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必修2 第一章空间几何体 复习专题


必修 2 第一章空间几何体 复习专题
一、三基内容总结
1.棱柱的有关概念、性质和分类 (1)概念:有关两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行的几何体叫做棱柱。 (2)准确理解棱柱的概念要注意它的两大特征: ①有两个面互相平行(底面) ;②其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形得公共边都互相 平行。 (3)棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面都是平行四边形;②两个底面与平行四边形的截面是全等的多边形;③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 (4)棱柱的分类: ①按底面多边形的边数分为:三棱柱、四棱柱?? ?斜棱柱 ? ②按侧棱与底面的位置关系分: 棱柱? ?正棱柱 ?直棱柱?其他棱柱 ? ? 2.棱锥的概念和性质 (1)概念:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共点的三角形,由这些面所围成的几何 体叫棱锥。 (2)正确理解棱锥的概念要注意它的两大特征: ①有一个面是多边形;②其余各面是有一个公共顶点的三角形。 (3)一般棱锥的截面性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似,并且 它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。 (5)正棱锥的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;②棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也 组成一个直角三角形。 掌握正棱锥的概念和性质,特别是其中的几个直角三角形,可求高、斜高、侧棱长等, 另外,还要熟悉一条侧棱垂直于底面的棱锥,高考多半是这两种。 3.棱台的概念及性质 (1)概念:底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台。 (2)棱台的有关概念: ①原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;其余各面叫做棱台的侧面。 ②相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱; ③当棱台的底面水平放置时,铅垂线与底面交点间的线段的长或距离叫做棱台的高; ④正棱台各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形的高叫做棱台的斜高。 (3)正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。 (4)正棱台的性质: ①各侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形; ②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形; ③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形; ④两底面中心连线、侧棱和两底面相应外接圆的半径也组成一个直角梯形; ⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高; ⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。 4.圆柱、圆锥、圆台的概念与性质
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(1)概念:分别以矩形的一边、直角三角形的一条高、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直 线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。 (2)性质: ①平行于底面的截面都是圆; ②它们的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形. 1 2 . (3)圆台的中截面面积: S中 ? ( S 上 ? S下) 4 (4)圆心角: r ? l , r分别为圆锥的母线长、 底面半径); ①圆锥侧面展开图的扇形圆心角: ? ? ? 360(其中 l r ?r (其中 ? l为圆台的母线长, r上、r下分别为 圆 ②圆台侧面展开图的扇环圆心角: ? ? 下 上 ? 360 l 台上、下底面半径 (5)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形状 及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系,是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键。 (6)计算柱体、椎体和台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用 多面体的有关截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题。 5.球的概念与性质 (1)概念:以半圆的直径所在直线为旋转轴,将半圆面旋转一周所形成的几何体叫球。 (2)球的性质: ①同一个球的半径都相等,直径也相等; ②用任意平面截球的截面都是一个圆,过球心的截面所得到的圆的直径最大。 (3)与球有关的组合体问题:一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,如: ①内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径; ③正方体的棱接球,切点为正方体十二条棱的中点,正方体的面对角线的长等于球的直径; ②球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线的长等于球的直径。 6.三视图和直观图 三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式,空间几何体的三视图可以使我们很好地把握 空间几何体的性质,由空间几何体可以画出它的三视图,同样,由三视图可以想象出空间几 何体的形状,两者之间可以相互转化。 (1)画三视图时,可以把垂直于投影面的视像想象成平行光线从不同方向射向几何体所称的 象,检验所画视图是否符合“长对正,宽相等,高平齐”的基本特征。 (2)旋转体的三视图中,一般有两个视图是相同的,并且这两个相同的视图中包含这个旋转 体的轴截面。 (3)斜二测画法的画图规则:竖直(平行 z 轴)或水平放置(平行 x 轴)的线段画出时,长 度方向都不变;前后方向放置(平行 y 轴)的线段画出时,与水平成 45°(或 135°)角, 长度画成原长度的一半。 7.柱、锥、台、球的表面积和体积 面多边形的 (1)直棱柱的侧面积计算公式: S直棱柱侧面积 ? ch( 其中h, c分别为直棱柱的高与底 周长)即直棱柱的侧面积等于它的底面周长与高的乘积。 1 (2)正棱锥的侧面积计算公式: S棱锥侧面积 ? ch , (其中 h, , c 分别为正棱锥的斜高与底面多边 2 形的周长)即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半。 1 , )h(其中 h, 、c, 、c 分别为正棱台的斜高 (3)正棱台的侧面积计算公式: S正棱台侧面积 ? (c ? c, 2 及上、下底面正多边形的周长)即正棱台的侧面积等于它的上、下底边的周长之和与斜高积
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德一半。 (4)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于侧面积与底面积的和。 (5)圆柱、圆锥、圆台的表面积: ①圆柱: 底面半径为 r,母线长为 l,S底 ? 2?r 2 , S侧 ? 2?rl,S表 ? 2?r(r ? l ). ②圆锥: 底面半径为 r,母线长为 l,则S表 ? S底 ? S侧 ? ?r 2 ? ?rl ? ?r(r ? l ).
2 ③圆台: 上、下底面半径为 r, r, ,母线长为 l,则S表 ? S侧 ? S底 ? ?(r ? r, )l ? ? (r 2 ? r, )

(6)柱体、椎体、台体的体积: ① 设柱体的底面积为 S,高为h,则V柱 ? Sh 1 ② 设锥体的底面积为 S,高为 h,则 V锥 ? Sh. 3
1 ③ 设台体的上、下底面积 分别为 S1,S 2,高为 h,则: V台 ? (S1 ? S1S 2 ? S 2 )h. 3 (7)球的表面积和体积公式: 4 ①球的表面积计算公式: S ? 4?R 2 . ②球的体积公式: V ? ?R 3 . 3 ③球的表面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据,球半径,截面圆半径,球心到 截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的关键。 (8)球与其他几何体形成的组合体问题 ①球与其他几何体组成的几何体通常在试题中以相切或相接的形式出现,解决此问题常常利 用截面来表现这两个几何体之间的关系,从而将空间问题化成平面问题。 ②作适当的截面(如轴截面) ,对于球内接长方体、正方体,则截面一要过球心,二要过长方 体或正方体的两条对角线,才有利于解题。

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典型例题剖析: 例 1.求函数 f ( x) ? x 2 ? 4 ? x 2 ? 10x ? 34最小值

例 2.用互相平行的且距离为 27 的两个平面截球, 两个截面圆的半径分别为 r1 ? 15, r2 ? 24 , 试 求球的表面积。

例 3.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几 何体不可以是 ( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 例 4. 若 某几 何体的 三 视图如 图所 示,则 此 几何体 的体 积是 _______cm3.

例 5.过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面, 则所得截面 的面积与球的表面积的比为__________ 例 6.一个圆柱形的玻璃瓶的内径为 3cm,瓶里所装的水深为 8cm,将一个钢球完全浸入水中, 瓶中水的高度上升到 8.5cm,求钢球的半径。

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