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2011年福建高考理科数学试卷及答案解析(Word)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试 【福建卷】 (理科数学)
本试卷分第Ⅰ 卷( 选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,第Ⅰ 卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ 卷第 3 页 至第 4 页.全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)

共 60 分)

【2011 ? 福建理,1】1. i 是虚数单位,若集合 S = {?1, 0,1} ,则( A. i ? S 【答案】B. 【解析】 i ? ?1? S .故选 B.
2

). D.

B. i ? S
2

C. i ? S
3

2 ?S i

【2011 ? 福建理,2】2.若 a ? R ,则 a ? 2 是 ? a ?1?? a ? 2? ? 0 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A. B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

).

【解析】 当 a ? 2 时, ? a ?1?? a ? 2? ? 0 ,所以 a ? 2 是 ? a ?1?? a ? 2? ? 0 的充分条件, 但是 ? a ?1?? a ? 2? ? 0 时, a ? 1 或 a ? 2 ,所以 a ? 2 不是 ? a ?1?? a ? 2? ? 0 的必要条件.故选 A. 【2011 ? 福建理,3】3.若 tan ? ? 3 ,则 A.2 【答案】D. 【解析】 B.3

sin 2? 的值等于( cos 2 a

). D.6

C.4

sin 2? 2sin ? cos ? ? ? 2 tan ? ? 6 .故选 D. cos 2 ? cos 2 ?

【2011 ? 福建理,4】4.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中 点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q ,则点 Q 取自 ?ABE 内

2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题

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部的概率等于( A.

). B.

1 4

1 3

C.

1 2

D.

2 3

【答案】C. 【解析】因为 SΔABE ?

1 S 1 S ABCD ,则点 Q 取自 ΔABE 内部的概率 P ? ΔABE ? .故选 C. 2 S ABCD 2
1 0

【2011 ? 福建理,5】5. ? A.1 【答案】C. 【解析】

?e

x

? 2 x ? dx 等于(
C. e

). D. e ? 1

B. e ? 1

?

1

0

? ex ? 2 x ?dx ? ? e x ? x2 ? ? e ? 1 ? e0 ? 0 ? e .故选 C.
0
3

1

【2011 ? 福建理,6】6. ?1 ? 2 x ? 的展开式中, x 的系数等于(
2

). D.10

A.80 【答案】B.

B.40

C.20

r r r 2 2 【解析】 Tr ?1 ? C5 2 x ,令 r ? 2 ,则 x 2 的系数等于 C5 2 ? 40 .故选 B.

【2011 ? 福建理, 7】 7. 设圆锥曲线 ? 的两个焦点分别为 F 若曲线 ? 上存在点 P 满足 PF1 : F2 , 1,

F1 F2 : PF2
A. 或

? 4 : 3 : 2 ,则曲线 ? 的离心率等于(
B. 或 2

). D. 或

1 2

3 2

2 3

C. 或 2

1 2

2 3

3 2

【答案】A. 【解析】 因为 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 ? 4: 3: 2 ,所以设 PF 1 ? 4λ , F 1F 2 ? 3λ , PF 2 ? 2λ . 若 Γ 为椭圆,则 ?

? c 1 ? PF1 ? PF2 ? 2a ? 4 λ ? 2 λ ? 6 λ , 所以 e ? ? . a 2 ? ? F1 F2 ? 2c ? 3λ ? PF1 ? PF2 ? 2a ? 4 λ ? 2 λ ? 2 λ c 3 ? , 所以 e ? ? .故选 A. a 2 ? ? F1 F2 ? 2c ? 3λ
第 2 页(共 19 页)

若 Γ 为双曲线,则 ?

