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数列、极限、数学归纳法2014---2015上海一模试题分类汇编 - 副本 (5)


2014-----2015 上海一摸试题分类汇编 数列 极限 尹老师整理 手机: 15021853035 一、填空题 1.若 lim x ? 0 ,则实数 x 的取值范围是
n n??

数学归纳法
QQ:2511432710 .

(?1, 1)

2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 4 ? 2?n ,则其通项公式为 a n ? ?

? 3, n ? 1 ,n? N? 2?n ?2 , n ? 2

a ?1 ? 4 ? 7 ? ? ? 3n ? 2 ?? ? ? 6 ,则 a ? 3. 已知 lim ? 2 n?? 7n ? 5n ? 2

28

4.已知数列 {an } 是以 ?2 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S7 是数列 ?Sn ? 中的唯一最大项, 则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 . (12,14) .90

5.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6, a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 6. (理)在正项等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2015 ? 1 ,若集合

? 1? ? 1? ? ? A ? ?t ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? ? ?

? ? 1? ? ? ? at ? ? ? 0, t ? N ? ? ,则 A 中元素个数为 at ? ? ? ?
. 6

.4029

7. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? 42 ,则 a4 ? 8.计算: lim

9.计算 lim 1 ? 2 ? 3 ? n ?? n2 10.计算: lim

3n ? 2 n = n ?? 3n ?1 ? 2 n ?1



1 3
.2

?n=

n2 ? n ? ?? 12n 2 ? 7

.

1 12

11.文:已知等差数列 ?an ? 的首项为 3,公差为 4,则该数列的前 n 项和 Sn ? ________. 2n 2 ? n 12. 理 : 已 知 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 an ? 2 2?n ? 2 n?1 ( 其 中 n ? N * ) ,则该数列的前 n 项和

Sn ?

. 4(2 ?
n

1 ) 2n

13. 理 : 一 个 无 穷 等 比 数 列 的 首 项 为 2 , 公 比 为 负 数 , 各 项 和 为 S , 则 S 的 取 值 范 围 是 .1 ? S ? 2 14. 若无穷等比数列 {an } 的各项和等于公比 q ,则首项 a1 的最大值是 15 . 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 a1 ? 1 , S n ? 为 . an ? 3
n?1

.

1 4

1 1 ? an ?1 (n ? N * ) , 则 ?an ? 的 通 项 公 式 2 2

, n ? N*
1

16.已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a7 ? 3 ,则通项公式为 an ? ________________. 10 ? n n ? N 17.设无穷等比数列 {an } 的公比为 q .若 lim ( a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) ? a1 ,则 q ? ________.
n ??

?

*

?

5 ?1 2

* 18.设数列 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,{an } 的前 n 项和为 S n ,且对任意 n ? N , * 总存在 m ? N ,使得 S n ? am .则 d ? _________. ? 1

19.等差数列{an}中,a2=8,S10=185,则数列{an}的通项公式 an=

(n N*).3n+2

1 20、设无穷等比数列 ?a n ? (n ? N *) 的公比 q ? ? , a1 ? 1 ,则 lim(a2 ? a4 ? a6 ? n?? 2
21 . 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 a1 ? 1 , S n ? 为
n

? a 2n ) ?

.?

2 3

1 an ?1 ? 0(n ? N * ) , 则 ?an ? 的 通 项 公 式 2

. an ? ?

?1, n ? 1 ?2 ? 3
*

n?2

, n ? 2, n ? N *
*

22.已知二项式 (1 ? 2 x) (n ? 2, n ? N ) 的展开式中第 3 项的系数是 A ,数列 ?an ? (n ? N ) 是公差为

2 的等差数列,且前 n 项和为 Sn ,则 lim

n ??

A = Sn

2



二、选择题 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的 1.等差数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,若 S17 ? 170 , 则a7 ? a9 ? a11 的值为 ( D )

( A) 10

( B ) 20

(C ) 25

( D ) 30

2.某股民购买一公司股票 10 万元,在连续十个交易日内,前五个交易日,平均每天上涨 5%,后五个交 易日内,平均每天下跌 4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本,精确到元)( D ) ( A) 赚 723 元 ( B ) 赚 145 元 (C ) 亏 145 元 ( D ) 亏 723 元 3.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n, n ? N ,
?

a 1 a2 a2 ? a3 a4 a4
(C ) ?16112

a3 a5

?

a3 a5

a4 ? a6

?

a2012 a2014

a2013 ? a2015

( A )

( A) ?16096

( B ) ?16104

( D ) ?16120

4.用数学归纳法证明等式 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) ? n2 (n∈N*) 的过程中,第二步假设 n=k 时等式成 立,则当 n=k+1 时应得到( B )

(A) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? k 2 (B) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? (k ? 1) 2 (C) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? (k ? 2) 2

2

(D) 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2k ? 1) ? (k ? 3) 2 5 若正数 a,b,c 成公差不为零的等差数列,则 (A)lga,lgb,lgc 成等差数列 (B)lga,lgb,lgc 成等比数列 (C) 2a , 2b , 2c 成等差数列 (D) 2a , 2b , 2c 成等比数列 ( B ) (D )

6.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn (n ? N * ) ,则下列结论正确的是 A.数列是 {an } 等比数列 C.数列是 {an } 等差数列 7.数列 ?an ? , ?bn ? ,若区间 ? an , bn ? 满足下列条件:
* ① ?an?1 , bn?1 ? ? ? an , bn ? n ? N ;② lim ? bn ? an ? ? 0 ,

B.数列 a2,a3, ???,an 是等比数列 D.数列 a2,a3, ???,an 是等差数列

?

?

?

n??

则称 ? ? an , bn ? ? 为区间套。下列选项中,可以构成区间套的数列是( C

?

?



?1? ?2? A. an ? ? ? , bn ? ? ? ; ?2? ?3?
C . an ?

n

n

n ?1? B. an ? ? ? , bn ? 2 n ?1 ?3?
D . an ?

n

n ?1

?1? , bn ? 1 ? ? ? n ?3?

n

n?3 n?2

, bn ?

n?2 n ?1

三、解答题 解答下列各题必须写出必要的步骤. 1. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) (1) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 令 bn ? 3
an

已知函数 f ( x) ? x ? (2 ? n) x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A(an ,0) , n =1,2,3,?.
2

? (?1) n?1 ? ? ? 2 an ( n 为正整数), 问是否存在非零整数 ? , 使得对任意正整数 n ,都有 bn?1 ? bn ? 若存在, 求出 ? 的值 , 若不存在 , 请说明理由.

