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河北省永年县第二中学2016届高三11月月考(即期中)数学(理)试题 Word版含答案


2015-2016 学年高三第二次月考
理科数学 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. ( ) A. 4i 复 数 B. ?4i
? 2i ? ? ? ? 1+i ?
2

等 D. ?2i



2.给定集合 M ? { ? | ? ?

k? , k ? Z}, N ? {x | cos 2 x ? 0} , P ? {a | sin 2a ? 1} 4

C. 2i

则下列关系式中,成立的是 A P?N ?M B P?N ?M C P?N ?M D P?N ?M





3.等比数列 {an } 的公比为 q ,则“ a1 ? 0 ,且 q ? 1 ”是“对于任意正自然数
n,

都 ( )



an ?1 ? an





A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 又非必要条件
3 x 4. 函数 f ( x) ? 2 ? x 的零点个数是(

D 既非充分

) D 3

A 0

B 1

C 2

2 5.已知等差数列 {an } 中,an ? 0 , 若 m ?1, 且 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,S 2m?1 ? 38 ,

则 m 等于 A 38 B 20 C 10 D9





6.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观
第 1 页 共 1 页

察站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( ) A.a km B. 2a km C.2a km D. 3 a km 7. ( 下 ) 列 命 题 是 真 命 题 的 是 :

① a // b ? 存在唯一的实数 ? ,使 a ? ? b ; ② a // b ? 存在不全为零的实数 ?,? ,使 ? a ? ③ a 与 b 不共线 ? 若存在实数 ?,? ,使 ? a
? b?0;

?? b =0,则 ? ? ? ? 0 ;

④ a 与 b 不共线 ? 不存在实数 ?,? ,使 ? a ? A ①和 ③ D ③和④

? b?0

B ②和③

C

①和②

8. 已知方程 ( x 2 ? 2x ? m)(x 2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 1 的
4

等 ( A 1 )











|m?n|





B

3 4

C

1 2

D

3 8

9.设 f ( x) ? lg(10x ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x) ? 值( A 1 ) B -1 C

4x ? b 是奇函数,那么 a ? b 的 2x
1 2 1 2

?

D

10. 若把一个函数的图象按向量 a ? ( ?

?
3

,- 2 )平移后得到函数 ) C
y ? cos( x ?

y ? cos x 的图象,则原图象的函数解析式是(

A

y ? cos( x ?

?
3

)?2

B

y ? cos( x ?

?
3

)?2

?
3

)?2

D y ? cos( x ? ) ? 2
3

?

第 2 页 共 2 页

11. 已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投 影 为

??? ?

??? ?




3 2 A. 2 3 15 B. 2 3 2 3 15 ? C. 2 D. 2 ?

12.已知函数 f ( x) ? ? A. (??, 0]

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?ln( x ? 1), x ? 0

,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是( D. [?2,0]



B. (??,1]

C. [?2,1]

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13. 已 知
2

0? x?

?
2









lg(cosx ? tan x ? 1 ? 2 sin

? x ? ? ?? ) ? lg? 2 cos? x ? ?? ? lg?1 ? sin 2 x ? 2 4 ?? ? ?

=_______________ 14.由曲线 y
? x

,直线 y=2-x 及 y 轴所围成的封闭图形的面积为
第 3 页 共 3 页

_______ 15.已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)<f(1), 则 x 的取值范围是 ______ 16 . 已 知 数 列 ?an? 满 足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n, 则 __________. 三、 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17 、 (10 分 ) 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 , 且
C ? 2 A, c o sA? 3 。 4

an n

的最小值为

(1)求 c : a 的值; (2)求证: a, b, c 成等差数列。

18、(12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 2Sn ? 3n ? 3. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 anbn ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

19.(12 分)已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

2? ) ? 1 ? 2 cos 2 x, ?x ? R ? . 3

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;
、 C的 对 边 长 分 别 为 a、b、c , 若 ( 2 ) ?ABC 的 内 角 A、 B
f( B 3 ) ?? b ,? 2 2

c1?, 3, 且 a ? b, 试判断 ?ABC 的形状,并说明理由.