2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题

?x ? y ? 2 ? 【2011 ? 福建理,8】8.已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) 若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 上 ?y ? 2 ?
的一个动点,则 OA ? OM 的取值范围是( A.[-1.0] 【答案】C. 【解析】 设 z ? OA ? OM ? ? ?1,1? ? ? x, y ? ? ? x ? y . 作出可行域,如图.直线 z ? ? x ? y ,即 y ? x ? z 经过
y C
2

). C.[0.2] D.[-1.2]

B.[0.1]

B ?1,1? 时, z 最小, zmin ? ?1 ? 1 ? 0 ,
y ? x ? z 经过 C ? 0,2? 时, z 最大, zmax ? 0 ? 2 ? 2 ,
所以 OA ? OM 的取值范围是 ? 0, 2? .故选 C. 解析二:

(1,2)

A
(1,1)

B x

O

1

【2011 ? 福建理,9】9.对于函数 f ? x ? ? a sin x ? bx ? c (其中,a, b ? R ,c ? Z ),选取 a, b, c 的一组值计算 f ?1? 和 f ? ?1? ,所得出的正确结果一定不可能 是( ..... A.4 和 6 【答案】D. 【解析】 f ?1? ? f ? ?1? ? a sin1 ? b ? c ? a sin ? ?1? ? b ? c ? 2c ,因为 c ? Z ,
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 3 页(共 19 页)

). D.1 和 2

B..3 和 1

C.2 和 4

则 f ?1? ? f ? ?1? 为偶数,四个选项中,只有D, 1 ? 2 ? 3 不是偶数.故选 D. 【2011 ? 福建理,10】10.已知函数 f ( x) ? e x ? x ,对于曲线 y ? f ( x) 上横坐标成等差数列的 三个点 A,B,C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形; ②△ABC 可能是直角三角形; ③△ABC 可能是等腰三角形; ④△ABC 不可能是等腰三角形. 其中,正确的判断是 ( A.①③ 【答案】B. 【解析】设 a ? b .首先证明 ). B.①④ C.②③ D.②④

f ? a ? ? f ?b? ? a?b? ?f? ?. 2 ? 2 ?

f ? a ? ? f ?b ? ? a?b? ?f? ? 2 ? 2 ?
?
b e a ? a ? eb ? b a ? a?b ?e 2 ? 2 2 a ?b e a ? eb ?e 2 2
a ?b 2

?

? ea ? eb ? e

?e

a ?b 2

?e

a ?b 2

? 0,

当且仅当 a ? b 时等号成立,由于 a ? b ,所以等号不成立, 于是

f ? a ? ? f ?b ? ? a?b? ?f? ? ? 0, 2 ? 2 ? f ? a ? ? f ?b? ? a?b? ?f? ?. 2 ? 2 ?


设点 A ? xA , yA ? , B ? xB , yB ? , C ? xC , yC ? ,且 xA , xB , xC 成等差数列, xA ? xB ? xC . 由 f ? x ? 是 R 上的增函数,则 yA ? yB ? yC ,
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题


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如图, D 为 AC 的中点,过 A, B, C 作 x 轴的垂线,垂足依次为 M , N , P . 因为 xB ? 于F . 因为 yD ?

xA ? xC F ? C P 交 CP , 所以 D 在直线 BN 上, 作 AE ? BN 交 BN 于 E , 作B 2

y A ? yC f ? xA ? ? f ? xC ? ? x ? xC ? , yB ? f ? A 2 2 ? 2

? ?, ?

由①式, yD ? yB , ,

DE ? yD ? yA , DB ? yD ? yB ,由②, DE ? DB ,所以点 B 在 DE 的内部,
因而 ?DBA ? ?DEA ? 90? ,又 ?CBA ? ?DBA ,所以 ?ABC 一定是钝角三角形.结论 ①正确. 若 ?ABC 是等腰三角形,因为 D 为 AC 的中点,则 BD ? AC ,因而 AC // x 轴,这是不可 能的,所以 ?ABC 不是等腰三角形.结论④正确; 所以结论①,④正确.故选B.