2 21、 (理) 【解】 : (1)设 f ( x) ? 0 , x ? (2 ? n) x ? 2n ? 0 得 x1 ? ?2, x2 ? n 。

所以 an ? n ????????????????????????????4 分 (2) bn ? 3n ? (?1)n ?1 ? ? ? 2n ,若存在 ? ? 0 ,满足 bn ?1 ? bn 恒成立 即: 3n?1 ? (?1) n ? ? ? 2 n?1 ? 3n ? (?1) n?1 ? ? ? 2 n ,????????????6 分

3 ( ) n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 恒成立 ????????????????????8 分 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? 1 ???????????????10 分 当 n 为奇数时, ( ) 2 3 n ?1 3 ? ?? ? ? ? ? ?????????????12 分 当 n 为偶数时, ( ) 2 2 3 所以 ? ? ? ? 1 ??????13 分, 2 故: ? ? ?1 ?????????14 分
3

2. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分
1 2 已知数列 ?an ? 的首项为 1 ,记 f (n) ? a1Cn ? a2Cn ? k ? ak Cn ?
* n ( n ? N ). ? anCn

(1)若 ?an ? 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 ?an ? 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3) 是否存在等差数列 ?an ? , 使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2n 对一切 n ? N 都成立?若存在, 求出数列 ?an ?
*

的通项公式;若不存在,请说明理由. 22. 解:(1)∵ ?an ? 为常数列,∴ an ? 1 (n ? N? ) .
1 2 3 4 ∴ f (4) ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? 15 ?????4 分

(2)∵ ?an ? 为公比为 2 的等比数列,∴ an ? 2n?1 (n ? N? ) .?????6 分
1 2 3 ∴ f (n) ? Cn ? 2Cn ? 4Cn ? n , ? 2n?1Cn n , (1 ? 2)n ? 3n ?????8 分 ? 2n Cn

1 2 3 ∴ 1 ? 2 f (n) ? 1 ? 2Cn ? 22 Cn ? 23 Cn ?

3n ? 1 故 f ( n) ? . 2

?????10 分
*

(3)假设存在等差数列 ?an ? ,使得 f (n) ? 1 ? (n ? 1)2n 对一切 n ? N 都成立,设公差为 d ,则
1 2 f (n) ? a1Cn ? a2Cn ? k ? ak Cn ? n?1 n ?????12 分 ? an?1Cn ? anCn 2 1 , ? a2Cn ? a1Cn k ? Cn ?
n ?1 ? Cn )

n n?1 且 f (n) ? anCn ? an?1Cn ?

k ? ak Cn ?

1 2 相加得 2 f (n) ? 2an ? (a1 ? an?1 )(Cn ? Cn ?

n?1 ? Cn ),

∴ f (n) ? an ?

a1 ? an ?1 1 2 (Cn ? Cn ? 2

k ? Cn ?

? an ?

a1 ? an ?1 n (2 ? 2) ? 1 ? (n ?1)d ? ?2 ? (n ? 2)d ? (2n?1 ?1) . 2
n?1

∴ f (n) ?1 ? (d ? 2) ? ?2 ? (n ? 2)d ? 2 即 (d ? 2) ? (d ? 2)(n ? 2)2
n ?1

? (n ? 1)2n 恒成立,

? 0 n ? N? 恒成立,∴ d ? 2 .?????15 分
n

故 ?an ? 能为等差数列,使得 f (n) ?1 ? (n ?1)2 对一切 n ? N ? 都成立,它的通项公式为

an ? 2n ? 1 ....................... 16 分
(也可先特殊猜想,后一般论证及其它方法相应给分)

4

3.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)
* 对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p , q 使得 cn?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N 都成立,我们称

数列 {cn } 是 “线性数列”. (1)若 an ? 2n , bn ? 3 ? 2n , n ? N ,数列 {an } 、{bn } 是否为“线性数列”?若是,指出它对应的实
*

常数 p , q ,若不是,请说明理由; (2)证明:若数列 {an } 是“线性数列”,则数列 {an ? an?1}也是“线性数列”; 23、 【解】 (1)因为 an ? 2n , 则有 an?1 ? an ? 2 ,

n? N*

故数列 {an } 是“ 线性 数列 ” , 对应的实常数分别为 1 , 2 . ……………………………2 分 . .. .. . 因为 bn ? 3 ? 2n ,则有 bn?1 ? 2bn

n? N*

故数列 {bn } 是“ 线性 数列 ” , 对应的实常数分别为 2 , 0 . ……………………………4 分 . .. .. . (2)证明:若数列 {an } 是“M 类数列”, 则存在实常数 p , q , 使得 an?1 ? pan ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

且有 an? 2 ? pan?1 ? q 对于任意 n ? N 都成立, …………………………………………7 分
*

因此 ? an?1 ? an?2 ? ? p ? an ? an?1 ? ? 2q 对于任意 n ? N 都成立,
*

故数列 ?an ? an?1 ? 也是“ 线性 数列 ” . .. .. .

…………………………………………9 分

对应的实常数分别为 p , 2q . ……………………………………………………………10 分 (3)因为 an ? an?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) 则 当 n 为偶数时,

S n ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (an?1 ? an )
? 3t ? 2 ? 3t ? 2 2 ? ?3t ? 2 n?1
n

2(1 ? 4 2 ) ? 3t (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ) ? 3t ? ? t ? 2 n ?1 ? 2t. ??????13 分 1? 4
当 n 为奇数时,

S n ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? ? ? (an?1 ? an )
5

? 2 ? 3t ? 2 2 ? 3t ? 2 4 ? ? ? 3t ? 2 n?1
n ?1

4(1 ? 4 2 ) ? t ? 2 n ?1 ? 4t ? 2. ??????16 分 ? 2 ? 3t ? (2 2 ? 2 4 ? ? ? 2 n?1 ) ? 2 ? 3t ? 1? 4
故数列 {an } 前 n 项的和

? t ? 2 n?1 ? 2t , n为偶数 S n ? ? n?1 ?t ? 2 ? 4t ? 2, n为奇数

??????18 分

(3)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an ?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) , t 为常数.求数列 {an } 前 n 项的和. 4. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N , 均有 bn ? bk ;
*

(3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2

23、 【解】(1)

an?1 ? an ? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2 , ??????2 分

b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8 ??????4 分
(2)由 an ?1 ? an ? 2n ? 7 ? bn ?1 ? bn ?

n3 , ??????5 分 2n ? 7
; ??????7 分 ??????9 分

由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b4 ? b5 ? b6 ? 由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b1 ? b2 ? b3 ? b4

? k ? 4 . ??????10 分
(3)由 an?1 ? an ? (?1)n?1 ? bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n) , ??????11 分 故 bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)(n ? 2, n ? N * ) ,

?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2), , bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2), bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)
??????13 分 当 n ? 2k (k ? N ) 时,以上各式相加得
*

bn ? b1 ? (2 ? 2 ?
2

?2

n?2

? 2 ) ? [1 ? 2 ?

n ?1

2 ? 2n n 2 ? 2n?1 (?2) n ? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? ? ? 3 2 1 ? (?2) 2
6

? bn ?

