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广东省中山一中2009-2010学年高二下学期期中考试文科数学试题


学年第三次段考 中山一中 2009~2010 学年第三次段考 ~ 高二数学(文科)试题 高二数学(文科) 审核人: 审核人:王君 第 一 卷
一、选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题中真命题的个数是( (1)所有的素数是奇数; )

校对: 校对:陈亮

(2) ?x ∈ R, ( x ? 1) 2 + 1 ≥ 1 ; C.2 D.3

(3)有的无理数的平方是无理数. A.0 B.1 2.不等式 A. (1, 4)

x ?1 > 0 的解集是( x?4
B. (4, +∞ )

) C. (1, +∞) D. ( ?∞,1) U (4, +∞ ) ) D. a5 = 0 )

3.已知等差数列{an}满足 a1 A. a1 + a10 > 0

+ a2 + a3 + L + a10 = 0 ,则(
C. a3 + a8 = 0

B. a2 + a9 < 0

4.等比数列 {an } 的各项为正,公比 q 2 = 4 ,则 A.

a3 + a4 的值为( a4 + a5

1 4

B.2
2

C. ± 1 2 )

D. 1 2

5.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = n + 1 ,则 ( A. an = 2n ? 1
2

B. an = 2n + 1
2 2

C. an = ?

(n =1) ?2 ?2n ? 1 (n >1)


D. an = ?

(n =1) ?2 ?2n + 1 (n >1)

6.在 ?ABC 中, a ? c + b = ab ,则角 C 为( A. 60° B. 45° 或 135° C. 120°

D . 30°

7 .平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: PA|+|PB|是定值” “| ,命题乙是: “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ,那么( A.甲是乙成立的充分不必要条件 C.甲是乙成立的充要条件 )

B.甲是乙成立的必要不充分条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件

? x ? y ≥ ?1 ? 8.设变量 x , y 满足约束条件 ? x + y ≥ 1 ,则目标函数 z = 4 x + y 的最大值为( ?3x ? y ≤ 3 ?
A.4 9. 设椭圆 B.11 C.12 D.14



x2 y 2 1 + 2 = 1(m > 0,n > 0) 的右焦点与抛物线 y 2 = 8 x 的焦点相同, 离心率为 , 2 m n 2


则此椭圆的方程为(

x2 y 2 A. + =1 12 16

x2 y 2 B. + =1 16 12

x2 y 2 C. + =1 48 64


x2 y 2 D. + =1 64 48

10.在抛物线 y 2 = 8 x 中,以 (1, ?1) 为中点的弦的方程是( A. x ? 4 y ? 3 = 0 B. x + 4 y + 3 = 0 C. 4 x + y ? 3 = 0

D. 4 x + y + 3 = 0

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.命题: “若 xy = 0 ,则 x = 0 或 y = 0 ”的逆否命题是 12.设 x, y ∈ R + 且 .

1 1 + = 1 ,则 x + y 的最小值为 x y



13.与双曲线 .

x2 y2 ? = 1 有共同的渐近线,并且经过点 (?3,2 3 ) 的双曲线方程为 9 16

14.如图,把椭圆

x2 y 2 + = 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过 25 16

每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 , P 6 , P 7 七个点, F 是 椭 圆 的 一 个 焦 点 . , 则

P1 F + P2 F + P3 F + P4 F + P5 F + P6 F + P7 F =
第 二 卷

三、解答题: (共 80 分) 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中, A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 角 已知 a = 2 ,

c = 3 , cos B =

1 . 4

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin C 的值.

16. (本小题满分 14 分)设 F1 、 F2 分别为椭圆 C : 个焦点.

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的左、右两 a2 b2

(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1 、 F2 两点的距离之和等于 4,求出椭圆 C 的方程和焦 点坐标; (Ⅱ)设 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,求线段 PF1 的中点 M 的轨迹方程.