第Ⅱ 卷(非选择题
二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分)

共 90 分)

【2011 ? 福建理,11】11.运行如图所示的程序,输出的结果是



a=1
b=2 a=a+b PRINT a End
【答案】 3. 【解析】 a ? 1 ? 2 ? 3 .所以输出的结果是 3 . 【2011 ? 福建理,12】12.三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC , PA ? 3 ,底面 ABC 是边 长为 2 的正三角形,则三棱锥 P ? ABC 的体积等于 【答案】 3 . 【解析】 V ? .

1 1 3 2 SΔABC ? PA ? ? ? 2 ?3 ? 3 . 3 3 4
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 5 页(共 19 页)

【2011 ? 福建理,13】13.盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 【答案】 .

3 . 5
1 C1 2?3 3 3C2 ? ? . 2 C5 10 5

【解析】所取出的 2 个球颜色不同的概率 P ?

【2011 ? 福建理,14】14.如图, ?ABC 中, AB ? AC ? 2 , BC ? 2 3 ,点 D 在 BC 边上,

?ADC ? 45 ,则 AD 的长度等于
【答案】 2 . 【解析】解法 1:由余弦定理



AC 2 ? BC 2 ? AB 2 4 ? 12 ? 4 3 ,所以 C ? 30? . cos C ? ? ? 2 ? AC ? BC 2 2? 2? 2 3
再由正弦定理

AD AC AD 2 ? ? ,即 ,所以 AD ? 2 . sin C si ? nA D C sin 30? sin 45?
解法 2:作 AE ? BC 于 E ,因为 AB ? AC ? 2 ,所以 E 为 BC 的 中点,因为 BC ? 2 3 ,则 EC ? 3 . 于是 AE ?
A

AC 2 ? EC 2 ? 1,

B

D

E

C

因为 ΔADE 为有一角为 45 ? 的直角三角形.且 AE ? 1 ,所以 AD ? 2 . 【2011 ? 福建理,15】15.设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f : V ? R 满足:对任意 向量 a ? ( x1 , y1 ) ?V , b ? ( x2 , y2 ) ?V , 以及任意 ? ? R ,均有

f (? a ? (1 ? ? )b) ? ? f (a) ? (1 ? ? ) f (b), 则称映射 f 具有性质 P .
先给出如下映射: ① f1 : V ? R

f1 ? m? ? x ? y m ? ? x, y ? ?V ;
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 6 页(共 19 页)

② f2 : V ? R ③ f3 : V ? R

f2 ? m? ? x ? y m ? ? x, y ? ?V ; f3 ? m? ? x ? y ?1 m ? ? x, y ? ?V .
. (写出所有具有性质 P 的映射的序号)

其中,具有性质 P 的映射的序号为 【答案】①③. 【解析】设 a ? ? x1, y1 ? ?V , b ? ? x2 , y2 ? ?V ,则

? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? x1 , y1 ? ? ?1 ? ? ?? x2 , y2 ? ? ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 , ? y1 ? ?1 ? ? ? y2 ? .
对于①,

f ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ? ? ? y1 ? ?1 ? ? ? y2 ?

?

?

? ? ? x1 ? y1 ? ? ?1? ? ?? x2 ? y2 ? ,

? f ? a ? ? ?1 ? ? ? f b ? ? ? x1 ? y1 ? ? ?1 ? ? ?? x2 ? y2 ? ,
所以 f ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? f ? a ? ? ?1 ? ? ? f b 成立,①是具有性质 P 的映射; 对于②,

? ?

?

?

? ?

f ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ? ? ? y1 ? ?1 ? ? ? y2 ?
2

?

?

? ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ? ? ? y1 ? ?1 ? ? ? y2 ?
2
2 ? ? 2 x12 ? ? y1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ?1 ? ? ? y2 ? 2? ?1 ? ? ? x1 x2 , 2

2 ? f ? a ? ? ?1 ? ? ? f b ? ? ? x12 ? y1 ? ? ?1 ? ? ? ? x2 ? y2 ? ,

? ?

