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高中数学北师大版必修五课件:2.1.1.3-正弦定理和余弦定理习题课ppt讲练课件_图文

第二章 解三角形 1.3 正弦定理和余弦定理习题课 利用正、余弦定理解三角形 2 在△ABC 中,若 c· cos B=b· cos C,且 cos A= ,求 3 sin B 的值. 【解】 由 c· cos B=b· cos C,结合正弦定理得,sin Ccos B= sin Bcos C, 故 sin(B-C)=0,易知 B=C,故 b=c. 2 因为 cos A= ,所以由余弦定理得 3a2=2b2,再由余弦定理得 3 6 cos B= , 6 30 故 sin B= . 6 正、余弦定理的变形形式比较多,解题时应根据题目条件的不 同,灵活选择. 1.在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对应的边,且 3a=2csin A. (1)确定角 C 的大小; 3 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. 2 解:(1)由 3a=2csin A 及正弦定理得, a 2sin A sin A c = 3 = sin C. 3 因为 sin A≠0,所以 sin C= . 2 π 因为△ABC 是锐角三角形,所以 C= . 3 π (2)法一:因为 c= 7,C= , 3 由面积公式得 1 π 3 3 absin = ,即 ab=6.(i) 2 3 2 由余弦定理得, π a +b -2abcos =7, 3 2 2 即 a2+b2-ab=7.(ii) 由(ii)变形得(a+b)2=3ab+7.(iii) 将(i)代入(iii),得(a+b)2=25, 故 a+b=5. 法二:前同法一,联立(i)、(ii) 2 2 2 2 ? ?a +b -ab=7, ? ?a +b =13, 得? ?? ? ? ?ab=6 ?ab=6, 消去 b 并整理得 a4-13a2+36=0, 解得 a2=4 或 a2=9. ? ?a=2 ? ?a=3 所以? 或? ? ? b= 3 ? ?b=2. 故 a+b=5. 正、余弦定理与三角恒等变形的综合 设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c, 且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; (2)求 ? π? sin?A+ 4 ?的值. ? ? 【解】 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B= 2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 6 3 由于 0<A<π,所以 sin A= 1-cos A= 故 ? π? sin?A+4 ?=sin ? ? 2 1 2 2 1- = . 9 3 π π 2 2 2 ? 1? 2 ? ? - Acos +cos Asin = × + 3× 4 4 3 2 ? 2 ? 4- 2 = . 6 本例所有条件不变,试求 2 2 ? 1? 4 2 ? ? 解: 由例题(2)知 sin 2A=2sin Acos A=2× × -3 =- , 3 9 ? ? 1 8 7 cos 2A=cos A-sin A= - =- . 9 9 9 2 2 ? π? cos?2A-6 ?的值. ? ? 所以 ? π? cos?2A-6 ?=cos ? ? π π 2Acos +sin 2Asin 6 6 7 3 ? 4 2? 1 ?× =- × +?- 9 2 ? 9 ? 2 7 3+4 2 7 3 4 2 =- - =- . 18 18 18 对于条件是边角关系混合在一起的等式,一般地,应运用正弦 定理和余弦定理,要么把它统一为边的关系,要么把它统一为 角的关系,再利用三角形的有关知识,三角恒等变形、代数恒 等变形等方法进行转化、化简,从而得出结论. 2.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin 2B+C 7 -cos 2A= . 2 2 (1)求 A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b 和 c 的值. 解:(1)由 4sin 2B+C 7 -cos 2A= 及 A+B+C=180°, 2 2 2 7 得 2[1-cos(B+C)]-2cos A+1= , 2 4(1+cos A)-4cos2A=5, 即 4cos2A-4cos A+1=0, 1 所以(2cos A-1) =0,解得 cos A= . 2 2 因为 0°<A<180°,所以 A=60°. b2+c2-a2 (2)由余弦定理,得 cos A= . 2bc b2+c2-a2 1 1 因为 cos A= ,所以 = , 2 2bc 2 化简并整理,得(b+c)2-a2=3bc, 将 a= 3,b+c=3 代入上式,得 bc=2. ? ? ?b+c=3, ?b=1, ? ?b=2, 则由? 解得? 或? ? ? ? ?bc=2, ?c=2 ?c=1. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,cos 3 → → B= ,a=7 且AB· BC=-21,求角 C. 5 【解】 → → 因为AB· BC=-21. → → 所以BA· BC=21. → → → → 所以BA· BC=|BA|· |BC|· cos B=accos B=21. 所以 ac=35,又因为 a=7,所以 c=5, 3 4 因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B=32, c b 所以 b=4 2.由正弦定理 = , sin C sin B c 5 4 2 得 sin C=bsin B= × = . 4 2 5 2 因为 c<b 且 B 为锐角,所以 C 一定是锐角.所以 C=45°. 该题是向量与正、余弦定理的综合题,解题的关键