kl800.com省心范文网

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

石景山区 2012-2013 学年高三第一学期期末考试 数学(文)试卷
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考 试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项.

1 ( ? 1.设集合 U ? ? ,2,3,4?, A ? ? ,2?, B ? ?2,4?,则 CU A) B ? ( 1
A. ? ,2? 1 B. ?2,4? 3, C. ?3,4? ) C. 1 ? 3i

) D. ? ,2,3,4? 1

2. 若复数 Z1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 A. ?1 ? 3i

Z2 ?( Z1

B. 2 ? i

D. 3 ? i

3. AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线, AB ? (2, 4), AC ? (1,3), 则AD ? ( A. (2, 4) B. (3, 7) C. (1,1) D. (?1, ?1) )
?| x|

??? ?

??? ?

????



4.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( A. y ? ln x B. y ? x
2

C. y ? cos x

D. y ? 2

5.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥ ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ? 6.执行右面的框图,若输出结果为 3, 则可输入的实数 x 值的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4
·1·



开始 输入 x



x >2




y =x 2 -1
输出 y

y = log2 x

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A.

) 2 2 2 3 1 3

8 3

B. 4 D.

C. 2

4 3

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

8. 在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 ? k ? , 即 ? k ? ? 5n ? k n ? Z , k ? 0,1, 2,3, 4 .给出如下四个结论: ① ② ③ ④

?

?

2013 ? ? 3? ; ?2 ? ? 2? ; Z ? ?0?∪?1?∪?2?∪?3?∪?4? ;
整数 a, b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ? ? 0? ” . ) . C. 3 D. 4 共 110 分)

其中,正确结论的个数为( A. B. 2

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为
2
2 2

. .

10.直线 x +y ? 0 被圆 x +4 x +y ? 0 截得的弦长为

·2·

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

? y ? x, ? 11.已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,则 a ? ? x?a ?
若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 12. 在等比数列 {a n } 中, a1 = , a4 = - 4 ,则公比 q= . ;



1 2

a1 + a2 + a3 + L + an =
13.在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ? 14. 给出定义:若 m ?



7 ,则 c ?



1 1 < x ? m + (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 {x} , 2 2

即 {x}=m . 在此基础上给出下列关于函数 f (x)=x ? {x} 的四个命题: ① y =f (x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y =f (x ) 的最小正周期为; ④ 函数 y =f (x ) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数. 2 2


则上述命题中真命题的序号是

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

sin 2 x ( sin x ? cos x ) . cos x
? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 4?

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f (x ) 在区间 ? ?

16. (本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的点,且
·3·

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1 D ? CD ,如图 2.
(Ⅰ)求证: BC // 平面 A1DE ; (Ⅱ)求证: BC ? 平面 A1 DC ; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值. A1

A

D

C D C

E B 图1 17. (本小题共 13 分)

E B 图2

一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有个数字,数字分别是? 2 ?? 4 .现从盒子中随机抽取 卡片. (Ⅰ)若一次抽取张卡片,求张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽张卡片,放回后再抽取张卡片,求两次抽取中至少一次抽到 数字的概率. 18. (本小题共 13 分) 已知函数 f (x )=ln x ? ax+1, a ? R 是常数. (Ⅰ)求函数 y =f (x ) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线的方程; (Ⅱ)证明函数 y =f (x )(x ? 1) 的图象在直线的下方; (Ⅲ)若函数 y =f (x ) 有零点,求实数 a 的取值范围. 19. (本小题共 14 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
·4·

3 ,长轴长为 4 5 ,直线 l:y =x +m 交椭圆 2

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

于不同的两点 A B . 、 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线不经过椭圆上的点 M (4,1) ,求证:直线 MA MB 的斜率互为相反数. 、 20. (本小题共 13 分) 定义:如果数列 {an } 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称 {an } 为“三角形”数 列.对于“三角形”数列 {an } ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三角形”数列,则称

y ? f ( x) 是数列 {an } 的“保三角形函数” (n ? N *) .
(Ⅰ)已知 {an } 是首项为 2 ,公差为的等差数列,若 f ( x) ? k (k ? 1) 是数列 {an } 的
x

“保三角形函数” ,求 k 的取值范围; (Ⅱ)已知数列 {cn } 的首项为 2013 , S n 是数列 {cn } 的前 n 项和,且满足 4Sn +1 ? 3Sn ? 8052 ,证明

{cn } 是“三角形”数列;
(Ⅲ)若 g ( x) ? lg x 是(Ⅱ)中数列 {cn } 的“保三角形函数” ,问数列 {cn } 最多有多少项? (解题中可用以下数据 : lg2 ? 0.301,

lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 )

·5·

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试

高三数学(文)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 2;6 12 13 14 ①③

? 2,3?