第 4 页 共 4 页

20、已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为前 n 项
2 和, 且满足 an 数列 ?bn ? 满足 bn ? ? S2n?1, n ? N ? ,

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n an an ?1

项和。 (1)求 a1 , d 和 Tn ; (2)如对任意 n ? N ? ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值 范围。

21、已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax . (1)若 f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 ? 的最大值.
16 ,求 f ( x) 在该区间上 3

1 3

1 2

2 3

x 2 22.设函数 f? x ? ? x ? e ? 1? ? ax

(1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x ≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围

1 2

第 5 页 共 5 页

2015-2016 学年高三第二次月考
理科数学答案
一、选择题
二、填空题

CAACC DBCCD
0 5/6
1 (0<X<10或 X>10 ) 21

AD

13. 若

0? x?

?
2

2

,化简 lg(cosx ? tan x ? 1 ? 2 sin

? x ? ? ?? ) ? lg? 2 cos? x ? ?? ? lg?1 ? sin 2 x ? 2 4 ?? ? ?

= _0_ 14.由曲线 y

? x ,直线 y=2-x 及 y 轴所围成的封闭图形的面积为

(5/6)

15.已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)<f(1),则 x 的取值范围是 1 (0<X<,10或 X>10 16、已知数列 )

?an? 满足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n, 则 2

an n

的最小值为

21

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 10 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的内角 (Ⅰ)求 c : a 的值; (Ⅱ)求证: a, b, c 成等差数列。 、 解: (1)∵C=2A,∴sinC=sin2A………………………2 分[K] ∴错误!未找到引用源。∴错误!未找到引用源。.…………………4 分] (2)∵错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。………………………6 分[K] ∵cosA=错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。……………8 ∴错误!未找到引用源。 [K] 即: a ? c

A, B, C 的对边,且 C ? 2 A, cos A ?

3 。 4

? 2b

∴ a, b, c 成等差数列; 18.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 2Sn (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 anbn

? 3n ? 3.

? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
第 6 页 共 6 页

解: (Ⅰ)由 2Sn

? 3n ? 3 可得 a1 ? S1 ?

1 (3 ? 3) ? 3 , 2

an ? Sn ? Sn ?1 ?
而 a1

1 n 1 (3 ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) 2 2

? 3, n ? 1, ? 3 ? 31?1 ,则 an ? ? n ?1 ?3 , n ? 1.

?1 , n ? 1, ? 3, n ? 1, log 3 an ? ?3 ?? (Ⅱ)由 anbn ? log3 an 及 an ? ? n ?1 可得 bn ? an ?3 , n ? 1. ? n ? 1 , n ? 1. ? ? 3n ?1
1 1 2 3 n? 1 ? ?2 ?3 ? ? ?n ? 1 . 3 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? 2 3 3n n ? 1 2 1 3 n ?1 ? ? ? n ? ? ? ? n n 1 9 1? 3 9 2 2?3 3 3 13 2n ? 1 ? ? 18 2 ? 3n 13 2n ? 1 Tn ? ? 12 4 ? 3n ?1 2? 19.已知函数 f ( x ) ? cos( 2 x ? ) ? 1 ? 2 cos 2 x, ?x ? R ? . 3 Tn ?
(1)求函数 (2)

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;
的内角

?ABC

A、B、C

的对边长分别为

a、 b、 c , 若 f ( ) ? ?

B 2

3 ,b ? 1,c ? 3, 且 2

a ? b, 试判断 ?ABC 的形状,并说明理由.
19.解: (Ⅰ)?

? 5? ? ?? ? k? ? , k? ? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ? , T ? ?,单调递增区间是 ? ?k ? Z ?. ? 3? 12 12 ? ? ? ?

(Ⅱ) f ( ) ? ?