显然,不是对任意 λ ? R , f ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? f ? a ? ? ?1 ? ? ? f b 成立, 所以②不是具有性质 P 的映射; 对于③,

?

?

? ?

f ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ? ? ? y1 ? ?1 ? ? ? y2 ? ? 1

?

?

? ? ? x1 ? y1 ? ? ?1? ? ?? x2 ? y2 ? ?1,

? f ? a ? ? ?1 ? ? ? f b ? ? ? x1 ? y1 ? 1? ? ?1 ? ? ?? x2 ? y2 ? 1?
? ? ? x1 ? y1 ? ? ?1? ? ?? x2 ? y2 ? ? ? ? ?1? ? ?
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 7 页(共 19 页)

? ?

? ? ? x1 ? y1 ? ? ?1? ? ?? x2 ? y2 ? ?1.
所以 f ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? f ? a ? ? ?1 ? ? ? f b 成立,③是具有性质 P 的映射. 因此,具有性质 P 的映射的序号为①、③.

?

?

? ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分)
【2011 ? 福建理, 16】 16. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 3 , 前 3 项和 S3= (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在 x ? 为 a3 ,求函数 f ( x ) 的解析式. 【解析】本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方 程思想. (Ⅰ)由 q ? 3 , S3 ? 所以 an ? a1q
n ?1

13 . 3

?
6

处取得最大值,且最大值

3 13 a1 1 ? 3 1 13 得 ? ,解得 a1 ? . 3 3 1? 3 3

?

?

1 ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2 . 3

(Ⅱ)由(Ⅰ) , a3 ? 33?2 ? 3 ,所以函数 f ( x ) 的最大值为 3 ,于是 A ? 3 . 又因为函数 f ( x ) 在 x ? 则 sin(2 ?

?
6

处取得最大值,

?
6

? ? ) ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
6



函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
6

).

【2011 ? 福建理,17】17. (本小题满分 13 分)已知直线 l : y ? x ? m , m ? R . (Ⅰ) 若以点 M ? 2,0? 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (Ⅱ) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , 问直线 l ? 与抛物线 C : x ? 4 y 是否相切?说明理由.
2

【解析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 8 页(共 19 页)

思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想. (Ⅰ)解法 1:由题意,点 P 的坐标为 ? 0, m? . 因为以点 M ? 2,0 ? 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P , 所以 MP ? l . k MP ? kl ? 点 P 的坐标为 ? 0, 2 ? .
2 2 设圆的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? r , 2

m?0 ?1 ? ?1 ,所以 m ? 2 . 0?2

则 r ? MP ?

? 0 ? 2? ? ? 2 ? 0?
2

2

? 8,

2 所以,所求的圆的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 8 . 2 2 2 解法 2:设圆的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? r , 2

因为以点 M ? 2,0 ? 为圆心的圆与直线 l 相切与点 P ? 0, m? ,

? 4 ? m2 ? r 2 , ? ? ? m ? 2, 所以 ? 2 ? 0 ? m 解得 ? ? r, ? ? r ? 2 2. ? 2 ?
2 所以,所求的圆的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 8 . 2

(Ⅱ)解法 1:因为直线 l : y ? x ? m ,且 直线 l ? 与直线 l 关于 x 轴对称,则 l ? : y ? ? x ? m .

? x 2 ? 4 y, 2 由? 得 x ? 4 x ? 4m ? 0 , y ? ? x ? m , ?

Δ ? 42 ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m ? 1 .
2 所以,当 m ? 1 时, Δ ? 0 ,直线 l ? 与抛物线 C : x ? 4 y 相切,当 m ? 1 时, Δ ? 0 ,直线

l ? 与抛物线 C : x2 ? 4 y 不相切.
解法 2:因为直线 l : y ? x ? m ,且直线 l ? 与直线 l 关于 x 轴对称,则 l ? : y ? ? x ? m . 设直线 l ? 与抛物线 y ?

