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解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的


一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

必修五、第一章:解三角形 知识点
( R为三角形外接圆半径)

() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式)
(2) sin A ? a b c ,sin B ? ,sin C ? (角化边公式) 2R 2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C (4) a sin A a sin A b sin B ? , ? , ? b sin B c sin C c sin C

2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边 (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知 a,b 和 A,求 B 时的解的情况: 如果 sinA≥sinB,则 B 有唯一解;如果 sinA<sinB<1,则 B 有两解; 如果 sinB=1,则 B 有唯一解;如果 sinB>1,则 B 无解. 3、余弦定理及其推论
b2 ? c2 ? a 2 2bc 2 a ? c2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c2 cos C ? 2ab cos A ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边。 5、常用的三角形面积公式

1 ? 底?高 ; 2 1 1 1 (2) S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边夹一角) ; 2 2 2 6、三角形中常用结论

(1) S ?ABC ?

(1) a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2) 在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B(即大边对大角,大角对大边) ( 3 ) 在 △ ABC 中 , A+B+C= π , 所 以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= - cosC ; tan(A+B)= - tanC 。 A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2
1

二、典型例题
题型 1 边角互化 [例 1 ]在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,则角 C 的度数为 【解析】 由正弦定理可得 a:b:c=3:5:7, ,令 a、 b、 c 依次为 3、 5、 7, 则 cosC=
2 因为 0 ? C ? ? ,所以 C= ? 3 1 a 2 ? b 2 ? c 2 32 ? 52 ? 7 2 = =? 2 2 ? 3? 5 2ab

题型 2 三角形解的个数 [例 2]在 ?ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【 A、 a ? 7 , b ? 14 , A ? 30? ; C、 b ? 4 , c ? 5 , B ? 30? ;



B、 b ? 25 , c ? 30 , C ? 150 ? ; D、 a ? 6 , b ? 3 , B ? 60? 。

2、已知 a=5,b= 5 3 , A ? 30? ,解三角形。 题型 3 判断三角形形状 1、在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,且 sin A ? 2 sin B cos C ,则 ?ABC 是 A、等边三角形 C、直角三角形 B、钝角三角形 D、等腰直角三角形

【点拨】判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通 过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状; (角化边) 二是应用正弦定理、 余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三 角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。 (边化角) a cos B 2、在 ?ABC 中,已知 a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,若 ? ,试确定 ?ABC 形状。 b cos A

练习 1、在 ?ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=33, sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD。 13 5

练习 2、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 (1)求
sin C ; sin A

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b

1 (2)若 cos B ? , b ? 2, 求 ?ABC 的面积。 4

2

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