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人教版 高中数学【选修 2-1】第3章空间向量与立体几何17空间向量的数乘运算课时作业

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课时作业(十七) 空间向量的数乘运算
A 组 基础巩固 1.若 a 与 b 不共线,且 m=a+b,n=a-b,p=a,则( ) A.m、n、p 共线 B.m 与 p 共线 C.n 与 p 共线 D.m、n、p 共面 解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即 m+n=2p,即 p=12m+12n,又 m 与 n 不共线,所以 m, n,p 共面. 答案:D 2.在平行六面体 ABCD-EFGH 中,若A→G=xA→B-2y→BC+3zD→H,则 x+y+z 等于( )
725 A.6 B.3 C.6 D.1 解析:→AG=→AB+→AD+→DH,则 x=1,y=-12,z=13,故选 C. 答案:C
3.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若A→1B1=a,A→1D1=b,A→1A =c,则下列向量中与B→1M相等的向量是( )
A.-12a+12b+c B.12a+12b+c C.12a-12b+c D.-12a-12b+c 解析:B→1M=B→1B+→BM=B→1B+12B→D =B→1B+12(A→D-A→B)=-12a+12b+c. 答案:A 4.已知空间向量 a,b,且A→B=a+2b,→BC=-5a+6b,C→D=7a-2b,则一定共线的三点 是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 解析:∵B→D=B→C+C→D=2a+4b=2A→B,∴A,B,D 三点共线. 答案:A 5.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A.→OM=3→OA-2O→B-O→C B.→OM+→OA+→OB+→OC=0 C.→MA+→MB+→MC=0

D.→OM=14→OB-→OA+12O→C

解析:∵M→A+M→B+M→C=0,∴M→A=-→MB-→MC,∴M 与 A,B,C 必共面.

答案:C

6.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A→1E=14A→1C1,若→AE=xA→A1+y(→AB+→AD),则(

)

A.x=1,y=12 B.x=12,y=1

C.x=1,y=13 D.x=1,y=14

解析:→AE=A→A1+A→1E=A→A1+14A→1C1=A→A1+14(→AB+→AD).所以 x=1,y=14.

答案:D

7.化简12(a+2b-3c)+5???23a-21b+23c???-3(a-2b+c)=__________.

答案:56a+92b-76c

8.已知 O 是空间中任意一点,A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,且O→A

=2x→BO+3yC→O+4z→DO,则 2x+3y+4z=________.

解析:∵A,B,C,D 四点共面,

∴→OA=m→OB+nO→C+pO→D,且 m+n+p=1.

由条件知O→A=(-2x)→OB+(-3y)O→C+(-4z)→OD,

∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1,

∴2x+3y+4z=-1.

答案:-1

9.非零向量 e1,e2 不共线,使 ke1+e2 与 e1+ke2 共线的 k 的值是________.

解析:若 ke1+e2,e1+ke2 共线,则 ke1+e2=λ (e1+ke2),所以?????kλ=kλ=,1,

∴k=±1.

答案:±1

10.已知四边形 ABCD 是空间四边形,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 CB, CD 上的点,且C→F=23C→B,C→G=23→CD.求证:四边形 EFGH 是梯形.
证明:∵E,H 分别是 AB,AD 的中点, ∴→AE=12→AB,→AH=12A→D,E→H=A→H-A→E=12A→D-12→AB =12(A→D-A→B)=12→BD=12(C→D-C→B) =12???32C→G-32C→F???=34(C→G-C→F)=34→FG, ∴→EH∥→FG且|→EH|=34|→FG|≠|F→G|. 又点 F 不在→EH上,

