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重庆市万州区2008届高三第一次诊断性考试数学(文科)试题


重庆市万州区 2008 届高三第一次诊断性考试 数学(文科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题,22 个小题,满分 150 分,考 试时间为 120 分钟.

注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用笔填写在答题卷上“第 I 卷答题栏”对应题目的答案栏内.不能答在 不能答在 试题纸上. 试题纸上. 3.第 II 卷各题一定要做在答题卷限定的区域内. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k Pn ( k ) = C n P k (1 ? P ) n ? k

选择题, 第 I 卷(选择题,共 60 分) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题( 目要求的,请把所选答案的番号填在答题卷的相应位置上. 目要求的,请把所选答案的番号填在答题卷的相应位置上. 1.设 f : x → x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 A={?1, 0, 1},则 A∩B 只可能是 A.{0} B. {1} C. {0, 1} D. {?1, 0, 1}

2.已知 sin α + cos α = A.

2 ,则 tan α + cot α 等于
?2
C. 1 D. 2

?1

B.

3.若数列 {an } 为等比数列,则“ a3 a5 = 16 ”是“ a4 = 4 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4.若圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y = 0 的圆心到直线 x ? y + a = 0 的距离为 A. ?2 或 2 C. 2 或 0 B.

2 ,则 a 的值为 2

1 3 或 2 2
?1

D. ?2 或 0

5.若函数 f ( x) = log a x ( a > 0且a ≠ 1) 满足 f (5) = 2 ,则 f A. log52 B. log25 C. 4

( 2 log5 2 ) =

D. 2

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6.在?ABC 中,A=60°,AB=2,且?ABC 的面积 S?ABC= A. 3 B. 3 C. 7

3 ,则边 BC 的长为 2 D. 7

7.已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线 m、n,有下列四个命题 ①若 m//n,m⊥α,则 n⊥α ③若 m⊥α,m//n,n? β,则α⊥β 其中正确命题的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ②若 m⊥α,m⊥β,则α//β ④若 m//α,α∩β=n,则 m//n

?x + y ? 3 ≥ 0 ? 8.已知 ? x ? 2 y + 3 ≥ 0 , z = 7 x ? 3 y ,则 z 取得最大值时的最优解为 ?2 x ? y ? 3 ≤ 0 ?
A. (1,2) 9.把函数 y = sin ? x + A.cosx+1 C.sinx+1 B. (2,1) C. (3,3) D. (2,2)

? ?

π?

? 5π ? ,1? 平移得到 y=f(x)的图象,则 f(x)= ? 的图象按向量 a = ? ? 4? ? 4 ?
B. ?cosx+1 D.?sinx+1

10. 学校将甲、乙、丙、丁 4 名教师分配到 A、B、C、D 四个课外活动小组开展活动,每个小组安排 1 人, 由于工作需要,教师甲不能到 A 组,教师乙不能到 B 组,那么不同的分配方案共有 A.12 种
*

B.14 种
n

C.18 种

D.20 种
3

11.若 x∈R,n∈N ,定义:Mx=x(x+1)(x+2)…(x+n?1),例如 M?5 =(?5)·(?4)(?3)= ?60,则函数 f(x) 2007 2007 7 =Mx?3cos( π + x ) 2 2008 A.是偶函数不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 12. 椭圆 B.是奇函数不是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

x

2

4

+

y

2

3

1 = 1上有 n 个不同的点 P1, 2, P …, n, 是右焦点, 1F|, 2F|, P F |P |P …, nF|组成公差 d> |P 100

的等差数列,则 n 的最大值是 A.199 B.200 C.99 D.100

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

小题, 把答案填在答题卷的相应位置上. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)把答案填在答题卷的相应位置上. 填空题( 13. 已知等差数列{an}的前 3 项为 2,6,10,则 Sn =__________. 14. (1+x) (1?x)的展开式中 x 项的系数是__________ . (用数字作答)
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7 2

π 2 15.抛物线 x =4y 的准线 l 与 y 轴交于 P 点,若 l 绕点 P 以每秒 弧度的角速度按逆时针方向旋转,则经过 12 _______秒,l 恰好与抛物线第一次相切. 16.关于函数 f(x)=lg

x2+1 ,有下列结论 x
②函数 f(x)是奇函数; ④当 x>0 时,函数 f(x)是增函数.

