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2015届石家庄市高三数学(文科)一模试题与参考答案


2015 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试 高三数学(文科 A 卷答案) 一、 选择题(A 卷) 1-5CCBBA 一、 选择题(B 卷) 1-5DDBBA 二、 填空题 13
15

6-10

DBBAC

11-12

CD

6-10

CBBAD

11-12

DC

3

14 16

24

? 0,1?

??1, 2?

三、 解答题
17. (本小题满分 12 分) 解: (1)解法 1∵ an?1 ? ? Sn ? 1(n ? N ),
?

∴ an ? ? Sn?1 ? 1 (n ? 2) ∴ an?1 ? an ? ?an ,即 an?1 ? (? ? 1)an (n ? 2), ? ? 1 ? 0 , 又 a1 ? 1, a2 ? ? S1 ? 1 ? ? ? 1, ∴数列 ?an ? 为以 1 为首项,公比为 ? ? 1 的等比数列,…………………………………2 分 ∴ a3 ? (? ? 1) ,
2
2 2 ∴ 4(? ? 1) ? 1 ? (? ? 1) ? 3 ,整理得 ? ? 2? ? 1 ? 0 ,得 ? ? 1 ……………………4 分

∴ an ? 2

n ?1

, bn ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ………………………………………………6 分
?

解法 2:∵ a1 ? 1, an?1 ? ? Sn ? 1(n ? N ),

∴ a2 ? ? S1 ? 1 ? ? ? 1, a3 ? ? S2 ? 1 ? ? (1 ? ? ? 1) ? 1 ? ? ? 2? ? 1,
2
2 2 ∴ 4(? ? 1) ? 1 ? ? ? 2? ? 1 ? 3 ,整理得 ? ? 2? ? 1 ? 0 ,得 ? ? 1 ………………………2 分

∴ an?1 ? Sn ? 1(n ? N ), ∴ an ? Sn?1 ? 1 (n ? 2) ∴ an?1 ? an ? an ,即 an?1 ? 2an (n ? 2) , 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ∴数列 ?an ? 为以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,………………………………………4 分 ∴ an ? 2
n ?1

?



bn ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 ………………………………………………………………………6 分
(2) anbn ? (3n ? 2) 2
1 n?1

∴ Tn ? 1?1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 2 ?
2

? (3n ? 2) ? 2n?1 ………………………① ? (3n ? 5) ? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n ………②…………8 分 ? 3 ? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n

∴ 2Tn ?

1? 21 ? 4 ? 22 ? 7 ? 23 ?
1 2

① —②得 ?Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?

? 1? 3?

2 ? (1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 2) ? 2n …………………………………10 分 1? 2
n

整理得: Tn ? (3n ? 5) ? 2 ? 5 …………………………………………………………12 分 18. 解: (1)当日需求量 n ? 10 时, 利润为 y ? 50 ?10 ? (n ? 10) ? 30 ? 30n ? 200 ; ………2 分 …………4 分

当日需求量 n ? 10 时,利润为 y ? 50 ? n ? (10 ? n) ?10 ? 60n ? 100 所以,关于 y 日需求量 n 函数关系式为:

?30n ? 200,(n ? 10, n ? N ) . y?? ?60n ? 100,(n ? 10, n ? N )

………6 分

(2)50 天内有 9 天获得的利润 380 元,有 11 天获得的利润为 440,有 15 天获得利润为 500, 有 10 天获得的利润为 530,有 5 天获得的利润为 560.……………8 分 ②若利润在区间 [400,550] 时,日需求量为 9 件、10 件、11 件该商品,其对应的频数分别为 11 天、15 天、10 天.…………10 分 则利润区间 [400,550] 的概率为:

p?

11 ? 15 ? 10 36 18 ? ? . 50 50 25

…………12 分

19.

P D F O C G B E A

(1)证明一 连接 AC,BD 交于点 F ,在平面 PCA 中做 EF ∥ PC 交 PA 于 E , 因为 PC ? 平面 BDE , EF
? 平面 BDE

PC ∥平面 BDE ,---------------2

AF AD 1 ? ? , FC BC 2 AE AF ? , 因为 EF ∥ PC , 所以 EP FC

因为AD ∥ BC, 所以

此时, 证明二

AE AF AD 1 ? ? ? .-------------4 EP FC BC 2

在棱 PA 上取点 E ,使得 连接 AC,BD 交于点 F ,

AE 1 ? ,------------2 EP 2

因为AD ∥ BC,
AF AD 1 ? ? , FC BC 2 AE AF 所以 ? , EP FC 所以
所以, EF ∥ PC 因为 PC ? 平面 BDE , EF
? 平面 BDE

所以 PC ∥平面 BDE -------------4 (2)证明一 取 BC 的中点 G ,连结 DG ,则 ABGD 为正方形. 连接 AG, BD 交于点 O ,连接 PO ,

AP ? AD ? AB, ?PAB ? ?PAD ? 600 ,

所以?PAB和?PAD都是等边三角形, 因此PA ? PB ? PD, 又因为OD ? OB, 所以?POB ? ?POD, 得到?POB ? ?POD ? 900, 同理得?POA ? ?POB, ?POA ? 900, 所以PO ? 平面ABC.
-------------7 所以 PO ? CD -------------8

?ABC ? ?BAD ? 900 , BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2,

可得BD ? 2,CD ? 2, 所以BD 2 ? CD 2 ? BC 2
所以 BD ? CD ,-------------10 所以, CD ? 平面 PBD .-------------12 证明二 取 BC 的中点 G ,连结 DG ,则 ABGD 为正方形.

