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天津市河北区届高三数学总复习质量检测试题(一)理-课件


天津市河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(一) 数 学(理工类)

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 参考公式: · 如果事件 A,B 互斥,那么 · 球的表面积公式 S= 4 ?R 2 P(A∪B)=P(A)+P(B) 4 球的体积公式 V= ?R 3 · 如果事件 A,B 相互独立,那么 3 P(AB)=P(A) ? P(B) 其中 R 表示球的半径

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1,, 2 3, 4} , A = {1,, 2 3} , B = {2, 4} ,则 (CU A) ? B = (1)已知集合 U = {0,

(A) {2} 4} (C) {0, (2) i 是虚数单位,复数 (A) 1 ? 2i (C) ?1? 2i
3 ? 4i ? 1 ? 2i

4} (B) {2, (D) {4}

(B) 1 ? 2i (D) ?1? 2i

开始

S=2
k=0

(3)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 (A) 2016 (C)
1 2

k﹤2016? 是



(B) 2 (D) ?1

S?

1 1? S

输出 S 结束

k=k+1

? y ≤ x, ? (4)已知实数 x,y 满足条件 ? x + y ≥ 2, 则 z ? 3x + 2 y 的取值范围是 ?2 x + y ≥ 6, ?

(A) (-?, 10] (C) [8, + ?)

10] (B) [5, 10] (D) [8,

(5)设 x,y ? R ,则“ x ≥ 1 且 y ≥ 2 ”是“ x +y ≥ 3 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
1

(6)已知双曲线

x2 y 2 - = 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : x + 2 y + 5 = 0 , a 2 b2

且双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为
x2 y 2 =1 20 5 3x2 3 y2 (C) =1 25 100

(A)

x2 y 2 =1 5 20 3x2 3 y2 (D) =1 100 25

(B)

(7)已知函数 f ( x) = e (A) x2 f ( x1 ) ? 1 (C) x2 f ( x1 ) ? 1

ln x

,若 x1 ? x2 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列结论一定不成立的是 (B) x2 f ( x1 ) ? 1 (D) x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 )

? x > 0, ? lnx , (8)已知函数 f ( x) = ? 若关于 x 的方 程 f 2 ( x) - bf ( x) + c = 0 ( b,c ? R ) 2 x + 4 x + 1 , x ≤ 0 , ? ?

有 8 个不 同的实数根,则 b+c 的取值范围是

(A) (-?, 3) (C) [0, 3]

(B) (0, 3] (D) (0, 3)

第Ⅱ卷 得 分 评卷人 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填 在题中横线 上.

(9)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ______________. (10)如图,已知切线 PA 切圆于点 A ,割线 PBC 分别交圆于点 B,C ,点 D 在线段 BC 上,且 DC ? 2BD,?BAD ? ?PAB,PA ? 2 10,PB ? 4 ,则线段 AB 的长为 _______________.

(第 9 题图)

(第 10 题图)
2

(11)由曲线 y = x 2 与直线 y ? 2 x 所围成的封闭图形的面积是



a (12)设常数 a ? R ,若 ( x 2 ? )5 的二项展开式中含 x 7 项的系数为 -15 ,则 a 的值 x





(13)在锐角 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 a = 7 , b = 3 ,

7sinB + sinA = 2 3 ,则 cosB 的值为_____________.
(14)在直角 ΔABC 中, CA = CB = 2 , M,N 是斜边 AB 上的两个动点, MN = 2 , ???? ? ???? 则 CM ? CN 的取值范围是______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人

(15) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;
π (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求 f ( x ) 的最大值和最小值. 2

得 分

评卷人

(16) (本小题满分 13 分)

某大学准备在开学时举行一 次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械 工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请 的学生数如下表: 学院 人数 机械工程学院
4

海洋学院 6

医学院
4

经济学院 6

(Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于 同一学院的概率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 X ,求 随机变量 X 的分布列及数学期望.

3

得 分

评卷人

(17) (本小题满分 13 分)

如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB ∥CD , AB ? AD , AB = AD = AP = 2CD = 2 ,
M 是棱 PB 上一点.

