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广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟(二)测试数学理试题


广东省茂名市实验中学 2013 届高三下学期模拟(二)测试 数学理试题
一、填空题(40 分) 1、已知集合 A={1,2,3,4},集合 B={2,3,4,5,6},则 A∪B= A、{1,2, 3,4} C、{1,2,3,4,5,6} C、{2,3,4,5,6} D、{3,4} 2、复数 z 满足 z+1=2+i(i 为虚数单位) ,则 z(1-i)= A、2 B、0 C、1+i D、i 3、若 ( x ? 1)5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ??? ? a5 ( x ? 1)5 ,则 a0 = A、1 B、32 C、-1 D、-32

4、在△ABC 中,∠A=

?
3

,AB=2,且△ABC 的面积为

3 ,则边 AC 的长为 2

A、1

B、 3

C、2

D、1

5、在等比数列{ an }中,已知 a2 ? a3 =1, a4 ? a5 =2,则 a8 ? a9 等于 A、2 2 B、4 C、8 D、16

6、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意 x ? R ,都有 f(x+4)=f(x) , 若 f(-1)=2,则 f(2013)等于 A、2012 B、2 C、2013 D、-2 7、已知函数 f ( x) ? lg( x 2 ? an x ? bn ) ,其中 an , bn 的值 由如图的程序框图产生,运行该程序所得的函数中,定 义域为 R 的有 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 8、设命题 p: “若对任意 x ? R ,|x+1|+|x-2| >a,则 a<3” ;命题 q: “设 M 为平面内任意一点,则 A、 B、C 三点共线的充要条件是存在角 ? ,使

???? ???? ???? ? MB ? sin 2 ? ?MA ? cos 2 ? ? MC ” ,则
A、 p ? q 为真命题 C、 ?p ? q 为假命题 B、 p ? q 为假命题 D、 ?p ? q 为真命题

二、填空题(30 分) (一)必做题 9、点 P 是圆 x2+y2+2x-3=0 上任意一点,则点 P 在第一象限的概率为____ 10、某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到 5 组数据如下表:

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由最小二乘法求得回归方程为 ? =0.67x+54.9,现发现表中有一个数据模糊不清,请推断 y 该点数据的值为____

?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ? 11、设变量 x,y 满足约束条件 ? ,则其目标函数 z=mx+y ?x ? 0 ?y ? 0 ?
仅在点(3,1)处取得最大值,则 m 的取值范围是___ 12、某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为 3,则正视图 中的 x=____ 13 、 已 知 点 A 是 抛 物 线 C1 : y2 = 2px ( p > 0 ) 与 双 曲 线 C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1 a 2 b2
的准线的距离为 p,则双曲线的离心率等于____ (二)选做题 14、在极坐标系中,直线 ? sin ? ? ____

2 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 2

? 15、如图圆上的劣弧 CBD 所对的弦长 CD= 3 ,弦 AB 是线段 CD 的
垂直平分线,AB=2,则线段 AC 的长度为____ 三、解答题(80 分) 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 f (? ?

?
2

) 的部分图象如图所示。

1 ? ) ? (? ? (0, )) ,求 tan ? 的值。 12 3 2

?

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17、 (本小题满分 12 分) 甲、 丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试, 乙、 面试合格者可以签约。 甲表示只要面试合格就签约,乙与丙则约定,两个面试都合格就一同签约,否则两人都不签 约。设每个人面试合格的概率都是 P,且面试是否合格互不影响。已知至少有 1 人面试合格 概率为

7 。 8

(1)求 P。 (2)求签约人数 ? 的分布列和数学期望值。

18、 (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC=4,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△ A1DE。 (1)当平面 A1DE⊥平面 BCD 时,求直线 CD 与平面 CEA1 所成角的正弦值; (2)设 M 为线段 A1C 的中点,求证:在△ADE 翻转过程中,BM 的长度为定值。

19、 (本小题满分 14 分) 已知各项为正的数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n,有 a2 an ? S 2 ? S n (1)求 a1 的值; (2)求数列{ an }的通项公式; (3)若数列 ?log10

? ?

8a1 ? ? 的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的最大值。 an ?

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20、 (本小题满分 14 分) 如图,已知点 M0(x0,y0)是椭圆 C:

y2 ? x 2 =1 上的动点,以 M0 为切点的切线 l0 与 2

直线 y=2 相交于点 P。 (1)过点 M0 且 l0 与垂直的直线为 l1,求 l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围; (2)在 y 轴上是否存在定点 T,使得以 PM0 为直径的圆恒过点 T?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,说明理由。

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)= e x -1, g ( x) ?

x ? x ,其中 e 是自然对数的底,e=2.71828…。

(1)证明:函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点; (2)求方程 f(x)=g(x)根的个数,并说明理由; (3)若数列{ an }( n ? N * )满足 a1 ? a (a ? 0)(a 为常数) f (an ?1 ) ? g (an ) , , 证明:存在常数 M,使得对于任意 n ? N * ,都有 an ? M

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参考答案
一、选择题 1、B 2、A 3、B 4、A 5、C 6、D 7、C 8、C 解析: P 正确,q 错误: MB ? sin

????

2

???? ???? ? ? ?MA ? cos 2 ? ? MC ,

<==>BA=MA-MB=(cosa)^2*(MC-MB)=(cosa)^2*BC, ==>A,B,C 三点共线。反之,不成立。例如,A(0,0),B(1,0),C(2,0), BA=(-1,0),BC=(1,0),不存在角 a,使向量 MA=(sina)^2*向量 MB+(cosa)^2*向量 MC。所以这 个命题是假的。 二、填空题 9、

1 3 ? 24 8?