3 2

17. (本小题满分 14 分)设 Sn 等比数列 {an } 的前 n 项 和,且 a2 = (Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)设 bn =

1 4 , S2 = 9 9

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an

18. (本小题满分 14 分)已知顶点在原点 O ,准线方程是 y = ?1 的抛物线与过点 M (0,1) 的 直线 l 交于 A , B 两点,若直线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 1 (Ⅰ)求此抛物线的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程; (Ⅲ )求直线 l 与抛物线相交弦 AB 的弦长。

19. (本小题满分 12 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧 墙 (利用旧墙需维修) 其它三面围墙要新建, , 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的 进出口,已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的造价为 180元 / m ,设利用的旧墙的长度为

2

x (单位:元)。
(Ⅰ)写出总费用 y 与 x 的函数关系式, (Ⅱ)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

20. (本小题满分 12 分)已知 △ ABC 的顶点 A , B 在椭圆 x 2 + 3 y 2 = 4 上, C 在直线

l:y = x + 2 上,且 AB // l .
(Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积; (Ⅱ)当 ∠ABC = 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.
o

中山一中 2009~2010 学年第三次段考 高二数学(文科)试题(参考答案) 一、选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 C 1 D 2 3 C 4 D 5 C 6 A 7 B 8 B 9 B 10 C

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11.若 x ≠ 0 且 y ≠ 0 ,则 xy ≠ 0 ; 12. 4; 13.

x2 y2 ? = 1; 9 4 4

14. 35.

三、解答题: (共 80 分) 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中, A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 角 已知 a = 2 ,

c = 3 , cos B =

1 . 4
(Ⅱ)求 sin C 的值.
2 2 2

(Ⅰ)求 b 的值;

解: (Ⅰ)由余弦定理, b = a + c ? 2ac cos B , 得 b = 2 + 3 ? 2 × 2 × 3×
2 2 2

3分 5分 7分

1 = 10 , 4

∴ b = 10 .
(Ⅱ)方法 1:由余弦定理,得 cos C = ∵ C 是 ?ABC 的内角, ∴ sin C = 1 ? cos C =
2

a2 + b2 ? c 2 4 + 10 ? 9 10 = = , 2ab 8 2 × 2 × 10

10 分 11 分

3 6 . 8

14 分

方法 2:∵ cos B =

1 ,且 B 是 ?ABC 的内角, 4
2

∴ sin B = 1 ? cos B = 根据正弦定理,

15 . 4

b c = , sin B sin C

c sin B 得 sin C = = b



15 4 =3 6. 8 10

16. (本小题满分 14 分)设 F1 、 F2 分别为椭圆 C : 个焦点.

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的左、右两 a2 b2

(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1 、 F2 两点的距离之和等于 4,求出椭圆 C 的方程和焦 点坐标; (Ⅱ)设 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,求线段 PF1 的中点 M 的轨迹方程.

3 2

解: (Ⅰ)由椭圆上的点 A(1, ) 到两焦点 F1 、 F2 两点的距离之和等于 4, 知 2a = 4 ? a = 2 ,
2 2

3 2

2分
2

3 ( )2 3 x y 1 2 又点 A(1, ) 在椭圆 2 + 2 = 1 上,因此 2 + 2 2 = 1 ? b = 3 , 2 a b 2 b
于是 c = 1 ,
2

4分 5分

x2 y2 所以,所求椭圆方程为 + = 1 ,焦点坐标为 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) ; 4 3 x0 ? 1 ? ?x = 2 ? x0 = 2 x + 1 ? ?? (Ⅱ)设中点 M ( x, y ) ,并设动点 P ( x0 , y 0 ) ,则 ? ? y0 = 2 y ? y = y0 + 0 ? ? 2
又因为点 P ( x0 , y 0 ) 在椭圆

7分

10 分

x y x2 y2 + = 1 上,于是 0 + 0 = 1 , 4 3 4 3

2

2

(2 x + 1) 2 (2 y ) 2 1 2 4y2 即 + = 1 ,化简得 ( x + ) + =1, 4 3 2 3
所以,所求轨迹方程为 ( x + ) +
2

1 2

4y2 =1. 3 1 4 , S2 = 9 9

14 分

17. (本小题满分 14 分)设 Sn 等比数列 {an } 的前 n 项和,且 a2 = (Ⅰ)求数列 {an } 的通项; (Ⅱ)设 bn =

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an
? 1 ? ?a1 = 3 ? ?? ? a + a q = 4 ?q = 1 ? 1 1 ? 9 3 ? ? 1
6分

1 4 ? a1q = 9 解: (Ⅰ)设首项为 a1 ,公比为 q ,由 a2 = , S 2 = 得 ? 9 9 ?
∴ an =

1 . 3n
n n ,∴ bn = n3 . an


(Ⅱ)Q bn =

8分

∴ S n = 3 + 2 × 32 + 3 × 33 + … + n3n ,

∴ 3S n = 32 + 2 × 33 + 3 × 34 + … + n3n +1 .
④-③得∴ 2 S n = n3
n +1



? (3 + 32 + 33 + … + 3n ) .即 2 S n = n3n +1 ?