2 2

- 2; n- 1 2

1 2

3

(9 题、11 题第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分) (Ⅰ)因为 cos x ? 0 ,所以 x ? k? +

?
2

,k ? Z .

所以函数 f (x) 的定义域为 {x x ? k? + |

?
2

,k ? Z }

?????2 分

f ( x) ?

sin 2(sin x ? cos x) x ?2sin x ? sin x + cos x ? =2sin 2 x+sin 2 x cos x

7? ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? ,所以 ? 2 x- ? 6 4 12 4 4
当 2 x当 2 x-

? 2 s i n ( 2 -? ) x 4 T ??

?

1

?????5 分 ?????7 分 ?????9 分 ?????11 分 ???13 分

?

?

?

?

4

?

?

4

时,即 x ?

?

4

?-

?
2

4

时, f (x ) 的最大值为 2 ;

时,即 x ? ?

?
8

时, f (x ) 的最小值为 - 2+1 .

16. (本小题共 14 分) (Ⅰ)证明:? DE // BC , DE ? 面A1DE , BC ? 面A1DE ? BC // 面A1DE (Ⅱ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC,? AD ? DE ??4 分

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .
由 BC ? 面BCDE ,? A1D ? BC. BC ? CD, CD ? BC ? C ,? BC ? 面A1DC . ?????9
·6·

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

分 (Ⅲ)设 DC ? x 则 A1D ? 6 ? x 由(Ⅱ)知,△ A1CB ,△ A1DC 均为直角三角形.

A1B = A1C 2 ? BC 2 ?
A1B ?

A1D 2 ? DC 2 ? BC 2
??????12 分

x 2 ? 32 ? (6 ? x ) 2 ? 2 x 2 ? 12 x ? 45

当 x =3 时, A1 B 的最小值是 3 3 . 即当 D 为 AC 中点时, A1 B 的长度最小,最小值为 3 3 .???????14 分 17. (本小题共 13 分) (Ⅰ)设 A 表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于 7 ”,任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能 的结果是 (1, 2, 3) , (1, 2, 4) , (1, 3, 4) , (2, 3, 4) . 其中数字之和大于 7 的是 (1, 3, 4) , (2, 3, 4) , 所以 P( A) ?
1 . 2

???????6 分

(Ⅱ)设 B 表示事件“至少一次抽到”, 第一次抽 1 张,放回后再抽取一张卡片的基本结果有:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) ,共 16 个基本结果.

事件 B 包含的基本结果有 (1, 3) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 3) , 共 7 个基本结果. 所以所求事件的概率为 P( B) ? 18.(本小题共 13 分) (Ⅰ) f ?(x )=
7 . 16

???????13 分

1 ?a x

???????2 分

f (1)= ? a+1 , kl =f ?(1)=1 ? a ,所以切线 l 的方程为

y ? f (1)=kl (x ? 1) ,即 y =(1 ? a )x .

???????4 分

(Ⅱ)令 F ( x)=f (x) ? (1-a )x=lnx ? x +1,x >0, F ?( x )= 则

1 1 ? 1= (1 ? x) , 解F ?( x)=0得x=1. x x

·7·

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

x
F ?( x )

(0 , 1)

(1 , ? ?)

?


0
最大值

?


F (x)

F (1)<0 ,所以 ?x >0 且 x ? 1 , F ( x )<0 , f ( x)<(1 ? a )x ,
即函数 y =f ( x ) (x ? 1) 的图像在直线 l 的下方. (Ⅲ) y =f ( x ) 有零点,即 f (x )=lnx ? ax +1 =0 有解, a = ???????9 分

ln x +1 . x ln x +1 ln x +1 1 ? ( ln x+1) ln x 令 g (x )= , g ?(x )=( )?= =? 2 , 2 x x x x
解 g ?(x )=0 得 x=1 . ???????11 分

则 g (x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,+?) 上单调递减, 当 x=1 时, g (x ) 的最大值为 g (1)=1 , 所以 a ? 1 . 19. (本小题共 14 分) (Ⅰ)由题意知, 2a ? 4 5 ,又因为 e ? ???????13 分

3 ,解得 a =2 5,b= 5,c= 15 2
???????4 分

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 20 5

(Ⅱ)将 y ? x ? m 代入

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 5x2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 20 5
???????7 分