2 ? 2n n 2n n 5 ? ? 1 ?? ? ? 3 2 3 2 3

??????15 分

当 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 时,

bn ? bn ?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? 3 2 3 2 6
??????17 分

? 2 n 13 ?? 3 ? 2 ? 6 , (n ? 2k ? 1) ? ? bn ? ? , (k ? N * ) ??????18 分 n ( n ? 2k ) ?2 n 5 ? ? , ? ?3 2 3
n

5.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 a>0 且 a 1,数列{an}是首项与公比均为 a 的等比数列,数列{bn}满足 bn=an lgan(n N*). (1)若 a=3,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (2)若对于 n N*,总有 bn < bn+1,求 a 的取值范围. 21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. (1) 由已知有 an ? 3 , bn ? an lg an ? n ? 3n lg 3
n

Sn ? [3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ?1 ? n ? 3n ]lg 3 , 3Sn ? [32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ? n ? 3n ?1 ]lg 3 ,
所以 ? 2Sn ? (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ? 3n ? n ? 3n ?1 ) lg 3 ,

Sn ?

3 (2n ? 1) n ?1 lg 3 ? ? 3 lg 3 . ?????????????????????7 分 4 4

(2) bn ? bn?1 即 nan lg a ? (n ? 1)a n?1 lg a .由 a ? 0 且 a ? 1 ,得 n lg a ? (n ? 1)a lg a , 所以 ?

?lg a ? 0 ?lg a ? 0 或? ?(n ? 1)a ? n ? 0 ?(n ? 1)a ? n ? 0

?0 ? a ? 1 ?a ? 1 ? ? 即? n 或? n 对任意 n N*成立, a ? a ? ? n ?1 ? n ?1 ? ?
且1 ?

n 1 1 ? ,所以 0 ? a ? 或 a ? 1 ?????????????????14 分 n ?1 2 2

7

6. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 、 {bn } 的各项均为正数,且对任意 n ? N ,都有 an , bn , an ?1 成等差数列, bn ,
*

an ?1 , bn ?1 成等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15.
(1)求证:数列 { bn } 是等差数列; (2)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (3)设 Sn ? 的取值范围. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得 an ?1 ? bnbn ?1 ③
2 ①, an ?1 ? bnbn ?1

b 1 1 1 ? ? ? ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2a ? S n ? 2 ? n 恒成立,求实数 a a1 a2 an an

②,

????????(1 分) ????????(2 分)

* 将③代入①,得对任意 n ? 2 , n ? N ,有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 ,即 2 bn ? bn ?1 ? bn ,

所以, { bn } 是等差数列.

?????????(4 分)

(2)设数列 { bn } 的公差为 d ,由 a1 ? 10 , a2 ? 15,得 b1 ? 所以, b1 ?

25 , b2 ? 18 ,??(1 分) 2

5 2 2 , b2 ? 3 2 , d ? b2 ? b1 ? , ?????????(2 分) 2 2 (n ? 4) 2 5 2 2 2 所以 bn ? b1 ? (n ? 1) ? d ? .?(4 分) ? (n ? 1) ? (n ? 4) , bn ? 2 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) 由已知,当 n ? 2 时, an ? bn ?1bn ? ,而 a1 ? 10 也满足此式.??(5 分) 2 (n ? 3)( n ? 4) (n ? 4) 2 所以数列 {an } 、 {bn } 的通项公式为: an ? , bn ? . ???(6 分) 2 2 1 2 1 ? ? 1 (3)由(2) ,得 ????????(1 分) ? ? 2? ? ?, an (n ? 3)(n ? 4) ? n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 则 Sn ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? ? ? , ????(2 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n? 4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ?
不等式 2aSn ? 2 ?

bn 1 ? n?4 ?1 化为 4a? ? , ?? 2? an n?3 ?4 n? 4?
2

???????(3 分)

(以下有两种解法) 解法一:不等式化为 (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 ,
2

???????????(4 分)
*

设 f (n) ? (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ,则 f (n) ? 0 对任意 n ? N 恒成立. ???(5 分) 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,不满足条件.
8

当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,满足条件. 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,函数 f ( n) 图像的对称轴为直线 x ? ?

3(a ? 2) ? 0 , f (n) 关于 n 递减,只 2(a ? 1)

15 ,故 a ? 1 . 4 综上可得, a 的取值范围是 (?? , 1] .
需 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,解得 a ? 解法二:不等式化为 a ?

????????(8 分)

3n ? 8 n 2 ? 6n ? 8 * 对任意 n ? N 恒成立,即 a ? 1 ? 2 ,?(5 分) 2 n ? 3n n ? 3n 3n ? 8 3n ? 8 3n ? 8 设 f ( n) ? 2 ,任取 n1 、 n2 ? N* ,且 n1 ? n2 ,则 f (n1 ) ? f (n2 ) ? 2 1 ? 22 n ? 3n n1 ? 3n1 n2 ? 3n2 (n ? n )[3n n ? 8(n1 ? n2 ) ? 24] ? 2 1 2 1 2 ? 0 ,故 f (n) 关于 n 递减. ????????(6 分) 2 (n1 ? 3n1 )(n2 ? 3n2 ) 3n ? 8 ? 1 对任意 n ? N* 恒成立,所以 a ? 1 . 又 f (n) ? 0 且 lim f ( n ) ? 0 ,所以 1 ? 2 n?? n ? 3n 因此,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . ?????????(8 分)
7. (本题满分 13 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 7 分) 在数列 { an } , { bn } 中, a1 ? 3 , b1 ? 5 , an ?1 ?

bn ? 4 a ?4 * , bn ?1 ? n ( n ? N ). 2 2
*

(1)求数列 { bn ? an } 、 {an ? bn } 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 { bn } 的前 n 项的和,若对任意 n ? N ,都有 p( Sn ? 4n) ? [1 , 3] ,求实数 p 的 取值范围. 29. (本题满分 13 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 7 分) 解: (1)因为 an ?1 ?

bn a 1 ? 2 , bn ?1 ? n ? 2 , bn ?1 ? an ?1 ? ? (bn ? an ) , 2 2 2 1 即数列 { bn ? an } 是首项为 2,公比为 ? 的等比数列, 2 1 n ?1 所以 bn ? an ? 2 ? ( ? ) .??????????????????????3 分 2 1 1 an ?1 ? bn ?1 ? ( an ? bn ) ? 4 , an ?1 ? bn ?1 ? 8 ? ( an ? bn ? 8) , a1 ? b1 ? 8 ? 0 , 2 2 * 所以,当 n ? N 时, an ? bn ? 8 ? 0 ,即 an ? bn ? 8 .??????????6 分

