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浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学(理)试题


浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试 数学(理)试题
选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知全集 U ? Z ,集合 M ? ? ? 1, 0,1? , N ? ? 0,1, 3? , (?UM)∩N 等于( (A) ? ? 1? ) (B) ? 3? (C) ? 0,1? (D) ? ? 1, 3?

2. 已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( ) (A) ? 1 ? 2 i (C) 1 ? 2 i (B) (D)
? 1 ? 2i 1 ? 2i

3. 某程序框图如右 图所示,该程序运行后输出 S 的值是 ( ) (A) 10 (C) 100 (B) 12 (D) 102
?
2 , 则 p 是 q 的(

4.已知 ? 、 ? 均为锐角,若 p : s in ? ? s in (? ? ? ), q : ? ? ? ? (A)充分而 不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



5. A , B , C , D , E 五个人并排站成一排,如果 A , B 必 须相邻且 C 在 D 的右边,那么不同的 排法种数有( (A)60 种 ) (B)48 种 (C)36 种 (D)24 种

? x ? y ? 4, ? 2 2 2 6.设不等式组 ? y ? x ? 0 表示的平面区域为 D .若圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? r ( r ? 0 ) ?x ?1 ? 0 ?

经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是( (A) ? 2 2 , 3 2 ?
? ?

) (C)

(B) ? 2 2 , 2 5 ?
? ?

? 0, 2

5? ?

(D)

? 0, 3

2? ?
*

7. 已知各项均不为零的数列 { a n } , 义向量 c n ? ? a n , a n ? 1 ? , b n ? ( n , n ? 1), n ? N ,则下列 定 命题中是真命题的是( )
?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

* (A)若对任意的 n ? N ,都有 c n ∥ b n 成立,则数列 { a n } 是等差数列

* (B)若对 任意的 n ? N ,都有 c n ∥ b n 成立,则数列 { a n } 是等比数列

?? ?

?? ?

* (C)若对任意的 n ? N ,都有 c n ⊥ b n 成立,则数列 { a n } 是等差数列

?? ?

?? ?

(D)若对任意的 n ? N * ,都有 c n ⊥ b n 成立,则数列 { a n } 是 等比数列 8.若关于 x 的方程 x x ? a ? a 有三个不相同的实数根,则实数 a 的取值范围是( (A) ? ? 4 , 4 ?
x a
2 2

?? ?

?? ?



(B) ? ? ? , ? 4 ?
y b
2 2

(C)

? 4, ?? ?

(D) ? ? ? , ? 4 ? ? ? 4, ? ? ?

9.已知双曲线

?

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) , A1、 A 2 是实轴顶点, F 是右焦点, B ? 0, b ? 是

虚轴端点,若在线段 B F 上(不含端点)存在不同的两点 p i ( i ? 1, 2 ) ,使得
? Pi A1 A 2 ( i ? 1, 2 ) 构成以 A1 A 2 为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 e 的取值范围是



) (B) (
5 ?1 2 5 ?1 2 5 ?1 2 , ?? )

(A) ( 2 , ? ? )

(C) (1,

)

(D) ( 2 ,

)

10. 已知正四面体 A ? B C D 中, P 为 A D 的中点, 则过点 P 与侧面 A B C 和底面 B C D 所 在平面都成 60 ? 的平面共有( )
?

(注:若二面角 ? ? l ? ? 的大小为 120 ? ,则平面 ? 与平面 ? 所成的角也为 60 ) (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)无数个

非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每 小题 4 分,共 28 分. 11.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的体 积是 ___.
2 4 10 12.若 ( 2 x ? 1) = a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a 5 x ,则 a 3 的值

2

5

为 13.椭圆
x
2


? y
2

? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于

16

12

点 A 、 B ,则 ? F A B 的周长的最大值是



14. 若函数 f ( x ) ? 2 sin ? x ? ? ? 0 ? 的图象在 ? 0 , 2 ? ? 上恰有一个极大值和一个极小值, 则 ? 的取值范围是 15.在等差数列 是 . .

中,当且仅当 n ? 6 时, S n 取得最大值,则使 S n ? 0 的 n 的最大值

16.正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的棱长为 1 , M N 是正方体内切球的直径, P 为正方体表 面上的动点,则 P M ? P N 的最大值为________.zxxk 17. 当 x ? ? 0 ,1 ? 时,不等式 x co s ? ? x ? 1 ? x ? ? ? 1 ? x ? sin ? ? 0 恒成立,则 ? 的取值范
2 2

???? ???? ?

围为________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)
0 在 ? A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 B ? 6 0 .

(I)若 c o s ? B ? C ? ? ?

