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高中物理奥赛 之 质点的运动


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中学物理奥赛解题研究

第一专题 质点运动学
知识与方法研究
一、运动分解的任意性 二、曲率半径的物理求法 三、两平面运动曲线的交点的运动

疑难题解答研究
例题7 例题8 例题9

知识与方法研究
一、运动分解的任意性

? ? ? r ? r1 ? r2
? ? ? v ? v1 ? v2
? ? ? a ? a1 ? a2
不限于正交分解,更不限于沿水平、竖直方向的正交分解. 可以根据解题需要沿选 定方向分解. 运动的分解与合成是不同于参照系变化时(K′→K)对运动描述的伽利略或洛仑兹 变换, 是在一个参照系中进行的.

例1 足球运动员在球门正前方距离球门S远处的O点踢出一球,球从球门高为h的 横梁下边沿射入球门. 问球以怎样的角度θ 射出,才能使射出的初速度v0最小? 解一 建立如图的坐标系,将v0做水平、竖直的正交分解.

则有

s ? (v0 cos? ) ? t

1 h ? (v0 sin ? ) ? t ? gt 2 2 gs 2 消去t 得:h ? s ? tan ? ? 2 2v0 cos 2 ?
2 v0 ? 2

y B v0 θ φ S C x h

进而得:

gs O 2( s ? tan ? ? h)cos 2 ? gs 2 ? s ? sin 2? ? h cos 2? ? h gs 2 ? . (其中: ? ? arctan h ) 2 2 h ? s ? sin(2? ? ? ? h ) s

当2? ? ? ?
所以

?
2

时,v0有最小值.

??

?
4

?

?
2

解二

如图,建立坐标系. y

将v0、g均沿x、y方向进行分解.

? g
v0
α θ

φ

x B h

1 x ? (v0 cos ? )t ? ( g sin ? )t 2 2 则有 1 y ? (v0 sin ? )t ? ( g cos ? )t 2 2 足球到达B时, y ? 0, x ? s 2 ? h2

φ S

C

O

1 s 2 ? h 2 ? (v0 cos ? )t ? ( g sin ? )t 2 2 所以有 1 0 ? (v0 sin ? )t ? ( g cos ? )t 2 2 2 2 2v0 sin ? v0 sin ? 2 2 消去t 得: s ? h ? ? (cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? ? ?sin(2? ? ? ) ? sin ? ? 2 2 g cos ? g cos ?
所以

g cos 2 ? v ? sin(2? ? ? ) ? sin ?
2 0

当 2? ? ? ?

?

2 1 ? 1 1 此时? ? ( ? ? ) ? ? ? ? , 2 2 4 2

时, 0有最小值. v

1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ( ??) ? ? ? ? ? . 2 2 4 2

建立如图的坐标. 则x方向为匀速直线运动,y方向为自由落体运动. D 据图中的几何关系,由正弦定理有:

解三

x

BD OD OB ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ? ? ) 1 2 gt v0 t s 2 ? h2 2 即 ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) 2v sin ? 由左边的等式得:t ? 0 g sin ? 将此代入右边的等式:
2v sin ? s ?h ? g sin 2 ? sin(? ? ? )
2 0 2 2

y

β

B h

v0 θ O

γ

φ
S

C

所以

2 v0 ?

g s ? h sin ? 2sin(? ? ? ) ? sin ?
2 2 2

g s 2 ? h 2 sin 2 ? ? cos ? ? cos(2? ? ? ) 当 2? ? ? ? ? 时,v0有最小值. 1 此时 ? ? ? ? ? ? (? ? ? ) ? ? 2 1 ? ? ? ? [? ? (? ? )] ? ? ? ? 2 2 4 2

现在足球在x轴方向、 y轴方向的分运动各是 什么运动?

题后总结与思考 ?本题充分说明运动分解的任意性. ?如果愿意,还有一种如图的有效分解方式!