? an ? bn ? 8 1 n ?1 2 1 n ? (2)由 ? 1 n ?1 得 bn ? 4 ? ( ? ) , Sn ? 4n ? [1 ? ( ? ) ] , 2 3 2 bn ? an ? 2 ? ( ? ) ? ? 2 2p 1 2p 1 [1 ? ( ? ) n ] ? 3 , p ( S n ? 4n ) ? [1 ? ( ? ) n ] , 1 ? 3 2 3 2 1 n 1 2p 3 因为 1 ? ( ? ) ? 0 ,所以 .?????????8 分 ? ? 1 2 3 1 ? (? 1 )n 1 ? ( ? )n 2 2 1 1 当 n 为奇数时, 随 n 的增大而增大, ? 1 n 1 n 1 ? (? ) 1 ? ( ) 2 2
9

2p 3 1 2p 3 ? 2 , ? p ? 3 ;?????????10 分 ,1 ? ? ? 1 3 2 3 1 ? ( 1 )n 1 ? ( )n 2 2 1 1 当 n 为偶数时, 随 n 的增大而减小, ? 1 1 1 ? ( ? )n 1 ? ( )n 2 2 4 2p 9 1 2p 3 ? 3,2 ? p ? . 且 , ? ? ? 1 2 3 1 ? ( 1 )n 3 3 1 ? ( )n 2 2 综上, 2 ? p ? 3 .?????????????????????????13 分


8.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知有穷数列 {an } 各项均不相等 ,将 {an } 的项从大到小重新排序后相应的项数 构成新数列 .... ..... 称 { pn } 为 {an } 的 “序数列” . 例如数列: 则其序数列 { pn } 为1,3,2 . { pn } , a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a3 ? a2 , (1)写出公差为 d (d ? 0) 的等差数列 a1 , a2 ,L , an 的序数列 { pn } ;
* ( 2 ) 若 项 数 不 少 于 5 项 的 有 穷 数 列 {bn } 、 {cn } 的 通 项 公 式 分 别 是 bn ? n ? ( ) ( n ? N ) ,

3 5

n

cn ? ?n 2 ? tn ( n ? N * ),且 {bn } 的序数列与 {cn } 的序数列相同,求实数 t 的取值范围;
| d n ?1 ? d n |? ( ) (n ? N * ) , (3) 若有穷数列 {d n } 满足 d1 ? 1 , 且 {d 2 n ?1} 的序数列单调递减, {d 2 n }
n

1 2

的序数列单调递增,求数列 {d n } 的通项公式. 23、解:(1)当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 n, n ? 1,L , 2,1 ;……………………..2’ 当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 1, 2,L , n ? 1, n ……………………..4’ (2)因为 bn ?1 ? bn ? ( ) ?
n

3 5

3 ? 2n ,……………………..5’ 5

当 n ? 1 时,易得 b2 ? b1 ,当 n ? 2 时, bn?1 ? bn , 又因 b1 ?

3 3 3 3 4 , b3 ? 3 ? ( ) , b4 ? 4 ? ( ) , b4 ? b1 ? b3 , 5 5 5

即 b2 ? b3 ? b1 ? b4 ? L ? bn , 故数列 {bn } 的序数列为 2,3,1, 4, L , n ,……………………..8’ 所以对于数列 {cn } 有 2 ?

t 5 ? , 2 2
10

解得: 4 ? t ? 5 ……………………..10’ (3) 由 于 {d 2 n ?1} 的 序 数 列 单 调 递 减 , 因 此 {d 2 n ?1} 是 递 增 数 列 , 故 d 2 n?1 ? d 2n?1 ? 0 , 于 是

(d 2n?1 ? d 2n ) ? (d 2n ? d 2n?1 ) ? 0 ,
而( )

1 2

2n

1 ? ( ) 2 n ?1 ,所以 | d 2n?1 ? d 2n |?| d 2n ? d 2n?1 | ,从而 d 2n ? d 2n?1 ? 0 , 2
(1) ……………………..12’

1 ( ?1) 2 n d 2 n ? d 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?1 ? 2 n ?1 2 2

因 为 {d 2 n } 的 序 数 列 单 调 递 增 , 所 以 {d 2 n } 是 递 减 数 列 , 同 理 可 得 d 2 n ?1 ? d 2 n ? 0 , 故

1 (?1) 2 n ?1 d 2 n ?1 ? d 2 n ? ?( )2 n ? 2 22 n
由(1)(2)得: d n ?1 ? d n ? 于是

(2) ……………………..14’

( ?1) n ?1 ……………………..15’ 2n

d n ? d1 ? (d 2 ? d1 ) ? (d 3 ? d 2 ) ? ? ? (d n ? d n?1 ) ……………………..16’ 1 1 ? ( ? ) n ?1 n 1 1 ( ?1) 1 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 ? ? ……………………..17’ 1 2 2 2 2 1? 2 n 4 1 ( ?1) ? ? ? n ?1 3 3 2
4 1 ( ?1) n ? ? n ?1 ( n ? N * )……………………..18’ 3 3 2

即数列 {d n } 的通项公式为 d n ?

9. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 5 分 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an ? 4 , n ?N* (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 已知 cn ? 2n ? 3( n ?N*) , 记 d n ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ), 是否存在这样的常数 C , 使得数列 {d n } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由. (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有

?1? n?2 成立,求证:数列 {bn } 是等差数列; b1an ? b2an ?1 ? b3an ? 2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?

n

11

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 5 分 【解】 (1) a1 ? 4 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ??????????1 分 由 S n ? an ? 4 得 n ? 2 时, S n?1 ? an?1 ? 4 ??2 分 两式相减得, 2an ? an?1 ,

an 1 ? ,??3 分 a n ?1 2
1 * 的等比数列,所以 an ? 22?n ( n ? N )??5 分 2

数列 {an } 是以 2 为首项,公比为 (2)由于数列 {d n } 是常数列

d n = cn ? logC an ? 2n ? 3 ? (2 ? n) logC 2 ??????6 分
? 2n ? 3 ? 2 logC 2 ? n logC 2 ? (2 ? logC 2)n ? 3 ? 2 logC 2 为常数??????7 分
只有 2 ? logC 2 ? 0 ,??????8 分;解得 C ? 此时 d n ? 7 ??10 分 (3) b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ?

2 ,??????9 分

?1? ? 2?

n

n?2 ??① 2

n ? 1 , b1 a1 ?

1 3 1 ? ? ?1 ,其中 a1 ? 2 ,所以 b1 ? ? ????11 分 2 2 2

当 n ? 2 时, b1an?1 ? b2 an?2

?1? ? b3 an?3 ? ? ? bn?1a1 ? ? ? ? 2?

n ?1

?

n ?1 ??②??12 分 2
n

1 n ?1 ?1? ②式两边同时乘以 得, b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 ? ? ? bn?1a2 ? ? ? ? ??③13 分 2 4 ? 2?
①式减去③得, bn a1 ?