11 14

,求 co s C 的值;

(II)若 a ? 5, b ? co s C ? ? 1 ,求 ? A B C 面积.

19. (本题满分 14 分) 甲从装有编号为 1, 2 , 3, 4 , 5 的卡片的箱子中任取一张, 乙从装有编号为 2, 4 的卡片的箱子中 任取一张,用 X , Y 分别表示甲,乙取得的卡片上的数字. (I)求概率 P ? X ? Y ? ; (II)设 ? ? ?
?X ,X ? Y ?Y , X ? Y

,求 ? 的分布列及数学期望.

20. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ? AC ? 4 , AB ? BC ? 2 2 (I)求证:平面 ABC ⊥平面 APC (II)若动点 M 在底面三角形 A B C 上,二 面角 M ? P A ? C 的余弦值为
B M 的最小值.
2 2 3

,求

[来源:Zxxk.Com]

21. (本题满分 15 分) 如 图 , 已 知 抛 物 线 C : y ? ax
2

( a ? 0 ) 与 射 线 l1 : y ? 2 x ? 1 ( x ? 0 ) 、 l 2 :

y ? ? 2 x ? 1( x ? 0 ) 均只有一个公共点, 过定点 M ( 0 , ? 1) 和 N ( 0 ,

1 4

) 的动圆分别与 l 1 、l 2 交

于点 A 、 B ,直线 A B 与 x 轴交于点 P . (Ⅰ)求实数 a 及 N P ? A B 的值; (Ⅱ)试判断: | MA | ? | MB | 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
??? ??? ? ?

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ?
ln ( x ? 2 x ? a )
2

x ?1

(I)当 a ? 1 时,讨论 f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上的单调性; (II)若 f ( x ) 的定义域为 ( ? ? ,1) U (1, ? ? ) (i)求实数 a 的取值范围; (ii)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? ( x ? 1) ? e 对任意的 x ? (1, ? ? ) 都成立,求实数 a 的取值范
x

围.

温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)答案
1-5. BABBD 11. ?
6
1 2

6-10.BADDB 12. 80 13. 16 14. ?
?3 5? , ? ? 4 4?

7

15. 11 或 12

16.

17. ?

? ? ? 12

? 2k? ,

5?

? ? 2k? ? 12 ?

18. (I) c o s A ?

11 14

, s in A ? 1 7

5 14

3 , B ? 60

0

? cos C ? ? cos ? A ? B ? ?

(7 分)

0 (II) a ? 5 , B ? 6 0 Zxxk

? b ? co s C ? ? 1 ? b ? c ? ? 3 5
2 2

又? c o s B ?

1 2

?

a ?c ?b
2 2

2

? 2 5 ? c ? b ? 5 c Zxxk
2 2

2ac

解得 c ? 1 2 ,? S ? A B C ? (法二:
b s in B ? S ?ABC ? 1 2 ? a s in A

1 2

a c s in B ? 1 5 3

(14 分)

[来源:Z*xx*k.Com]



b sin 6 0
0

?

5 sin ? 1 2 0 ? C
0

?

,且 b ? co s C ? ? 1 得:b ? sin C ? 6 3

a b s in C ? 1 5 3 )

19. (I) P ? X ? Y ? ? (II)

2 5

(5 分)

?

2
1

3
1 10

4
1 2

5
1 5

(13 分)

P

5

E? ?

37 10

(14 分)

20. 解: (1)取 AC 中点 O,因为 AP=BP,所以 OP⊥OC 由已知易得三角形 ABC 为直角三角 形,∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB ∴OP⊥平面 ABC, ∵OP 在平面 PAC 中,∴平面 ABC ⊥平面 APC ( 6 分)
[来 源:学科网 ZXXK]

(2) 以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
? ?

由题意平面 PAC 的法向量 n1 ? O B ? (1, 0 , 0 ) ,
?? ?

(8 分)

设平面 PAM 的法向量为 n 2 ? ? x , y , z ? , M ? m , n , 0 ?
??? ? ???? ? ? A P ? 0, 2, 2 3 , A M ? ? m , n ? 2, 0 ?

?

?

由 A P ? n 2 ? 0, A M ? n 2 ? 0
?2 y ? 2 3z ? 0 ? ?? , ?mx ? ?n ? 2? y ? 0 ?

??? ?? ? ?

???? ?? ? ?

取 n2 ? ?
? ?

?? ?

?

3 ?n ? 2? ?m

,

? 3 , ? 1 ? (10 分) ? ?
3 (n ? 2)

?

?

? c o s ? n 2 , n1 ? ? (

?m 3 ?n ? 2? ?m ) ?4
2

?

2 3

2



3 (n ? 2) m

? 4

2

∴ 4 2m ?

