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新人教版高一数学必修一1.2函数及其表示


1.2 函数及其表示
一、函数的概念 设集合 A、B 是非空的数集,对于 A 中的任意一个数 x ,按照确定的对应法则 f ,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 与它对应,则这种对应关系 f : A ? B 叫做集合 A 到集 合 B 的一个函数,记作: y ? f ( x), x ? A 其中, x 叫做自变量, x 的取值范围:数集 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合 y ? f ( x) x ? A 叫做函数的值 域。 函数 y ? f ( x) 也常写作函数 f 或函数 f ( x) 二、函数的三种表示法 (1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,如 y ? 2 x ? 6 . 优点:全面,简明,具体,可求函数值。 缺点:不够直观 (2)图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观、形象; 缺点:只能近似的求,有时误差比较大. (3)列表法:列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系. 优点:不需要计算; 缺点:较少的,有限的列出函数值. 三、同一函数: 如果两个函数的定义域相同, 并且对应法则完全一致, 我们就称这两个函数是同一个函 数. 四、区间的概念: (其中, “ ? ? ”读作“正无穷大” , “ ? ? ”读作“负无穷大” )

?

?

注: (1)函数的三要素中,定义域与对应法则确定一个函数,两个函数如果对应法则相 同,但定义域不同,则表示不同的函数,对应法则不一定能用解析式表示,一般都研究可以 用较简单的解析式表示出来的函数; (2) 表格中的最后一种情况中正、 负无穷一侧为开区间, 实数集 R 可以用区间 ( ? ?,?? ) 表示; (3)在直角坐标系下,记号(2,3)可以用来表示区间,也可以用来表示一个点,要根 据情况区分清楚; 五、分段函数

六、复合函数 函数 y ? f (u ) , u ? g ( x) , u ?[m, n] , x ? [a, b] ,那么称 y ? f [ g ( x)], x ?[a, b] 为

f 与 g 的复合函数.其中, y ? f (u ) 叫做外层函数,中间变量 u ? g ( x) 叫做内层函数
【注意】 (1)函数符号 f ( x) , f [ g ( x)] 与 g[ f ( x)] 的区别

(2)复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域以及函数的定义域共同决 定的. 【经典精讲】 考点 1 对符号 f ( x), f (a) 及 f [ g ( x)] 与 g[ f ( x)] 的理解 【例 1】 判断以下是否是函数: (1)

x
y

1 3
2

2 4

3 5

4 6

5 7

6 8

(2) y ? 4x ? 5 ; (3) y ? ? x ; (4) y ?

2 2 ( 5) x ? y ? 9 x ?3 ? 2? x ;

【例 2】如图所示,能表示 y 是 x 的函数的是_________

【例 3】函数 f ( x) 由下表确定: x f (x) 则下列函数 ① x ? 1 ;② 2 x ? 1 ;③ x ? 2 ;④
2

1 3

2 5

3 7

4 9

3 中能作为函数表达式的是__________ x

【例 4】 (1)已知函数 f ( x) ?

x?

2 x
; f (4) ? .

①函数的定义域为_____________________; ② f (1) ? ③当 a ? 0 时, f (a ) ? (2)已知函数 f ( x), g ( x) 分别由下表给出

; f (a ? 1) ? _______________.

则 f [ g (1)] 的值为

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值为

.

1? x2 ( x ? 0) ,则 f (0) 等于( (3)已知 u ? g ( x) ? 1 ? 2 x, f (u ) ? x2
A.1 B.3 C.15 D.30



(4)函 数 f ( x) 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ( x ? 2) ?

1 , 若 f (1) ? ?5 , 则 f ( x)

f ( f (5)) ? __________.
考点 2 函数的定义域 【例 3】 (1)求下列函数的定义域 ① y ? x?

3 x ; ②y? ; x?2 x ?1

③y?

x?2 ; ④ f ( x) ? 1 ? 2x ? 3x ?1 ; x ?1

⑤ f ( x) ?

1 ? ( x ? 3)0 ; x?2

⑥ f ( x) ?

x2 ? x ? 2 .

(2)下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1, y ?



x x

B. y ?

x ? 1 ? x ? 1,y ? x 2 ? 1

C. y ? x, y ? 3 x 3 【易错题】

D. y ? x , y ? ( x ) 2

(1)已知 f ( x) 的定义域为[-1,2), 则 f ( x ) 的定义域为( A.[-1,2) B.[-1,1] C.(-2,2)

) D.[-2,2)

(2)若 f ( x) 的定义域为(1,3],求 f ( x ? 2) 的定义域;

(3)若 f ( x ? 2) 的定义域是(1,3],求 f ( x) 的定义域.

考点 3 函数的值域 【例 4】求下列函数的值域 (1) y ? ?2 x ? 1, x ?[?1,3] ; (2) y ?

2x ? 3 x ?1

考点 4

分段函数求值问题

【例 5】 (1) f ( x) ? ?

? x ? 1, ( x ? 0) , 则 f (?2) ? _________. ? f ( x ? 2), ( x ? 0)

? x ? 2 ( x ? ?1) ? 2 (2)已知函数 f ( x) ? ? x (?1 ? x ? 2) ,①求 f (? ) ; ②若 f (a) ? 3 ,求 a ?2 x ( x ? 2) ?

考点 5 求函数解析式 方法 1 待定系数法 【例 6】 f ( x) 是一次函数, f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x)

f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,求 f ( x) 【例 7】 f ( x) 是二次函数,且 f (0) ? 2,

方法 2 换元法 【例 8】 f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? x ? 1 ,求 f ( x)

方法 3 配凑法 【例 9】 (1) f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 ,求 f ( x) . x2

(2) f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 ,求 f ( x) x2

方法 4 构建方程组 【例 10】

f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x)

【练习】求下列函数解析式 (1)已知 f ( x) ? x 2 ? 1 ,求 f (2 x ? 1) ; (2)已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? x ,求 f ( x) ; (3)已知 f ( x ) ? 3x ? 2 x ,求 f ( x) ; (4)已知 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x ,求 f ( x) .

1 x

1.2.2 映射与函数
1、映射的概念: 一般地,设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中 的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应关系 f :

A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.
映射 f 也可记为:

f : A? B x ? f ( x)

此时,称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象,记作 f ( x) , x 称作 y 的原象. 2、一一映射;如果 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任一元素,在集合 A 中都有且只有一个原象, 这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系, 并称这个 映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射. 问:下列对应中有几个是映射?

a1 a2 a3

b1 b2 b3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

a1

b1
a2

b2
a3

【经典精讲】

1,2? ,写出集合 A 到集合 B 的所有映射. 【例 1】设集合 A= ?a, b, c?,B= ?

【例 2】 (1)已知集合 A 到 B 的映射 f : x ? y ? 2 x ? 1 ,那么集合 A 中元素 2 在 B 中的象 是( ) A.2

B.5

C.6

D.8 ).

(2)已知 A= ?a1 , a2 , a3 ?,B= ?b1 , b2 ?,则从 A 到 B 的不同映射共有( A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 变式:已知 A= ?a1 , a2 ?,B= ? b1, b2 , b3 ?,则从 A 到 B 的不同映射共有( A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个



【例 3】设 M= ?a, b, c?,N= ?? 3,0,3?,若从 M 到 N 的映射 f 满足: f (a) ? f (b) ? f (c) ,求 这样的映射 f 的个数.


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