D

x

y v0 θ O S φ

β

B h C

例2

弹性小球从高h处自由落下,落到与水平面成θ角的足够长的斜面上,碰撞

后以同样大小的速度弹回来.
(1)求每个弹回点(第一点和第二点,第二点和第三点,……,第n点和第(n+1) 点)间的距离x1-2、x2-3、x3-4、……、x n-(n+1). (2)求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时的x1-2的数值. 解 以斜面为参照系. 建立如图所示的坐标系. 小球第一次与斜面相碰(前、后) 的速度大小为 v10 ? 2 gh. 于是

y

h
o

v10 y v10

gy

gx

g
v10 x

v10 x ? v10 sin? ? 2 gh ? sin? ,

v10 y ? v10 cos? ? 2 gh ? cos? .

?
则小球在两个碰点之间的在x、y方向的分
x

运动均是匀变速直线运动.

第一次碰后(第二次碰前)的运动 方程为:
v1x ? v10 x ? g xt ? v 10 sin ? ? ( g sin ? )t

y

h
o

v10 y v10
v10 x

gy

gx

v1 y ? v10 y ? g yt ? v10 cos? ? ( g cos? )t

g

1 1 x1 ? v10 xt ? g xt 2 ? (v10 sin ? )t ? ( g sin ? )t 2 2 2 1 2 1 y1 ? v 10 y t ? g yt ? (v10 cos? )t ? ( g cos? )t 2 2 2
令 y 1=0,可得第一与第二次碰撞的时间间隔为
t1? 2 ? 2v10 2 2gh 2h ?2 ? g g g

?
x

代入x1的计算式后可得
x1? 2
2 4v10 ? ? sin ? ? 8h ? sin ? g

第二次碰后瞬间的速度大小等于第 二次碰前瞬间的速度大小:
v20 x ? v10 sin ? ? ( g sin ? ) 2v10 g ? 2 gh ? sin? ? 2 2 gh ? sin? 2v10 ] g

y

h
o

v10 y v10

gy

gx

g

? 3 2 gh ? sin ?
v20 y ? ?[v 10 cos? ? ( g cos ? ) ?

v10 x

? 2 gh ? cos?
v 显然, 10 y ? v20 y , 以此类推, 可知在每次碰前

?
x

碰后瞬间在y方向的速度大小均相等.
进而可知每相邻两次相碰的时间间隔均相等,为 t ? t1?2 ? 2 于是

2h . g

1 x2?3 ? v20 xt ? g xt 2 ? 3 2 gh ? sin ? ? 2 2h ? 1 g sin ? ? (2 2h 2 ? 12h sin? ? 4h sin? ) 2 g 2 g

? 8h sin? ? 8h sin ?

注意:x2-3-x1-2=8hsinθ ! 会不会每碰一次增加“8hsinθ ”?

小球每一次碰后瞬间的x方向分速度 将比前一次增加

y

g xt ? ( g sin ? ) ? 2

2h ? 2 2hg ? sin ? . g

h
o

v10 y v10

gy

gx
g

因而每接连两次相碰的间距将比相 邻的两次接连相碰的间距增加

v10 x

(2 2 gh ? sin ? ) ? t ? (2 2 gh ? sin ? ) ? 2

2h ? 8h sin ? . g

所以第n次碰撞与第(n+1)次碰撞之间的间距为

?
x

xn?( n?1) ? 8h sin ? ?(n ? 1)8h sin ? ? 8nh sin? .
(2)求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时 的x1-2的数值. 此时,仍以斜面为参照系. 则小球第一次与斜 面相碰时速度大小便由(1)中的v10变成了(v10+u). 所以将(1)中相关式子中的v0代换为(v0+u),便

题后思考
? 能否建立水平方向的 x 坐 标与竖直方向的y 坐标解本题? ?能否建立斜面方向的x坐标

与竖直方向的y坐标求解?