?n?3 n 3 ,所以 bn ? ? ? ??14 分 4 8 8 1 且 bn ?1 ? bn ? ? ??15 分 8 1 1 所以数列 {bn } 是以 ? 为首项,公差为 ? 的等差数列。??16 分 2 8
3 , 数 列 ?bn ? 是 等 比 数 列 , 且 b1 ? a1 , 2

10.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分. 已 知 数 列 ?an ? 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , a1 ?

b2 ? ?a3 , b3 ? a4 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,记点 Qn (bn , Sn ), n ? N * .
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式;
12

(2)证明:点 Q1、Q2、Q3、 、Qn、 在同一直线 l 上,并求出直线 l 方程; (3)若 A ? Sn ?

1 ? B 对 n ? N * 恒成立,求 B ? A 的最小值. Sn

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分. 解(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,由题设可得

1 3 ? ?3 ? 2d ? ? q ? q ? ? ? ?2 ? 2 ?q ? ?1 2 ?? 或? ? ? 3 ? 3d ? 3 q 2 ?d ? ? 3 ?d ? 0 ?2 ? 8 ? 2 ?
因为数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,所以 q ? ?

1 3 1 n ?1 ,即 bn ? ( ? ) ???4 分 2 2 2

1 ? x ? ?3 ? (? ) n ? 3 1 1 ? 2 Qn (bn , sn )即为Q ( ?(- )n ?1,1-(- )n),令 ? 得 n 1 2 2 2 n (2) ? y ? 1-(- ) ? ? 2
x ? 3y ? 3 ? 0 ,
即点 Q1、Q2、Q3、 、Qn、 ,在同一条直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 上。??8 分

3 1 (1 ? (? ) n ) a1 (1 ? q n ) 2 2 ? 1 ? (? 1 ) n ,?????????????9 分 (3) Sn ? ? 1 1? q 2 1 ? (? ) 2
令 t ? Sn ?

1 , Sn ? 0 , t 随着 S n 的增大而增大?????????????10 分 Sn
??12 分

? 5? ? 3? 1 当 n 为奇数时, Sn ? 1 ? ( )n 在奇数集上单调递减, Sn ? ?1, ? , t ? ? 0, ? 2 ? 6? ? 2?

1 ?3 ? ? 7 ? 当 n 为偶数时, Sn ? 1 ? ( )n 在偶数集上单调递增, S n ? ? ,1? , t ? ? ? ,0 ? ???14 分 2 ? 12 ? ?4 ? ?tmin ? ?
5 7 , tmax ? , 6 12
A ? Sn ? 1 ? 7 5? ? B ,? ? ? , ? ? ? A, B ? Sn ? 12 6 ?

即 B ? A 的最小值是

17 ?????????????????16 分 12

13

11.(本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题 满分 5 分. 已知抛物线 x 2 ? 4 y , 过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 , 又过点 P1 作斜率为 1 2 的直线交抛物线于点 P2 ,再过 P2 作斜率为 1 的直线交抛物线于点 P3 , ,如此继续。一般地,过点 Pn 作 4 斜率为 1 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 Pn ( xn , yn ) . 2n (1)求 x3 ? x1 的值; (2)令 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列; (3) 记P 为点列 P 求点 P奇 1, P 3 , ???, P 2 n ?1 , ??? 的极限点, 奇 (x 奇 , y 奇 ) 的坐标. 29. 解: (1)直线 OP 1 的方程为 y ? x ,由

?x 2 ? 4 y 解得 P ? 1 (4, 4) ,??1 分 y ? x ?

直线 P2P1 的方程为 y ? 4 ? 1 ? x ? 4 ? ,即 y ? 1 x ? 2 2 2



?x 2 ? 4 y ? 得 P2 (?2,1) ,?????????????2 分 ? 1 ?y ? x ? 2 ? 2

直线 P2P3 的方程为 y ? 1 ? 1 ? x ? 2 ? ,即 y ? 1 x ? 3 4 4 2



?x 2 ? 4 y ? 9 ? 1 3 解得, P3 (3, ) 4 ?y ? x ? ? 4 2
4

所以 x3 ? x1 ? 3 ? 4 ? ?1 .

?????????3 分

(2)因为 Pn ( xn , 1 xn 2 ) , Pn ?1 ( xn ?1 , 1 xn ?12 ) ,由抛物线的方程和斜率公式得到
4

1 xn ?12 ? xn 2 1 4 ? n ? xn ?1 ? xn ? n ??????????????????5 分 4 xn ?1 ? xn 2 2
所以 xn ? xn ?1 ? 8n ,两式相减得 xn ?1 ? xn ?1 ? ? 4 2 2n 用 2n 代换 n 得 bn ? x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? 4 , 4n 所以 {bn } 是等比数列,通项公式为 bn ? ? 4 . 4n (3)由 x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? ??????????6 分 由(1)知,当 n ? 1 时,上式成立, ??????????????7 分

4 得, 4n
14

4 4 4 x3 ? x1 ? ? , x5 ? x3 ? ? 2 ,??, x2 n ?1 ? x2 n ?1 ? ? n , ????????8 分 4 4 4 8 4 以上各式相加得 x2 n ?1 ? ? ,????????????????????10 分 3 3 ? 4n 8 1 19 所以 x奇 ? lim x2 n ?1 ? , y奇 ? x奇 2 ? . n ?? 3 4 9
即点 P奇 的坐标为 ? ,

? 8 16 ? ? . ???????????????????????12 分 ?3 9 ?

12. (本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题 满分 5 分. 设数列 ?an ? 的首项 a1 为常数,且 an?1 ? 3n ? 2an (n ? N*) . (1)证明: ?an ?

? ?

3n ? ? 是等比数列; 5?

(2)若 a1 ? 3 , ?an ? 中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由. 2 (3)若 ?an ? 是递增数列,求 a1 的取值范围.

1 n ?1 ? 3? ? 3n ? 5 32. 证明: (1)因为 ? ?2 ,所以数列 ?an ? ? 是等比数列;??3 分 1 n 5? ? an ? ? 3? 5 an ?1 ?
(2) ?an ?

? ?

3n ? 3 9 ? 是公比为-2,首项为 a1 ? ? 的等比数列. 5? 5 10

通项公式为 an ?

