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2014年高一辅导自编(1-1)

第一部分

集合与简易逻辑

要点回顾:本节主要内容提要:特征、表示、关系。
一、集合
1、集合中元素的特征: 2、集合的表示法: (1)列举法: (2)描述法: 3、两种关系 1) 、集合与元素的关系用符号 2) 、集合与集合之间的关系 ①包含关系 子集、真子集、集合相等: ? 或 ? ? 或 =. 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有真子集的个数是 2 ? 1 ,所有
n n

, ,



.

,图象法. 注意:用描述法表示集合时区分集合中元素的形式. . .



表示.

非空真子集的个数是 2 ? 2 .
n

注意:1、空集是指不含任何元素的集合.(注意 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系). 2、空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3、条件为 A ? B ,在讨论的时候不要忘了 A ? ? 的情况. ②运算关系 交集: A ? B ? __________ __________ ___ .并集: A ? B ? ???????????????? . 补集: CU A ? __________ __________ __________ _ . ③对于任意集合 A, B ,则:① A ? B ? B ? A ; A ? B ? B ? A ; A ? B ? A ? B . ② A ? B ? A ? A ? B ; A ? B ? A ? A ? B ; CU A ? B ? ? ? A ? B . ③ CU A ? CU B ? CU ( A ? B) .

特性:
1.下列说法正确的是(C ) A.某个村子里的年青人组成一个集合;B.所有小正数组成的集合 C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合 D. 1, 0.5, , , ,

1 3 6 2 2 4

1 这些数组成的集合有五个元素 4
B.等于 2 的数 C.接近于 0 的数 D.不等于 0 的偶数

2.下列各项中,不可以组成集合的是( C ) A.所有的正数 5.若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长,则△ ABC 一定不是(D)

A.锐角三角形

B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰三角形

3.设 y ? x2 ? ax ? b, A ? ?x | y ? x? ? ?a? , M ?
2

??a, b??, 求M

解:由 A ? ?a? 得 x ? ax ? b ? x 的两个根 x1 ? x2 ? a , 即 x2 ? (a ? 1) x ? b ? 0 的两个根 x1 ? x2 ? a , ∴ x1 ? x2 ? 1 ? a ? 2a, 得a ? ∴ M ? ?? , ??

1 1 , x1 x2 ? b ? , 3 9

?? 1 1 ?? ?? 3 9 ??

?x ? y ? 1 表示:1.方程组 ? 2 的解集是( D 2 ?x ? y ? 9
A. ? 5, 4 ? B. ?5,?4? C. ??? 5,4??

) D. ??5,?4?? 。

A

B

C

2.下列表示图形中的阴影部分的是( A ) A. ( A C ) ( B C ) B. ( A B) ( A C. ( A

C)

B) ( B C )

D. ( A

B) C

3.已知集合 A ? ? x ? N |

? ?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A 。 6? x ?

解:由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x ? 1, x ? 5 ;当 6 ? x ? 2, x ? 4 ; 当 6 ? x ? 4, x ? 2 ;当 6 ? x ? 8, x ? ?2 ;而 x ? 0 ,∴ x ? 2, 4,5 ,即 A ? ?2,4,5?;

关系:
4.若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为( D A. 1 B. ?1 C. 1 或 ?1 D. 1 或 ?1 或 0 )

5.给出下列关系: (1) 其中正确的个数为 A.1个

1 ? R; (2) 2 ? Q; (3) ?3 ? N? ; (4) ? 3 ? Q. 2
( B) C.3个 D.4个

B.2个

6.设集合 A ? {x | x2 ? x ? 0}, B ? {x | x2 ? x ? 0} ,则集合 A A. 0 B. ?0? C. ? D. ??1,0,1?

B?( B )

7.若集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 0 , N ? ( x, y ) x ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则有( A
2 2

?

?

?

?



A. M N ? M B. M N ? N 8.下列式子中,正确的是( D ) A. R ? R
?

C. M
?

N ?M

D. M

N ??

B. Z ? ?x | x ? 0, x ? Z ?

C.空集是任何集合的真子集

D. ? ? ? ??

9.已知集合 A ? x | x ? mx ? 1 ? 0 , 若A
2

?

?