能得到对应的结果. 2 4( 2 gh ? u ) 2 4v10 4(v0 ? u ) 2 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 于是 x1? 2 ? g g g

二、曲率半径的物理求法
1、从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度 dv ——表示速度大小的变化快慢 a切 ?| | ? ? ? dt a ? a切 ? a心 v2 a心 ? ? ? 2 ? ——表示速度方向的变化快慢

?

x 2、由物理运动学求曲率半径思路: ?让质点的做某种轨迹为给定的曲线的运动
?确定质点在运动轨迹上各处的v和a心 ?由向心加速度公式求ρ ?在选择质点的运动时,尽量考虑如何方便 得到曲线各处的v和a心 o y p1

? a心
a

?1

p a切

v

x2 y 2 例3 试求椭圆 2 ? 2 ? 1 的顶点处的曲率半径. A B 解
椭圆的参数方程为

y B

x ? A cos ? t y ? B sin ? t
0 A x

可以选择质点沿椭圆轨道的运动为:

在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.
(其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程) 于是有

vx ? ?? A sin ? t v y ? ? B cos ? t ;
在图中顶点A处:

ax ? ?? 2 A cos ? t a y ? ?? 2 B sin ? t

这样的运动在椭圆的顶点
处的v和a心是易求得的.

vx ? 0 vy ? ? B

v ??B
a心 ? ax ? ? 2 A

ax ? ?? 2 A ay ? 0

所以

v2 ? 2 B2 B2 ? 2 ? ?A ? a心 ? A A

y B

A2 同理可得 ? B ? B
0

a心

v A x

例4 求滚轮线的最高点的曲率半径ρ1最低点的曲率半径ρ2. 解 为方便计,设轮子做匀速的纯滚动. 设轮心O相对地面的速度为v0 . 轮边缘上的任意一点P相 对轮心O的线速度为多大? P在最高点处相对于地面的速度大小为 v1 ? 2v0 P在最低点处相对于地面的速度大小为 v2 ? 0 ? 设P点相对地面参照系的加速度为 a, P点相对 ? ? ? ? 轮心参照系的加速度为 a? 则 a ? a0 ? a? , ? ? ? ? 由于a0 ? 0 故 a ? 0 ? a? ? a?. , P P

o
v0 o

? ? a ? a? P o P

? ? a ? a? o

? a 总是指向轮心但是否总是
指向滚轮线的曲率圆圆心?

在滚轮线的最高点处和最低点处,

? a正好又是指向该处的曲率圆圆心的, ? 所以在此两处的 a完全用作向心加速 度, 故 2 v0 a心 ? a ? a? ? R
故滚轮线最高处的曲 率半径为 ?1 ?
2 1

P o

P

v0

? ? a ? a? o

? ? a ? a? P o P ? ? a ? a?

? ? a ? a? o

v ? 2 a心 v0

? 2v0 ?
R

2

? 4R

2 0 v2 ? 2 ?0 滚轮线最低处的曲率半径为 ? 2 ? a心 v0 R

题后总结

?此两题的解法属于物理运动学的求法;
?曲率半径还有物理动力学的求法——这将在以后研究.

三、两运动曲线(包括直线)的交点的运动 1、几种交点的运动情况 v1 P

v2

?
P

v1 v2

P

(1)直线与直线的交点

(2)曲线与曲线的交点 注 意

(3)直线与曲线的交点

? 交点并非曲线上的一个固定点,而是两条曲线相交而成的几何点. ?两曲线并非均作平动. 2、如何求交点的速度
? ? ? 决不能 vP ? v1 ? v2 !!

(1)由速度的定义出发求.