(Ⅰ)若 BM = 2PM ,求证: PD ∥ 平面 MAC ; (Ⅱ)若平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ,求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角 B ? AC ? M 的余弦值为
2 PM ,求 的值. 3 PB

得 分

评卷人

(18) (本小题满分 13 分)

已知数列 {an } 是等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和,且 a10 = 19 , S10 = 100 ,数列 {bn } 对任意 n ? N ,总有 b1 ? b2 ? b3 ? bn -1 ? bn = an + 2 成立.
*

(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn = (-1) n
4n ? bn (2n + 1)
2

,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

4

得 分

评卷人 (19) (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C :

x a

2 2

+

y b

2 2

= 1 ( a > b > 0) 的短轴长为 2 ,离心率 e =

2 2



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y = kx + m 与椭圆交于不同的两点 A, B ,与圆 x 2 + y 2 = 2 相切 3 于点 M . (i)证明: OA ? OB ( O 为坐标原点); (ii)设 λ =
AM BM

,求实数 λ 的取值范围.

得 分

评卷人

(20) (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) = a( x ? 1)2 ? ln x ? 1 , g ( x) = f ( x) - x ,其中 a ? R .
1 (Ⅰ)当 a = - 时,求函数 f ( x) 的极值; 4

(Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 g ( x) 的单调区间;
? ? ) 时,若 y = f ( x ) 图象上的点都在 ? (Ⅲ)当 x ? [1,
? x ≥ 1, 所表示的平面区域内, ?y ≤ x

求实数 a 的取值范围.

河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(一) 数 学 答 案(理)
5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 A 7 B 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 16 + π ; (12) -3 ; (10) 2 3 ; (13)
7 14

(11)

4 ; 3



(14) [ , 2] .

3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) 解: f ( x) =
=

1 2
1

sin2 x sin2 x -

3 2
3

(1+ cos2 x)
cos2 x 3

?? 4 分

π 3 = sin(2 x - ) . ?? 6 分 3 2 2 2 2 (Ⅰ) T = π . ?? 7 分 π ? ? ?? (Ⅱ)∵ 0 ≤ x ≤ , ∴ ? ≤ 2 x ? ≤ . ?? 8 分 2 3 3 3

∴-

π ≤ sin(2 x - ) ≤ 1 . 2 3 3

?? 10 分 ?? 11 分

π 3 3 ∴ - 3 ≤ sin(2 x - ) . ≤13 2 2

∴ ymax = 1 -

3 2

,ymin = - 3 .

?? 13 分

(16)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)从 20 名学生中随机选出 3 名中任意两个均不属于同一学院的方法数为:
C4C6C4 ? C4C6C6 ? C4C4C6 ? C6C4C6 ,
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

?? 2 分
1 1

∴P ?

C4C6C4 ? C4C6C6 ? C4C4C6 ? C6C4C6
3 C20
3 C16 ? 3 C 20 2 1 C4 C16 3 C20

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

?

8 19



?? 4 分

(Ⅱ) X 的所有取值为 0,1,2,3. ∵ P ( X ? 0) ?
P( X ? 2) ?

?? 5 分
P ( X ? 1) ? C 4 C16
3 C 20 1 2

28 57
?


8

?

8 19



95



P ( X ? 3) ?

C4
3 C20

3

?

1 285



∴随机变量 X 的分布列为:
X

0

1

2

3
6

P

28 57

8 19

8 95
8 95 ? 3? 1 285

1 285

?? 11 分 ∴ EX ? 0 ?
28 57 ? 1? 8 19 ? 2? ? 3 5

. ?? 13 分

(17)(本小题满分 13 分 ) 证明: (Ⅰ)连结 BD ,交 AC 于点 N ,连结 MN . ∵ AB ∥ CD , AB ? 2CD , BN AB ∴ = =2. DN CD 又 BM ? 2PM , BM BN ∴ ? ?2. PM DN ∴ MN ∥ PD . ??2 分 又 MN ? 平面 MAC , PD ? 平面 MAC , ∴ PD ∥平面 MAC . ?? 4 分 (Ⅱ)∵平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD= AB , AB ? AD , ∴ AD ? 平面 PAB . ∴ AD ? PA . ?? 6 分 同理可证 AB ? PA . ?? 7 分 又 AB ? AD ? A ,∴ PA ? 平面 ABCD . ??8 分 (Ⅲ)解:以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 由 AB = AD = AP = 2CD = 2 , 0 0),B(0,, 2 0),C (2, 1, 0),D(2,, 0 0),P(0,, 0 2), 得 A(0,, 0 1) . ??9 分 由(Ⅱ)可知平面 ABCD 的法向量为 n ? (0,, 设

∴ AM = (0, 2 λ, 2 - 2 λ) . y z) , 设平面 MAC 的法向量为 m ? ( x,, ∵ AC ? (2, 2 λ, 2 - 2 λ) 1, 0) , AM = (0,
? 2 x ? y ? 0, ∴? ? 2 λy ? (2 - 2 λ) z ? 0. 2 - 2 λ, - 2 λ) . ∴ m ? ( λ - 1,

????