3n ? 3? 3n 9 n?1 ? ? a1 ? ? (?2) ? ? (?2)n?1 , ???????4 分 5 ? 5? 5 10

若 ?an ? 中存在连续三项成等差数列,则必有 2an?1 ? an ? an? 2 , 即 2[

3 n ?1 9 3n 9 3n?2 9 ? (?2) n ] ? ? (?2) n ?1 ? ? (?2) n ?1 5 10 5 10 5 10

解得 n ? 4 ,即 a 4 , a5 , a6 成等差数列. ???????????????7 分 (3)如果 an?1 ? an 成立,即 化简得

3n?1 ? 3? 3n ? 3? n ? ? a1 ? ? (?2) ? ? ? a1 ? ? (?2)n?1 对任意自然数均成立. 5 ? 5? 5 ? 5?
????????????????9 分

4 n 3 ? 3 ? ?(a1 ? )(?2) n 15 5 3 4 3 n 当 n 为偶数时 a1 ? ? ( ) , 5 15 2

15

因为 p (n) ? 即 a1 ? 0 ;

3 4 3 n ? ( ) 是递减数列,所以 p (n) max ? p (2) ? 0 , 5 15 2
???????????????????????10 分

当 n 为奇数时, a1 ?

3 4 3 n 3 4 3 ? ( ) ,因为 q (n) ? ? ( ) n 是递增数列, 5 15 2 5 15 2

所以 q (n) min ? q (1) ? 1 ,即 a1 ? 1 ;???????????????11 分 故 a1 的取值范围为 (0,1) . ???????????????????12 分

13、 (本题 18 分,第(1)小题 4 分;第(2)小题 6 分;第(3)小题 8 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若 m ?
?1, n ? 1, 2an ,数列 ?bn ? 满足关系式 bn ? ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n?2 2 ?bn ?1 ? m, n ≥ 2,

(3)设(2)中的数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ,对任意的正整数 n , (1 ? n) ? (Sn ? n ? 2) ? (n ? p)2n?1 ? 2 恒成立,求实数 p 的取值范围. 23、解: (1)等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 得?

? a1 ? 2d ? 7 ?2a1 ? 10d ? 26
n ?1

所以 ?

?a1 ? 3 ? , an ? 2n ? 1 (n ? N ) ?d ? 2

(2) m ? 2

1 n ?1 ? bn ? ? n ?1 n?2 ?bn ?1 ? 2

由上 n ? 2 时, bn ? 2 n ? 1
? 1 n 由于当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? 1 ? b1 ,所以 bn ? 2 ? 1 (n ? N )

(3)由 ( 1 ? n) (Sn ? n ? 2)+(n ? p) 2n?1 ? 2 由于

得p?

1 ? 1 对一切 (n ? N ? ) 恒成立, 2n

1 1 ? 1 (n ? N ? ) 为减函数,所以 p ? lim ( n ? 1) ? ?1 ,取值范围是 ?? ?,?1?。 n 2 2 n ??

16

14.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。 每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公 交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50% ,混合动 力型车每年比上一年多投入 a 辆.设 an 、bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的 数量,设 Sn 、 Tn 分别为 n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。 (1)求 S n 、 T n ,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn ; (2)该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值. 28. (1)设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 依题意知,数列 {an } 是首项为 128 、公比为 1 ? 50% ? 数列 {bn } 是首项为 400 、公差为 a 的等差数列,

3 的等比数列; 2

1分 2分

3 128[1 ? ( ) n ] 2 ? 256[( 3 )n ? 1] , 所以数列 {an } 的前 n 和 Sn ? 3 2 1? 2
数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 400n ?

4分

n( n ? 1) a, 2

6分

所以经过 n 年,该市更换的公交车总数

3 n(n ? 1) Fn ? Sn ? Tn ? 256[( ) n ? 1] ? 400n ? a; 2 2
(2)因为 256[( ) ? 1] 、 400n ?
n

7分

3 2

n(n ? 1) a(a ? 0) 是关于 n 的单调递增函数, 9 分 2
10 分 11 分 12 分 13 分

因此 Fn 是关于 n 的单调递增函数, 所以满足 a 的最小值应该是 F7 ? 10000 , 即 256[( ) ? 1] ? 400 ? 7 ?
7
*

3 2

3082 7?6 a ? 10000 ,解得 a ? , 21 2

又 a ? N ,所以 a 的最小值为 147. 15.对于正项数列 {an } ,若 命题.

an ?1 ? q 对一切 n ? N * 恒成立,则 an ? a1 ? qn?1 对 n ? N * 也恒成立是真 an

an ?1 1 ? (3c) n 1 ? 3c(c ? , c ? 1) ,求证:数列 {an } 前 n 项和 Sn ? (1)若 a1 ? 1 , an ? 0 ,且 ; 1 ? 3c an 3
(2)若 x1 ? 4 , xn ?

2 2 2 xn?1 ? 3(n ? 2, n ? N * ) ,求证: 3 ? ( ) n ?1 ? xn ? 3 ? ( ) n ?1 . 3 3

17

30. (1)?

an?1 n ?1 ? 3c,? an ? a1 ? ?3c ? , an
an ? ? 3c ?
n ?1

2分 4分

? a2 ? 3c, a3 ? 9c 2 ,
S n ? a1 ? a2 ?
n


n ?1

? an ? 1 ? 3c ? 9c 2 ? ? 3c ?



6分 7分

1 ? ? 3c ? ; ? Sn ? 1 ? 3c
(2) x n ? 3 ?

2 xn ?1 ? 3 ? 3 ?
2 xn ?1 ? 3 , 3
n ?1

?

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn ?1 ? 3 ? 3

2 xn?1 ? 3 ? 3

??

2 xn?1 ? 3 2 xn ?1 ? 3 ? 3

, 10 分

? xn ? 3 ?

11 分

? 2? ? xn ? 3 ? x1 ? 3 ? ? ? ? 3?
?2? ? xn ? 3 ? ? ? ?3?
n ?1



12 分

13 分
n ?1

? 2? ?3 ? ? ? ? 3?

n ?1

? 2? ? xn ? 3 ? ? ? ? 3?



14 分

16. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
3 数列 ?an ? 各项均不为 0,前 n 项和为 S n , bn ? an , bn 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? Sn2

(1) 若数列 ?an ? 共 3 项,求所有满足要求的数列; (2) 求证: an ? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列; (3) 请构造出一个满足已知条件的无穷数列 ?an ? ,并使得 a2015 ? ?2014 23. (本题 18 分,第一小题 6 分,第二小题 6 分,第三小题 6 分)
3 (1) n ? 1 时, T1 ? S12 ? a1 ? a12 ? a1 ? 1? a1 ? 0舍去?

??1 分
2

2 3 3 ? a13 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? ? 1 ? a2 ? ?1 ? a2 ? n ? 2 时, T2 ? S 2 2

? a2 ? 2或a2 ? ?1? a2 ? 0舍去?
3 3 3 +a2 +a3 ? ? a1 +a2 +a3 ? n ? 3 时, T3 ? S32 ? a1 2

????3 分

18

3 当 a2 ? 2 时, 1+8+a3 ? ?1+2+a3 ?

