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广西南宁二中2010届高中毕业班第二次模拟考试


广西南宁二中 2010 届高中毕业班第二次模拟考试

数 学 试 题(理)
本试卷分第 I 卷(选择题共 60 分)和第 II 卷(非选择题 90 分) 。考试时间 120 分钟, 满分 150 分。考试结束后,只需上交答题卡。 注意事项: 1.答题前,考生务必在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。请 认真核对准考证号、姓名和科目。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
k 率 Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n?k

球的表面积公式 球的体积公式

S ? 4?R 2 4 V球 ? ?R 3 3

其中 R 表示球的半径 其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷

选择题(共 60 分)

一、选择题(每题后只有一个答案是正确的,将正确答案的代号填上答题卡中。每题 5 分, 共 60 分) 1.设复数 z1 ? 1 ? i, z 2 ? 2 x ? i, ( x ? R), 若z1 ? z 2 是纯虚数,则 x= A.-1 B. ? ( )

1 2

C.

1 2

D.0 ( )

2.在等比数列 {an } , a3 ?

1 3 , S 3 ? ,则首项 a1 = 2 2
C.

A.

1 4

B.-1

1 或2 2

D. ?

2 2
( )

3.下列函数是偶函数且在区间(0,1)上是增函数的是 A. y ? cos x C. y ? ln 2 B. y ?| x ? 1 | D. y ? e ? e
x ?x

2? x 2? x

4 . 在 ?A B C中 , a 、 b 、 c 分 别 是 ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 , 设 向 量

m ? (b ? c, c ? a), n ? (b, c ? a)

若 m ? n, 则?A 的大小为 A.





2? 3

B.

? 3

C.

? 2

D.

? 4
( )

5.实数 x,y 满足条件 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则z ? 3x ? y 的最小值是 ? y ?| x ? 1 |
B.-5 C. ?

A.-19

5 3

D.0

6.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=AB,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 ( ) A.

2 2

B.

15 5

C.

6 4

D.

6 3

2 7.已知 a ? b ? 2 ,有下列不等式:① b ? 3b ? a; ② 1 ?

4 1 1 ? 2( ? ); ③ ab ? a ? b; ab a b
( )

④ loga 3 ? logb 3 ;其中正确的是 A.②④ B.①② C.③④ D.①③

1 8.已知 p : ? 2, q : x ? x ,则 p 是 q 的 x
A.充分条件但不是必要条件 C.充要条件 B.必要条件但不是充分条件 D.既不充分也不必要条件





4 9.已知曲线 y ? x ? 2ax 在区间 [ ,3] 上的切线的倾斜角的取值范围是 ?

1 2

? ? 3? ? , ? ,则实数 ?3 4 ?
( )

a 的最小值是 A.8

B.12

C.14

D.16

10.已知 a ? b ? 0, 椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 、双曲线 2 ? 2 ? 1 和抛物线 ax2 ? by ? 0 的离心 a2 b a b
( D. e2 ? e1 ? 2e3
2 2 2

率分别为 e1 , e2 和e3 ,则下列关系不正确的是
2 2 2 A. e1 ? e2 ? 2e3



B. e2 e2 ? e3

C. e1e2 ? e3

}, 11.已知 S ? {1,2,3,?,2010 A ? S 且 A 中有三个元素,若 A 中的元素可构成等差数列,
则这样的集合 A 共有
3 A. C2010 个 3 B. A2010 个 2 C. 2A1005 个 2 D. 2C1005 个





12.已知函数 f ( x) ?

2 ( x ? R),区间M ? [a, b], 集合N ? { y ? y ? f ( x), x ? M } , | x | ?1

则使 M=N 成立的实数对(a,b)有 A.2 对 B.3 对

( C.4 对 D.5 对



第Ⅱ卷
二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.二项式 (3 x ?

非选择题(共 90 分)

1 6 ) 的展开式中常数项是 x2


.

2 x 2 ? 3x ? 2 14. lim = 1 2x ? 1 x??
2

15.数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n?1 ?

an ,则 a36 = 1 ? n ? an



16.已知正三棱锥 S—ABC 内接于一个半径为 6 的球, 过侧棱 SA 及球心 O 的平面截三棱锥及球面所得 的截面图如右图所示,则此三棱锥的一个侧面 ?SBC 的面积为 。

三、解答题(要求写出必要的步骤和运算过程,第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17.已知 ?ABC 的周长为 2 2 ? 4, 且sin A ? sin B ? (1)求边 AB 的长; (2)若 ?ABC 的面积 S ?