3n ? 2 3 ? 0

(12 分)
8 2 ?2 3 35

∴BM 的最小值为垂直距离 d ?

。 ( 14 分 )

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

21、解: (I)联立 ?

? y ? ax

2
2 得: a x ? 2 x ? 1 ? 0

? y ? 2x ?1

? ? ? 4 ? 4 a ? 0,? a ? 1
2

(3 分)
2

设动圆 Q : ? x ? t ?

2

3? 5 5 ? ?5? 2 ? ? y ? ? ? t ? ? ? ( ? ? t ? ,圆与 l 1 , l 2 相切时取到等号) 8? 4 4 ? ?8?
2 2

? 3? 2 ? ?5? 2 ?Q : ? x ? t ? ? ? y ? ? ? t ? ? ? ? 2t 1 4t ? ? , 联立 ? 8? ? ? 8 ? 得: A ? ? 2 5 ? ? 5 ? ? l1 : y ? 2 x ? 1

(6 分)

同理得: B ?

? 2t ? 5

?

1 2

,?

4t ? ? 5 ?

(8 分)

? l AB : y ?

4t 5

?

8t ? ? 2t 1 ? ?x?? 5 ? 2 ? 5

?? ? 2t ? ,0? ? ? ,令 y ? 0 得 P ? ?? ? 5 ?

??? ??? ? ? ? NP ? AB ? 0
[来源:学科网]

(10 分)

Zxxk

(Ⅱ) | MA | ? | MB | =

4 ? 5 5 ? ? t? ? t? ?? 5 ? 4 4 ?
2 2

5 是定值.

(动圆 Q : ? x ? t ?

2

3? 5 5 ? ?5? 2 ? ? y ? ? ? t ? ? ? , ? ? t ? ,圆与 l 1 , l 2 相切时取到等号) 8? 4 4 ? ?8?

(15 分) (或由 y A ? y B ,及几何法得 | MA | ? | MB | ? 22、解: (I)∵ a ? 1 , x ? (1, ? ? ) ∴ f ?( x ) ?
2[1 ? ln ( x ? 1)] ( x ? 1)
2

5 )
2 ln ( x ? 1) x ?1

∴ f (x) ?

由 f ?( x ) ? 0

解得 x ? e ? 1

当 x ? (1, e ? 1) 时, f ( x ) 单调递增;当 x ? [ e ? 1, ? ? ) 时, f ( x ) 单调递减 (II) (i)∵ f ( x ) 的定义域为 ( ? ? ,1) U (1, ? ? )

2 ∴当 x ? ( ? ? ,1) U (1, ? ? ) 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立

即 ( x ? 1) ? a ? 1 ? 0 恒成立, ? a ? 1 ? 0 ,∴ a ? 1
2

(ii)由 f ( x ) ? ( x ? 1) ? e ,得
x

ln ( x ? 2 x ? a )
2

x ?1
x

? ( x ? 1) e

x

即 ln [( x ? 1) ? a ? 1] ? ( x ? 1) e 在 x ? (1, ? ? ) 上恒成立
2 2

当 a ? 2 时,∵ x ? (1, ? ? ) ,当 x ? 1 时, ln [( x ? 1) ? a ? 1] ? ln ( a ? 1) ? 0
2

而 ( x ? 1) e ? 0 ,∴原不等式不可能恒成立
2 x

当 a ? 2 时,要使 ln [( x ? 1) ? a ? 1] ? ( x ? 1) e 在 x ? (1, ? ? ) 上恒成立
2 2 x

∵ ln [( x ? 1) ? a ? 1] ? ( x ? 1) e ? ln [( x ? 1) ? 1] ? ( x ? 1) e
2 2 x 2 2

x

设 h ( x ) ? ln [( x ? 1) ? 1] ? ( x ? 1) e
2 2

x

∴ h ?( x ) ?

2 ( x ? 1) ( x ? 1) ? 1
2

? [ 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ] e ? ( x ? 1)[
2 x

2 ( x ? 1) ? 1
2

? ( x ? 1) e ]
x

又∵当 x ? (1, ? ? ) 时,

2 ( x ? 1) ? 1
2

? ( x ? 1) e ?
x

2 (1 ? 1) ? 1
2

? (1 ? 1) e ? 2 ? 2 e ? 0

∴当 x ? (1, ? ? ) 时,h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 在 (1, ? ? ) 上是减函数, h ( x ) ? h (1) ? 0 ∴ ∴ ∴ ln [( x ? 1) ? a ? 1] ? ( x ? 1) e ? 0 在 x ? (1, ? ? ) 上恒成立, 即原不等式恒成立
2 2 x

综上所述: a ? [1, 2 ] (或:参变分离求 a 的取值范围)


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