R ? ?, 则实数 m 的取值范围是( C )

A. m ? 4 B. m ? 4 C. 0 ? m ? 4 D. 0 ? m ? 4 10.若集合 X ? {x | x ? ?1} ,下列关系式中成立的为( D A. 0 ? X B. ?0? ? X C. ? ? X



D. ?0? ? X

11.已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ?1? x ? 2m ? 1 } , B ? A ,求 m 的取值范围。 解:当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时, B ? ?3? , 满足 B ? A ,即 m ? 2 ; 当 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即 m ? 2 时,由 B ? A ,得 ? ∴m ? 3 12.设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,
2 2 2

?m ? 1 ? ?2 即2 ? m ? 3; ?2m ? 1 ? 5

如果 A 解:由 A

B ? B ,求实数 a 的取值范围。

B ? B得B ? A ,而 A ? ??4,0? , ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a2 ?1) ? 8a ? 8

当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ? ,符合 B ? A ; 当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B ? ?0? ,符合 B ? A ; 当 ? ? 8a ? 8 ? 0 ,即 a ? ?1 时, B 中有两个元素,而 B ? A ? ??4,0? ; ∴ B ? ??4,0? 得 a ? 1 ∴ a ? 1或a ? ?1 。
2 2 2 2 13.集合 A ? x | x ? ax ? a ? 19 ? 0 , B ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 , C ? x | x ? 2 x ? 8 ? 0

?

?

?

?

?

?

满足 A

B ? ? , , A C ? ? , 求实数 a 的值。
B ? ? ,则 2, 3 至少有一个元素在 A 中,

解: B ? ?2,3? , C ? ??4,2? ,而 A 又A

C ? ? ,∴ 2 ? A , 3 ? A ,即 9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0 ,得 a ? 5或 ? 2

而 a ? 5时,A ? B与 A ∴ a ? ?2

C ? ? 矛盾,

2 2 14.设 U ? R ,集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? (m ? 1) x ? m ? 0 ;

?

?

?

?

若 (CU A) ? B ? ? ,求 m 的值。 解: A ? ??2, ?1? ,由 (CU A)

B ? ? , 得B ? A ,当 m ? 1 时, B ? ??1? ,符合 B ? A ;

当 m ? 1 时, B ? ??1, ?m? ,而 B ? A ,∴ ? m ? ?2 ,即 m ? 2 ∴ m ? 1 或 2 。 综合: 1.下列命题正确的有( A ) (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合 y | y ? x 2 ? 1 与集合 ?x, y ? | y ? x 2 ? 1 是同一个集合; (3) 1, , , ?

?

?

?

?

3 6 2 4

1 (4)集合 ??x, y ? | xy ? 0, x, y ? R? 是指第二和第四象 , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2
C. 2 个 D. 3 个

限内的点集。 A. 0 个 B. 1 个

2.若全集 U ? ?0,1, 2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( C ) A. 3 个 B. 5 个 3.下面有四个命题: C. 7 个 D. 8 个

(1)集合 N 中最小的数是 1 ; (2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值 为2 ; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? 1,1? ;其中正确命题的个数为( A
2



A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

2 4.若 A ? ?1, 4, x? , B ? 1, x 且 A

?

?

B ? B ,则 x ?
2 2



4.

0,2, 或 ? 2

由A

B? B 得 B ?

A x ? 4或x ? x ,且 x ? 1 。 ,则


5.已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0} 至多有一个元素,则 a 的取值范围 若至少有一个元素,则 a 的取值范围 5. 。

9 ? ?a | a? ,或 a? 8 ?

9? ? ? 0 ? , ?a | a ? ? 8? ? ?

当 A 中仅有一个元素时, a ? 0 ,或 ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 当 A 中有 0 个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ; 当 A 中有两个元素时, ? ? 9 ? 8a ? 0 ;
2 2 6.已知集合 A ? a , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A

?

?

?

?

B ? ??3? ,

求实数 a 的值。 解:∵ A 这样 A

B ? ??3? ,∴ ?3 ? B ,而 a 2 ? 1 ? ?3 ,∴当 a ? 3 ? ?3, a ? 0, A ? ?0,1, ?3?, B ? ??3, ?1,1? ,

B ? ??3,1? 与 A B ? ??3? 矛盾; 当 2a ? 1 ? ?3, a ? ?1, 符合 A B ? ??3?

∴ a ? ?1

7.设全集 U ? R , M ? m | 方程mx 2 ? x ? 1 ? 0有实数根 ,

?

?

N ? ?n | 方程x 2 ? x ? n ? 0有实数根? , 求 ? CU M ?
解:当 m ? 0 时, x ? ?1 ,即 0 ? M ; ∴m ? ?

N.

当 m ? 0 时, ? ?1 ?4 m ?0即 , m??

1 ,且 m ? 0 4

1 1 1? 1? ? ? ,∴ CU M ? ?m | m ? ? ? 而对于 N , ? ? 1 ? 4n ? 0, 即 n ? ,∴ N ? ?n | n ? ? 4 4 4? 4? ? ?

∴ (CU M )

1? ? N ? ?x | x ? ? ? 4? ?