2 sin(A ? B).

4 sin C ,求角 C 的大小。 3

18.已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上,三次都正面朝上的概率为

1 。 27

(1)求将这枚硬币连抛三次,恰有两次正面朝上的概率; (2)若将这枚硬币连抛两次之后,再另抛一枚质地均匀的硬币一次。在这三次抛掷中, 正面朝上的总次数为 ? ,求 ? 的分布列及期望 E ? 。

19.如图已知四棱锥 S—ABCD 的底面是直角梯形,AB//DC, ?DAB ? 90? , SA ? 底面 ABCD,且 SA=AD=DC=

1 AB ? 1, M 是 SB 的中点。 2

(1)证明:平面 SAD ? 平面 SCD; (2)求 AC 与 SB 所成的角; (3)求二面角 M—AC—B 的大小。

20.数列 {an } 中, a1 ? ?3, an ? 2an?1 ? 2 ? 3(n ? 2且n ? N ).
n *

(1)求 a2 , a3 的值; (2)设 bn ?

an ? 3 ,证明 {bn } 是等差数列; 2n

(3)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

21.已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f (x) 的单调区间;

kx (k 为常数) x ?1

(2)求证不等式

x x ? 1 ? 在x ? (0,1) 时恒成立。 ln(x ? 1) 2

22.已知双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,实轴长为 2。一条斜率为 1 的直线经过双曲线 的右焦点与双曲线相交于 A、B 两点,以 AB 为直径的圆与双曲线的右准线相交于 M、 N。 (1)若双曲线的离心率 2,求圆的半径; (2)设 AB 中点为 H,若 HM ? HN ? ?

16 ,求双曲线方程。 3

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1—5 BCDBA 6—12 CDACBDB 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.1215

5 2 1 15. 631
14. ? 16. 9 15 三、解答题(17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17.解: (1)设∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c 由 sin A ? sin B ? 得: a ? b ?

2 sin(A ? B) ? 2 sin C
????2 分

2c ?c ? 2 2 即 AB 边长是 2 2
? ab ? 8 3

?a ? b ? c ? 2
(2)? S ?

????4 分 ????6 分

1 4 ab sin C ? sin C 2 3

又? a ? b ?

2c ? 4
????9 分

? cosC ?
? ?C ?

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b) 2 ? 2ab ? c 2 1 ? ? 2ab 2ab 2

?
3
3

????10 分

18.解: (1)由题意知:将枚硬币每抛一次正面朝上的概率 P ?

1 1 ,P ? 27 3
????2 分

设“这枚硬币连抛三次 ,恰有两次正面朝上”的事件为 A, 则 P( A) ? C3 P (1 ? P ) ? C 3 ? ( ) ? ( ) ? 1 1
2 2 2 2 2

1 3

2 3

2 9

????5 分

(2) ? 的取值情况可能为 0,1,2,3,

2 1 2 P(? ? 0) ? ( ) 2 ? ? 3 2 9 1 2 1 2 1 4 P(? ? 1) ? 2 ? ? ? ? ?( ) ? ? 3 3 2 3 2 9 1 1 1 1 5 P(? ? 2) ? ( ) 2 ? ? 2 ? ? ? 3 2 3 2 18 1 1 1 P(? ? 3) ? ( ) 2 ? ? 3 2 18

????9 分

? ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

2 9

4 9

5 18

1 18
????10 分 ????12 分

? E? ? 0 ?

2 4 5 1 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 9 9 18 18 6

19.解: (1)由已知可得: SA ? CD, CD ? AD

?CD ? 平面 SAD,

????2 分

而 CD ? SCD,?平面 SAD ? 平面 SCD ????3 分 (2)设 AC 中点 O,SC 中点 E,AB 中点 F, BC 中点 G,连结 OE、OF、EF、EG、FG EG//SB FG//AC ?EGF 是 AC、SB 所成的角(或补角) ????5 分

? OE ?

1 1 1 2 1 2 3 SA ? , OF ? CE ? , EF ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 5 AC ? , EG ? SB ? 2 2 2 2
????7 分

又? FG ?

