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高中数学人教A版选修2-1课时作业:3.2.1 空间向量与平行关系

第三章 3.2 课时作业 29 一、选择题 1.已知线段 AB 的两端点的坐标为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则与线段 AB 平行的坐标 平面是( A.xOy C.yOz ) B.xOz D.xOy 或 yOz → 解析:AB=(0,5,-3),AB 与平面 yOz 平行. 答案:C 2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个法向量是( A. (1,1,-1) C. (-1,1,1) B. (1,-1,1) D. (-1,-1,-1) ) → → 解析:AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1). 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),则有? =-1. 故一个法向量是(-1,-1,-1). 答案:D 3.下列各组向量中不平行的是( A. a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B. c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C. e=(2,3,0),f=(0,0,0) D. g=(-2,3,5),h=(16,24,40) 解析:A 项中,b=-2a?a∥b;B 项中,d=-3c?d∥c;C 项中,零向量与任何向量 都平行.只有 D 中两向量不平行. 答案:D → → 4.直线 l 的方向向量为 a,平面 α 内两共点向量OA,OB,下列关系中能表示 l∥α 的是 ( ) → A. a=OA → → C. a=pOA+λOB → B. a=kOB D. 以上均不能 ) ? ?-x+y=0, ? ?-x+z=0, ,取 x=-1,则 y=-1,z 解析:A、B、C 均能表示 l∥α 或 l?α. 答案:D 二、填空题 5.已知直线 l 与平面 α 垂直,直线的一个方向向量为 u=(1,3,z),向量 v=(3,-2,1) 与平面 α 平行,则 z=________. 解析:∵平面 α 的法向量 u=(1,3,z) v 与平面 α 平行,∴u⊥v ∴u· v=1×3+3×(-2)+z×1=0 ∴z=3. 答案:3 1 6. 若直线 l 的方向向量为(2,1, m), 平面 α 的法向量为(1, , 2), 且 l⊥α, 则 m=________. 2 解析:∵l⊥α, ∴直线 l 的方向向量平行于平面 α 的法向量. 2 1 m ∴ = = .∴m=4. 1 1 2 2 答案:4 7.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、P、Q 分别为棱 AB、CD、BC 的中 点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥面 DCC1D1; ④A1M∥面 D1PQB1. 以上结论中正确的是__________.(填写正确的序号) → → → → → → 解析:∵A1M=AM-AA1=DP-DD1=D1P, ∴A1M∥D1P. ∵D1P?面 D1PQB1,∴A1M∥面 D1PQB1. 又 D1P?面 DCC1D1,∴A1M∥面 DCC1D1. ∵B1Q 为平面 DCC1D1 的斜线, ∴B1Q 与 D1P 不平行,∴A1M 与 B1Q 不平行. 答案:①③④ 三、解答题 8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M= AN= 2 a,求证:MN∥平面 BB1C1C. 3 → → → 解:以 D 为坐标原点,以DA、DC、DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角 坐标系, a 2 2 a a → → 则 A(a,0,0),B(a,a,0),M(a, , a),N( a, ,0),则AB=(0,a,0),MN=(- ,0, 3 3 3 3 3 2 - a), 3 → → → → → 所以AB· MN=0,即AB⊥MN.又AB为平面 BB1C1C 的法向量,且 MN?平面 BB1C1C, 所以 MN∥平面 BB1C1C. 9.如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60° ,PA⊥平面 ABCD,PA= AC=a,PB=PD= 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1.在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?请证明你的结论. 解:解法一:当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC. 3 → → → 1→ → 1 → → → 1→ 1→ → 1 → → 因为BF=BC+ CP=AD+ (CD+DP)=AD+ CD+ DP=AD+ (AD-AC)+ (AE- 2 2 2 2 2 2 → 3→ 1 → → → → AD)= AE- AC.所以BF、AE、AC共面. 2 2 又 BF?平面 AEC,从而 BF∥平面 AEC. 解法二:如右图,以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直于平 面 PAD 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系. 由题意,知相关各点的坐标分别为 A(0,0,0),B( 2 1 P(0,0,a),E(0, a, a). 3 3 3 1 3 1 a,- a,0),C( a, a,0),D(0,a,0), 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 → → → → → 所以AE=(0, a, a),AC=( a, a,0),AP=(0,0,a),PC=( a, a,-a),BP= 3 3 2 2 2 2 (- 3 1 a, a,a). 2 2 3 1 → → 设点 F 是棱 PC 上的点,则PF=λPC=( aλ, aλ,-aλ),其中 λ∈R 且 0<λ<1. 2 2 3 1 → → → → → → 则BF=BP+PF=( a(λ-1), a(1+λ),a(1-λ)),令BF=λ1AC+λ2AE,λ1,λ2∈R. 2 2 a?λ-1?= aλ , 2 2 ? ?1 1 2 得? a?1+λ?= aλ + aλ , 2 2 3 1 ? aλ , ?a?1-λ?=3 3 3 1 1 2 2 ? ?1+λ

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