①函数 f(x)的定义域是(0,+∞); ③函数 f(x)的最小值为 lg2;

其中正确结论的序号是__________. (写出所有你认为正确的结论的序号)

小题, 把解答题答在答题卷限定的区域内 解答应写出文字说明, 限定的区域内. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)把解答题答在答题卷限定的区域内.解答应写出文字说明,证明 解答题( 过程或演算步骤. 过程或演算步骤. 17.(本题满分 13 分) 已知全集 U=R,集合 A={x| 6

x+1

≥ 1 ,x∈R},B={x|x ?2x?m<0}
2

; (Ⅰ)当 m=3 时,求 A∩(?UB) (Ⅱ)若 A∩B={x|?1<x<4},求实数 m 的值.

18. (本题满分 13 分) → → →→ 已知向量OP=(2cosx+1,cos2x?sinx+1),OQ=(cosx,?1),定义 f(x)=OP?OQ (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的取值集合.

19. (本题满分 12 分) 一纸箱中装有大小相等,但已编有不同号码的白色和黄色乒乓球,其中白色乒乓球有 6 个,黄色乒乓 球有 2 个. (Ⅰ)从中任取 2 个乒乓球,求恰好取得 1 个黄色乒乓球的概率; (Ⅱ)每次不放回地抽取一个乒乓球,求第一次取得白色乒乓球时已取出的黄色乒乓球个数不少于 1 个的 概率.

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20. (本题满分 12 分) 已知函数 f (x)=ax +bx ?3x 在 x=1 和 x= ?1 处取得极值.
3 2

(Ⅰ)试求 a,b 的值和 f (x)的极大值和极小值; (Ⅱ)过点(?2,?2)作曲线 y= f (x)的切线,求其切线方程.

21. (本题满分 12 分) 1 1 1 n 已知数列{an}满足 a1= ,an?an+1= ( ) (n∈N*). 2 2 4 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}的前 n 项和 Sn=n ,Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求证:Tn<3.
2

22. (本题满分 12 分) 直线 l : y = kx + 1 与双曲线 C : 2 x 2 ? y 2 = 1 的右支交于不同的两点 A、B. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若 不存在,说明理由.

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参考答案及评分意见 小题, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题( 1~5 C D BCD 6~10 A D C B B 11~12A B

小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题( 13. 2n
2

14. 14

15. 3 秒

16.①③

小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 解答题( 17.(本题满分 13 分) 解:A={x|?1<x≤5} (Ⅰ)当 m=3 时,B={x|?1<x<3}, 由?UB={x|x≤?1 或 x≥3} ∴A∩?UB={x|3≤x≤5} (Ⅱ)由若 A∩B={x|?1<x<4} ∴4 为解集合 B 的右端点 ∴4 ?2×4?m=0,解得 m=8
2

……………………………………3 分 ……………………………………5 分

……………………………………8 分

……………………………………11 分 ……………………………………13 分

此时 B={x|?2<x<4},符合题意

18. (本题满分 13 分) →→ 解: (Ⅰ)f(x)=OP?OQ= (2cosx+1,cos2x?sinx+1)?(cosx,?1) =2cos x+cosx?cos2x+sinx?1
2

…………2 分 ……………6 分

π =cosx+sinx = 2sin(x+ ) 4 3π 5π π π π 令 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 解得:2kπ+ ≤x≤2kπ+ 2 4 2 4 4

5π π 所以,函数 f(x)的单调递减区间[2kπ+ ,2kπ+ ],k∈Z……………………………10 分 4 4 π π π (Ⅱ)函数 f(x)的最大值是 2,此时 x+ =2kπ+ ,即 x=2kπ+ 4 2 4 π ∴函数 f(x)取得最大值 2时,x 的取值集合为{x|x=2kπ+ ,k∈Z}…………………13 分 4

19. (本题满分 12 分) 解:记“任取 2 个乒乓球,恰好取得 1 个黄色乒乓球”为事件 A,则 C2C6 P(A)= C
2 8 1 1

=

3 7

……………………………………6 分

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(Ⅱ)记“第一次取得白色乒乓球时,恰好已取出 1 个黄色乒乓球”为事件 B 记“第一次取得白色乒乓球时,恰好已取出 2 个黄色乒乓球”为事件 C,则 C2C6 P(B)= C8C7
1 1 1 1