1 2 x 相切的切点为 ? x0 , y0 ? , 4

2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题

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由y?

1 2 1 1 x 得 y? ? x ,则 x0 ? ?1 , x0 ? ?2 , y0 ? ? ? ?2? ? m ? 2 ? m . 4 2 2 1 2 x 上,则 2 ? m ? 1 , m ? 1 . 4

所以切点为 ? ?2,2 ? m? ,窃电在抛物线 y ?

所以, 当 m ? 1 时, 直线 l ? 与抛物线 C : x2 ? 4 y 相切, 当 m ? 1 时, 直线 l ? 与抛物线 C : x2 ? 4 y 不相切. 【2011 ? 福建理,18】18. (本小题满分 12 分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日 的销售量 y(单位: 千克) 与销售价格 x(单位: 元/千克) 满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 , x?3

其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 若该商品的成品为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得 的利润最大. 【解析】本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查函数与 方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. (Ⅰ)因为 x ? 5 时, y ? 11 ,由函数式 y ? 得

a ? 10( x ? 6) 2 x?3

1 1?

a ? 10 ,所以 a ? 2 . 2 2 ? 10( x ? 6) 2 , ? 3 ? x ? 6? . x?3

(Ⅱ)因为 a ? 2 ,所以该商品每日的销售量为 y ? 每日销售该商品所获得的利润为

? 2 ? f ? x ? ? ? x ? 3? ? ? 10( x ? 6)2 ? ? 2 ? 10 ? x ? 3? ( x ? 6) 2 , ? 3 ? x ? 6? . ?x ?3 ?
2 f ? ? x ? ? 10 ?? x ? 6? ? 2 ? x ? 3?? x ? 6?? ? 30 ? x ? 6 ?? x ? 4 ? . ? ?

于是,当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ? ? x?

? 3, 4?
?

4

? 4, 6 ?
?

0

2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题

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f ? x?

单调递增

极大值 42

单调递减

由上表可以看出, x ? 4 是函数在区间 ? 3,6 ? 内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x ? 4 时,函数 f ? x ? 取得最大值 42 . 因此当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【2011 ? 福建理,19】19. (本小题满分 13 分)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系 数 X 依次为 1,2,??,8,其中 X ? 5 为标准 A , X ? 3 为标准 B ,已知甲厂执行标准 A 生 产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件, 假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准. (Ⅰ) 已知甲厂产品的等级系数 X 1 的概率分布列如下所示:

X1
P

5

6

7

8

0.4

a

b

0.1

且 X 1 的数字期望 EX1 ? 6 ,求 a , b 的值; (Ⅱ) 为分析乙厂产品的等级系数 X 2 ,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组 成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X 2 的数学期望. (Ⅲ) 在(Ⅰ)、 (Ⅱ)的条件下, 若以 “性价比” 为判断标准, 则哪个工厂的产品更具可购买性? 说明理由.
期望 ; 注: (1)产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学 产品的零售价

(2) “性价比”大的产品更具可购买性. 【解析】本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意 识,考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想. (Ⅰ)因为 EX1 ? 6 ,所以
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 11 页(共 19 页)

5? 0 . ? 4 a ?6 b ? 7 ?

8 ? ,即 0 . 1 6a ? 6 7b ? 3.2 ,

又 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1 ,所以 a ? b ? 0.5 , 解方程组 ?

?6a ? 7b ? 3.2, 解得 a ? 0.3 , b ? 0.2 . ? a ? b ? 0.5

(Ⅱ)由样本的数据,样本的频率分布表如下:

X2
f

3 0.3

4

5 0.2

6
0.1

7
0.1

8 0.1

0.2

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X 2 的概率分布列 如下表:

X2
P

3 0.3

4

5 0.2

6
0.1

7
0.1

8 0.1

0.2

所以 EX 2 ? 3? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1 ? 4.8 . (Ⅲ)甲厂的产品的等级系数的数学期望为 6 ,价格为 6 元/件,所以性价比为 甲厂的产品的等级系数的数学期望为 4.8 ,价格为 4 元/件,所以性价比为 所以,乙厂的产品更具可购买性.

