 C(0,4) 、P(3,0)的直线 yPC=k2x+b2, 可求出直线的解析式,因为 ,

所以 CD⊥PC 且 CD 经过⊙P 的半径外端点 C,所以直线 CD 是⊙P 的切线; (3)因为抛物线的对称轴是 x=3,所以点 F(6,4) ,设经过 A(﹣2,0) 、F(6,4)的直线 yAF=m1x+n1,
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则可求出直线的解析式,连接 K'F 交对称轴 PD 于点 G,交 x 轴于点 H,则 C、G、H、K 四点所围成的四 边形周长最小,再利用给出的已知数据即可求出其最小值. 解答: 解: (1)∵⊙P 的圆心 P(3,0) ,半径为 5, ∴A(﹣2,0) 、B(8,0) 、C(0,4) ,

∴设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0)







∴所求抛物线的关系式为:



(2)直线 CD 与⊙P 相切. 理由如下:由 设经过 C(0,4) 、D 的顶点 D 的直线 yCD=k1x+b1





解之得





连接 PC,如图 1,

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设经过 C(0,4) 、P(3,0)的直线 yPC=k2x+b2



解之得

∴ 又∵

, ,

∴CD⊥PC 且 CD 经过⊙P 的半径外端点 C ∴直线 CD 是⊙P 的切线.

(3)存在,理由如下: ∵抛物线的对称轴是 x=3, ∴点 F(6,4) 设经过 A(﹣2,0) 、F(6,4)的直线 yAF=m1x+n1



解之得



与 y 轴交于点 K(0,1)

又∵点 K(0,1)关于 x 轴的对称点 K'(0,﹣1) 连接 K'F 交对称轴 PD 于点 G,交 x 轴于点 H,如图 2 则 C、G、H、K 四点所围成的四边形周长最小. 又设经过 K'(0,﹣1) 、F(6,4)的直线



解之得

∴ 当 y=0 时, 当 x=3 时, ∴ ∴四边形 CGHK 的最小周长 .
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即H 即G

; , CK=4﹣1=3,

点评: 本题主要考查了二次函数解析式的确定、一次函数解析式得确定,勾股定理的运用,轴对称的性质、线段 最短的问题、圆的切线的判定及性质、函数图象交点的求法和利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法 求出是解题关键.

47. (2014?福田区模拟)如图所示,对称轴是 x=﹣1 的抛物线与 x 轴交于 A、B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C(3, 0) ,作直线 AC,点 P 是线段 AB 上不与点 A、B 重合的一个动点,过点 P 作 y 轴的平行线,交直线 AC 于点 D,交 抛物线于点 E,连结 CE、OD. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当 P 在 A、O 之间时,求线段 DE 长度 s 的最大值; (3) 连接 AE、 BC,作 BC 的垂直平分线 MN 分别交抛物线的对称轴 x 轴于 F、 N, 连接 BF、 OF,若∠EAC=∠OFB, 求点 P 的坐标.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)利用待定系数法设出交点式求得二次函数的解析式即可; (2)首先求得直线 BC 的解析式,然后设 P(m,0) ,则 D(m,m+3) ,E(m,﹣m2﹣2m+3) ,得到 s=yE ﹣yD=﹣m2﹣3m,配方后即可确定最值; (3) 根据 OA=OC=3, OB=1, 得到∠OAC=∠OCA=45° , BC= , BM= , 从而得到∠ADP=∠ACO=45° ,

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利用 cos∠ABC=

,得到 BN=5,CN=5﹣2=3=OC,可得△FNG≌△BCO,然后分当点 P 在 A、O 之间

时和当点 P 在 O、B 之间时确定 P 点的坐标. 解答: 解: (1)由 A、B(1,0)两点关于 x=﹣1 对称,得 A(﹣3,0) , 设抛物线为 y=a(x﹣1) (x+3) , 将点 C(0,3)代入,解得 a=﹣1, ∴抛物线的函数表达式 y=﹣(x﹣1) (x+3)=﹣x2﹣2x+3;

(2)由 B、C 两点的坐标可求得直线 BC 的表达式:y=x+3, 设 P(m,0) ,则 D(m,m+3) ,E(m,﹣m2﹣2m+3) , s=yE﹣yD=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3) =﹣m2﹣3m =﹣(m+
)2

+

∵﹣1<0, ∴s 有最大值 ;

(3)∵OA=OC=3,OB=1, ∴∠OAC=∠OCA=45° ,BC= ∴∠ADP=∠ACO=45° , ,BM= ,

∵cos∠ABC=

,即



∴BN=5,GN=5﹣2=3=OC(G 为对称轴与 x 轴的交点) , 可得△FNG≌△BCO,GF=OB=1=OG, ∴∠FOG=45° , ∴∠OFB=45° ﹣∠FBG, ∵∠EAC=∠OFB, ∴∠EAC=45° ﹣∠FBG 当点 P 在 A、O 之间时,如图(2) , ∵∠AEP=∠ADP﹣∠EAC=45° ﹣∠EAC=∠FBG, ∴tan∠AEP=tan∠FBG, ∴ ,
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解得 m=﹣1 或﹣3(舍去) , ∴P(﹣1,0) 当点 P 在 O、B 之间时, ∵∠EAP=∠DAP﹣∠EAC=45° ﹣∠EAC=∠FBG, ∴tan∠EAP=tan∠FBG, ∴





解得 m= 或﹣3(舍去) , ∴P( ,0) .

点评: 本题考查了二次函数的综合知识, (3)小题中,都用到了分类讨论的数学思想,难点在于考虑问题要全面, 做到不重不漏,难度较大.

48. (2013?龙岗区模拟)如图,Rt△OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中,直角边 OA 与 x 轴重合,∠OAB=90° , OA=4,AB=2,把 Rt△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90° ,点 B 旋转到点 C 的位置,一条抛物线正好经过点 O,C,A 三 点. (1)求该抛物线的解析式; (2)在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P,过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点 P,点 M 作 x 轴的垂 线,交 x 轴于 E,F 两点,问:四边形 PEFM 的周长是否有最大值?如果有,请求出最值,并写出解答过程;如果 没有,请说明理由.