2

? a3 ? 3或a3 ? ?2 ? a3 ? 0舍去?
3 ? 1-1+a3 当 a2 ? ?1 时, 1-1+a3

????4 分

?

?

2

? a3 ? 1? a3 ? 0舍去? ????5 分
????6 分

所以符合要求的数列有: 1,2,3 ; 1,2,-2 ; 1,-1,1 (2)

an ? n ,即证 13 ? 23 ? 33 ?

? n3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? n? ,
2

用数学归纳法证:
3 2 1. n ? 1 时, 1 ? 1 成立
3 3 3 2.假设 n ? k , 1 ? 2 ? 3 ?

????7 分

? k 3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?
3

? k ? 成立 ????8 分
2

则 n ? k ? 1 时, 13 ? 23 ? 33 ?
? 1? k ? k ? ? 1? k 3 ? ? ? ? k ?1 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?

? k 3 ? ? k ? 1? ? ?1? 2 ? 3 ?

? k ? ? ? k ? 1?
2

3

?

?

2

?

?

?

?? ?
? ? ?

2

?

? 1? k ? k ? 2 2 k ? 4k ? 4 ? ? ? 2 ? ?

?

?

??

?? ?
? ? ?

2

? 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ? 2 ? ? 等式也成立

?

??

?? ?
? ? ?

2

?? ?1? 2 ? 3 ?
?

? k ? ? k ?1?? ?
?

2

????10 分

综合 12,对于 n ? N * ,都有 13 ? 23 ? 33 ?
?

? n3 ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? n?

2

????11 分 ????12 分

an ? n ? n ? N * ? 是满足已知条件的一个数列。
3 3 Sn 2 ? a1 ? a2 ? 3 ① an

(3)

2 3 3 Sn ?1 ? a1 ? a2 ?

3 3 ? an ? an ?1 ②

2 3 ②-①得 2an?1 ? Sn ? an ?1 ? an?1

2 2 an?1 ? 0 , 2Sn ? an?1 ? an ?1 ? 2Sn ? an?1 ? an?1 ③

????14 分

n ? 2 时 2S

n?1

2 ? an ? an ④

2 2 2 2 ③-④得 2an ? an ?1 ? an?1 ? an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ? an

????15 分

?? an?1 ? an ?? an?1 ? an ?1? ? 0
? an?1 ? ?an 或 an?1 ? an ? 1 ? n ? 2?
19

????16 分

构造: ⅰ) an
? n ? ?? n ?2014 ? ?1 ?

? n ? 2014, n ? N ? ? ? ? n ? 2015, n ? N ?
* *

????18 分

? n ? ? ? ⅱ) an ? ?n ? 4029 ? ? n ? 4028 ? ?

? 2015 ? n ? 4028, n ? N ? ? n ? 4029, n ? N ?
* *

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? ? ? ⅲ) an ? ??2014 ? ? n?2 ? ?

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2016, n ? N ?
*

? n ? 2015?

? n ? ? ? -2014 ? ? ⅳ) an ? ? 2014 ? ??2014 ? ? n?4 ? ?

? n ? 2014, n ? N ?
*

? n ? 2018, n ? N ?
*

? n ? 2015? ? n ? 2016? ? n ? 2017 ?

(答案不唯一,写出一个即可) 17.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 7 分, 第 3 小题满分 7 分. 定义: 若各项为正实数的数列 ?an ? 满足 an?1 ? an (n ? N* ) , 则称数列 ?an ? 为 “算术平方根递推数列” . 已知数列 ?xn ? 满足 xn ? 0,n ? N* , 且 x1 ? 9 , 点 ( xn?1 , xn ) 在二次函数 f ( x) ? 2 x2 ? 2 x 的图像上.
2

(1)试判断数列 ?2 xn ? 1? (n ? N ) 是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
*

(2)记 yn ? lg(2 xn ? 1) (n ? N ) ,求证:数列 ? yn ? 是等比数列,并求出通项公式 yn ;
*

(3)从数列 ? yn ? 中依据某种顺序自左至右取出其中的项 yn1 , yn2 , yn3 , 列 ?zn ? : z1 ? yn1 , z2 ? yn2 , z3 ? yn3 ,

,把这些项重新组成一个新数

.(理科)若数列 ?zn ? 是首项为 z1 ? ( 1 ) m ?1 、 公比为 q ? 1k (m, k ? N* ) 2 2
63

的无穷等比数列,且数列 ?zn ? 各项的和为 16 ,求正整数 k、m 的值.

1 1 (文科) 若数列 ?zn ? 是首项为 z1 ? ( ) m ?1 ,公比为 q ? k (m, k ? N* ) 的无穷等比数列,且数列 ?zn ? 各 2 2
项的和为 1 ,求正整数 k、m 的值.
3

20

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 7 分, 第 3 小题满分 7 分. 解(1)答:数列 ?2 xn ? 1? 是算术平方根递推数列. 理由: 点( xn?1 , xn ) 在函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x 的图像上,
2 ? xn ? 2xn ?1 ? 2 xn ?1 , 2 2 即2xn ? 1 ? 4xn ?1 ? 4 xn?1 ? 1 , 2 xn ? 1 ? (2 xn?1 ? 1) .

又 xn ? 0, n ? N* ,

∴ 2 xn?1 ? 1 ?

2 xn ? 1, n ? N * .

∴数列 ?2 xn ? 1? 是算术平方根递推数列. 证明(2) 又

yn ? lg(2 xn ? 1), 2 xn ?1 ?1 ? 2 xn ?1, n ? N * ? y

n ?1

?

1 yn . 2

9 y1 ? lg(2 x1 ? 1) ? 1( x1 ? ) , 2

1 1 ? yn ? y1 ? ( ) n ?1 , n ? N* . 的等比数列. 2 2 1 1 * (理)(3)由题意可知,无穷等比数列 ?zn ? 的首项 z1 ? m ?1 ,公比 k (k、m ? N 且k、m为常数) , 2 2 1 m ?1 16 63 16 . 化简,得 k ? m ?1 ? 16 . ? 2 ? 1 2 2 1 ? k 63 2 16 63 16 63 16 63 ? + ? 16 .这是矛盾! 若 m ? 1 ? 3 ,则 k ? m ?1 ? k + 2 2 2 8 2 8 16 63 ? m ?1 ? 2 . 又 m ? 1 ? 0或1 时, k ? m ?1 ? 16 , ? m ? 1 ? 2,即m ? 3 . 2 2

? 数列 ? yn ? 是首项为 y1 ? 1 ,公比 q ?

?

16 63 ? 16 ? , 2k ? 64, 解得k ? 6 . k 2 4

?m ? 3, ?? ?k ? 6.
1 2
m ?1

(文) (3)由题意可知,无穷等比数列 ?zn ? 的首项 z1 ?