B 2

a 1 3 3, 3 ? ? ? ,由正弦定理得: ? B= sin A sin π sin C ,∴ sin C ? 2 6 2 6
∴C

∵0 ? C

?π,

?

π 3



2π 。 3

第 7 页 共 7 页

π π 时, A ? ; 3 2 2π π 当C ? 时, A ? (不合题意,舍) , 3 6
当C

?

所以 ?ABC 为直角三角形
20、已知数列

?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为前 n 项和,且满足 an2 ? S2n?1, n ? N ? ,
1
n n ?1

数列

?bn ? 满足 bn ? a a

, Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和。

(Ⅰ)求 a1 , d 和 Tn ; (Ⅱ)如对任意 n ? N ? ,不等式 ?Tn

? n ? 8 ? (?1)n 恒恒成立,求实数 ? 的取值范围。

此时 ? 需满足 ? <-21 综上所述可得 ? <-21

1 1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax . 3 2 2 (1)若 f ( x ) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [1,4] 上的最小值为 ? ,求 f ( x ) 在该区间上的最大值. 3 2 2 【解析】 ( 1 ) f ( x ) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,即存在某个子区间 ( m, n) ? ( ,?? ) 使得 3 3 2 1 1 ' 2 2 f ' ( x) ? 0 . 由 f ( x) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ? ) ? ? 2a , f ' ( x) 在区间 [ ,?? ) 上单调递 3 2 4 2 1 ' 2 ' 2 ? 2a ? 0 解得 a ? ? , 减,则只需 f ( ) ? 0 即可。由 f ( ) ? 3 3 9 9
21、 第 8 页 共 8 页

所以,当 a

??

1 2 时, f ( x ) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间. 9 3

(2)令

f ' ( x) ? 0 ,得两根 x1 ?

1 ? 1 ? 8a 2

,x

1

?

1 ? 1 ? 8a 2

,x

2

?

1 ? 1 ? 8a 2

.

所以

f ( x) 在 (??, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递减,在 ( x1 , x 2 ) 上单调递增
a ? 2 时,有 x1 ? 1 ? x2 ? 4 ,所以 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 f ( x2 )

当0 ? 又

f (4) ? f (1) ? ?

所以 从而

27 ? 6a ? 0 ,即 f (4) ? f (1) 2 40 16 f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 f (4) ? 8a ? ? ? ,得 a ? 1 , x2 ? 2 , 3 3 10 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 f ( 2) ? . 3
? x ? e x ? 1? ? ax 2

22.设函数 f ? x ? (Ⅰ)若 a=

1 2

,求 f ? x ? 的单调区间;

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围 22.解: (Ⅰ)

a?

1 2

时,

1 f ( x) ? x( x e ? 1)? 2x, f '( x) ? ex ?1 ? xex ? x ? (ex ?1)( x ? 1) 2

。当

x ? ? ??, ?1? 时 f '( x) ? ? ;当 x ? ? ?1,0? 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? ? 0, ??? 时, f '( x) ? 0 。
故 (Ⅱ)

f ( x) 在 ? ??, ?1? , ? 0, ?? ? 单调增加,在(-1,0)单调减少。
a x , 则 g '( x )? e ? a。 若 a ? 1 , 则 当 f ( x) ? x( xa ?1 ? ax) 。 令 g ( x) ? x ? 1? a x

x ? ? 0, ??? 时,g '( x) ? ? ,g ( x) 为减函数, 而 g (0) ? 0 , 从而当 x≥0 时 g ( x) ≥0, 即 f ( x ) ≥0.


a ? 时 , g '(x )? ? , g ( x) a ? ? , 则 当 x ? ? 0, ln

为减函数,而

g (0) ? 0 , 从 而 当

x ? ? 0, ln a ? 时 g ( x) <0,即 f ( x) <0.综合得 a 的取值范围为 ? ??,1?

第 9 页 共 9 页

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第 10 页 共 10 页


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