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(3)如果 x 轴上有一动点 H,在抛物线上是否存在点 N,使 O(原点) 、C、H、N 四点构成以 OC 为一边的平行四 边形?若存在,求出 N 点的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)根据旋转的性质可求出 C 的坐标和 A 的坐标,又因为抛物线经过原点,故设 y=ax2+bx 把(2,4) , (4, 0)代入,求出 a 和 b 的值即可求出该抛物线的解析式; (2)四边形 PEFM 的周长有最大值,设点 P 的坐标为 P(a,﹣a2+4a)则由抛物线的对称性知 OE=AF, 所以 EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,则矩形 PEFM 的周长 L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10, 利用函数的性质即可求出四边形 PEFM 的周长的最大值; (3)在抛物线上存在点 N,使 O(原点) 、C、H、N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形,由(1)可求出 抛物线的顶点坐标,过点 C 作 x 轴的平行线,与 x 轴没有其它交点,过 y=﹣4 作 x 轴的平行线,与抛物线 有两个交点,这两个交点为所求的 N 点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4,解方程即可求出交点坐标. 解答: 解: (1)因为 OA=4,AB=2,把△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90° , 可以确定点 C 的坐标为(2,4) ;由图可知点 A 的坐标为(4,0) , 又因为抛物线经过原点,故设 y=ax2+bx 把(2,4) , (4,0)代入, 得 解得 所以抛物线的解析式为 y=﹣x2+4x; ,

(2)四边形 PEFM 的周长有最大值,理由如下: 由题意,如图所示,设点 P 的坐标为 P(a,﹣a2+4a)则由抛物线的对称性知 OE=AF, ∴EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,
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则矩形 PEFM 的周长 L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10, ∴当 a=1 时,矩形 PEFM 的周长有最大值,Lmax=10;

(3)在抛物线上存在点 N,使 O(原点) 、C、H、N 四点构成以 OC 为一边的平行四边形,理由如下: ∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4 可知顶点坐标(2,4) , ∴知道 C 点正好是顶点坐标,知道 C 点到 x 轴的距离为 4 个单位长度, 过点 C 作 x 轴的平行线,与 x 轴没有其它交点,过 y=﹣4 作 x 轴的平行线,与抛物线有两个交点, 这两个交点为所求的 N 点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得 x1=2+ ∴N 点坐标为 N1(2+ ,﹣4) ,N2(2﹣ ,﹣4) . ,x2=2﹣

点评: 本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点 问题,题目的综合性很强,对学生的综合解题能力要求很高.

49. (2013?龙岗区模拟)如图,已知点 A(2,0) 、B(﹣1,0) ,C 是 y 轴的负半轴上一点,且 OA=OC,抛物线经 过 A、B、C 三点. (1)此抛物线的关系式. (2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使△PBC 为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由. (3)Q 是抛物线上一点,过点 Q 作指点 BC 的垂线,垂足为 D,若△QDB 与△BOC 相似,请求点 Q 的坐标.

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考点: 二次函数综合题. 分析: (1)设抛物线关系式为 y=a(x﹣2) (x+1) ,由已知 A(2,0) 、B(﹣1,0)和 OA=OC,求出 C 点的坐标 代入解析式求出 a 的值即可; (2)在对称轴右侧的抛物线上是存在点 P,使△PBC 为直角三角形,此题因为 P 的位置不确定所以要分三 种情况分别讨论①当∠PBC=90° 时和当∠PCB=90° 时,③以 BC 为直径画圆,与抛物线没有交点,∠BPC 不 可能为直角,再分别求出符合题意的 P 的坐标即可; (3)此小题中 Q 的位置不确定,所以要分两种情况分别讨论①当∠QBD=∠OBC 时,△QDB∽△COB,② 当∠QBD=∠OCB 时,△QDB∽△COB,再有已知条件和给出的数据求出满足题意 Q 的坐标即可. 解答: (1)解:∵A(2,0) 、B(﹣1,0) , 又 OA=OC=2,即 C(0,﹣2) 设抛物线关系式为 y=a(x﹣2) (x+1) , 解得:a=1, ∴y=(x﹣2) (x+1)=x2﹣x﹣2 (2)在对称轴右侧的抛物线上是存在点 P,使△PBC 为直角三角形, 理由如下: (如图 1) ∵C(0,﹣2) ,B(﹣1,0) , ∴直线 BC 的关系式为 y=﹣2x﹣2 ①当∠PBC=90° 时,PB⊥BC, 设直线 PB 为 y= ∵B(﹣1,0) , ∴b= , 即 y= 解方程 , =x2﹣x﹣2 得 x1=﹣1(舍去) ,x2=
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∴P1( , )

②当∠PCB=90° 时,PC⊥BC, 设直线 PC 为 y=
1

∵C(0,﹣2) ,∴b1=﹣2 即 y= 解方程 ∴P2( , =x2﹣x﹣2 得 x1=0(舍去) ,x2= )

③以 BC 为直径画圆,与抛物线没有交点, ∴∠BPC 不可能为直角, 综上所述,存在 P1( , ) 、P2( , (3)解: (如图 2) ①当∠QBD=∠OBC 时, 又∵∠QDB=∠BOC=90° ∴△QDB∽△COB, 此时,QB 与与 BA 重合,即 Q1(2,0) ②当∠QBD=∠OCB 时, 又∵∠QDB=∠BOC=90° ∴△QDB∽△COB, 设 BQ 交 y 轴于点 F, ∵∠QBD=∠OCB, ∴BF=CF, 设 CF=BF=m,则 m2=(2﹣m)2+12 ∴m= ,
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)使得△PAC 为直角三角形.

∴F(0,

) ,

∴直线 BF 的表达式为 y= 解方程 ∴ ∴Q2 =x2﹣x﹣2 得, (舍去) , ,

综上所述,共有 2 个 Q 点符合题意,分别为 Q1(2,0) ,Q2



点评: 此题主要考查了二次函数解析式的确定、一次函数的解析式的确定、直角三角形的判定和性质以及相似三 角形的判定和性质,其中(2) (3)题都用到了分类讨论的数学思想,因此考虑问题一定要全面,以免漏解, 题目的综合性很强,难度不小,是一道不错的中考压轴题.

50. (2013?宝安区一模)如图,抛物线 已知 B 点坐标(4,0) .