(求出交点相对某一曲线的速度,再叠加上此曲线的速度) (2)从相对运动出发求.
例5 如图,一平面内有l1、l2两细杆,相交成φ角. 细杆分别以垂直于自身杆长的速

度匀速运动. 求两杆的交点P相对于纸面的速率.
解一 由定义出发求速度 v1

设经过时间Δt, 交点P匀速直线运动 至P1处.
如何求得P1P ? PP2 , P1P2

? ??
P2
P1

A P P3 B

?

l1 l2 v2

P1P

在图中: PP2 ? AP ? csc? ? v1?t csc? , 由余弦定理有
2 2

PP2 ? PP ? PB ? csc? ? v2?t csc? 1 3

2 PP ? P2 P ? PP2 ? 2P2 P ? PP2 ? cos(? ? ? ) ? v12 ? v2 ? 2v1v2 cos ? ? csc ? ? ?t 1 1 1

所以

vP ?

PP 1 2 ? v12 ? v2 ? 2v1v2 cos ? ? csc ? ?t

解二

由相对运动出发求速度

先求出交点相对于杆l1的速率v1′: 在图中:

v1

? ??
P2 P1 P3

A P B

AP ? PP2 ? AP2 ? P3 P ? AP2 1 1

?

l1 l2 v2

? PB ? csc? ? AP ? cot ? ? v2 ?t ? csc? ? v1?t ? cot ?
所以

? v1 ?

AP 1 ? v1 cot ? ? v2 csc? ?t

进一步得交点P相对于地面的速率:
2 ? vP ? v1 2 ? v12 ? v12 ? (v1 cot ? ? v2 csc ? ) 2 ? v12 ? v2 ? 2v1v2 cos ? ? csc ?

例6 如图, 在o-xy平面内有一个圆, 在y轴上放一根细杆,从t=0开始, 细杆以速度v0朝

x轴正方向匀速平动. 试求细杆与第一象限内的圆弧的交点的向心加速度与时间t的关系.
解一 由速度定义出发解答. 交点的运动方向总是沿圆的切线方向. 设在t 时刻交点在P点,经过小量时间Δt, y

P0
① P3 ? O

v0 P

交点由P点运动到P1点.

PP ? R?? 1

P1
x

而 PP2 ? PP3 ? P2 P 3 ? R sin(? ? ?? ) ? R sin ? 1 1

? 2 R cos(? ?
当?? 极小时,有

??
2

)sin

??
2

??

P2

② ③

PP2 ? 2R(cos ? ) ? 1

?? 2

1 由①、③消去 ?? : PP ? PP2 , 1 cos ?

? v PP PP2 1 1 1 即vP ? 0 . 所以 ? ? , cos ? ?t ?t cos ?

2 v0 R R 2 ? v0 t 2 代入即得 vP ? 将 cos ? ? 2 R R 2 ? v0 t 2 2 2 v0 R vP aP心 ? ? 2 2 2 . (其中 R ? v0t ) 所以 R R ? v0 t

解二

由相对运动出发解. y P0 P3 ? O v0

设v?为交点相对于细杆的速度. ? ? ? 则 vP ? v? ? v0

P

v0

? ? ? ? ? 因为 v? ? v, 所以vP便是以v?、v0为边的矩形的对角线. 0 v 所以便有 vP ? 0 cos ?

v?

vP x

进一步便可得到交点 P 的向心加速度.

(3)两平面光滑曲线交点速度的最简求法研究 ? 如图,L1、L2的交点P相对地面的速度为 v P . ? ? L2 v1、v2分别为L1、L2上的与交点P重合的点 P 、P2 1

l2
? v2 ? v1 l1

的速度.
分别作L1、L2的切线l1、l2.
v11

v21

P

L1 v12

? v1 运动的参照系, 取与L1上的P1点一起以速度 ? ? 在此参照系中P点以速度 v1 沿l1运动. 则 ? ? ? ? vP ? v1 ? v1 ? 取与L2上的P2点一起以速度 v2 运动的参照系, ? ? 在此参照系中P点以速度 v2 沿l2运动. 则 ? ? ? ? vP ? v2 ? v2 ? ? ? ? 在地面参照系中沿l1、l2方向分解 v1 : v1 ? v11 ? v12 ? ? ? ? 在地面参照系中沿l1、l2方向分解 v2 : v2 ? v21 ? v22 v1 vP v2

v22

由图可知

? ? ? vP ? v12 ? v21

重解例5: v12 ? v1 csc ?
v21 ? v2 csc?

