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数列专题复习 学生用


数列专题复习——求数列的通项
一、考纲要求 1、 由已知数列的通项公式或递推关系,求数列的通项; 2、 由数列的递推关系求数列的通项公式; 3、 利用等比、等差数列的概念、性质、通项公式与前 n 项和公式解决问题; 4、 以数列为载体,考查数列求和的各种方法和技巧。 二、知识梳理 1、 数列的前 n 项和 S n 与通项 an 的关系 a n ? ?

?S1 ?S n ? S1

? ?定义 ? ? ? ?通项公式 ?概念? ?等差中项 ? ?图像 ? ? ? ? 2、 等差数列 ? ?性质 ? ?S n ? ? ?S ? ? ? n ?求和? 2 ? ?S n ? An ? Bn ? ?图像表示 ? ?

? ?定义 ? ? ?概念?通项公式 ? ? ? ?等比中项 3、 等比数列 ? ?性质 ? ? ? ?S ? ?求和? n ? ?S n ? ?

?公式法 ? ?倒序相加法 4、 数列求和的方法 ? ?错位相减法 ?裂项相消法 ?
三、典例精析 1、利用等差等比数列通项公式 例 1、设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13 ,求 {an } , {bn } 的通项公式。

变式 1: 实数列 {a n }是 等比数列, a 7 ? 1, 且a4 , a5 ? 1, a6 成等差数列, 求数列 {an } 的通项 an 。

2、由前 n 项和求通项公式 例1、 已知下列数列 {an } 的前 n 项和 S n ,求 {an } 的通项公式; (1) Sn ? 2n 2 ? 3n (2) S n ? 3n ? b

* 变式 1:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N ) .求数列 ?an ? 的通项 an

3.利用递推关系

3.1 递推关系 ?

由递推式得 a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a2 ? f ? 2? ,?, an ? an?1 ? f ? n ?1? ,诸式相加,得

?an ?1 ? an ? f ? n ? 其中 a 为常数 ? a1 ? a

an ? a k,即为累加法求数列通项公式。 1 ? ? f? ?
k ?1

n ?1

例 1、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , an ? an ?1 ? 2 ? n ? 2 ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 2 n ?1

变式:已知数列 ?an ? 满足 nan?1 ? ? n ?1? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

3.2 递推关系 ?

由递推式得 a2 ? f ?1? a1, a3 ? f ? 2? a2 ,?, an ? f ? n ?1? an?1 ,诸式相乘,得

? an ?1 ? f ? n ? an 其中 a 为常数 ? a1 ? a

an ? a k,即为累乘法求数列通项公式。 1 ? f? ?
k ?1

n ?1

例 1、已知数列 ?bn ? 的首项 b1 ? 1 ,其前 n 项和 S n ?

1 ? n ? 1? bn ,求数列 ?bn ? 的通项公式。 2

3.3 递推关系 ?

令 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,整理得 an?1 ? pan ? ? p ?1? ? ,所以 ? p ?1? ? ? q , 即? ?

? an ?1 ? pan ? q 其中 p, q, a 为常数且 p ? 1 a ? a ? 1

q ? ? q q ? q ? ? p ? an ? ,从而 an?1 ? ,所以数列 ?an ? ? 是等比数列。 ? p ?1 p ?1 p ?1 ? p ? 1? ? ? 例 1、已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 2,3,? 求 {an } 的通项公

式。

1) an ? 变式:设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,… .求 {an } 的通项公式。 2

an ,两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 pan ? q an?1 , a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 例 1、已知数列 ?an ? 满足: an ? 3 ? an?1 ? 1
4.利用倒数变形, an ?1 ?

变式:数列 ?an ? 满足: a1 ?

3nan?1 3 ,且 an ? 2an?1 ? n ? 1 2

? n ? 2? ,求 an




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