6 ? 1, 6

4.8 ? 1.2 ? 1 . 4

【2011 ? 福建理, 20】 20. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD , 四边形 ABCD 中, AB ? AD , AB ? AD ? 4 , CD ? 2 , ?CDA ? 45 .

(Ⅰ) 求证:平面 PAB ⊥平面 PAD ;
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(Ⅱ) 设 AB ? AP .

? i ? 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,求线段 AB 的长; ? ii ? 在线段 AD 上是否存在一个点 G ,使得点 G 到点 P , B , C , D 的距离都相等?说
明理由. 【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查 空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结 合思想、化归与转化思想.

2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题

第 13 页(共 19 页)

2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题

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【解析二】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考 查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 15 页(共 19 页)

结合思想、化归与转化思想. (Ⅰ)因为 PA ? 底面ABCD , AB ? 底面ABCD , 所以 PA ? AB . 又 AB ? AD , PA ∩ AD ? A , 所以 AB ? 平面PAD ,又 AB ? 平面PAB ,

平面PAB ? 平面PAD .
(Ⅱ)以 A 为坐标原点,建立如图乙的空间直角坐 标系 A ? xyz . 在平面 ABCD 内,作 CE // AB 交 AD 于 E . 则 CE ? AD . 在 RtΔCDE 中, DE ? CD sin 45? ?

2?

2 ?1. 2

设 AB ? AP ? t ,则 B ? t ,0,0 ? , P ? 0,0, t ? . 由 AB ? AD ? 4 ,则 AD ? 4 ? t ,所以 E ? 0,3 ? t ,0? , D ? 0,4 ? t,0? , C ?1,3 ? t ,0? .

CD ? ? ?1,1, 0 ? , PD ? ? 0, 4 ? t , ?t ? ,
(i)设平面 PCD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 n ? CD , n ? PD 得 ?

? ?n ? CD ? 0, ? ?n ? PD ? 0,

? ? x ? y ? 0, 取 x ? t ,则 y ? t , z ? 4 ? t . n ? ? t , t , 4 ? t ? , ? 4 ? t y ? tz ? 0, ? ? ?
又 PB ? ? t ,0, ?t ? ,由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 ? ,得

cos 60? ?

n ? PB n ? PB

?

2t 2 ? 4t t 2 ? t 2 ? ? 4 ? t ? ? 2t 2
2

?

1 . 2

解得 t ?

4 或 t ? 4 (因为 AD ? 4 ? t ? 0, t ? 4 ,故舍去) 5 4 . 5

所以 AB ?

(ii)假设线段 AD 上存在一个点 G ,使得点

2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题

第 16 页(共 19 页)

G 到点 P, B, C , D 的距离都相等,
设 G ? 0, m,0? , ? 0 ? m ? 4 ? t ? . 则 GC ? ?1,3 ? t ? m,0 ? ,

GD ? ? 0, 4 ? t ? m,0 ? , GP ? ? 0, ?m, t ? ,
则由 GC ? GD 得

1 ? ? 3 ? t ? m ? ? ? 4 ? t ? m ? ,即 t ? 3 ? m ,①
2 2 2 2 由 GP ? GD 得 ? 4 ? t ? m ? ? m ? t , ② 2

从①,②消去 t ,并化简得 m ? 3m ? 4 ? 0
2



方程③没有实数根,所以在线段 AD 上不存在一个点

G ,使得点 G 到点 P, B, C , D 的距离都相等.
解法 2:假设线段 AD 上存在一个点 G ,使得点 G 到 点 P, B, C , D 的距离都相等, 由 GC ? GD 得 ?GCD ? ?GDC ? 45? , 从而 ?CGD ? 90? ,则 CG ? GD , 设 AB ? λ ,则由 AB ? AD ? 4 ,得 AD ? 4 ? λ ,

AG ? AD ? GD ? 3 ? λ .
在 RtΔABG 中, GB ? 与 GB ? GD ? 1 矛盾, 所以在线段 AD 上不存在一个点 G ,使得点 G 到点 P, B, C , D 的距离都相等.

