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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的简单性质1自我小测苏教版必修120171016245-含答案

2.2 函数的简单性质 自我小测 1.下列函数为单调增函数的序号是________. ① f ( x) ? 2 1 (x>0);② f ( x) ? ? x ;③ f ( x ) ? ? x ? ;④ f ( x) ? 1 ? x . x x 2 2.函数 y=x -3x+2 的单调减区间是________,最小值是________. 3.下列命题正确的序号是________. ①定义在(a, b)上的函数 f(x), 若存在 x1, x2∈(a, b), 使得 x1<x2 时, 有 f(x1)<f(x2), 则 f(x)在(a,b)上递增. ②定义在(a,b)上的函数 f(x),若有无穷多对 x1,x2∈(a,b),使得 x1<x2 时,有 f(x1) <f(x2),则 f(x)在(a,b)上递增. ③若 f(x)在区间 I1 上是单调增函数,在区间 I2 上也是单调增函数,则 f(x)在 I1∪I2 上 也一定是单调增函数. ④若 f(x)在区间 I 上单调递增,g(x)在区间 I 上单调递减,则 f(x)-g(x)在区间 I 上 单调递增. 4.已知函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图: 则函数 y=f(x)的单调增区间是________;函数 y=g(x)的单调减区间是________. 5.小军遇到这样一道题目:写出满足在(-∞,0)上递减,在[0,+∞)上递增,且有 最小值为 2 的两个函数.请你帮小军写出满足条件的两个函数表达式: ________________________________. 6.有下列四个命题: 2 ①函数 y=2x +x+1 在(0,+∞)上不是单调增函数;②函数 y ? 1 在(-∞,-1) x ?1 1 ∪(-1,+∞)上是单调减函数;③函数 y ? 2x ?1 的单调增区间是(-∞,+∞);④已知 f(x)在 R 上为单调增函数,若 a+b>0,则有 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b). 其中正确命题的序号是________. 7.已知函数 f(x)=x +2(1-2a)x+6 在(-∞,-1)上是单调减函数. (1)求 f(2)的取值范围; (2)比较 f(2a-1)与 f(0)的大小. 8.已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值与最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 2 2 已知函数 y ? 2 ,问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值?若存在,请 x ?1 求之,若不存在,请说明理由. 2 参考答案 千里之行 1.④ 解析: f ( x) ? 调减函数, f ( x ) ? ? x ? 上为单调增函数. 2 在(0,+∞)上是单调减函数 f ( x) ? ? x 在[0,+∞)上是单 x 1 .在(0,+∞)上也是单调减函数, f ( x) ? 1 ? x 在[0,+∞) x 3 ,且开口向上,所以单调减区间为 2 3 3 1 1 3 1 (??, ) . y ? x 2 ? 3x ? 2 ? ( x ? ) 2 ? ? ? ,∴当 x ? 时, y ? ? .所以函数的最小 2 2 4 4 2 4 1 值为 ymin ? ? . 4 2 . (??, ) 3 2 ? 1 4 解析:函数的对称轴为 3.④ 解析:由单调增函数的定义,知 x1,x2 必须是区间(a,b)上的任意两个值且 x1 <x2,所以“存在”,“有无穷多对”都不对,因此①②错;③反例 f ( x ) ? ? 1 在(-∞, x 0)上是单调增函数,在(0,+∞)上也是单调增函数,但不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上 是单调增函数,故③错; 对④设 x1,x2∈I, 且 x1<x2,则 f(x1)<f(x2),g(x1)>g(x2),∴-g(x2)>-g(x1),∴ f(x2)-g(x2)>f(x1)-g(x1),故 f(x)-g(x)在 I 上单调递增,∴④正确. 4.(-∞,-2],[0,+∞) 2 (-∞,0],(0,+∞) 2 5.y=x +2 或 y=|x|+2 解析:这是一个开放性题,答案不惟一,可以是 y=ax +2, y=a|x|+2(a>0). 6.④ 解析:①因为函数在 (? 增函数,故①错.②函数 y ? 1 , ??) 上为单调增函数,所以在(0,+∞)上也是单调 4 1 在区间(-∞,-1)和(-1,+∞)上各自是单调减函数, x ?1 但不能说函数在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上为单调减函数,因为当取 x1=-2,x2=0 时, x1<x2,但 f ( x1) ? 1 1 ? ?1 , f ( x2 ) ? ? 1 ,f(x1)<f(x2),显然不满足单调减函数 ?2 ? 1 0 ?1 定义,所以要把这两个区间分开写,不能取并集写成一个区间.③∵函数 y ? 2x ?1 的定 义域是 [ , ??) , 故③错.④∵f(x)在 R 上为单调增函数,又 a+b>0,∴有 a>-b,或 b >-a,则有 f(a)>f(-b),或 f(b)>f(-a).两式相加得 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b), 故④正确. 3 1 2 7.解:(1)∵二次函数 f(x)=x +2(1-2a)x+6 的图象的对称轴为 x=2a-1,且开口 向上,∴此函数在区间(-∞,2a-1]上是单调减函数.若使 f(x)在(-∞,-1)上为单调 减函数,其对称轴 x=2a-1 必须在 x=-1 的右侧或与其重合,即-1≤2a-1,∴a≥0.∴ 2 f(2)=22+2(1-2a)×2+6=-8a+14≤14,即 f(2)∈(-∞,14]. (2)∵当 x=2a-1 时,二次函数 f(x)取得最小值, ∴f(2a-1)≤f(0). 8.解:(1)当 a=-1 时

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