的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,

(1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC 的外接圆的圆心 P 位置,并求圆心 P 坐标; (3)若 D 是抛物线上一动点,是否存在点 D,使以 P、B、C、D 为顶点的四边形是梯形?如果存在,请直接写出 满足条件的点 D 的坐标;如果不存在,请说明理由.

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考点: 二次函数综合题. 专题: 综合题. 分析: (1)将点 B 的坐标代入可求出 a 的值,继而得出抛物线的解析式; (2)分别求出 AC、AB、BC 的长度,利用勾股定理的逆定理可判断△ABC 为直角三角形,从而确定△ABC 的外接圆圆心在斜边的中点; (3)分两种情况讨论,①BC 为梯形的底边,②BC 为梯形的对角线,分别求出点 D 的坐标即可. 解答: 解: (1)将点 B(4,0)的坐标代入可得:16a+6+2=0, 解得:a=﹣ , 故抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x+2.

(2)∵抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x+2, ∴点 C 的坐标为(0,2) ,点 A 的坐标为(﹣1,0) , ∴AC2=AO2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,AB2=(OA+OB)2=25, ∵AC2+BC2=AB2, ∴△ABC 为直角三角形, ∴△ABC 的外接圆的圆心 P 位置在斜边 AB 的中点处, ∴点 P 的坐标为( ,0) .

(3)存在点 D 的坐标. ①若 BC 为梯形的底边,过点 P 作 BC 的平行线,交抛物线于点 D,
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设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, 将点 B、点 C 的坐标代入可得: ,

解得:



故直线 BC 的解析式为 y=﹣

+2,

故可设直线 PD 的解析式为 y=﹣ x+c, 将点 P 的坐标( ,0)代入可得:﹣ × +c=0, 解得:c= , 故直线 PD 的解析式为 y=﹣ x+ ,

联立抛物线与直线 PD 的解析式:



解得:





即点 D 的坐标为(



)或(



) .

②若 BC 为梯形的对角线,过点 C 作 CD∥BP,交抛物线于点 D, 此时点 D 的纵坐标为 2,将 y=2 代入抛物线解析式可得点 D 的坐标为(3,2) ; ③当 CP 为底边,过 B 作 CP 的平行线,方法同第二种情况, ∵P( ,0) ,C(0,2) , ∴直线 PC 的解析式为 y=﹣ x+2, ∵BD∥PC,B(4,0) , ∴直线 BD 的解析式为 y=﹣ x+ ,



,解得



∴D( ,

) . , )或( , )或(3,2)或( , ) .

综上可得点 D 的坐标为: (

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点评: 本题考查了二次函数的综合题,涉及了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的外接圆圆心及直线与 抛物线的交点,涉及的知识点较多,对于此类综合性较强的题目,要求同学们熟练掌握各知识点,并能将 所学知识点融会贯通.

51. (2012?龙岗区二模)如图 1,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD=

,AD=5,BC=3.以 AD 所在的直线

为 x 轴,过点 B 且垂直于 AD 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系.抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、C、D 三点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)设(1)中的抛物线与 BC 交于点 E,P 是该抛物线对称轴上的一个动点(如图 2) : ①若直线 PC 把四边形 AOEB 的面积分成相等的两部分,求直线 PC 的函数表达式; ②连接 PB、 PA, 是否存在△PAB 是直角三角形?若存在, 求出所有符合条件的点 P 的坐标, 并直接写出相应的△PAB 的外接圆的面积;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)首先过点 C 作 CF⊥AD 于 F,根据题意可得 Rt△AOB≌Rt△CFD,则可得 C(3,3) ,D(4,0) ,则 利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式; (2)①连接 AE 交 OB 于点 G,因为 E 的纵坐标为 3,代入即可求得其横坐标的值,则可求得 BE 的长,则 可证得四边形 AOEB 是平行四边形,当 PC 过点 G 时,PC 把四边形 AOEB 的面积平分,由点 C 与 G 的坐 标,利用待定系数法即可求得直线 PC 的解析式;
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②首先求得 M 与 N 的坐标,再分别从 PB2=PM2+BM2=(y﹣3)2+4,PA2=PM2+AM2=y2+9,AB2=10 这三方面 去分析,注意不要漏解, 解答: 解: (1)过点 C 作 CF⊥AD 于 F, 由已知得:Rt△AOB≌Rt△CFD,OF=BC=3, ∴AO=DF=1,OD=OF+DF=4, ∴CF= ,

∴C(3,3) ,D(4,0) , ∴ ,

解得:a=﹣1,b=4,c=0, ∴所求的抛物线为 y=﹣x2+4x;

(2)①连接 AE 交 OB 于点 G, 把 y=3 代入 y=﹣x2+4x, 得:﹣x2+4x=3, 解得:x1=1,x2=3, ∴E(1,3) , ∴BE=1=OA, ∵BE∥OA, ∴四边形 AOEB 是平行四边形, ∴当 PC 过点 G(G 为 AOEB 两条对角线的交点)时,PC 把四边形 AOEB 的面积平分, ∵OG= OB= , ∴G(0, ) , ∴C(3,3) , ∴直线 CG 为: ∴即直线 PC 为: , ;

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②存在满足条件的点 P, 由(1)知抛物线的对称轴为 x=2, 设 P(2,y) ,对称轴交 BC 于点 M,交 x 轴于点 N, 则 M(2,3) ,N(2,0) , ∴PB2=PM2+BM2=(y﹣3)2+4,PA2=PM2+AM2=y2+9,AB2=10, 有三种可能, 若∠PBA=90° ,则 PA2=PB2+AB2, ∴y2+9=(y﹣3)2+4+10, 解得 y= , ∴P(2, ) ,

∴AP=

=

, )2=

此时△PAB 外接圆的面积是:π× ( × 若∠PAB=90° ,则 PB2=PA2+AB2, ∴(y﹣3)2+4=y2+9+10, 解得:y=﹣1, ∴P(2,﹣1) , ∴BP=2 ,

π,

此时△PAB 外接圆的面积是:5π, 若∠APB=90° ,则 PB2+PA2=AB2, ∴(y﹣3)2+4+y2+9=10,此方程无实数根, ∴此时满足条件的点 P 不存在, 综上所述,存在满足条件的点 P, 当点 P(2, )时,△PAB 外接圆的面积是 π,
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当点 P(2,﹣1)时,△PAB 外接圆的面积是 5π.