=

3 14

……………………………………8 分

C2C1C6 P(C)= CCC
1 1 1 8 7 6

1 1 1

=

1 28

……………………………………11 分

∵事件 B 与事件 C 是互斥事件 ∴第一次取得白色乒乓球时,已取出黄色乒乓球个数不少于 1 个的概率为 P(B+C)=P(B)+P(C)= 3 1 1 + = 14 28 4 ……………………………………13 分

20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f (x)=3ax +2bx?3
/ 2

……………………………………1 分

∵f (x)在 x=1 和 x= ?1 处取得极值 ∴?
?f(?1)=0 ?f(1)=0 ?a=1 ?b=0
3 / 2

?3a+2b?3=0 即? ?3a?2b?3=0

……………………………………3 分 ……………………………………4 分

解得?

所以 f(x)=x ?3x,f (x)=3x ?3 由 f (x)>0 得 x>1 或 x<?1 列表如下
/

x f /( x )

(?∞,?1) +

?1 0

(?1,1) ?

1 0

(1,+∞) +

x= ?1 时, 函数有极大值 f(?1)=2 x=1 时, 函数有极小值 f(1)= ?2
(Ⅱ)设切点为(x0,x0 ?3x0),切线的斜率为 k
3

……………………………………8 分

x03?3x0+2 则 k= f (x0)=3x0 ?3= x0+2
/ 2

……………………………………10 分

化简得 2(x0?1)(x0+2) =0
2

∴x0=1 或 x0= ?2 所以 k=0 或 k=9 所以直线方程为 y+2=0 或 9x?y+16=0 ……………………………12 分

21. (本题满分 12 分)
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解: (Ⅰ)

an+1an+2 anan+1

1 1 n+1 ( ) 2 4 an+2 1 = ,∴ = 4 1 1 n an ( ) 2 4

…………………………2 分

1 11 1 又∵a1= ,a1a2= ? ,∴a2= 2 24 4 1 1 n ∴{an}是公比为 的等比数列,∴an= ( ) 2 2 (Ⅱ)∵{bn}的前 n 项和 Sn=n T n=
2

……………………………………5 分 ……………………………………7 分

∴bn=2n?1

1 3 5 2n?3 2n?1 + 2 + 3 + …+ n?1 + ① n 2 2 2 2 2

1 1 3 5 2n?3 2n?1 Tn= 2 + 3 + 4 + …+ + n+1 ② n 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n?1 ①?②得 Tn= + 2 + 3 + …+ n ? n+1 2 2 2 2 2 2 2n+3 ∴Tn=3? n 2 ∴Tn<3 ……………………………………11 分 ……………………………………12 分

22. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意有 ?

? y = kx + 1
2 2

?2 x ? y = 1

? (k 2 ? 2) x 2 + 2kx + 2 = 0



?k 2 ? 2 ≠ 0 ? 2 2 ?△ = ( 2k ) ? 8 ( k ? 2 ) > 0 ? ? 2k 则有 ? ? ?2 < k < ? 2 ? >0 ? k2 ? 2 ? 2 ? 2 >0 ?k ? 2 ?

……………………5 分

(Ⅱ)假设存在实数 k 满足题设条件,不妨设 A、B 两点的坐标分别为 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则由①式得

2k ? ? x1 + x2 = - k 2 ? 2 ? ? ?x ix = 2 ? 1 2 k2 ? 2 ?



……………………7 分

则由 FA⊥FB 得 ( x1 ? c )( x2 ? c ) + y1 y2 = 0 ,即 ( x1 ? c )( x2 ? c ) + ( kx1 + 1)( kx2 + 1) = 0 整理得 k 2 + 1 x1 x2 + ( k ? 1)( x1 + x2 ) + c 2 + 1 = 0

(

)



……………………9 分

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把②式及 c =

6 2 代入③式化简得 5k + 2 6k ? 6 = 0 , 2

解得

k =?

6+ 6 6? 6 或k = ? ?2, ? 2 (舍去) 5 5

(

)

……………………11 分

可知 k = ?

6+ 6 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F. 5

………12 分

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