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2015-2016学年山东省泰安市新泰市八年级上学期期中数学试卷.doc


2015-2016 学年山东省泰安市新泰市八年级(上)期中数学 试卷
一、选择题:本大题共 20 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正 确的选项选出来,每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分。

1.在 A.2 B.3

中,分式的个数是( C .4

) D.5

2.使分式 A.x≤3

有意义的 x 的取值范围是( B.x≥3

) C.x≠3 D.x=3

3.下列图形中,轴对称图形的个数是(

)

A.1

B.2

C .3

D.4

4.下列说法正确的是(

)

A.等边三角形只有一条对称轴 B.等腰三角形对称轴为底边上的高 C.直线 AB 不是轴对称图形 D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线

5. 如图, 小敏做了一个角平分仪 ABCD, 其中 AB=AD, BC=DC. 将仪器上的点 A 与∠PRQ 的顶点 R 重合,调整 AB 和 AD,使它们分别落在角的两边上,过点 A,C 画一条射线 AE, AE 就是∠PRQ 的平分线. 此角平分仪的画图原理是: 根据仪器结构, 可得△ ABC≌△ADC, 这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )

A.SAS

B.ASA

C.AAS

D.SSS

6.点 A(﹣3,2)关于 x 轴的对称点 A′的坐标为( A. (﹣3,﹣2) B. (3,2)

) D. (2,﹣3)

C. (3,﹣2)

7.如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90° ,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,AD=3,BC=10, 则△ BDC 的面积是( )

A.10

B.15

C.20

D.30

8.下列等式成立的是( A. + =

) B. =

C.

=

D.

=﹣

9.计算 A.0

的结果是( B.1

) C.﹣1 D.x

10.化简 A.x+1

的结果是( B.x﹣1

) C.﹣x D.x

11.化简: (a+

) (1﹣

)的结果等于(

)

A.a﹣2

B.a+2

C.

D.

12.如果把 A.扩大 5 倍

中的 x 和 y 都扩大 5 倍,那么分式的值( B.不变 C.缩小 5 倍

) D.扩大 4 倍

13.如图,下列条件不能证明△ ABC≌△DCB 的是(

)

A.AB=DC,AC=DB C.BO=CO,∠A=∠D

B.AB=DC,∠ABC=∠DCB D.AB=DC,∠A=∠D

14.如图,△ ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、F,则图中全等三角形的对数是( )

A.1 对

B.2 对

C .3 对

D.4 对

15.如图,在△ ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,AE∥BD 交 CB 的延长 线于点 E.若∠E=35° ,则∠BAC 的度数为( )

A.40°

B.45°

C.60°

D.70°

16.如图,在△ ABC 和△ BDE 中,点 C 在边 BD 上,边 AC 交边 BE 于点 F.若 AC=BD, AB=ED,BC=BE,则∠ACB 等于( )

A.∠EDB

B.∠BED

C. ∠AFB

D.2∠ABF

17.如图,已知△ ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P,使得 PA+PC=BC, 则下列选项正确的是( )

A.

B.

C.

D.

18.已知 A.﹣8xy

,则代数式 B.﹣8

的值为( C.﹣4

) D.4

19.如图,将长方形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与 B 重合,点 C 落到 G 处,折痕为 EF,若 ∠ABE=20° ,则∠EFG 的度数为( )

A.125°

B.120°

C.135°

D.150°

20.在等腰△ ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于所成的锐角 是 40° ,则∠B=( A.40° 或 60° ) B.65° C.25° 或 65° D.35° 或 125°

二、填空题:本大题共 4 个小题,满分 12 分,只要求填写最后结果,每小题填对的 3 分。

21.已知分式

的值为零,那么 x 的值是__________.

22.如图,△ ABC 中,AB+AC=6cm,BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D,则△ ABD 的 周长为__________cm.

23.如图,锐角三角形 ABC 中,直线 L 为 BC 的中垂线,直线 M 为∠ABC 的角平分线,L 与 M 相交于 P 点.若∠A=60° ,∠ACP=21° ,则∠ABP 的度数为__________.

24.如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=5cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,PN+PM+MN 的最小值是 5cm,则∠AOB 的度数是__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 48 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。

25. (1)先化简,再求代数式

的值,其中 a= .

(2)已知

,求 A、B 的值.