点评: 此题考查了待定系数法求函数的解析式,以及平行四边形的判定与性质等知识.此题综合性很强,注意数 形结合思想与分类讨论思想的应用.

52. (2007?玉溪)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0) ,直线 y=x+m 与该二次函数的图象交于 A、B 两 点,其中 A 点的坐标为(3,4) ,B 点在 y 轴上. (1)求 m 的值及这个二次函数的关系式; (2)P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A、B 不重合) ,过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E,设线 段 PE 的长为 h,点 P 的横坐标为 x,求 h 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段 AB 上是否存在一点 P,使得四边形 DCEP 是平行四 边形?若存在,请求出此时 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)因为直线 y=x+m 过点 A,将 A 点坐标直接代入解析式即可求得 m 的值;设出二次函数的顶点式,将 (3,4)代入即可; (2)由于 P 和 E 的横坐标相同,将 P 点横坐标代入直线和抛物线解析式,可得其纵坐标表达式,h 即为二 者之差;根据 P、E 在二者之间,所以可知 x 的取值范围是 0<x<3; (3)先假设存在点 P,根据四边形 DCEP 是平行四形的条件进行推理,若能求出 P 点坐标,则证明存在点
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P,否则 P 点不存在. 解答: 解: (1)∵点 A(3,4)在直线 y=x+m 上, ∴4=3+m. ∴m=1. 设所求二次函数的关系式为 y=a(x﹣1)2. ∵点 A(3,4)在二次函数 y=a(x﹣1)2 的图象上, ∴4=a(3﹣1)2, ∴a=1. ∴所求二次函数的关系式为 y=(x﹣1)2. 即 y=x2﹣2x+1.

(2)设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP 和 yE. ∴PE=h=yP﹣yE =(x+1)﹣(x2﹣2x+1) =﹣x2+3x. 即 h=﹣x2+3x(0<x<3) .

(3)存在. 解法 1:要使四边形 DCEP 是平行四边形,必需有 PE=DC. ∵点 D 在直线 y=x+1 上, ∴点 D 的坐标为(1,2) , ∴﹣x2+3x=2. 即 x2﹣3x+2=0. 解之,得 x1=2,x2=1(不合题意,舍去) ∴当 P 点的坐标为(2,3)时,四边形 DCEP 是平行四边形.

解法 2:要使四边形 DCEP 是平行四边形,必需有 BP∥CE. 设直线 CE 的函数关系式为 y=x+B. ∵直线 CE 经过点 C(1,0) , ∴0=1+b, ∴b=﹣1.
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∴直线 CE 的函数关系式为 y=x﹣1. ∴ 得 x2﹣3x+2=0. 解之,得 x1=2,x2=1(不合题意,舍去) ∴当 P 点的坐标为(2,3)时,四边形 DCEP 是平行四边形. 点评: 此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征,结合图形有利于解答; (3)是一道存在性问题,有一定的开放性,需要先假设点 P 存在,然后进行验证计算.

53. (2012?盐田区二模)已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以点 P(2, 与 x 轴相交于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左边) . (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式;

)为圆心的圆与 y 轴相切于点 A,

(2)在(1)中的抛物线上是否存在点 M,使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 .如果存在,请直接写出所有满 足条件的 M 点的坐标;如果若不存在,请说明理由; (3)如果一个动点 D 自点 P 出发,先到达 y 轴上的某点,再到达 x 轴上某点,最后运动到(1)中抛物线的顶点 Q 处,求使点 D 运动的总路径最短的路径的长.

考点: 二次函数综合题. 专题: 代数几何综合题;压轴题. 分析: (1)连接 PA,PB,PC,过点 P 作 PG⊥BC 于点 G,求出 P 点的坐标,然后求得点 A、B、C 的坐标用待 定系数法求得二次函数的解析式即可; (2)因为△ABP 和△CBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 ,故过点 A、C 作 BP 的平行线,与抛物线的交点 即是满足条件的点 M. (3) 将原方程配方后得到抛物线的顶点 Q (2, ) , 然后作点 P 关于 y 轴的对称点 P', 则 P(﹣ ’ 2, ) . 连

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接 P'Q,则 P'Q 是最短总路径,根据勾股定理,可得 P′Q=



解答: 解: (1)如图 1,连接 PA,PB,PC,过点 P 作 PG⊥BC 于点 G, ∵⊙P 与 y 轴相切于点 A, ∴PA⊥y 轴, ∵P(2, ) , ,

∴OG=AP=2,PG=OA= ∴PB=PC=2, ∴BG=1, ∴CG=1,BC=2. ∴OB=1,OC=3. ∴A(0,

) ,B(1,0) ,C(3,0) ,

根据题意设二次函数解析式为:y=a(x﹣1) (x﹣3) , 则 解得:a= . . ,

故二次函数的解析式为:

(2)∵点 B(1,0) ,点 P(2, ∴BP 的解析式为:y= x﹣ ;

) ,

则过点 A 平行于 BP 的直线解析式为:y= 从而可得①: x+ = x2﹣ x+ ,

x+

,过点 C 平行于 BP 的直线解析式为:y=

x﹣3



解得:x1=0,x2=7, 从而可得满足题意的点 M 的坐标为(0, ② x﹣3 = x2﹣ x+ , ) 、 (7,8 ) ;

解得:x1=3,x2=4,
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从而可得满足题意的点 M 的坐标为: (3,0) 、 (4, 综上可得点 M 的坐标为(0, ) , (3,0) , (4,

) ) , (7, ) .

(3)∵ ∴抛物线的顶点 Q(2,

= ) . ) . .



如图 2,作点 P 关于 y 轴的对称点 P',则 P'(﹣2,

连接 P'Q,则 P'Q 是最短总路径,根据勾股定理,可得 P'Q=

点评: 此题考查了二次函数综合题,涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称最短路径、菱形的性质,难点在第 二问,关键是利用平行线的性质得出点 M 的寻找办法,难度较大.