??? ???? ??? PM 2 - 2) , = λ (0 ≤ λ ≤ 1) ,即 PM = λ PB ,又 PB = (0,, PB ????

??? ?

??11 分
2 , 3

∵二面角 B ? AC ? M 的余弦值为 ∴ cos m,n ? 解得 λ =
1 2

m?n m?n

?

2λ 9 λ - 10λ+5
2

?

2 . 3

,即

PM 1 = . PB 2

??13 分

(18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,
7

则? ?

?a10 ? a1 ? 9d ? 19 . 10 ? 9 S10 ? 10a1 ? d ? 100 ? ? 2 解得 a1 ? 1, d ? 2 .

∴ an ? 2n ? 1 .

??3 分 ? ?

∴ b1 ? b2 ? b3 ? bn -1 ? bn = 2n +1 . ??两式相除得 bn ? 2n ? 1
2n ? 1

b1 ? b2 ? b3 ? bn ?1 = 2n - 1 ( n ≥ 2) .
(n ≥ 2) .

∵当 n ? 1 时, b1 ? 3 适合上式, ∴ bn ?
2n ? 1 ( n ? N? ) . 2n ? 1

??6 分

(Ⅱ)∵ cn = (-1) n

4n ? bn
2

(2n + 1) 4n 1 1 ∴ cn ? (-1) n ? (-1) n ( + ). (2n ? 1)(2n + 1) 2n ? 1 2n + 1



?? 8 分

当 n 为偶数时,
1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 Tn ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?1)n ? ? ? ? 3? ? 3 5? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ; ??10 分 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2n ? 1 2n ? 1 3 3 5 5 7 2 n ?1 2 n ?1

当 n 为奇数时, 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 Tn ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) n ? ? ? 3 3 5 5 7 2 n ? 1 2 n ?1? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? 2 . ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2n ? 1 2n ? 1 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ??12 分 ? 2n ?? 2n ? 1, n为偶数 ∴ Tn ? ? ??13 分 ? 2 n ? 2 ?? ,n为奇数 ? 2n ? 1 ?

(19)(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ 2b ? 2 ,∴ b ? 1 .?? 1 分 c 2 又e ? ? , a 2 ? b2 ? c 2 , a 2 ∴ a 2 ? 2 . ??3 分 2 ? y 2 ? 1 . ?? 4 分 ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 (Ⅱ) (i)∵直线 l : y = kx + m 与圆 x2 + y 2 ? 2 相切, 3 m 2 2 ? ∴d ? ,即 m2 ? (1 ? k 2 ) . 2 3 3 1? k

??5 分

8

y = kx + m, ? ? 由 ? x2 消去 y 并整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1 ? ?2 A 设 (x1,y1 ) , B(x2,y2 ) , 4km ? x1 + x2 = ? 1 + 2k 2 . 则? ?? 7 分 ? 2 ? x x = 2m - 2 1 2 ? 1 + 2k 2 ? ??? ? ??? ? ∵ OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + (kx1 +m)(kx2 +m) .

= (1+k 2 ) x1 x2 +km( x1 + x2 ) +m2

= (1+k 2 )
=

2m2 - 2 4km +km() +m2 2 1+ 2k 1+ 2k 2

3m2 - 2k 2 - 2 2(1+k 2 ) - 2k 2 - 2 = =0 , 1+ 2k 2 1+ 2k 2
?? 9 分

∴ OA ? OB .

