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河北省石家庄市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷(扫描版)


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2015 年高一第二学期期末 一、选择题
题号 1 D 2 C 3 B 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 C 10 D 11 B 12 普通 选项 B 12 示范 C

二、填空题: (13). y ? ?2 x 或 y ? - x - 1 (15) . 10? 三、解答题
4 ? ?a1 q ? a1 ? 15 (17)解:设数列公比为 q ,显然 q ? 1 ,有题意知: ? 3 ? ?a1 q ? a1 q ? 6

(14).

32

(16) 【普通】 : 等腰或直角三角形 【示范】 : 6 ?1

解之得 q ? 2 或 q ?

1 2
a3 ? a1 q 2 ? 4 a3 ? a1 q 2 ? ?4

………… 2 分 ………… 4 分 ………… 6 分

当 q ? 2 时,得 a1 ? 1 当q ?

1 时,得 a1 ? ?16 2

当 q ? 2 时, S 5 ?

a1 (1 ? q n ) ? 31 1? q

………… 8 分

当q ?

1 时, S 5 ? ?31 2

………… 10 分

(18) (Ⅰ)证明:在 ?DAD1 中,因为 G、F 分别是边 DA、 DD1 的中点, 所以 FG // D1 A 故 FG // 面 AD1 E 在该长方体中,又因为 E 是 BB1 中点, 所以 D1 F / / EB 且 D1 F ? EB 所以四边形 D1 FBE 为平行四边形 所以 BF / / D1 E 又 BF ? 面 AD1 E 故 BF // 面 AD1 E ………… 4 分 又 FG ? 面 AD1 E ………… 2 分

又因为 FG、BF 为两条相交线

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所以平面 AD1 E / / 平面 BGF

………… 6 分

(Ⅱ)证明:在该长方体中,有直角 Rt ?ADD1 则 AD12 ? AD 2 ? DD12 ? 1 ? 22 ? 5 在 Rt ?ABE 中, AE ? AB ? BE ? 1 ? 1 ? 2
2 2 2

侧棱 BB1 ? 面 ?A1 B1C1 D1

连接 D1 B1 ,

D1 B1 ? 面 A1 B1C1 D1

所以 BB1 ? D1 B1 ( D1 B12 ? A1 D 21 ? A1 B12 ? 2 ) 在 Rt ?D1 B1 E 中, D1 E 2 ? D1 B12 ? B1 E 2 ? 2 ? 1 ? 3 由上述关系知: AD12 ? AE 2 ? D1 E 2 所以 ?AED1 为直角三角形,所以 D1 E ? AE 同理可证 D1 E ? CE 又 AE 与 CE 相交于 E 所以 D1 E ? 平面 AEC (19) (Ⅰ)解:因为 cos A ? ………… 12 分 ………… 8 分 ………… 10 分

3 (0 ? A ? ? ) 5 4 5
………… 2 分

所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 由正弦定理:

a b ? sin A sin B

a ? 1, B ? 60 o

………… 4 分

解得: b ? (Ⅱ)三角形面积公式

5 3 8

………… 6 分

S?

1 bc sin A ? 4 2
………… 8 分

解得: 10

由余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A = (b ? c) ? 2bc ? 2bc cos A
2

………… 10 分

解得: b ? c ? 33 (20) (Ⅰ)解:当 a ? 0 ,

………… 12 分

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联立直线 l1 和 l 2 : ?

?2 x ? y ? 0 ?? 2 y ? 1 ? 0

解得交点 M (?

1 1 , ) 4 2

联立直线 l1 和 l 3 : ?

?2 x ? y ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ?? 2 y ? 1 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0

解得交点 N (2,?4)

联立直线 l 2 和 l 3 : ?

解得交点 P (?

5 1 , ) 2 2

………… 3 分

显然,直线 PM 平行 x 轴, PM ? ?

1 5 9 ? (? ) ? 4 2 4

………… 4 分

点 N 到直线 PM 的距离为

1 9 ? (?4) ? ………… 5 分 2 2
1 9 9 81 ? ? ? 2 4 2 16
…………6 分

故所求封闭图形为 ?PMN , 面积为: S ?