3(1 ? 3n ) , 10 分 1? 3
14 分

∴ Sn =

(2n ? 1)3n +1 3 + . 4 4

18. (本小题满分 14 分)已知顶点在原点 O ,准线方程是 y = ?1 的抛物线与过点 M (0,1) 的 直线 l 交于 A , B 两点,若直线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 1 (Ⅰ)求此抛物线的标准方程; (Ⅱ)求直线 l 的方程; (Ⅲ )求直线 l 与抛物线相交弦 AB 的弦长。 解: (Ⅰ)由题意可知抛物线焦点在 y 轴正半轴,设抛物线的标准方程为 x 2 = 2 py 由准线方程是 y = ?1 ,可得 p = 2 所以抛物线的标准方程为 x 2 = 4 y (Ⅱ)设直线 l 的方程为: y = kx + 1 , 代人抛物线的标准方程消 y 整理得 x ? 4kx ? 4 = 0
2

4分

设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则

y1 y2 + =1 x1 x2



因为 y1 = kx1 + 1 , y2 = kx2 + 1 ,代人①,得 2k + ( 因为 x1 + x2 = 4k , x1 x2 = ?4 ,代人②得 k = 1 所以直线 l 的方程为: y = x + 1

1 1 + ) =1 x1 x2



9分

(Ⅲ )将直线方程与抛物线的标准方程联立得: ? 消 y 整理得 x ? 4 x ? 4 = 0
2

? y = x +1
2 ?x = 4 y

因为 x1 + x2 = 4 , x1 x2 = ?4

AB = 1 + k 2 x1 ? x2 = 1 + k 2 ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 8

14 分

19. (本小题满分 12 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧 墙 (利用旧墙需维修) 其它三面围墙要新建, , 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的 进出口,已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的造价为 180元 / m ,设利用的旧墙的长度为

2

x (单位:元)。
(Ⅰ)写出总费用 y 与 x 的函数关系式, (Ⅱ)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 解: (Ⅰ)设矩形的另一边长为 a m 则 y = 45 x + 180( x ? 2) + 180 × 2a = 225 x + 360a ? 360 由已知 ax = 360 ,得 a = 所以 y = 225 x + 2分

360 , x
6分

3602 ? 360( x > 0) x 3602 ≥ 2 225 × 3602 = 10800 x

(II)Q x > 0,∴ 225 x +

8分

360 2 3602 ∴ y = 225 x + ? 360 ≥ 10440 .当且仅当 225x = 时,等号成立. x x
即当 x = 24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.

10 分 12 分

20. (本小题满分 12 分)已知 △ ABC 的顶点 A , B 在椭圆 x 2 + 3 y 2 = 4 上, C 在直线

l:y = x + 2 上,且 AB // l .
(Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积; (Ⅱ)当 ∠ABC = 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.
o

解: (Ⅰ)因为 AB // l ,且 AB 边通过点 (0, ,所以 AB 所在直线的方程为 y = x . 1 分 0) 设 A , B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) . (x

? x 2 + 3 y 2 = 4, 由? 得 x = ±1 . ?y = x
所以 AB =

3分

2 x1 ? x2 = 2 2 .

4分

又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离.于是 h = 所以 S△ ABC =

2,

5分 6分

1 AB h = 2 . 2

(Ⅱ)设 AB 所在直线的方程为 y = x + m ,

由?

? x 2 + 3 y 2 = 4, 2 2 得 4 x + 6mx + 3m ? 4 = 0 . y = x+m ?
2

8分

因为 A , B 在椭 圆上,所以 ? = ?12m + 64 > 0 . 设 A , B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), 2,y2 ) , (x

9分

3m 3m2 ? 4 则 x1 + x2 = ? , x1 x2 = , 2 4

32 ? 6m2 所以 AB = 2 x1 ? x2 = . 2
又因为 BC 的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离,即 BC =
2 2 2 2 2

10 分

2?m 2



11 分

所以 AC = AB + BC = ? m ? 2m + 10 = ?( m + 1) + 11 . 所以当 m = ?1 时, AC 边最长, (这时 ? = ?12 + 64 > 0 ) 此时 AB 所在直线的方程为 y = x ? 1 . 12 分


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