过 P 作 PO ⊥平面 ABCD ,垂足为 O . 连结 OA, OB, OD, OG .

AP ? AD ? AB, ?PAB ? ?PAD ? 600 ,
所以 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形,因此 PA ? PB ? PD , 所以 OA ? OB ? OD , 即点 O 为正方形 ABGD 对角线的交点, -------------7 所以 PO ? 平面PBD. -------------8

?ABC ? ?BAD ? 900 , BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2,
所以 BD ? CD ,-------------10 又因为 PO ? CD -------------11 所以, CD ? 平面 PBD .-------------12 证明三

可证明AG平行于CD,AG ? 平面PBD.
20 解: (1)由题意可知圆心到 (1, 0) 的距离等于到直线 x ? ?1 的距离, 由抛物线的定义可知,圆心的轨迹方程: y 2 ? 4 x .----------(4 分) (2)解法一
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由题意,可设 l 的方程为 y=x-m,其中 0<m<5

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由方程组 ?

?y ? x ? m
2 ? y ? 4x

,消去 y,得 x2-(2m+4)x+m2=0



当 0<m<5 是,方程①的判别式Δ =(2m+4)2-4m2=16(1+m)>0 成立. 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4+2m,x1·x2=m2, ----------(6 分) ∴|MN|= 1 ? k
2

x1 ? x2 = 4 2 ? 2m
5?m 2
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又因为点 A 到直线 l 的距离为 d=

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∴S△= 2(5 ? m) 1 ? m ? 2 m3 ? 9m2 ? 15m ? 25 .----------(9分) 令 f (m) ? m ? 9m ? 15m ? 25,(0 ? m ? 5) ,
3 2

f '(m) ? 3m2 ?18m ? 15 ? 3(m ?1)(m ? 5),(0 ? m ? 5)
所以函数 f ( m) 在(0,1)上单调递增,在(1,5)上单调递减. 当 m=1 时, f ( m) 有最大值 32,.----------(11分) 故当直线 l 的方程为 y=x-1 时,△AMN 的最大面积为 8 2 解法二
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.---------- (12 分)
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由题意,可设 l 与 x 轴相交于 B(m,0), l 的方程为 x = y +m,其中 0<m<5

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由方程组 ?

?x ? y ? m ? y ? 4x
2

,消去 x,得 y 2-4 y -4m=0



∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(-4)2+16m=16(1+m)>0 必成立, 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4,y 1·y 2=-4m. .---------- (6 分) ∴S△=

1 1 (5 ? m) | y1 ? y2 |? (5 ? m) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2

= 2(5 ? m) 1 ? m ? 2 m3 ? 9m2 ? 15m ? 25 .----------(9分) 令 f (m) ? m3 ? 9m2 ? 15m ? 25,(0 ? m ? 5) ,

f '(m) ? 3m2 ?18m ? 15 ? 3(m ?1)(m ? 5),(0 ? m ? 5)
所以函数 f ( m) 在(0,1)上单调递增,在(1,5)上单调递减. 当 m=1 时, f ( m) 有最大值 32,.----------(11分) 故当直线 l 的方程为 y=x-1 时,△AMN 的最大面积为 8 2 21. (1)解析:函数 f ( x) ? 2 ? a+1? ln x ? a ln x 的定义域为 (0, ??) .----------(12 分)

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f ?( x) ?

2 ? a+1? x

?a ?

?ax ? 2 ? a+1? x

令 m( x) ? ?ax ? 2 ? a+1? ,

因为函数 y ? f ( x) 在定义域内为单调函数,说明 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 恒成

立,……………2 分 即 m( x) ? ?ax ? 2 ? a+1? 的符号大于等于零或小于等于零恒成立, 当 a ? 0 时, m( x) ? 2 ? 0 , f ?( x) ? 0 , y ? f ( x) 在定义域内为单调增函数; 当 a ? 0 时, m( x) ? ?ax ? 2 ? a+1? 为减函数, 只需 m(0) ? 2 ? a+1? ? 0 ,即 a ? ?1 ,不符合要求; 当 a ? 0 时, m( x) ? ?ax ? 2 ? a+1? 为增函数, 只需 m(0) ? 2 ? a+1? ? 0 即可,即 a ? ?1 ,解得 ?1 ? a ? 0 , 此时 y ? f ( x) 在定义域内为单调增函数;……………5 分 综上所述 a ? [?1,0] ………………6 分 (2) g ( x) ?