EG 2 ? FG 2 ? EF 2 10 ? cos?EGF ? ? 2 EG ? FG 5
? AC 与 SB 所成的角为 ar cos

10 5

????8 分

(3)连结 MO,根据三垂线定理可得: MO ? AC, MF ? 面ABCD, OF ? AC

? ?M O F就是二面角 M—AC—B 的平面角

????10 分

tan?MOF ?

MF 2 ? OF 2 2 2
????12 分

? F 二面角 M—AC—B 的大小为 ar tan

(本题也可用空间向量的方法或其它解法)
2 20.解: (1) a2 ? 2a1 ? 2 ? 3 ? 1, a3 ? 2a2 ? 23 ? 3 ? 13

????2 分

a n ?1 ? 3 a n ? 3 1 2 n?1 ? ? n ?1 (a n ?1 ? 2a n ? 3) ? n?1 ? 1. (2) bn ?1 ? bn ? 2 n ?1 2n 2 2

? 数列 {bn } 是公差为 1 的等差数列。
(3)由(2)得 bn ?

????6 分

an ? 3 ? n ? 1,? a n ? (n ? 1) ? 2 n ? 3(n ? N * ) ??8 分 2n

? S n ? 0 ? 21 ? 1? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? 3n
令 Tn ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?1 则 2Tn ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 两式相减得: ? Tn ? 2 2 ? 23 ? ?2 n ? (n ? 1) ? 2 n ? ?4(n ? 2) ? 2 n?1

? S n ? (n ? 2) ? 2n?1 ? 3n ? 4
21.解: (1) f (x) 的定义域为 (?1,??)

????12 分 ????1 分

f ' ( x) ?

1 k x ? (k ? 1) ? ? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

????2 分

令 f ' ( x) ? 0得 : x ? k ? 1 当 k ? 1 ? ?1 k ? 0时, f ( x) 的单调递增区间是 (?1,??) ????3 分 即

即 当 k ? 1 ? ?1 k ? 0时, f ( x) 的单调递减区间是 (?1, k ? 1)
f (x) 的单调递减区间是 (k ? 1,??)
(2)当 x ? (0,1) 时 ,原不等式等价于 ln( x ? 1) 令 g ( x) ? ln(x ? 1) ? ????5 分

x?2 ? 2. x ?1

x?2 1 1 x , g ' ( x) ? ? ? ????7 分 2 x ?1 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

? x ? (0,1)

? g ' ( x) ? 0 恒成立
????9 分

? g ( x)在(0,1) 是单调递增
? g ( x) ? g (0) ? 2 ? g ( x) ? 2 在(0,1)上恒成立
故原不等式

x x ? 1 ? 在区间(0,1)上恒成立。 ln(x ? 1) 2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

????12 分

22.解: (1)设双曲线方程为 由题知: a ? 1,

c ? 2,? c ? 2,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3 a

? 双曲线方程为 x 2 ?

y2 ? 1 右焦点 F(2,0) 3
2

????2 分

y2 ? 1 中得: 2 x 2 ? 4 x ? 7 ? 0 故直线 l 的方程为 y ? x ? 2代入x ? 3
设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则x1 ? x 2 ? ?2, x1 ? x 2 ? ?

7 2

?| AB |? 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 6

? 半径 r ? 3
(2)设双曲线方程为 x ?
2

????6 分

y2 ? 1, 将y ? x ? c 代入并整理得 c2 ?1

(c 2 ? 2) x 2 ? 2cx ? 2c 2 ? 1 ? 0 ,由韦达定理:
x1 ? x 2 ? 2c 1 ? 2c 2 , x1 x 2 ? 2 ? c2 2 ? c2 1 c ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ? c2 y 0 ? x0 ? c ?
2

????9 分

设 H ( x0 , y 0 ),则x0 ?

c3 ? c 2 ? c2

设圆半径为 R 且 HM与HN 的夹角为 ? ,则 R cos ? ? ?

16 3

1 2 c2 ?1 2 R ? | AB |? ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 2 | 2 | 2 2 c ?2

? cos

?
2

?

x0 ?

1 c ?1 R c

? cos? ? 2 cos2

?
2

?1 ?

2 ? c2 16 代入R 2 cos? ? ? 中 c 3 y2 ?1 2
????12 分

得: c ? 3
2

? 所求的双曲线方程为 x 2 ?


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