54. (2009?云南)已知在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为 A(3,0) 、C(0,4) , 点 D 的坐标为 D(﹣5,0) ,点 P 是直线 AC 上的一动点,直线 DP 与 y 轴交于点 M.问: (1)当点 P 运动到何位置时,直线 DP 平分矩形 OABC 的面积,请简要说明理由,并求出此时直线 DP 的函数解 析式; (2)当点 P 沿直线 AC 移动时,是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点 M,若存在,请求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由; (3)当点 P 沿直线 AC 移动时,以点 P 为圆心、半径长为 R(R>0)画圆,所得到的圆称为动圆 P.若设动圆 P 的直径长为 AC,过点 D 作动圆 P 的两条切线,切点分别为点 E、F.请探求是否存在四边形 DEPF 的最小面积 S, 若存在,请求出 S 的值;若不存在,请说明理由.注:第(3)问请用备用图解答.

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考点: 一次函数综合题. 专题: 压轴题;动点型;探究型. 分析: (1)根据矩形的性质(经过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两个部分)可知,连接 BO 与 AC 交于 点 H,则当点 P 运动到点 H 时,直线 DP 平分矩形 OABC 的面积.先求出点 P 的坐标为 P( ,2) ,结合 点 D 坐标利用待定系数法求直线 DP 的函数解析式为:y= x+ .

(2)根据题意可知存在点 M 使得△DOM 与△ABC 相似,设直线 DP 与 y 轴的正半轴交于点 M(0,ym) .可 利用相似中的相似比分别列出关于点 M 的坐标有关的方程,求解即可.注意:共有 3 种情况,要考虑周全. (3)过 D 作 DP⊥AC 于点 P,以 P 为圆心,半径长为 画圆,过点 D 分别作⊙P 的切线 DE、DF,点 E、 F 是切点.除 P 点外在直线 AC 上任取一点 P1,半径长为 画圆,过点 D 分别作⊙P 的切线 DE1、DF1,点 E1、F1 是切点.在△DEP 和△DFP 中,△DPE≌△DPF.所以 S 四边形 DEPF=2S△DPE= DE.可知当 DE 取最小 值时,S 四边形 DEPF 的值最小.所以当 DE 是 D 点与切点所连线段长的最小值.利用相似求得 DE 的长,再求 得 S 四边形 DEPF= .

解答: 解: (1)连接 BO 与 AC 交于点 H,则当点 P 运动到点 H 时,直线 DP 平分矩形 OABC 的面积.理由如下: ∵矩形是中心对称图形,且点 H 为矩形的对称中心. 又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积, 因为直线 DP 过矩形 OABC 的对称中心点 H,所以直线 DP 平分矩形 OABC 的面积. 由已知可得此时点 P 的坐标为 P( ,2) . 设直线 DP 的函数解析式为 y=kx+B. 则有 ,解得 k= ,b= .

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所以,直线 DP 的函数解析式为:y=

x+



(2)存在点 M 使得△DOM 与△ABC 相似. 如图 1,不妨设直线 DP 与 y 轴的正半轴交于点 M(0,ym) . 因为∠DOM=∠ABC,若△DOM 与△ABC 相似,则有 或 .



时,即

,解得

.所以点 M1(0,

)满足条件.



时,即

,解得

.所以点 M2(0, )也满足条件.

)满足条件.

由对称性知,点 M3(0,﹣

综上所述,满足使△DOM 与△ABC 相似的点 M 有 3 个, 分别为 M1(0, ) 、M2(0, ) 、M3(0,﹣ ) .

(3)如图 2,过 D 作 DP⊥AC 于点 P,以 P 为圆心,半径长为 画圆, 过点 D 分别作⊙P 的切线 DE、DF,点 E、F 是切点.除 P 点外在直线 AC 上任取一点 P1,半径长为 画圆, 过点 D 分别作⊙P 的切线 DE1、DF1,点 E1、F1 是切点. 在△DEP 和△DFP 中,∠PED=∠PFD,PF=PE,PD=PD, ∴Rt△DPE≌Rt△DPF. ∴S 四边形 DEPF=2S△DPE=2× × DE?PE=DE?PE= DE. ∴当 DE 取最小值时,S 四边形 DEPF 的值最小. ∵DE2=DP2﹣PE2,DE12=DP12﹣P1E12, ∴DE12﹣DE2=DP12﹣DP2.
- 114 -

∵DP1>DP,∴DE12﹣DE2>0. ∴DE1>DE.由 P1 点的任意性知:DE 是 D 点与切点所连线段长的最小值. 在△ADP 与△AOC 中,∠DPA=∠AOC, ∠DAP=∠CAO,∴△ADP∽△ACO. ∴ ∴DP= ∴ ∴S 四边形 DEPF= ,即 S= . ,即 . . .

点评: 主要考查了一次函数和几何图形的综合运用.解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求 出相应的线段的长度或表示线段的长度,再结合具体图形的性质求解.

55. (2013?南沙区一模)如图 1,已知抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交 于点 C,且 OB=2OA=4. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)设 P 是(1)中抛物线上的一个动点,以 P 为圆心,R 为半径作⊙P,求当⊙P 与抛物线的对称轴 l 及 x 轴均相 切时点 P 的坐标. (3)动点 E 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动,动点 F 从点 B 出发,以每秒 个单位长度

的速度向终点 C 运动,过点 E 作 EG∥y 轴,交 AC 于点 G(如图 2) .若 E、F 两点同时出发,运动时间为 t.则当 t 为何值时,△EFG 的面积是△ABC 的面积的 ?
- 115 -

考点: 二次函数综合题. 专题: 代数几何综合题;压轴题. 分析: (1)根据 OA、OB 的长度求出点 A、B 的坐标,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答; (2) 根据抛物线解析式求出对称轴为 x=1, 并根据抛物线解析式设出点 P 的坐标, 然后根据点 P 到直线 x=1 与 x 轴的距离相等列出方程,再解绝对值方程即可得解; (3)根据抛物线解析式求出点 C 的坐标,然后求出△ABC 的面积,并利用待定系数法求一次函数解析式求 出直线 AC 的解析式, 判断出△BOC 是等腰直角三角形, 然后用 t 表示出点 E 的坐标, 从而求出 EG 的长度, 过 F 作 FM⊥x 轴于点 M,用 t 表示出 BM 的长度,然后用 t 表示出 EM 的长度,即△EFG 边 EG 上的高, 再根据三角形的面积公式列式求解即可. 解答: 解: (1)∵OB=2OA=4, ∴OA=2, ∴点 A(﹣2,0) ,B(4,0) ,

