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第二章基本初等函数、导数及其应用第3课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) 2 A.f(x)=3-x B.f(x)=x -3x 1 C.f(x)=- D.f(x)=-|x| x+1 解析:选 C.当 x>0 时,f(x)=3-x 为减函数; 3? 2 当 x∈? ?0,2?时,f(x)=x -3x 为减函数; 3 2 ? 当 x∈? ?2,+∞?时,f(x)=x -3x 为增函数; 1 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=- 为增函数; x+1 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数. 2.(2014· 贵州贵阳检测考试)定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且 f(x) 在(-∞,2)上是增函数,则( ) A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) 解析:选 A.依题意得 f(3)=f(1),且-1<1<2,于是由函数 f(x)在(-∞,2)上是增函数 得 f(-1)<f(1)=f(3). 3.已知函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值范围是( ) A.(0,1] B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:选 C.要使 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则 a>0 且 a-1≥0,∴a≥1. 1 4.如果函数 f(x)对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),且当 x≥ 时,f(x)=log2(3x-1), 2 那么函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为( ) A.2 B .3 C.4 D.-1 1 解析:选 C.根据 f(1+x)=f(-x),可知函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称.又函数 f(x) 2 1 1 在[ ,+∞)上单调递增,故 f(x)在(-∞, ]上单调递减,则函数 f(x)在[-2,0]上的最大值 2 2 与最小值之和为 f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22=4. 5.(2014· 吉林长春调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(-x)=0,且在(-∞, 0)上单调递增,如果 x1+x2<0 且 x1x2<0,则 f(x1)+f(x2)的值( ) A.可能为 0 B.恒大于 0 C.恒小于 0 D.可正可负 解析:选 C.由 x1x2<0 不妨设 x1<0,x2>0. ∵x1+x2<0,∴x1<-x2<0. 由 f(x)+f(-x)=0 知 f(x)为奇函数. 又由 f(x)在(-∞,0)上单调递增得, f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 所以 f(x1)+f(x2)<0. 二、填空题 6.函数 y=x-|1-x|的单调增区间为________. ?1, x≥1, ? 解析:y=x-|1-x|=? ? ?2x-1, x<1. 作出该函数的图象如图所示.

由图象可知,该函数的单调增区间是(-∞,1]. 答案:(-∞,1] 7.已知定义在 R 上的函数 f(x)是增函数,则满足 f(x)<f(2x-3)的 x 的取值范围是 ________. 解析:依题意得,不等式 f(x)<f(2x-3)等价于 x<2x-3,由此解得 x>3,即满足 f(x) <f(2x-3)的 x 的取值范围是(3,+∞). 答案:(3,+∞) 1?x 8.函数 f(x)=? ?3? -log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 1?x 解析:由于 y=? ?3? 在 R 上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以 f(x)在[-1,1] 上单调递减,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3. 答案:3 三、解答题 9.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1,并且 x>0,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式:f(a2+a-5)<2. 解:(1)证明:设 x1<x2,x1,x2∈R,∴x2-x1>0, 当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1, f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在 R 上是增函数. (2)∵对于任意 x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)-1, ∴令 x=y=1,得 f(1+1)=f(1)+f(1)-1,即 f(2)=2f(1)-1. 又∵f(3)=4, ∴f(2+1)=f(2)+f(1)-1=4, ∴2f(1)-1+f(1)-1=4,∴f(1)=2. ∴由 f(a2+a-5)<2,得 f(a2+a-5)<f(1), ∵f(x)在 R 上是增函数, ∴a2+a-5<1,∴-3<a<2, ∴原不等式的解集为{a|-3<a<2}. 1 10.已知函数 f(x)=a- . |x| (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)证明:当 x∈(0,+∞)时, 1 f(x)=a- , x 设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0, 1? ? 1 ? 1 1 x2-x1 f(x2)-f(x1)=? ?a-x2?-?a-x1?=x1-x2= x1x2 >0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 1 (2)由题意 a- <2x 在(1,+∞)上恒成立,设 h(x)=2x+ , x x 则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. 任取 x1,x2∈(1,+∞)且 x1<x2,

1 ? h(x1)-h(x2)=(x1-x2)? ?2-x1x2?. ∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1, 1 ∴2- >0,∴h(x1)<h(x2), x1x2 ∴h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故 a≤h(1),即 a≤3, ∴a 的取值范围是(-∞,3]. [能力提升] 一、选择题 1.已知定义域为(0,+∞)的单调函数 f(x),若对任意的 x∈(0,+∞),都有 f[f(x)-ex] 2 =e +2,则 f(1)等于( ) A.e B .3 C.e+1 D.e+2 x 解析:选 D.令 f(x)-e =t(t>0),则 f(x)=ex+t,所以 f(t)=et+t=e2+2,t=2,即 f(x) x =e +2(x>0).故 f(1)=e+2. 2.(2014· 浙江省名校联考)设 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,当 n∈N*时,f(n)∈N*, 且 f[f(n)]=2n+1,则( ) A.f(1)=3,f(2)=4 B.f(1)=2,f(2)=3 C.f(2)=4,f(4)=5 D.f(2)=3,f(3)=4 解析:选 B.由 f[f(n)]=2n+1,得 f[f(1)]=3,f[f(2)]=5.∵当 n∈N*时,f(n)∈N*,若 f(1) =3,则由 f[f(1)]=3 得,f(3)=3,与 f(x)在(0,+∞)上单调递增矛盾,故选项 A 错;若 f(2) =4,则 f(4)=5,4<f(3)<5,与 f(3)∈N*矛盾,故选项 C 错;若 f(2)=3,则由 f[f(2)]=5 得 f(3)=5,故选项 D 错. 二、填空题 3. (2012· 高考安徽卷)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3, +∞), 则 a=________. a 2x+a,x≥- , 2 解析:f(x)=|2x+a|= a -2x-a,x<- . 2 作出函数图象(图略),由图象知: a a ? 函数的单调递增区间为? ?-2,+∞?,∴-2=3, ∴a=-6. 答案:-6 4. 函数 f(x)的定义域为 A, 若 x1, x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2, 则称 f(x)为单函数. 例 如:函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数. 给出下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中真命题是________(写出所有真命题的编号). 解析:根据单函数的定义,函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的,故命 题②④是真命题,①是假命题;根据一个命题与其逆否命题等价可知,命题③是真命题. 答案:②③④ 三、解答题 5.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数;

? ? ?

(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2). 又∵当 x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 6.(选做题)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解:(1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1 -3x2). ∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0, 3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 同理,当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0, 3?x a 当 a<0,b>0 时,? ?2? >-2b, a - ?; 则 x>log1.5? 2 ? b? 3?x a 当 a>0,b<0 时,? ?2? <-2b, a? 则 x<log1.5? ?-2b?. a? 综上,当 a<0,b>0 时,x>log1.5? ?-2b?; a? 当 a>0,b<0 时,x<log1.5? ?-2b?.


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