26.如图,△ ABC 与△ DEF 关于直线 l 对称,请仅用无刻度的直尺,在下面两个图中分别 作出直线 l.

27.在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,△ ABC 的顶点均在 格点上.画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1,并分别写出点 A1、B1、C1 的坐标.

28.如图,已知△ ABC 三个内角的平分线交于点 O,点 D 在 CA 的延长线上,且 DC=BC, AD=AO,若∠BAC=80° ,求∠BCA 的度数.

29.如图,△ ABC 中,AB=BC,BE⊥AC 于点 E,AD⊥BC 于点 D,∠BAD=45° ,AD 与 BE 交于点 F,连接 CF. (1)求证:BF=2AE; (2)若 CD=1,求 AD 的长.

2015-2016 学年山东省泰安市新泰市八年级(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 20 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正 确的选项选出来,每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分。

1.在 A.2 【考点】分式的定义. B.3

中,分式的个数是( C .4

) D.5

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字 母则不是分式.

【解答】解:在 分式有 ∴分式的个数是 3 个. 故选:B. ,

中,

【点评】本题主要考查分式的定义,注意 π 不是字母,是常数,所以象 整式.

不是分式,是

2.使分式 A.x≤3

有意义的 x 的取值范围是( B.x≥3

) C.x≠3 D.x=3

【考点】分式有意义的条件. 【分析】根据分母为零,分式无意义;分母不为零,分式有意义,可得 x﹣3≠0,解可得答 案. 【解答】解:由题意得:x﹣3≠0, 解得:x≠3.

故选:C. 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念: (1)分式无意义? 分母为零; (2)分式有意义? 分母不为零; (3)分式值为零? 分子为零且分母不为零.

3.下列图形中,轴对称图形的个数是(

)

A.1 【考点】轴对称图形.

B.2

C .3

D.4

【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相 重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【解答】解:第一、三、四个图形是轴对称图形,第二个图形不是轴对称图形,共 3 个轴对 称图形, 故选:C. 【点评】此题主要考查了轴对称图形,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿 对称轴折叠后可重合.

4.下列说法正确的是(

)

A.等边三角形只有一条对称轴 B.等腰三角形对称轴为底边上的高 C.直线 AB 不是轴对称图形 D.等腰三角形对称轴为底边中线所在直线 【考点】轴对称的性质. 【分析】根据轴对称的性质可知. 【解答】解:A、等边三角形有三条对称轴,即三条高,错误. B、等腰三角形对称轴为底边中线所在直线,错误; C、直线 AB 是轴对称图形,错误; D、正确.

故选 D. 【点评】本题考查轴对称的性质.对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所 连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等.

5. 如图, 小敏做了一个角平分仪 ABCD, 其中 AB=AD, BC=DC. 将仪器上的点 A 与∠PRQ 的顶点 R 重合,调整 AB 和 AD,使它们分别落在角的两边上,过点 A,C 画一条射线 AE, AE 就是∠PRQ 的平分线. 此角平分仪的画图原理是: 根据仪器结构, 可得△ ABC≌△ADC, 这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )

A.SAS

B.ASA

C.AAS

D.SSS

【考点】全等三角形的应用. 【分析】在△ ADC 和△ ABC 中,由于 AC 为公共边,AB=AD,BC=DC,利用 SSS 定理可 判定△ ADC≌△ABC,进而得到∠DAC=∠BAC,即∠QAE=∠PAE. 【解答】解:在△ ADC 和△ ABC 中,

, ∴△ADC≌△ABC(SSS) , ∴∠DAC=∠BAC, 即∠QAE=∠PAE. 故选:D. 【点评】本题考查了全等三角形的应用;这种设计,用 SSS 判断全等,再运用性质,是全 等三角形判定及性质的综合运用,做题时要认真读题,充分理解题意.

6.点 A(﹣3,2)关于 x 轴的对称点 A′的坐标为( A. (﹣3,﹣2) B. (3,2)

) D. (2,﹣3)

C. (3,﹣2)

【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】利用关于 x 轴对称点的性质,横坐标不变,纵坐标互为相反数.即点 P(x,y)关 于 x 轴的对称点 P′的坐标是(x,﹣y) ,进而得出答案. 【解答】解:∵点 A(﹣3,2)关于 x 轴的对称点为 A′, ∴A′点的坐标为: (﹣3,﹣2) . 故选:A. 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质,正确把握横纵坐标的关系是解题关键.