把点 A、B 的坐标代入抛物线 y= x2+bx+c 得,



解得



∴抛物线的函数表达式为 y= x2﹣x﹣4;

(2)抛物线对称轴为 x=﹣

=﹣

=1,

设点 P 坐标为(x, x2﹣x﹣4) , ∵⊙P 与抛物线的对称轴 l 及 x 轴均相切,
- 116 -

∴|x﹣1|=| x2﹣x﹣4|, 即 x﹣1= x2﹣x﹣4①或 x﹣1=﹣( x2﹣x﹣4)②, 解方程①,整理得,x2﹣4x﹣6=0, 解得 x1=2+ 当 x1=2+ 当 x2=2﹣ ,x2=2﹣ 时,y1=2+ 时,y2=2﹣ , ﹣1=1+ ﹣1=1﹣ ,1+ , , , 1﹣ ) ,

此时点 P 的坐标为(2+

)或(2﹣

解方程②,整理得,x2﹣10=0, 解得 x3= 当 x3= 当 x4=﹣ ,x4=﹣ 时,y3=1﹣ 时,y4=1+ , , , ,1﹣ )或(﹣ ,1+ ,1+ ) , ,1﹣ )或( ,1﹣ )或(﹣ ,

此时,点 P 的坐标为(

综上所述,点 P 的坐标为(2+ 1+ ) ;

)或(2﹣

(3)抛物线解析式当 x=0 时,y=﹣4, 所以,点 C 的坐标为(0,﹣4) , 又∵AB=OA+OB=2+4=6, ∴S△ABC= × 6× 4=12,

设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,则



解得



所以,直线 AC 的解析式为 y=﹣2x﹣4,
- 117 -

∵点 E 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动, ∴AE=t,点 E 的坐标为(﹣2+t,0) , ∴EG=﹣2(﹣2+t)﹣4=﹣2t, ∵B(4,0) ,C(0,﹣4) , ∴△BOC 是等腰直角三角形, 如图 2,过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M, ∵点 F 从点 B 出发,以每秒 ∴BF= ∴BM= t, × t=t, 个单位长度的速度向终点 C 运动,

∴ME=AB﹣AE﹣BM=6﹣t﹣t=6﹣2t, 即点 F 到 EG 的距离为(6﹣2t) , ∴S△EFG= × |﹣2t|× (6﹣2t)=﹣2t2+6t, 又△EFG 的面积是△ABC 的面积的 , ∴﹣2t2+6t= × 12, 整理得,t2﹣3t+2=0, 解得 t1=1,t2=2, ∴当 t 为 1 秒或 2 秒时,△EFG 的面积是△ABC 的面积的 .

点评: 本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求函数解析式(二次函数解析式与一次函数解析式) ,直 线与圆相切,圆心到直线的距离等于圆的半径,解一元二次方程,以及三角形的面积,本题思路比较复杂, 运算量较大,要注意分情况讨论求解,计算时要认真仔细.

- 118 -

56. (2013?济宁)如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,P 是反比例函数 y= 以 P 为圆心,PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A、B. (1)求证:线段 AB 为⊙P 的直径; (2)求△AOB 的面积; (3)如图 2,Q 是反比例函数 y=

(x>0)图象上任意一点,

(x>0)图象上异于点 P 的另一点,以 Q 为圆心,QO 为半径画圆与坐标轴分

别交于点 C、D.求证:DO?OC=BO?OA.

考点: 反比例函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)∠AOB=90° ,由圆周角定理的推论,可以证明 AB 是⊙P 的直径; (2)将△AOB 的面积用含点 P 坐标的表达式表示出来,容易计算出结果; (3)对于反比例函数上另外一点 Q,⊙Q 与坐标轴所形成的△COD 的面积,依然不变,与△AOB 的面积 相等. 解答: (1)证明:∵∠AOB=90° ,且∠AOB 是⊙P 中弦 AB 所对的圆周角, ∴AB 是⊙P 的直径.

(2)解:设点 P 坐标为(m,n) (m>0,n>0) , ∵点 P 是反比例函数 y= (x>0)图象上一点,∴mn=12.

如答图,过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M,PN⊥y 轴于点 N,则 OM=m,ON=n. 由垂径定理可知,点 M 为 OA 中点,点 N 为 OB 中点, ∴OA=2OM=2m,OB=2ON=2n, ∴S△AOB= BO?OA= × 2n× 2m=2mn=2× 12=24.

(3)证明:∵以 Q 为圆心,QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点 C、D,∠COD=90° ,
- 119 -

∴DC 是⊙Q 的直径. 若点 Q 为反比例函数 y= (x>0)图象上异于点 P 的另一点,

参照(2) ,同理可得:S△COD= DO?CO=24, 则有:S△COD=S△AOB=24,即 BO?OA= DO?CO, ∴DO?OC=BO?OA.

点评: 本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识,难度不大.试题的核心是考查反比 例函数系数的几何意义.对本题而言,若反比例函数系数为 k,则可以证明⊙P 在坐标轴上所截的两条线段 的乘积等于 4k;对于另外一点 Q 所形成的⊙Q,此结论依然成立.

57. (2007?梅州) 如图, 直角梯形 ABCD 中, AB∥CD, ∠A=90° , AB=6, AD=4, DC=3, 动点 P 从点 A 出发, 沿 A→D→C→B 方向移动,动点 Q 从点 A 出发,在 AB 边上移动.设点 P 移动的路程为 x,点 Q 移动的路程为 y,线段 PQ 平分梯 形 ABCD 的周长. (1)求 y 与 x 的函数关系式,并求出 x,y 的取值范围; (2)当 PQ∥AC 时,求 x,y 的值; (3)当 P 不在 BC 边上时,线段 PQ 能否平分梯形 ABCD 的面积?若能,求出此时 x 的值;若不能,说明理由.