?=(8m)2 -20(4m2 -20)>0, ?5 ? m ? 5 . 解得

(Ⅲ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8m 4m2 ? 20 , x1 x2 ? . 5 5
·8·

???????9 分

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) 2(4m 2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? ? 8(m ? 1) ? 0 5 5
所以直线 MA MB 的斜率互为相反数. 、 20. (本小题共 13 分) (Ⅰ)显然 an ? n ? 1, an ? an ?1 ? an ? 2 对任意正整数都成立,即 {an } 是三角形数列. 因为 k ? 1 ,显然有 f (an ) ? f (an ?1 ) ? f (an ? 2 ) ? ? , 由 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an ? 2 ) 得 k n ? k n?1 ? k n? 2 ???????14 分

解得

1- 5 1? 5 <k ? 2 2 . 1? 5 ) 时, 2
???????3 分

所以当 k ? (1,

f ( x) ? k x 是数列 {an } 的保三角形函数.
(Ⅱ)由 4 sn ?1 ? 3sn ? 8052 ,得 4 sn ? 3sn ?1 ? 8052 ,

? 3? 两式相减得 4cn ?1 ? 3cn ? 0 ,所以 cn ? 2013 ? ? ?4?
经检验,此通项公式满足 4 sn ?1 ? 3sn ? 8052 . 显然 cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ,
n? 因为 cn ?1 ? cn ?2 ? 2013 )+2013( ) 1 ? ( n

n ?1

???????5 分

3 4

3 4

21 3 ? 2013 )?1 ? cn , ( n 16 4
???????8 分

所以 {cn } 是三角形数列.

? 3? (Ⅲ) g (cn ) ? lg[2013 ? ? ?4?

n ?1

? 3? ]= lg 2013+(n-1) lg ? ? , ?4?

·9·

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

所以 g (cn) 是单调递减函数. 由题意知, lg 2013+(n-1) lg ? 由①得 n-1) ( lg 由②得 n lg

? 3? ? >0 ①且 lg cn ?1 ? lg cn ? lg cn?2 ②, ?4?

3 >-lg 2013 ,解得 n ? 27.4 , 4

3 >-lg 2013 ,解得 n ? 26.4 . 4
???????13 分

即数列 {bn } 最多有 26 项. 【注:若有其它解法,请酌情给分. 】

·10·


北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题 - 石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(文) 本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题_数学_高中教育_教育专区。北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题.doc ...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学试题 - 石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(理) 本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题 Wo....doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案 北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案北京市石景山区2013届高三上学期期末...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试文科数学试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试文科数学试题 - 石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(文) 本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 ...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(理)试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学()试题.doc北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学()试题.doc隐藏>> 石景山区 20122013 学年第一学期期末...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题 2.doc

(解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301, lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 ) 石景山区 20122013年第一学期期末考试 高三数学(文)参考答案一、选择题...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(理) 试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学() 试题_高中教育_教育专区。

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理科试题....doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理科试题含答案 - 石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(理) 本试卷共 6 页,150 分.考试时长 ...

...北京市石景山区2013届高三上学期期末考试 数学理试....doc

【Word版解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试 数学试题 - 石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(理) 本试卷共 6 页,150 分....

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(理科)试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(理科)试题 - 石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷高三(理) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 - 石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(理) 本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 ...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(理)试题 2.doc

(解题中可用以下数据 : lg 2 ? 0.301, lg3 ? 0.477, lg2013 ? 3.304 ) 石景山区 20122013年第一学期期末考试 高三数学(理科)参考答案一、选择...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题 - 石景山区 2012

...届北京市石景山区高三上学期期末考试数学(文)试题(....doc

2018届北京市石景山区高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版) - 石景山区 20172018 学第一学期高三期末试卷 数学(文) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 ...

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学(文)试题 - 石景山区 2012

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试 数学理试题.doc

北京市石景山区2013届高三上学期期末考试 数学试题 - 石景山区 20122013 学年第一学期期末考试试卷 高三数学(理) 本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 ...

北京市石景山2018届高三上学期期末考试数学(文)试题【....doc

北京市石景山2018届高三上学期期末考试数学(文)试题【含答案】 - 2017-2018 学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 ...

北京市石景山区2019届高三上学期期末考试数学(文科)试....doc

北京市石景山区2019届高三上学期期末考试数学(文科)试题Word版含答案 - 北京市石景山区 2019 届高三上学期期末考试 数学(文科)试题 第一部分(选择题 共 40 分)...

...石景山区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题 Wor....doc

北京市石景山区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析 -