v1
? v12
? vP

v1 P

由余弦定理求合:
2 2 vP ? v12 ? v21 ? 2v12v21 cos(? ? ? )

?

l1 l2

? v21

v2
v2

? v ? v ? 2v1v2 cos ? ? csc ? .
2 1 2 2

重解例6:
v v01 ? 0 , cos ?
v10 ? 0.

y P0 P

v0
v0 v01 x

所以

vP ? v01 =

v0 . cos ?

?
O

进一步便可得到交点 P 的向心加速度. 题后总结与思考 ?该方法仅局限于光滑平面运动曲线的交点!

?此方法是否仅限于两曲线作平动的情况?请论证.

疑难题目解答研究
例7 如图,光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15°夹角交于O点,小球在OM 的内侧与O相距l=20cm的P点处,以与MO成30°角方向的初速朝ON杆运动,初速度大 小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处?若能,则须经多少时间回到P处? 解 小球作的是匀速折线运动.

P″

可将小球的运动类比为光线在平
面镜M、N之间的反射. 而光线经镜面反射后的行进等效 于光线沿原入射方向的行进. 因此光线在两平面镜之间的不断 反射可等效为光线沿PP′直线传播.
? 由于 ?POP? ? 4 ?15? ? 60, 所以

P′ N

150
O l

300

M P

?PP?O ? 900.
因此光线能够沿原路返回到P点.

P″

所以小球从P点出发到又回 到P点,总的路程即为PP″=2PP′. 所经历的时间为 P′

N
150 l 300 P M

2PP? 2l cos300 ? 2 3( s) t? ? v0 v0
题后总结与思考

O

?这种解法的实质就是将折线运动等效变为直线运动从而使问题得以简化.

?本题还有另一种常规解法: 1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰 2、确定在什么位置正碰 3、算出所有折线段的总长 4、计算时间 但这种解法需解三角形!!试一试,看能否用此法解答.

例8 图(a)中的黑色圆盘上有白色点S,盘绕中心轴以 f0= 50He的频率旋转,如 果用频率为 f 的频闪光去照射该盘,在盘上能看到稳定地出现如图(b)的三个白色 点. 请算出两种可能的 f 值,其一大于f0,其二小于f0 . 又若取f = 51He,那么在盘上能

观察到什么现象?
解 取t = 0时白色点在A位置. 1 设T0 ? 为圆盘转动的周期. f0 则白点在A位置的时刻:
t A ? KT0 .

S

(a)

(K=0、1、2、3、……)

则白点在B位置的时刻:
1 1 t B ? KT0 ? T0 ? ( K ? )T0 . (K=0、1、2、3、……) 3 3

S 1200

A 1200 (b)

白点在C位置的时刻:
2 2 tC ? KT0 ? T0 ? ( K ? )T0 . 3 3

(K=0、1、2、3、……)

0 C 120 B

设t = 0时频闪光第一次照亮圆盘(即看见白色点在A). 则频闪光第二次照亮圆盘时: (1)若白点在B处 这要求频闪周期为

S (a)

1 1 T ? K1T0 ? T0 ? ( K1 ? )T, 0 (K 1=0、1、2、3、……、). 3 3
S
即有

1 3 f ? ? ? f0 T 3K1 ? 1
白点在C位置. 白点在A位置.

A 1200 (b)

1200

0 C 120 B

如此重复,便能在圆盘上到三个稳定的白点.

频闪光的频率还有 没有其他可取值?