AB ? AG ? λ ? ? 3 ? λ ?
2 2 2

2

3? 9 ? ? 2? λ ? ? ? ? 1 2? 2 ?

2

【2011 ? 福建理,21】21. (本小题满分 14 分)本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 设矩阵 M ? ?

? a 0? . ? (其中 a ? 0 , b ? 0 ) ? 0 b?
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 17 页(共 19 页)

?1 (I)若 a ? 2 , b ? 3 ,求矩阵 M 的逆矩阵 M ;

(II)若曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C ? : 求 a , b 的值.

x2 ? y 2 ? 1, 4

【解析】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想. (Ⅰ)设矩阵 M 的逆矩阵 M
?1

?x ?? 1 ? x2

y1 ? ?1 0? ?1 ? ,则 MM ? ? ?, y2 ? ?0 1?

因为 M ? ?

? 2 0? ? 2 0 ? ? x1 ? ,所以 ? ?? ? 0 3? ? 0 3 ? ? x2

y1 ? ? 1 0 ? ?? ?, y2 ? ? ?0 1?
1 1 , y1 ? 0 , x2 ? 0 . y2 ? , 2 3

所以 2 x1 ? 1 , 2 y1 ? 0 , 3x2 ? 0 , 3 y2 ? 1,即 x1 ?

?1 ?2 ?1 所以 M ? ? ?0 ? ?

? 0? ?. 1? ? 3?

(Ⅱ)设曲线 C 上的任意一点为 P ? x, y ? ,在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点

P? ? x?, y?? .
则?

? a 0 ?? x ? ? x? ? ?ax ? x?, , ?? ? ? ? ? ? ,即 ? ? 0 b ?? y ? ? y ? ? by ? y?
x2 x? 2 ? y 2 ? 1 上,所以 ? y ?2 ? 1 , 4 4

又点 P? ? x?, y?? 在曲线 C ? : 即

a2 x2 ? b 2 y 2 ? 1 为曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 的方程,则 a 2 ? 4 , b2 ? 1 , 4

又因为 a ? 0, b ? 0 ,则 a ? 2, b ? 1 .

(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos a . ? ? y ? sin a

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正
2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题 第 18 页(共 19 页)

半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4,

?
2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 【解析】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求 解能力,考查化归与转化思想. ( Ⅰ ) 点 P 的 极 坐 标 为 (4,

?
2

) , 则 直 角 坐 标 为 ? 0, 4 ? , 把 P ? 0, 4 ? 代入直线 l 的方程

x ? y ? 4 ? 0,
因为 0 ? 4 ? 4 ? 0 ,所以点 P 在直线 l 上. (Ⅱ)因为点 Q 是曲线 C 上的一个动点,则点 Q 的坐标可设为 Q( 3 cos α,sin α) . 点 Q 到直线 l 的距离为

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
所以当 cos(? ?

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 . 6 2

?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值 2 .

(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2x ?1 ? 1 的解集为 M . (I)求集合 M ; (II)若 a, b ? M ,试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小. 【解析】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想. (Ⅰ)由 | 2 x ? 1|? 1 得 ?1 ? 2 x ? 1 ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 , 所以 M ? x 0 ? x ? 1 . (Ⅱ)因为 a, b ? M ,则 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 ,

?

?

(ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,
所以 ab ? 1 ? a ? b .

2011 年全国高考【福建卷】 (理科数学)试题

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