考点: 一次函数综合题;相似三角形的判定与性质. 专题: 压轴题;动点型. 分析: (1)过 C 作 CE⊥AB 于 E,由勾股定理求得 BC 的值,进而得到梯形的周长为 18,由题意知,y=﹣x+9, 由于点 Q 只在 AB 上,于是能确定出 x 的取值范围;
- 120 -

(2)∵PQ∥AC,∴△BPQ∽△BCA,有

,得 6x﹣5y=42,与 y=﹣x+9 组成方程组求解即可;

(3)通过讨论点 P 的位置,建立关于 x,y 的方程组求得 x 的值. 解答: 解: (1)过 C 作 CE⊥AB 于 E,则 CD=AE=3,CE=4,可得 BC=5, 所以梯形 ABCD 的周长为 6+3+4+5=18, ∵PQ 平分 ABCD 的周长, ∴x+y=9, ∵0≤y≤6, ∴3≤x≤9, 故所求关系式为:y=﹣x+9,3≤x≤9;

(2)依题意,P 只能在 BC 边上,7≤x≤9. PB=12﹣x,BQ=6﹣y, 因为 PQ∥AC,所以△BPQ∽△BCA,所以 得: 即 6x﹣5y=42, 解方程组 , ,





(3)梯形 ABCD 的面积为 18, 当 P 不在 BC 边上,则 3≤x≤7, a)当 3≤x<4 时,P 在 AD 边上,S△APQ= xy, 如果线段 PQ 能平分梯形 ABCD 的面积,则有 可得: 解得 , , (舍去) , ,

- 121 -

b)当 4≤x≤7 时,点 P 在 DC 边上,此时 SADPQ= × 4(x﹣4+y) , 如果线段 PQ 能平分梯形 ABCD 的面积,则有 × 4(x﹣4+y)=9, 可得 此方程组无解.

所以当 x=3 时,线段 PQ 能平分梯形 ABCD 的面积.

点评: 本题利用了梯形的性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式,建立方程和方程组求解,注意要 针对不同情况讨论,本题还利用数形结合的思想.

58. (2008?济南)已知:如图,直线 y=﹣ (1)求点 P 的坐标; (2)请判断△OPA 的形状并说明理由;

x+4

与 x 轴相交于点 A,与直线 y=

x 相交于点 P.

(3)动点 E 从原点 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿着 O、P、A 的路线向点 A 匀速运动(E 不与点 O,A 重合) , 过点 E 分别作 EF⊥x 轴于 F,EB⊥y 轴于 B,设运动 t 秒时,矩形 EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为 S. 求:①S 与 t 之间的函数关系式.②当 t 为何值时,S 最大,并求出 S 的最大值.

考点: 一次函数综合题. 专题: 代数几何综合题;压轴题. 分析: (1)由两直线相交可列出方程组,求出 P 点坐标; (2) 将 y=0 代入 y=﹣ x+4 , 可求出 OA=4, 作 PD⊥OA 于 D, 则 OD=2, PD=2 , 利用 tan∠POA= ,

可知∠POA=60° ,由 OP=4.可知△POA 是等边三角形;
- 122 -

(3)①当 0<t≤4 时,在 Rt△EOF 中,∠EOF=60° ,OE=t,则 EF=

,OF=

,则 S= ?OF?EF= ,EF=

t2;

②当 4<t<8 时,如图,设 EB 与 OP 相交于点 C,易知:CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,可得 AF=4﹣ (8﹣t) ,有 OF=OA﹣AF=4﹣(4﹣ 解答: )= ,S= (CE+OF)?EF=﹣ t2+4 t﹣8 .

解: (1)由题意可得:



解得

, ) ;

所以点 P 的坐标为(2,2

(2)将 y=0 代入 y=﹣ ∴x=4,即 OA=4,

x+4

,﹣

x+4

=0,

作 PD⊥OA 于 D,则 OD=2,PD=2 ∵tan∠POA= ∴∠POA=60° , ∵OP= =4, = ,



∴△POA 是等边三角形;

(3)①当 0<t≤4 时,如图 1,在 Rt△EOF 中, ∵∠EOF=60° ,OE=t, ∴EF= ,OF= , t2.

∴S= ?OF?EF=

当 4<t<8 时,如图 2,设 EB 与 OP 相交于点 C, ∵CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,
- 123 -

∴AF=4﹣

,EF=

(8﹣t) , )= , (8﹣t) ,

∴OF=OA﹣AF=4﹣(4﹣

∴S= (CE+OF)?EF= (t﹣4+ t)× =﹣ t2+4 t﹣8 ;

②当 0<t≤4 时,S= 当 4<t<8 时,S=﹣ t= ∵ ∴当 t= 时,S 最大= >2 , .

,t=4 时,S 最大=2 t2+4 t﹣8 =﹣

; (t﹣ )2+ ,

时,S 最大,最大值为



点评: 把动点问题与三角形的性质相结合,增加了难度,在解答时要注意 t 在三个取值范围内的情况,不要漏解.

59. (2011?泉州)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,8) ,点 B(b,t)在直线 x=b 上运动,点 D、E、F 分别为 OB、0A、AB 的中点,其中 b 是大于零的常数. (1)判断四边形 DEFB 的形状.并证明你的结论; (2)试求四边形 DEFB 的面积 S 与 b 的关系式; (3)设直线 x=b 与 x 轴交于点 C,问:四边形 DEFB 能不能是矩形?若能.求出 t 的值;若不能,说明理由.