7.如图,在 Rt△ ABC 中,∠A=90° ,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,AD=3,BC=10, 则△ BDC 的面积是( )

A.10

B.15

C.20

D.30

【考点】角平分线的性质. 【分析】 过 D 作 DE⊥BC 于 E, 根据角平分线性质求出 DE=3, 根据三角形的面积求出即可.

【解答】解:过 D 作 DE⊥BC 于 E, ∵∠A=90° , ∴DA⊥AB, ∵BD 平分∠ABC, ∴AD=DE=3, ∴△BDC 的面积是 × DE× BC= × 10× 3=15, 故选 B 【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用,注意:角平分线上的点到角两边 的距离相等.

8.下列等式成立的是( A. + =

) B. =

C.

=

D.

=﹣

【考点】分式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】原式各项计算得到结果,即可做出判断. 【解答】解:A、原式= B、原式不能约分,错误; ,错误;

C、原式=

=

,正确;

D、原式= 故选 C

=﹣

,错误,

【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

9.计算 A.0

的结果是( B.1

) C.﹣1 D.x

【考点】分式的加减法. 【专题】计算题. 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算,变形后约分即可得到结果.

【解答】解:原式= 故选 C

=﹣

=﹣1.

【点评】此题考查了分式的加减法,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分 母.

10.化简 A.x+1

的结果是( B.x﹣1

) C.﹣x D.x

【考点】分式的加减法. 【专题】计算题. 【分析】将分母化为同分母,通分,再将分子因式分解,约分.

【解答】解:

=



=

= =x, 故选:D. 【点评】本题考查了分式的加减运算.分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不 变,把分子直接相加减即可;如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母 分式,然后再相加减.

11.化简: (a+

) (1﹣

)的结果等于(

)

A.a﹣2

B.a+2

C.

D.

【考点】分式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算,约分即可得到结果.

【解答】解:

?

= =a+2.

?

故选 B. 【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12.如果把 A.扩大 5 倍

中的 x 和 y 都扩大 5 倍,那么分式的值( B.不变 C.缩小 5 倍

) D.扩大 4 倍

【考点】分式的基本性质.

【分析】把分式

中的 x 和 y 都扩大 5 倍,根据分式的基本性质化简即可.

【解答】解:

=

=5×



故把分式 故选:A.

中的 x 和 y 都扩大 5 倍,那么分式的值扩大 5 倍.

【点评】根据分式的基本性质,无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数,分式 的值不变.

13.如图,下列条件不能证明△ ABC≌△DCB 的是(

)

A.AB=DC,AC=DB C.BO=CO,∠A=∠D

B.AB=DC,∠ABC=∠DCB D.AB=DC,∠A=∠D

【考点】全等三角形的判定. 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS,ASA,AAS,SSS,根据以上内容逐个判断即可. 【解答】解:A、AB=DC,AC=DB,BC=BC,符合全等三角形的判定定理“SSS”,即能推 出△ ABC≌△DCB,故本选项错误; B、AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合全等三角形的判定定理“SAS”,即能推出 △ ABC≌△DCB,故本选项错误;

C、在△ AOB 和△ DOC 中,

, ∴△AOB≌△DOC(AAS) , ∴AB=DC,∠ABO=∠DCO, ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠ABC=∠DCB, 在△ ABC 和△ DCB 中,

, ∴△ABC≌△DCB(SAS) , 即能推出△ ABC≌△DCB,故本选项错误; D、具备条件 AB=DC,BC=BC,∠∠A=∠D 不能推出△ ABC≌△DCB,故本选项正确. 故选 D. 【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用, 能灵活运用全等三角形的判定定理进 行推理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有 SAS,ASA,AAS,SSS.

14.如图,△ ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、F,则图中全等三角形的对数是( )

A.1 对

B.2 对

C .3 对

D.4 对

【考点】全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 【专题】压轴题.