(Ⅱ)有已知得直线 l1 、 l 2 、 l 3 的斜率分别为: k1 ? ?2 当 l1 // l 2 时,由 k1 ? k 2 当 l 3 // l 2 时,由 k 3 ? k 2 得 a ? ?4 得 a ? ?2

k2 ?

a 2

k 3 ? ?1

显然直线 l1 和 l 3 不平行………8 分 当三条直线相交于一点时: 联立直线 l1 和 l 3 : ?

?2 x ? y ? a ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0

解得交点坐标 (2 ? a, a ? 4) ,代入 l 2 :

a (2 ? a) ? 2(a ? 4) ? 1 ? 0
解得: a ? ?3 ………… 10 分 综上所述,当三条直线构成三角形时: a 为实数且 a ? ?3 且 a ? ?4 且 a ? ?2 …… 12 分 (21)解: (Ⅰ)由题意: a1 ? ( x ? 1) 2 ? 4( x ? 1) ? 2

a2 ? 0

a3 ? ( x ? 1) 2 ? 4( x ? 1) ? 2
因为数列 ?an ? 为等差数列,所以有: a1 ? a3 ? 2a2 …………2 分 即 ( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 2 ? ( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 2 ? 0
2 2

解得: x1 ? 1, x2 ? 3 …………4 分
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当 x ? 1 时, a1 ? ?2 (舍,因为数列 ?an ? 为递减数列) 所以 x ? 3 此时解得: a1 ? 2, a3 ? ?2 ………… 6 分

(Ⅱ)由上问得:数列 ?an ? 的公差 d ? ?2 ,所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 4 ? 2n 设所求数列前 n 项和为 S ,则

1 1 1 S ? 2 ? ? 0 ? 2 ? ? (4 ? 2n) n 2 2 2 1 1 1 1 1 S ? 2 ? 2 ? 0 ? 3 ? ? (6 ? 2n) n ? (4 ? 2n) ? n ?1 ………… 8 分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 两式做差: S ? 1 ? 2( 2 ? 3 ? ? n ) ? (4 ? 2n) ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? ( ) n ?1 ) 1 1 2 S ? 1 ? 2( 4 ) ? (4 ? 2n) ? n ?1 ………… 10 分 1 2 2 1? 2 n 化简得: S ? n ?1 ………… 12 分 2
(22) 解: (Ⅰ)二次函数 f ( x) 图像的对称轴为: x ? 2 二次项系数大于零,函数图像开口向上, 故

f ( x) 在 [2, ??) 上为增函数,………… 2 分

? f (2) ? 2 有题意得: ? ? f ( m) ? m
解得: n ? 5

3 ? 2 ? ? 22 ? 3 ? 2 ? n ? ? 4 即: ? ?m ? 3 m 2 ? 3m ? n(m ? 2) ? ? 4

10 或 m ? 2 (因为 m ? 2 ,故舍去) ………… 4 分 3 10 所以, n ? 5 m ? ………… 6 分 3 3 (Ⅱ)由题意知,关于 x 的不等式 x 2 ? 3 x ? 4 ? a 对于一切 x ? R 恒成立,…8 分 4 3 从而关于 x 的不等式 x 2 ? 3 x ? 4 ? b 的解集为 [a, b] ,于是, a, b 是关于 x 的一元 4 3 2 二次方程 x ? 3 x ? 4 ? b 的两个实根,据二次方程根与系数关系式得: 4 m?

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?3 ? a ? b ? ? ? 3 ? ? 4 关于 x 的不等式 ? ?ab ? 4 ? b 3 ? ? ? 4

( a ? b)

………… 10 分

?a ? 0 解之,得 ? ?b ? 4
所以, a ? 0, b ? 4

8 ? a? ? ? 3 或? (因为 a ? b ,故舍去) 4 ?b ? ? 3 ?
………… 12 分

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