考点: 相似三角形的判定与性质;一次函数综合题;勾股定理;平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质; 直线与圆的位置关系. 专题: 代数几何综合题;压轴题.
- 124 -

分析: (1)四边形 DEFB 是平行四边形.利用 DE、EF 为△OAB 的中位线证明平行四边形; (2)根据 DE、EF 为△OAB 的中位线可知,S△AEF=S△ODE= S△AOB,利用 S=S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE 求 S 与 b 的关系式; (3)当∠ABO=90° 时,四边形 DEFB 是矩形,由 Rt△OCB∽Rt△ABO,根据相似比得 OB2=OA?BC,由勾 股定理得 OB2=BC2+OC2,利用 b、t 分别表示线段的长,列方程求解. 解答: 解: (1)四边形 DEFB 是平行四边形. 证明:∵D、E 分别是 OB、OA 的中点, ∴DE∥AB,同理,EF∥OB, ∴四边形 DEFB 是平行四边形;

(2)解法一:∵S△AOB= × 8× b=4b, 由(1)得 EF∥OB,∴△AEF∽△AOB, ∴ =( )2,即 S△AEF= S△AOB=b,同理 S△ODE=b,

∴S=S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE=4b﹣b﹣b=2b,即 S=2b(b>0) ; 解法二:如图,连接 BE,S△AOB= × 8× b=4b, ∵E、F 分别为 OA、AB 的中点, ∴S△AEF= S△AEB= S△AOB=b, 同理 S△EOD=b, ∴S=S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE=4b﹣b﹣b=2b, 即 S=2b(b>0) ;

(3)解法一:以 E 为圆心,OA 长为直径的圆记为⊙E, ①当直线 x=b 与⊙E 相切或相交时,若点 B 是切点或交点,则∠ABO=90° ,由(1)知,四边形 DEFB 是矩
- 125 -

形, 此时 0<b≤4,可得△AOB∽△OBC, ∴ = ,即 OB2=OA?BC=8t,

在 Rt△OBC 中,OB2=BC2+OC2=t2+b2, ∴t2+b2=8t, ∴t2﹣8t+b2=0, 解得 t=4± ,

②当直线 x=b 与⊙E 相离时,∠ABO≠90°, ∴四边形 DEFB 不是矩形, 综上所述:当 0<b≤4 时,四边形 DEFB 是矩形,这时,t=4± 形; ,当 b>4 时,四边形 DEFB 不是矩

解法二:由(1)知,当∠ABO=90° 时,四边形 DEFB 是矩形, ∵∠COB+∠AOB=90° ,∠OAB+∠AOB=90° , ∴∠COB=∠OAB, 又∵∠ABO=∠OCB=90° , ∴Rt△OCB∽Rt△ABO, ∴ = ,即 OB2=OA?BC,

又 OB2=BC2+OC2=t2+b2,OA=8,BC=t(t>0) , ∴t2+b2=8t, ∴(t﹣4)2=16﹣b2, ①当 16﹣b2≥0 时,解得 t=4± ,此时四边形 DEFB 是矩形,

②当 16﹣b2<0 时,t 无实数解,此时四边形 DEFB 不是矩形, 综上所述:当 16﹣b2≥0 时,四边形 DEFB 是矩形,此时 t=4± 不是矩形; ,当 16﹣b2<0 时,四边形 DEFB

解法三:如图,过点 A 作 AM⊥BC,垂足为 M, 在 Rt△AMB 中,AB2=AM2+BM2=b2+(8﹣t)2, 在 Rt△OCB 中,OB2=OC2+BC2=b2+t2,
- 126 -

在△OAB 中,当 AB2+OB2=OA2 时,∠ABO=90° ,则四边形 DEFB 为矩形, ∴b2+(8﹣t)2+b2+t2=82, 化简得 t2﹣8t=﹣b2,配方得(t﹣4)2=16﹣b2,其余同解法二.

点评: 本题考查了平行四边形、矩形、相似三角形的判定与性质,一次函数及勾股定理的运用.本题综合性较强, 需要熟练掌握特殊图形的性质,形数结合,运用代数方法解答几何问题.

60. (2009?河北)某公司装修需用 A 型板材 240 块、B 型板材 180 块,A 型板材规格是 60cm× 30cm,B 型板材规格 是 40cm× 30cm.现只能购得规格是 150cm× 30cm 的标准板材.一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、B 型板材,共有 下列三种裁法: (如图是裁法一的裁剪示意图) 裁法一 A 型板材块数 B 型板材块数 1 2 裁法二 2 m 裁法三 0 n

设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁 x 张、按裁法二裁 y 张、按裁法三裁 z 张,且所裁出的 A、B 两种型 号的板材刚好够用. (1)上表中,m= ,n= ;

(2)分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式; (3)若用 Q 表示所购标准板材的张数,求 Q 与 x 的函数关系式,并指出当 x 取何值时 Q 最小,此时按三种裁法各 裁标准板材多少张?

- 127 -

考点: 一次函数的应用. 分析: (1)按裁法二裁剪时,2 块 A 型板材块的长为 120cm,150﹣120=30,所以无法裁出 B 型板,按裁法三裁 剪时,3 块 B 型板材块的长为 120cm,120<150,而 4 块块 B 型板材块的长为 160cm>150 所以无法裁出 4 块 B 型板; (2)由题意得:共需用 A 型板材 240 块、B 型板材 180 块,又因为满足 x+2y=240,2x+3z=180,然后整理 即可求出解析式;

(3)由题意,得 Q=x+y+z=x+120﹣ x+60﹣ x 和

,[注:事实上,0≤x≤90 且 x 是 6 的整数

倍].由一次函数的性质可知,当 x=90 时,Q 最小.此时按三种裁法分别裁 90 张、75 张、0 张. 解答: 解: (1)按裁法二裁剪时,2 块 A 型板材块的长为 120cm,150﹣120=30,所以无法裁出 B 型板, 按裁法三裁剪时,3 块 B 型板材块的长为 120cm,120<150, 而 4 块块 B 型板材块的长为 160cm>150cm,所以无法裁出 4 块 B 型板; ∴m=0,n=3;

(2)由题意得:共需用 A 型板材 240 块、B 型板材 180 块, 又∵满足 x+2y=240,2x+3z=180, ∴整理即可求出解析式为:y=120﹣ x,z=60﹣ x;

(3)由题意,得 Q=x+y+z=x+120﹣ x+60﹣ x. 整理,得 Q=180﹣ x.

- 128 -

由题意,得

解得 x≤90. [注:事实上,0≤x≤90 且 x 是 6 的整数倍] 由一次函数的性质可知,当 x=90 时,Q 最小. 由(2)知,y=120﹣ x=120﹣ × 90=75,z=60﹣ x=60﹣ × 90=0; 故此时按三种裁法分别裁 90 张、75 张、0 张. 点评: 本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题,在做题时要明缺所裁出 A 型板材和 B 型板材的总 长度不能超过 150cm.

- 129 -


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