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初高中数学衔接(上课教师用2课时)

初高中数学衔接 第二课时
1.1.4.分式
1.分式的意义 形如

A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具 B B B

有下列性质:

A A? M ? ; B B?M

A A?M ? . B B?M
上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式 a m?n? p 像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p 5x ? 4 A B ? ? 例1 若 ,求常数 A, B 的值. x( x ? 2) x x ? 2 A B A( x ? 2) ? Bx ( A ? B) x ? 2 A 5 x ? 4 ? ? ? 解: ∵ ? , x x?2 x( x ? 2) x( x ? 2) x( x ? 2) ? A ? B ? 5, ∴? ?2 A ? 4, 解得 A ? 2 ,B ? 3 . 1 1 1 ? ? 例 2 (1)试证: (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ?? ? (2)计算: ; 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 ? ?? ? ? . (3) 证明: 对任意大于 1 的正整数 n,有 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 1 1 (n ? 1) ? n 1 ? ? (1)证明:∵ ? , n n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 1 ? ? ∴ (其中 n 是正整数)成立. n(n ? 1) n n ? 1 (2)解:由(1)可知 1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2? 3 9 10 ?
1

1 1 1 1 1 ? ( 1? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 2 2 3 9 10 1 ? 1? 10 9 = . 10 1 1 1 (3)证明:∵ ? ?? ? 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ) = ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? 2 3 3 4 n n ?1 1 1 = ? , 2 n ?1 又 n≥2,且 n 是正整数, 1 ∴ 一定为正数, n+1 1 1 1 1 ? ?? ? ∴ <2 . 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) c 例 3 设 e ? ,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值. a 2 解:在 2c -5ac+2a2=0 两边同除以 a2,得 2e2-5e+2=0, ∴ -1)(e-2)=0, (2e 1 ∴ 2 <1,舍去;或 e=2. e= ∴ e=2.

例 4 计算 ( x 4 ? 3x) ? (3 ? x 2 )

? x2 ? 3 2 4 解: ? x ? 3 x ? 0 ? 0 ? 3 x ? 0 x 4 ? 0 ? 3x 2 3x 2 ? 3x 3x 2 ?9 ? 3x ? 9
? ( x 4 ? 3x) ? (3 ? x 2 ) ? (? x 2 ? 3) ? 9 ? 3x



1.2 因式分解



因式分解的主要方法有: 十字相乘法、 提取公因式法、 公式法、 分组分解法, 另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法
2

例1

分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

(2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.1-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成-1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).
x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.1-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.1-1

图 1.1-2

图 1.1-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.1-1 中的 两个 x 用 1 来表示(如图 1.1-2 所示) . (2)由图 1.1-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.1-4,得

x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by)
(4) xy ?1 ? x ? y =xy+(x-y)-1

x y

-1 1

图 1.1-5

=(x-1) (y+1) (如图 1.1-5 所示) . 2.提取公因式法 例 2 分解因式: (1) a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b? (2) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x 解: (1) a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b? = a(b ? 5)(a ? 1) . 3 (2) x ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ) ? (3x ? 9) = x2 ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x2 ? 3) . 或 3 2 x ? 9 ? 3x ? 3x = ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1)3 ? 8 = ( x ? 1)3 ? 23 = [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] = ( x ? 3)( x2 ? 3)

3:公式法
例3 分解因式: (1) ? a 4 ? 16
(2) ?3x ? 2 y? ? ?x ? y?
2 2

解:(1) ? a 4 ? 16 = 42 ? (a2 )2 ? (4 ? a2 )(4 ? a2 ) ? (4 ? a2 )(2 ? a)(2 ? a) (2) ?3x ? 2 y?2 ? ?x ? y?2 = (3x ? 2 y ? x ? y)(3x ? 2 y ? x ? y) ? (4 x ? y)(2 x ? 3 y) 4.分组分解法 例4
3

(1) x 2 ? xy ? 3 y ? 3x (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 . (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6

= 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 或 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 5.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则二次三项式

ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式:
(1) x 2 ? 2 x ? 1; (2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

解: (1)令 x 2 ? 2 x ? 1=0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1? 2 , ∴x 2 ? 2 x ? 1= ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? ? ?? ? = ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) . (2)令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y ,x1 ? (?2 ? 2 2) y , ∴x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] .
6.拆、添项法

例 6 分解因式 x3 ? 3x 2 ? 4
分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一 次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为 0 了,可考虑通过添项或拆项解决. 解: x ? 3x ? 4 ? ( x ? 1) ? (3x ? 3)
3 2 3 2

? ( x ? 1)( x2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)[( x2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)] ? ( x ? 1)( x2 ? 4x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)2
说明:本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,
2 2 2 造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将 ?3x 拆成 x ? 4x ,将多项式分成 2 3 2 两组 ( x ? x ) 和 ?4 x ? 4 .

一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解, 那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
4

课外作业 1.分解因式: (1) a 3 ? 1 ; (3) b2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ; 2.在实数范围内因式分解: (1) x 2 ? 5 x ? 3 ; (3) 3x2 ? 4 xy ? y 2 ; (2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(2) 4 x 4 ? 13x 2 ? 9 ; (4) 3x2 ? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 4 .

(4) ( x2 ? 2x)2 ? 7( x2 ? 2x) ? 12 .

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状. 4.分解因式:x2+x-(a2-a). 5. (尝试题)已知 abc=1,a+b+c=2,a?+b?+c?=,求

1 1 1 + + ab ? c - 1 bc ? a - 1 ca ? b - 1

的值.

5


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