(2)若频闪光第二次照亮时,白点在C处 这要求频闪周期为 2 2 T ? K 2T0 ? T0 ? ( K1 ? )T, (K2=0、1、2、3、……、) 0 3 3 1 3 即有 f ? ? ? f0 T 3K 2 ? 2 白点在 B位置. 白点在 A位置. A C B (b)

如此重复,便能在圆盘上到三个稳定的白点.
综上可知,频闪光的可取频率范围为:

( : 3 f, 1 ) 0

3 3 3 3 3 3 3 f, f 0 ,??, ( ? f 0;( : f, f, f 0 ,??, ( ) 1 ) ? f 0 ). 0 0 0 4 7 3K1 ? 1 2 5 8 3K 2 ? 2

) 其中,大于f0 的 f 有: 3 f 0 (150 He,

3 f 0 (75 He; ) 2 3 3 ) (30 ,等无穷多. 小于f0 的 f 有: f 0 (37.5He,  f 0   He),?? 4 5

若f 稍大于f0 (如f =51He),则T 稍小于T0 ,这意味着白点 在A位置被照亮后,经过时间T 顺时针将转过大半周(T/T0周). 这相当于逆时针转过小半周{即(1-T/T0 )周}又被照亮, 故会看见白点逆时针倒退. A

白点倒退一周所需的时间为

T退 ?
倒退的频率为

T 1? T T0

?

T0T T0 ? T

图(c)

1 1 ? f f 1 T0 ? T f退 ? ? ? 0 ? f ? f 0 ? 51 ? 50 ? 1He 1 T退 T0T f0 f

题后总结 通过该题知道了: 为什么看电影时, 有时看见汽车前 进 而车轮却反转?

例9

如图,OABC是一桌球台面. 取OA为 x 轴,OC为y 轴,P是红球,坐标为

(x, y), Q是白球,坐标为(x′, y′ ), (图中未画出Q球在台面上的位置). 已知OA=BC=25 分米,AB=OC=12分米. (1)若P球的坐标为:x=10分米,y=8分米. 问 Q球的位置在什么范围内时,可使击出的Q球顺次与 AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹,最后击中P球? (2)P球有没有一些位置是Q球无论在什么位置 出发,按上述次序从四壁反弹后都无法击中的?如 没有,加以证明;如有,找出这些位置的范围. (白球Q同四壁的碰撞均为弹性碰撞,两球体积很 小,可看作质点.) 解 如右图,你能不能让白球与桌璧N M 弹性 相碰后击中红球? M O N y

C
P (x, y) Q

B

A

x

(1) 给球桌各顶点及红球的位置标注上坐标 1、如果白球对着镜像点P1击在OA上就能击中P; 如果白球对着镜像点P2击在CO上就能射向P1; 如果白球对着镜像点P3击在OC上就能射向P2; 如果白球对着镜像点P4击在BA上就能射向P3. P3(-10,32) y P4(60,32)

C (0,12) P (10,8) Q O (0,0) P1(10,-8) P2(-10,-8)

B (25,12)

A (25,0)

x

P3(-10,32)

y

P4(60,32)

C (0,12) P (10,8) Q O(0,0) F P2(-10,-8) P1(10,-8)

B (25,12)

A (25,0)

x

2、为了保证白球能对着P4点且击在BA上,白球应该放在什么区域? 3、白球放在该区域是否能保证经BA反弹后能击在BC上? 4、白球是否击在BC上任何地方都能反弹后又击在CO上?比如放在图中所示的点处?

P3(-10,32)

y

P4(60,32)

C (0,12)

E (15,12) B (25,12)
P (10,8) Q

O(0,0) F
P2(-10,-8) P1(10,-8)

A (25,0)

x

5、白球应该对着P3击在BC上的什么地方才能保证经BC反弹后能击在CO上? 作直线P2O交CB于E点, E点坐标为(15,12).