(ii)∵直线 l : y = kx + m 与椭圆交于不同的两点 A,B , x2 x2 ∴ 1 + y12 = 1, 2 + y22 = 1 . 2 2 ∴λ=
AM BM OA - r OB - r
2 2 2 2

x1 + y1 = x2 + y2 2 2

2

2

2 3 2 3 =

x1

2

=

2 x2
2

+ +

1 3 . 1 3

?? 11 分

2

由(Ⅱ) ( i)知 x1 x2 + y1 y2 = 0 ,
2 2 2 2 ∴ x1 x2 = - y1 y2 , x1 x2 = y1 y2 = (1 -

x12 x2 4 - 2 x12 )(1 - 2 ) ,即 x2 2 = . 2 2 2 + 3 x12

x1

2

∴λ =

2 x2
2

+ +

1 3 1 3 = 2 + 3 x1 4
2



?? 13 分

2

∵ - 2 ≤ x1 ≤ 2 , 1 ∴ λ 的取值范围是 ≤ λ ≤ 2 . ?? 14 分 2 (20)(本小题满分 14 分) 1 1 1 1 3 解: (Ⅰ)当 a = - 时, f ( x) = - ( x ? 1)2 ? ln x+1 ? - x2 ? x ? ln x ? 4 4 4 2 4 f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) , 1 1 1 ( x ? 1)( x ? 2) . ?? 2 分 f ?( x) = - x ? ? ? ? 2 2 x 2x 列表讨论 f '( x) 和 f ( x) 的变化情况:

x
f '( x)

(0, 2) +

f ( x)

?

2 0 极大值

(2,+?) -

?

3 . ?? 4 分 4 (Ⅱ)当 a ? 0 时, g ( x) = a( x ? 1)2 ? ln x ? 1 ? x ? ax2 ? (2a ? 1) x ? ln x ? a ? 1.

∴当 x ? 2 时, f ( x) 取得极大值 f (2) ? ln 2 ?

9

g ( x ) 的定义域为 (0, ? ?) ,
1 2ax 2 - (2a + 1) x + 1 g?( x) = 2ax - (2a + 1) + = ? x x 2a( x - 1)( x x 1 ) 2a .

?? 6 分 令 g ?( x) = 0 ,得 x = 1 或 x =
1 . 2a

1 1 (1)当 0 ? a ? ,即 ? 1 时, 2a 2
2a 1 ∴ g ( x) 在 (1, ) 上单调递减, 2a 1 在 (0, 1) , ( , ? ?) 上单调递增; 2a

1 由 g ?( x) ? 0 ,解得 1 ? x ? 1 ,由 g ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1或 x ? , 2a

? ?7 分

(2)当 a ?

1 1 ,即 ? 1 时,在 (0,? ? ) 上, g ?( x) ≥ 0 , 2a 2 ∴ g ( x) 在 (0,? ? ) 上单调递增; ??8 分

(3)当 a ?

1 1 ,即 0 ? ? 1 时, 2 2a

2a 2a 1 ∴ g ( x) 在 ( , 1 ) 上单调递减, 2a 在 (0, 1 ) , (1,? ? ) 上单调递增. ??9 分 2a ? x ≥ 1, (Ⅲ)∵ y = f ( x ) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内, ?y ≤ x
? ? ) 时, f ( x) - x ≤ 0 恒成立, ∴当 x ? [1,
2 ? ? ) 时, g ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ? 1 ? x ≤ 0 恒成立. 即当 x ? [1,

1 1 由 g ?( x) ? 0 ,解得 或 x ? 1, ? x ? 1 ,由 g ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ?

只需 ( g ( x))max ≤ 0 . ??10 分 (1)当 a ? 0 时,由(Ⅱ)知, ? 当 0?a?
1 1 时, g ( x) 在 (1, ) 上单调递减,在 ( 1 ,? ?) 上单调递增, 2a 2 2a ? ? ) 上无最大值,不满足条件; ∴ g ( x) 在 [1, 1 ? 当 a ≥ 时, g ( x) 在 (1,? ? ) 上单调递增, 2 ? ? ) 上无最大值,不满足条件;??11 分 ∴ g ( x) 在 [1,

(2)当 a = 0 时, g ?( x) = -

x- 1 ? ? ) 上, g ?( x) ? 0 , ,在 (1, x
??12 分
1 ) 2a ,在 (1, ? ? ) 上, g ?( x) ? 0 ,

? ? ) 上单调递减, g ( x) ≤ g (1) ? 0 成立; ∴ g ( x) 在 [1,

(3)当 a ? 0 时, g ?( x) =

2a( x - 1)( x x

? ? ) 上单调递减, g ( x) ≤ g (1) ? 0 成立. ??13 分 ∴ g ( x) 在 [1,

综上可知,实数 a 的取值范围是 a ≤ 0 . ??14 分
10


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