1 2 1 1 x ? x ? ( x ? 1) 2 ? 在区间 (1, ??) 单调递增, 2 2 2

不妨设 x1 则

? x2 ? 1 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? g ( x2 )

等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?( g ( x1 ) ? g ( x2 )) 等价于 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 )+g ( x2 ) 设 n( x) ? f ( x)+g ( x) ? 则 n?( x) ? x ? ………………8 分

1 2 x ? 2 ? a +1? ln x ? (a ? 1) x , 2

2(a ? 1) 2(a ? 1) ? (a ? 1) ? 2 x ? ? (a ? 1) ? 2 ? ( a ? 1 ? 2) 2 , x x

由于 ?1 ? a ? 7 ,故 n ?( x) ? 0 ,即 n( x) 在 (1, ??) 上单调增加,……………10 分 从而当 1 ? x2 ? x1 时,有 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 )+g ( x2 ) 成立,命题得证! ………………12 分

解法二:

n?( x) ? x ?

2(a ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2(a ? 1) ? (a ? 1)= x x

令 p( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? 2(a ? 1)

? ? (a ? 1)2 ? 8(a ? 1) ? a2 ? 6a ? 7 ? (a ? 7)(a ? 1) ? 0
即 p( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? 2(a ? 1) ? 0 在 ?1 ? a ? 7 恒成立 说明 n ?( x) ? 0 ,即 n( x) 在 (1, ??) 上单调增加,………………10 分 从而当 1 ? x2 ? x1 时,有 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 )+g ( x2 ) 成立,命题得证! ………………12 分 22. 证明:(1)连结 AB , AC , ∵ AD 为

M 的直径,∴ ?ABD ? 900 ,
A

∴ AC 为

O 的直径, ∴ ?CEF ? ?AGD=90 ,
0

M E O B C F G D

∵ ?DFG ? ?CFE ,∴ ?ECF ? ?GDF , ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ?DAG ? ?GDF , ∴ ?DAG ? ?ECF , ?ADG ? ?CFE ∴ ?CEF ∽ ?AGD ,…………… 3 分 ∴

CE AG ? , EF GD

∴ AG ? EF ? CE ? GD 。

…………………5 分 (2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G , ∴ ?DFG ∽ ?AGD , …………… 7 分 ∴ DG 2 ? AG ? GF , 由(1)知 23.解: (1)曲线 C1 的普通方程为

EF 2 GD 2 GF EF 2 ? ? ,∴ . ………………10 分 CE 2 AG 2 AG CE 2

x2 y 2 ? ? 1 ,……………………2 分 4 3

曲线 C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 . ……………………4 分 (2) 法一:由曲线 C2 : x2 ? y 2 ? 4 ,可得其参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ,所以 P 点坐标为 ? y ? 2sin ?

(2cos ? , 2sin ? ) ,由题意可知 M (0, 3), N (0, ? 3) .
因此 PM + PN ? (2cos ? ) ? (2sin ? ? 3) ? (2cos ? ) ? (2sin ? ? 3)
2 2 2 2

? 7 ? 4 3 sin ? ? 7 ? 4 3 sin ? ……………………6 分

( PM + PN ) 2 ? 14 ? 2 49 ? 48sin 2 ? .
2 所以当 sin ? ? 0 时, ( PM + PN ) 有最大值 28,……………………8 分

因此 PM + PN 的最大值为 2 7 .
2

……………………10 分
2

法二:设 P 点坐标为 ( x, y ) ,则 x ? y ? 4 ,由题意可知 M (0, 3), N (0, ? 3) . 因此 PM + PN ?

x 2 ? ( y ? 3)2 ? x 2 ? ( y ? 3)2

? 7 ? 2 3 y ? 7 ? 2 3 y ……………………6 分 ( PM + PN ) 2 ? 14 ? 2 49 ? 12 y 2 .
所以当 y ? 0 时, ( PM + PN ) 有最大值 28,……………………8 分
2

因此 PM + PN 的最大值为 2 7 . 24.

……………………10 分

解: (1) :因为函数定义域为 R ,所以 x ? 1 ? x ? 3 ? m ? 0 恒成立,…………………2 分 设函数 g ( x) ? x ?1 ? x ? 3 ,则 m 不大于函数 g ( x) 的最小值, 又 x ?1 ? x ? 3 ? ( x ?1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 g ( x) 的最小值为 4,所以 m ? 4 .…………5 分 (2) :由(1)知 n ? 4 ,

2 1 ? ) 3a ? b a ? 2b ……………………6 分 所以 7a ? 4b ? 4 2 1 (6a ? 2b ? a ? 2b) ? ( ? ) 3 a ? b a ? 2 b ? 4 2(3a ? b) 2(2 ? 2b) 5? ? a ? 2 b 3a ? b ? 5 ? 4 ? 9 . ……………………8 分 ? 4 4 4 3 时,等号成立. 当且仅当 a ? 2b ? 3a ? b, 即b ? 2a ? 10 9 所以7a ? 4b的最小值为 . ……………………10 分 4 (7a ? 4b) ? (


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