P3(-10,32)

y

P4(60,32)

C (0,12)

E (15,12) (25,12) B P (10,8) Q D (25,4)

O(0,0)
P1(10,-8)

A (25,0)

x

P2(-10,-8)

6、白球应该对着P4击在BA上的什么地方才能保证经BA反弹后能击在EC上? 作直线P3E交BA于D点, D点坐标为(25,4).

P3(-10,32)

y

P4(60,32)

C (0,12)

E(15,12) (25,12) B P (10,8)

Q O(0,0)

D (25,4) x

H (20,0) A (25,0) P1(10,-8)

P2(-10,-8)

7、白球应该放在什么区域才能保证对着P4击在DA上? 作直线P4D,交AO于H, H点的坐标(20,0).

P3(-10,32)

y

P4(60,32)

C (0,12)

E(15,12) (25,12) B P (10,8) Q D (25,4) x

O(0,0)

H(20,0) A (25,0) P1(10,-8)

P2(-10,-8)

最终结论:白球应放在三角形DAH以内的区域.(但不能放在HD、DA边上)

(2)P球有没有一些位置是Q球无论在什么位置出发,按上述次序从四壁反弹后都 无法击中的?如没有,加以证明;如有,找出这些位置的范围. P3(-10,32) y

P4(60,32)

C (0,12)

E(15,12) (25,12) B P (10,8)

Q
O(0,0)

D (25,4) x

H (20,0)A (25,0) P1(10,-8)

P2(-10,-8)

问题可转换为:P 球有没有一些位置,使(1)问的解答中求得的三角形DAH不存 在(或者说面积缩小为零)?

P3(-10,32)

y

P4(60,32)

E′ (12.5,12)

C (0,12)
P

E

B (25,12)

Q O(0,0) H P1(10,-8)

D A (25,0) x 若P点左移, 则E点左移, D点下移, 三角形DAH的面积就会缩小……

P2(-10,-8)

连接P3、A点,交BC于E′点,E′点的坐标为(12.5,12). 连接E′、O. 最终结论: 当红球P放在三角形CE′O以内的区域以及其边上时,无论白球从何处开始击出,不可 能击中红球.

P3(-10,32)

y

P4(60,32)

C (0,12) E (12.5,12) P

(25,12) B

Q
O(0,0) H P1(10,-8)

D
x A (25,0)

P2(-10,-8)

题后总结与思考 ?也是利用将弹碰类比于光的镜面反射来解决问题. ?本题采用其他数学方法还有多种解法,你还出想出 哪些?

y

PP 如何直接得出 PP ? 1 2 1 cos ?
在△PP1P2中, PP cos ?PPP2 ? PP2 如图, 1 1 1
当P无限趋近于P时,有 1

P0 P3 ? O

P P1

v0

x

??
cos ?PPP2 ? cos ? 1

P2

于是有

PP ? PP , 1 1
PP ? 1

PP2 1 cos ?

P P1

? P2

镜面反射后的光线的行进可等效处理为在 虚像空间中光线沿原入射方向的直线行进 (1)光线1在镜面N的P1点发生反射,其 反射光线2的行进等效于在虚像空间中光

M″ N″ P4′′′ 4′′′ P3′′ 3″ α α α 4″ P4″ P4′ 4′ 3′ P2′ 2′ N′ N P1 2 P2 1 M′

线2′的行进.
(2)光线2在镜面M的P2点发生反射后 得到反射光线3,相应地光线2′在虚镜面

M ’上的P2′点发生反射后得到反射光线3′,
反射光线3′的行进等效于在虚像空间中 光线3″的行进. (3)光线3在镜面N的P3点反射后得到光 线4,相应地光线3′在虚镜面N′的P3′点发 生反射得到光线4′,相应地光线3″在虚镜 面N″的P3″点发生反射得到光线4″,反射 光线4″的行进等效于在虚像空间中光线 4″′的行进.

P3′
P3 3

α

4 P4

M

????????????


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