10、68

11、 (-1,1)

12、3

13、 5

解析:

14、 2 三、解答题

15、 3

第 5 页 共 9 页

17、解:(1)至少 1 人面试合格概率为

7 (包括 1 人合格 8

2 人合格和 3 人都合格), 这样都不合格的概

7 1 = 。 8 8 1 (1-P) = 8
率为 13

P=

1 2

(2)签约人数 ? 取值为 0、1、2、3

1 1 )= , 2 8 1 1 1 1 1 甲不合格,乙丙至少一人不合格 *(1- * )-(1- ) (甲乙丙都不合格)= 2 2 2 2 4 1 1 3 签约人数为 0 的概率: + = 8 4 8 1 1 1 3 签约人数为 1 的概率:甲合格,乙丙至少一人不合格: *(1- * )= 2 2 2 8 1 1 1 1 签约人数为 2 的概率:甲不合格,乙丙全部合格: * *(1- )= 2 2 2 8 1 1 签约人数为 3 的概率:甲乙丙均合格:( ) = 2 8
签约人数为 0 的概率:都不合格(13 3 3

分布表:

签约人数 概率 数学期望:E ? =1

0

1

2

3

3 8

3 8

1 8

1 8

18、解: (1)过 A1 作 A1F⊥DE,由已知可得 A1F⊥平面 BCD,且 F 为 DE 中点,以 D 为原 点,DC、DA 所在直线为 y,x 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,C(0,4,0) ,E(2,2,0) 1(1,1, 2 ) ,A 求得平面 CEA1 的一个法向量为 m=(1,1, 2 )

???? ???? ???? 1 DC =(0,4,0) DC ?m=| DC ||m|cosθ ,得 cosθ = , 2
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所以,直线 CD 与平面 CEA1 所成角的正弦值为

1 。 2

(2)取 A1D 中点 G,连结 MG,EG,由 MG∥EB,且 MG=EB,可得 BMGE 为平行四边形,所以, BM=EG,而三角形 ADE 中,EG 的长度为定值,所以,BM 的长度为定值。 19、

20、解: (1)由椭圆得: y ? 切线的斜率为:k=

2(1 ? x 2 ) , y ' ? ?2 x(2 ? 2 x 2 )

?

1 2

?2 x0 2 ? 2 x0 2

2 ? 2 x0 2 ,所以,直线 l1 的方程为: y ? y0 ? ( x ? x0 ) , 2 x0
2

与 y 轴交点纵坐标为:y= 2 ? 2x0 -

2 ? 2 x0 2 2



2 ? 2 x0 2 2

因为 ?1 ? x0 ? 1 ,所以, 0 ? x0 2 ? 1 , 0 ? 2 ? 2 x0 2 ? 2 ,所以,当切点在第一、二象限时 l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围为: 0 ? y ?

2 ,则对称性可知 2

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l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围为: ?

2 2 。 ? y? 2 2

(2)依题意,可得∠PTM0=90°,设存在 T(0,t) 0(x0,y0) ,M

??? ????? ? 2 y0 ? y0 2 ? 2 x0 2 由(1)得点 P 的坐标( ,2),由 PT ?M 0T ? 0 可求得 t=1 2 x0
所以存在点 T(0,1)满足条件。 21、解: (1)由 h(x)=f(x)-g(x)= e x -1- x ? x ,得: h(1)=e-3<0,h(2)=e -2- 2 >0,所以函数 h(x)在区间(1,2)上有零点。 (2)由(1)得:h(x)= e x -1- x ? x 由 g ( x) ?
2

( 2) 而 则 且 x ? x 知, ? [0, ??) , h(0) ? 0 , x ? 0 为 h( x) 的一个零点, h( x) 在 1, x

内有零点,因此 h( x) 至少有两个零点。 解法 1: h'( x) ? e ?
x

1 ?1 1 ?1 1 ?3 x 2 -1,记 ? ( x) ? e x ? x 2 -1,则 ? '( x) ? e x ? x 2 . 2 2 4

当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至多 只有一个零点. h( x) 有且只有两个零点. 所以,方程 f(x)=g(x)根的个数为 2。 (3)记 h( x) 的正零点为 x0 ,即 e 0 ? 1 ? x0 ?
x 3

x0 . x0 ? e x0 ? 1 , a2 ? x0 , 因此

(1) a ? x0 时, a1 ? a , a1 ? x0 .而 a2 ? a1 ? a1 ? x0 ? 当 由 即 由此猜测: an ? x0 .下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? x0 显然成立;

②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 ak ? x0 成立,则当 n ? k ? 1 时,由

ak ?13 ? ak ? ak ? x0 ? x0 ? e x0 ? 1 知, ak ?1 ? x0 ,因此,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? x0 成立.
故对任意的 n ? N * , an ? x0 成立. (2)当 a ? x0 时,由(1)知, h( x) 在 ( x0 , ??) 上单调递增.则 h(a ) ? h( x0 ) ? 0 ,即
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a 3 ? a ? a .从而 a23 ? a1 ? a1 ? a ? a ? a 3 ,即 a2 ? a ,由此猜测: an ? a .下面用数
学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? a 显然成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 ak ? a 成立,则当 n ? k ? 1 时,由

ak ?13 ? ak ? ak ? a ? a ? a 3 知, ak ?1 ? a ,因此,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a 成立.
故对任意的 n ? N * , an ? a 成立. 综上所述,存在常数 M ? max{x0 , a} ,使得对于任意的 n ? N * ,都有 an ? M .

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