【分析】根据已知条件“AB=AC,D 为 BC 中点”,得出△ ABD≌△ACD,然后再由 AC 的 垂直平分线分别交 AC、 AD、 AB 于点 E、 O、 F, 推出△ AOE≌△EOC, 从而根据“SSS”或“SAS” 找到更多的全等三角形,要由易到难,不重不漏. 【解答】解:∵AB=AC,D 为 BC 中点, ∴CD=BD,∠BDO=∠CDO=90° , 在△ ABD 和△ ACD 中,

, ∴△ABD≌△ACD; ∵EF 垂直平分 AC, ∴OA=OC,AE=CE, 在△ AOE 和△ COE 中,

, ∴△AOE≌△COE; 在△ BOD 和△ COD 中,

, ∴△BOD≌△COD; 在△ AOC 和△ AOB 中,

, ∴△AOC≌△AOB; 故选:D. 【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法;这是一道考试常见题,易错点是漏掉 △ ABO≌△ACO,此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形,然后从已知条 件入手,分析推理,对结论一个个进行论证.

15.如图,在△ ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,AE∥BD 交 CB 的延长 线于点 E.若∠E=35° ,则∠BAC 的度数为( )

A.40°

B.45°

C.60°

D.70°

【考点】等腰三角形的性质;平行线的性质. 【分析】根据平行线的性质可得∠CBD 的度数,根据角平分线的性质可得∠CBA 的度数, 根据等腰三角形的性质可得∠C 的度数,根据三角形内角和定理可得∠BAC 的度数. 【解答】解:∵AE∥BD, ∴∠CBD=∠E=35° , ∵BD 平分∠ABC, ∴∠CBA=70° , ∵AB=AC, ∴∠C=∠CBA=70° , ∴∠BAC=180° ﹣70° × 2=40° . 故选:A. 【点评】 考查了平行线的性质, 角平分线的性质, 等腰三角形的性质和三角形内角和定理. 关 键是得到∠C=∠CBA=70° .

16.如图,在△ ABC 和△ BDE 中,点 C 在边 BD 上,边 AC 交边 BE 于点 F.若 AC=BD, AB=ED,BC=BE,则∠ACB 等于( )

A.∠EDB

B.∠BED

C. ∠AFB

D.2∠ABF

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠ACB 与∠DBE 的关系,根据三角形外角的 性质,可得答案. 【解答】解:在△ ABC 和△ DEB 中,

, ∴△ABC≌△DEB (SSS) , ∴∠ACB=∠DBE. ∵∠AFB 是△ BFC 的外角, ∴∠ACB+∠DBE=∠AFB, ∠ACB= ∠AFB, 故选:C. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,三角形外 角的性质.

17.如图,已知△ ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P,使得 PA+PC=BC, 则下列选项正确的是( )

A.

B.

C.

D. 【考点】作图—复杂作图. 【分析】 由 PB+PC=BC 和 PA+PC=BC 易得 PA=PB, 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得 点 P 在 AB 的垂直平分线上,于是可判断 D 选项正确. 【解答】解:∵PB+PC=BC, 而 PA+PC=BC, ∴PA=PB,

∴点 P 在 AB 的垂直平分线上, 即点 P 为 AB 的垂直平分线与 BC 的交点. 故选 D. 【点评】本题考查了复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合 了几何图形的性质和基本作图方法. 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质, 结合 几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.

18.已知 A.﹣8xy

,则代数式 B.﹣8

的值为( C.﹣4

) D.4

【考点】分式的化简求值. 【分析】先根据题意得出 x﹣y=﹣3xy,再代入代数式进行计算即可. 【解答】解:∵ ﹣ =3, ∴x﹣y=﹣3xy,

∴原式=

= =4. 故选 D. 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

19.如图,将长方形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与 B 重合,点 C 落到 G 处,折痕为 EF,若 ∠ABE=20° ,则∠EFG 的度数为( )

A.125°

B.120°

C.135°

D.150°

【考点】平行线的性质;翻折变换(折叠问题) . 【分析】由折叠的性质知:∠EBG、∠BGF 都是直角,∠BEF=∠DEF,因此 BE∥GF,那 么∠EFG 和∠BEF 互补,即可解答. 【解答】解:由折叠的性质知,∠BEF=∠DEF,∠EBG=∠D=90° ,∠BGF=∠C=90° , ∴BE∥GF, ∴∠EFG+∠BEF=180° , 又∵∠ABE=20° , ∴∠AEB=70° , ∴∠BEF=∠DEF=55° , ∴∠EFG=180° ﹣55° =125° . 故选 A. 【点评】 本题考查图形的翻折变换, 解题过程中应注意折叠是一种对称变换, 它属于轴对称, 根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后对应角相等.