∴四边形 EFGH 是梯形. B 组 能力提升
11.如图所示,已知三棱锥 O-ABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点,点 G 在线段 MN 上, 且 MG=2GN.设O→G=xO→A+y→OB+z→OC,则 x,y,z 的值分别为( )
A.x=13,y=13,z=13 B.x=13,y=13,z=16 C.x=13,y=16,z=13 D.x=16,y=13,z=13 解析:因为点 N 为 BC 的中点,所以→ON=12(O→B+O→C). 又→OM=12→OA,所以→MN=→ON-→OM=12(O→B+O→C)-12→OA, 则→MG=23→MN=13(O→B+O→C)-13→OA, 所以O→G=O→M+M→G=12O→A+13(→OB+→OC)-13O→A=16→OA+13→OB+13O→C. 答案:D 12.有下列命题: ①若A→B∥C→D,则 A,B,C,D 四点共线; ②若A→B∥A→C,则 A,B,C 三点共线; ③若 e1,e2 为不共线的非零向量,a=4e1-25e2,b=-e1+110e2,则 a∥b; ④若向量 e1,e2,e3 是三个不共面的向量,且满足等式 k1e1+k2e2+k3e3=0,则 k1=k2=k3 =0. 其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上). 解析:根据共线向量的定义,若A→B∥C→D,则 AB∥CD 或 A,B,C,D 四点共线,故①错;A→B ∥A→C且A→B,A→C有公共点 A,所以②正确;由于 a=4e1-25e2=-4???-e1+110e2???=-4b,所以 a∥ b.故③正确;易知④也正确. 答案:②③④ 13.在平行六面体 ABCD-EFGH 中,已知 M,N,R 分别是 AB,AD,AE 上的点,且 AM=MB, AN=12ND,AR=2RE,求平面 MNR 分对角线 AG 所得线段 AP 与 PG 的比. 解析:如图,设→AP=m→AG,

∵→AG=→AB+→AD+→AE=2→AM+3A→N+32A→R, ∴→AP=2mA→M+3m→AN+32mA→R. 由于 P,M,R,N 共面,∴2m+3m+32m=1, 从而得 m=123,即AAPG=123,∴PAGP=121. 14.如图,H 为四棱锥 P-ABCD 的棱 PC 的三等分点,且 PH=12HC,点 G 在 AH 上,AG=mAH. 四边形 ABCD 为平行四边形,若 G,B,P,D 四点共面,求实数 m 的值.

解析:连接 BD,BG.

∵→AB=→PB-→PA且→AB=→DC,

∴→DC=→PB-→PA.

∵→PC=→PD+→DC,∴P→C=P→D+P→B-P→A=-→PA+→PB+→PD.

∵HPCH=12,∴→PH=13P→C=13(-P→A+P→B+P→D)=-13P→A+13P→B+13→PD.

又∵A→H=P→H-P→A,∴→AH=-43P→A+13→PB+13→PD.

∵AAHG=m,∴→AG=mA→H=-43mP→A+m3P→B+m3→PD.

∵→BG=-A→B+A→G=P→A-P→B+A→G,

∴→BG=???1-43m???P→A+???m3-1???P→B+m3→PD.

又∵B,G,P,D

4m 四点共面,∴1- 3 =0,即

m=34.

15.如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 B1B 和 D1D 上,且 BE=13BB1,DF=23

DD1.

(1)证明:A,E,C1,F 四点共面; (2)若E→F=x→AB+y→AD+zA→A1,求 x+y+z 的值. 解:(1)证明:∵ABCD-A1B1C1D1 是平行六面体,∴A→A1=B→B1=C→C1=D→D1, ∴→BE=13A→A1,→DF=23A→A1,
∴A→C1=→AB+→AD+A→A1=→AB+→AD+13A→A1+23A→A1 =???→AB+13A→A1???+???A→D+23A→A1???=→AB+→BE+→AD+→DF=→AE+→AF,由向量共面的充要条件知 A,E, C1,F 四点共面. (2)∵E→F=A→F-A→E=A→D+D→F-(→AB+→BE)=→AD+23D→D1-A→B-13B→B1=-A→B+A→D+13A→A1,又→EF= xA→B+yA→D+zA→A1,∴x=-1,y=1,z=13,∴x+y+z=13.