,公比

1 (k、m ? N*且k、m为常数) , k 2

1 1 ? 2 ? . 1 1? k 3 2
m ?1

化简,得

1 3 ? m?1 ? 1 . k 2 2
? m ?1 ? 2 .

1 3 1 3 1 3 ? m ?1 ? k + ? + ? 1 .这是矛盾! k 2 2 2 8 2 8 1 3 又 m ? 1 ? 0或1 时, k ? m ?1 ? 1 , ? m ? 1 ? 2,即m ? 3 . 2 2
若 m ? 1 ? 3 ,则

?

1 3 ? 1 ? , 2k ? 4, 解得k ? 2 . k 2 4

?m ? 3, ?? ?k ? 2.
21

18.(本题满分 16 分) 文:本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 7 分. 理:本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满分 7 分. 在数列 ?a n ? 中,已知 a 2 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)文:求 a 1 ; 理:求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)文:求数列 ?a n ? 的通项公式; 理:求 lim

n(an ? a1 ) .(其中 n ? N * ) 2

Sn n2

n ? ??



(3)设 lg bn ?

,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ) ,使得 b1 , b p , bq 成等比数列? 3n 若存在,求出所有满足条件的数组 ( p , q ) ;否则,说明理由. 23.文(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 7 分.

an ? 1

n(an ? a1 ) (a ? a1 ) ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? 0 ,所以 a1 ? 0 ;???( 3 分) 2 2 2(a2 ? a1 ) 或者令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,所以 a1 ? 0 2 (n ? 1)(an?1 ? a1 ) (n ? 1)an?1 (2)当 n ? 2 时, S n?1 ? ? 2 2
(1)因为 S n ?

an?1 ? S n?1 ? S n ?

a a (n ? 1)an?1 nan n n , n ?1 ? ,推得 n ?1 ? ,????(7 分) ? a n ? 1 a 3 ?1 2 2 n 3

又 a 2 ? 1 , a3 ? 2a 2 ? 3 , 所 以 a n?1 ? n 当 n ? 1,2 时 也 成 立 , 所 以 a n ? n ? 1 , ( n ? N * )?????????( 9 分) 理 23.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满分 7 分. (1)因为 S n ? 分)

n(an ? a1 ) 2(a2 ? a1 ) ,令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,所以 a1 ? 0 ;?????????( 2 2 2

(a1 ? a1 ) ?0) 2 (n ? 1)(an?1 ? a1 ) (n ? 1)an?1 当 n ? 2 时, S n?1 ? ? 2 2
(或者令 n ? 1 ,得 a1 ?

an?1 ? S n?1 ? S n ?

a a (n ? 1)an?1 nan n n , n ?1 ? ,推得 n ?1 ? ,????(5 分) ? an n ?1 a3 3 ?1 2 2
22

又 a 2 ? 1 , a3 ? 2a 2 ? 3 ,所以 a n?1 ? n 当 n ? 1,2 时也成立,所以 a n ? n ? 1 , ( n ? N * )?( 6 分) (2) lim

Sn n
2

n ? ??

=

1 ?????????( 9 分) 2

(3)文理相同:假设存在正整数 p 、 q ,使得 b1 , b p 、 bq 成等比数列,则 lg b1 , lg b p 、 lg bq 成等 差数列,故

2p 1 q ? ? , (**)?????????( 11 分) 3 p 3 3q 2p 1 p 1 1 由于右边大于 ,则 p ? ,即 p ? . 3 6 3 3 3 p ?1 p 1? 2p ? ? p ? 的单调性,因为 p ?1 ? p ? p ?1 ? 0 ,所以数列 ? p 3 3 3 ? ?3

? p 考查数列 ? p ?3

? ( 14 分) ? 为单调递减数列. ?

p 2 1 q 1 p 1 ? ? ,代入(**)式得 q ? ,解得 q ? 3 ;当 p ? 3 时, p ? (舍) . p 9 9 9 6 3 3 3 综上得:满足条件的正整数组 ( p , q ) 为 (2,3) .?????????( 16 分) 2p 1 q (说明:从不定方程 p ? ? q 以具体值代入求解也参照上面步骤给分) 3 3 3
当 p ? 2 时, 19.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 7 分. 已知有穷数列 {an } 各项均不相等 ,将 {an } 的项从大到小重新排序后相应的项数 构成新数列 .... ..... 称 { pn } 为 {an } 的 “序数列” . 例如数列: 则其序数列 { pn } 为1,3,2 . { pn } , a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a3 ? a2 ,
? (1)若 x, y ? R , x ? y ? 2 且 x ? y ,写出数列: 1, xy,

x2 ? y2 的序数列并说明理由; 2

(2)求证:有穷数列 {an } 的序数列 { pn } 为等差数列的充要条件是有穷数列 {an } 为单调数列;
* (3) 若 项 数 不 少 于 5 项 的 有 穷 数 列 {bn } 、 {cn } 的 通 项 公 式 分 别 是 bn ? n ? ( ) ( n ? N ) ,

3 5

n

cn ? ?n 2 ? tn ( n ? N * ),且 {bn } 的序数列与 {cn } 的序数列相同,求实数 t 的取值范围.
23、解:(1)因为 x ? y ? 2 且 x ? y , 所以 xy ? x(2 ? x) ? ?( x ? 1) ? 1 ? 1,……………………..2’
2

x 2 ? y 2 x 2 ? (2 ? x ) 2 ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 1 ……………………..4’ 2 2
故数列 1, xy,

x2 ? y2 的序数列 3,1,2 ;……………………..5’ 2
23

(2)充分性:因为数列 {an } 是单调数列时, a1 ? a2 ? L ? an 或 a1 ? a2 ? L ? an , 所以其序数列为 1, 2,L , n ? 1, n 或 n, n ? 1,L , 2,1 均为等差数列;……………………..8’ 必要性:当数列 {an } 的序数列为等差数列时,其序数列必为 1, 2,L , n ? 1, n 或 n, n ? 1,L , 2,1 ,所以有

a1 ? a2 ? L ? an 或 a1 ? a2 ? L ? an , 所以数列 {an } 为单调数列;……………………..11’
(3)因为 bn ?1 ? bn ? ( ) ?
n

3 5

3 ? 2n ,…………………..13’ 5

当 n ? 1 时,易得 b2 ? b1 ,当 n ? 2 时, bn?1 ? bn , 又因 b1 ?

3 3 3 3 4 , b3 ? 3 ? ( ) , b4 ? 4 ? ( ) , b4 ? b1 ? b3 , 5 5 5
故数列 {bn } 的序数列为 2,3,1, 4,L , n ,……………..16’

即 b2 ? b3 ? b1 ? b4 ? L ? bn , 所以对于数列 {cn } 有 2 ?

t 5 ? ,解得: 4 ? t ? 5 ……………………..18’ 2 2

24


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