20.在等腰△ ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于所成的锐角 是 40° ,则∠B=( A.40° 或 60° ) B.65° C.25° 或 65° D.35° 或 125°

【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 【分析】首先根据题意作图,分别从 AB 的垂直平分线与线段,与 CA 的延长线相交所成的 锐角为 40° 去分析,根据线段垂直平分线的性质,即可求得答案. 【解答】解:如图①:∵DE 是 AB 的垂直平分线, ∴∠DEA=90° , ∵∠ADE=40° , ∴∠DAE=50° , ∵AB=AC,∠A=∠DAE=50° , ∴∠ABC=∠C= (180° ﹣∠A)=65° ; 如图②:∵DE 是 AB 的垂直平分线, ∴∠DEA=90° , ∵∠ADE=40° ,

∴∠DAE=50° , ∴∠BAC=130° , ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C= (180° ﹣∠A)=25° ; 故选 C.

【点评】 此题考查了线段垂直平分线的性质, 直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知 识.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

二、填空题:本大题共 4 个小题,满分 12 分,只要求填写最后结果,每小题填对的 3 分。

21.已知分式

的值为零,那么 x 的值是 1.

【考点】分式的值为零的条件. 【专题】计算题. 【分析】分式的值是 0 的条件是,分子为 0,分母不为 0. 【解答】解:根据题意,得 x2﹣1=0 且 x+1≠0, 解得 x=1. 故答案为 1. 【点评】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件: (1)分 子为 0; (2)分母不为 0.这两个条件缺一不可.

22.如图,△ ABC 中,AB+AC=6cm,BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D,则△ ABD 的 周长为 6cm.

【考点】线段垂直平分线的性质. 【专题】数形结合. 【分析】根据中垂线的性质,可得 DC=DB,继而可确定△ ABD 的周长. 【解答】解:∵l 垂直平分 BC, ∴DB=DC, ∴△ABD 的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm. 故答案为:6. 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,注意掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段 两端点的距离相等.

23.如图,锐角三角形 ABC 中,直线 L 为 BC 的中垂线,直线 M 为∠ABC 的角平分线,L 与 M 相交于 P 点.若∠A=60° ,∠ACP=21° ,则∠ABP 的度数为 33° .

【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP,根据线段的垂直平分线性质得出 BP=CP, 求出∠CBP=∠BCP,根据三角形内角和定理得出方程 3∠ABP+21° +60° =180° ,求出方程的 解即可. 【解答】解:∵BP 平分∠ABC, ∴∠ABP=∠CBP, ∵直线 l 是线段 BC 的垂直平分线, ∴BP=CP,

∴∠CBP=∠BCP, ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP, ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180° ,∠A=60° ,∠ACP=21° , ∴3∠ABP+21° +60° =180° , 解得:∠ABP=33° . 故答案为:33° . 【点评】本题考查了三角形内角和定理,线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质的应用, 能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP 是解此题的关键,数形结合思想的应用.

24.如图,点 P 是∠AOB 内任意一点,OP=5cm,点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点,PN+PM+MN 的最小值是 5cm,则∠AOB 的度数是 30° .

【考点】轴对称-最短路线问题. 【分析】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D,连接 CD,分别交 OA、OB 于点 M、N, 连接 OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出 PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA; PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,得出∠AOB= ∠COD,证出△ OCD 是等边三角形, 得出∠COD=60° ,即可得出结果. 【解答】解:分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D,连接 CD, 分别交 OA、OB 于点 M、N,连接 OC、OD、PM、PN、MN,如图所示: ∵点 P 关于 OA 的对称点为 D,关于 OB 的对称点为 C, ∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA; ∵点 P 关于 OB 的对称点为 C, ∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB, ∴OC=OP=OD,∠AOB= ∠COD, ∵PN+PM+MN 的最小值是 5cm, ∴PM+PN+MN=5, ∴DM+CN+MN=5,

即 CD=5=OP, ∴OC=OD=CD, 即△ OCD 是等边三角形, ∴∠COD=60° , ∴∠AOB=30° . 故答案为:30° .

