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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的简单性质(2)自我小测苏教版必修1-含答案

2.2 函数的简单性质 自我小测 1.对于定义在 R 上的任意奇函数 f(x),下列式子中恒成立的序号是________. (1)f(x) - f( - x)≥0; (2)f(x) - f( - x)≤0; (3)f(x)·f( - x)≤0; (4)f(x)·f( - x)≥0;(5)f(x)+f(-x)=0;(6) 2 f ( x) ? ?1 . f (? x) 2. 已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数, 其定义域是[a-1,2a], 则 a=________, b=________. 3.已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)=________. 4.已知奇函数 f(x)在 x<0 时,函数解析式为 f(x)=x(x-1),则当 x>0 时,函数解 析式 f(x)=______________. 5.若 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是单调减函数,且 f(2)=0,则使得 5 3 f(x)<0 的 x 的取值范围是______. 6.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x-2)=-f(x),给出下列 4 个结论:①f(2) =0;②f(x)=f(x+4);③f(x)的图象关于直线 x=0 对称;④f(x+2)=f(-x),其中所有 正确结论的序号是______. 7.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? (4) f ( x ) ? x ? 2 3 2 ? x x 4 ? x3 ? x ? 3 x ? 1, x ? 0, f ( x ) ? ; (2) f ( x) ? ; (3) ; ? 3 2 1 ? x2 x ?1 x ? 3 x ? 1, x ? 0. ? ? a (a∈R). x 8.设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x;当 x>2 时,y=f(x)的图象 是顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在直角坐标系中画出函数 f(x)的图象; (3)写出函数 f(x)的值域. 1 参考答案 千里之行 1.(3)(5) 解析:由奇函数的定义知,f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=f(x)·[- f(x)]=-[f(x)]2≤0, 且 f(x)+f(-x)=0, ∴(3)(5)正确, (1)(2)(4)错, (6)当 f(-x)≠0 时成立,故不恒成立. 2. 1 3 0 解析:∵函数具有奇偶性时,定义域必须关于原点对称,故 a-1=-2a,∴ 1 a ? ,又对于 f(x)有 f(-x)=f(x)恒成立,∴b=0. 3 3.-26 解析:方法一:令 g(x)=x +ax +bx,则 g(x)是奇函数.∴f(-2)=g(-2) -8=-g(2)-8=10,∴g(2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 方法二:∵f(-x)+f(x)=(-x) +a(-x) +b(-x)-8+x +ax +bx-8=-16,∴ 5 3 5 3 5 3 f(-2)+f(2)=-16,又 f(-2)=10,∴f(2)=-16-f(-2)=-16-10=-26. 4.-x(x+1) 解析:设 x>0 时,则-x<0,由条件,得 f(-x)=-x(-x-1)∵函 数为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x(-x-1),∴f(x)=-x(x+1)(x>0). 5.(-2,2) 解析:方法一:f(2)=0,f(-2)=0,f(x)在(-∞,0]上单调递减,又 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,当 x∈(-2,0]时,f(x)<f(-2)=0, 当 x∈[0,2)时,f(x)<f(2)=0,∴使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-2,2). 方法二:∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是单调减函数,∴f(x)在[0,+∞)上是单 调增函数, ∵f(2)=0, ∴f(-2)=f(2)=0, 由单调性易知使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(- 2,2),借助图形更直观,如图. 6.①②④ 解析:由题意,知 f(0)=-f(2),∴f(2)=-f(0),又 f(x)是 R 上的奇函 数,∴f(0)=0,∴f(2)=0,故①正确;∵f(x)=-f(x+2)=f(x+4),∴②正确;∵f(x) 2 为奇函数,∴图象关于原点对称,③不正确;∵f(-x)=-f(x)=f(x+2),∴④正确. 7.解:(1) f ( x) ? x 4 ? x3 ? x3 ,但 f(x)的定义域为{x|x≠1},关于原点不对称,故 x ?1 此函数是非奇非偶函数. (2)f(x)的定义域为 R, ∵对任意的 x∈R, 都有 f ( ? x) ? ∴函数 f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x) +3(-x) -1=-x +3x -1=-(x -3x +1) =-f(x).当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=(-x) -3(-x) +1=-x -3x +1=-(x + 3x -1)=-f(x)∴对定义域内的任意 x,都有 f(-x)=-f(x)∴函数 f(x)为奇函数. (4)当 a=0 时, f(x)=x , 对任意 x∈(-∞, 0)∪(0, +∞), f(-x)=(-x) =x =f(x), ∴函数 f(x)为偶函数.当 a≠0 时, f ( x ) ? x ? 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 ??x? 2 1? ??x? ?? x ? ? f ( x) , 1 ? x2 a (a≠0,x≠0),取 x=±1,得 f(-1) x +f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,∴f(-1)≠-f

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