【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质;熟练掌握轴 对称的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 48 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。

25. (1)先化简,再求代数式

的值,其中 a= .

(2)已知

,求 A、B 的值.

【考点】分式的化简求值;分式的加减法. 【分析】 (1)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把 a 的值代入进行计算即可; (2)先把等式的右边通分,再与左边相比较即可得出结论.

【解答】解: (1)原式=



?

=



=



当 a= 时,原式=

= ;

(2)右边=

= ∴A+B=5,2A﹣5B=5, 解得 A=3,B=2.



【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

26.如图,△ ABC 与△ DEF 关于直线 l 对称,请仅用无刻度的直尺,在下面两个图中分别 作出直线 l.

【考点】作图-轴对称变换. 【专题】作图题. 【分析】根据轴对称的性质,对应边所在直线的交点一定在对称轴上,图 1 过点 A 和 BC 与 EF 的交点作直线即为对称轴直线 l;图 2,延长两组对应边得到两个交点,然后过这两点 作直线即为对称轴直线 l. 【解答】解:如图所示.

【点评】 本题考查了利用轴对称变换作图, 熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解 题的关键.

27.在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,△ ABC 的顶点均在 格点上.画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1,并分别写出点 A1、B1、C1 的坐标.

【考点】作图-轴对称变换. 【分析】分别作出点 A、B、C 关于 y 轴对称的点,然后顺次连接,并分别写出点 A1、B1、 C1 的坐标. 【解答】解:所作图形如图所示:

. A1(3,﹣1) ,B1(2,﹣4) ,C1(1,﹣2) . 【点评】 本题考查了根据轴对称变换作图, 解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位 置,然后顺次连接.

28.如图,已知△ ABC 三个内角的平分线交于点 O,点 D 在 CA 的延长线上,且 DC=BC, AD=AO,若∠BAC=80° ,求∠BCA 的度数.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】可证明△ COD≌△COB,得出∠D=∠CBO,再根据∠BAC=80° ,得∠BAD=100° , 由角平分线可得∠BAO=40° ,从而得出∠DAO=140° ,根据 AD=AO,可得出∠D=20° ,即 可得出∠CBO=20° ,则∠ABC=40° ,最后算出∠BCA=60° . 【解答】解:∵△ABC 三个内角的平分线交于点 O, ∴∠ACO=∠BCO, 在△ COD 和△ COB 中,

, ∴△COD≌△COB, ∴∠D=∠CBO, ∵∠BAC=80° , ∴∠BAD=100° , ∴∠BAO=40° , ∴∠DAO=140° , ∵AD=AO,∴∠D=20° , ∴∠CBO=20° , ∴∠ABC=40° , ∴∠BCA=60° . 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质, 证明三角形全等是解 决此题的关键.

29.如图,△ ABC 中,AB=BC,BE⊥AC 于点 E,AD⊥BC 于点 D,∠BAD=45° ,AD 与 BE 交于点 F,连接 CF. (1)求证:BF=2AE;

(2)若 CD=1,求 AD 的长.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 (1) 先判定出△ ABD 是等腰直角三角形, 根据等腰直角三角形的性质可得 AD=BD, 再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE,然后利用“角边角”证明△ ADC 和△ BDF 全等, 根据全等三角形对应边相等可得 BF=AC, 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AC=2AF, 从而得证; (2)根据全等三角形对应边相等可得 DF=CD,然后利用勾股定理列式求出 CF,再根据线 段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AF=CF, 然后根据 AD=AF+DF 代入数据 即可得解. 【解答】 (1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45° , ∴△ABD 是等腰直角三角形, ∴AD=BD, ∵BE⊥AC,AD⊥BC, ∴∠CAD+∠ACD=90° , ∠CBE+∠ACD=90° , ∴∠CAD=∠CBE,

在△ ADC 和△ BDF 中, ∴△ADC≌△BDF(ASA) , ∴BF=AC, ∵AB=BC,BE⊥AC, ∴AC=2AE, ∴BF=2AE;



(2)解:∵△ADC≌△BDF, ∴DF=CD=1, 在 Rt△ CDF 中,CF= ∵BE⊥AC,AE=EC, ∴AF=CF= , . = ,

∴AD=AF+DF=1+

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形 三线合一的性质, 勾股定理的应用, 以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性 质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.


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