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2015-2016学年山东省泰安市东平县八年级上学期期中数学试卷.doc


2015-2016 学年山东省泰安市东平县八年级(上)期中数学 试卷
一、选择题(共 20 小题,每小题 3 分,满分 60 分) 1.下列图形不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.不能判定两个三角形全等的是( A.三条边对应相等 B.两条边及其夹角对应相等 C.两角和一条边对应相等 D.两条边和一条边所对的角对应相等

)

3.在△ ABC 和△ A′B′C′中,AB=A′B′,∠A=∠A′,若证△ ABC≌△A′B′C′还要从下列条件 中补选一个,错误的选法是( A.∠B=∠B′ ) C.BC=B′C′ D.AC=A′C′

B.∠C=∠C′

4.如图所示,在 Rt△ ABC 中,AD 是斜边上的高,∠ABC 的平分线分别交 AD、AC 于点 F、E,EG⊥BC 于 G,下列结论正确的是( )

A.∠C=∠ABC

B.BA=BG

C.AE=CE

D.AF=FD

5.如图,已知等边△ ABC 中,BD=CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE 的度数为(

)

A.45°

B.60°

C.55°

D.75°

6.下列各式中,可能取值为零的是(

)

A.

B.

C.

D.

7.已知:如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,BE、CD 相交于 O 点,∠1=∠2.图 中全等的三角形共有( )

A.4 对

B.3 对

C .2 对

D.1 对

8.下列分式中,一定有意义的是(

)

A.

B.

C.

D.

9.分式 A.72xyz2

的最简公分母是( B.108xyz

) C.72xyz D.96xyz2

10.已知如图,AC⊥BC,DE⊥AB,AD 平分∠BAC,下面结论错误的是(

)

A.BD+ED=BC

B.DE 平分∠ADB C.AD 平分∠EDC

D.ED+AC>AD

11.下列三角形: ①有两个角等于 60° ; ②有一个角等于 60° 的等腰三角形; ③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形; ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形. 其中是等边三角形的有( A.①②③ ) B.①②④ C.①③ D.①②③④

12.下列各式正确的是(

)

A.

=﹣

B.

=﹣

C.

=﹣

D.

=﹣

13.等腰三角形的一个内角是 75° ,它的顶角是( A.30° B.75°

) D.105°

C.30° 或 75°

14.尺规作图是指( A.用直尺规范作图 B.用刻度尺和圆规作图

)

C.用没有刻度的直尺和圆规作图 D.直尺和圆规是作图工具

15.如图,△ ABC≌△EFD,AB=EF,AE=15,CD=3,则 AC=(

)

A.5

B.6

C .9

D.12

16.一张长方形按如图所示的方式折叠,若∠AEB′=30°,则∠B′EF=(

)

A.60°

B.65°

C.75°

D.95°

17.如图所示,在∠AOB 的两边截取 AO=BO,CO=DO,连接 AD、BC 交于点 P,考察下 列结论,其中正确的是( )

①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD;③点 P 在∠AOB 的平分线上.

A.只有①

B.只有②

C.只有①②

D.①②③

18.分式 A.1 个



, B.2 个



中,最简分式有( C .3 个

)

D.4 个

19.化简

的结果是(

)

A.

B.

C.

D.

20.已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线,下列说法正确的是( A.与 AB 距离相等的点在 MN 上 B.与点 A 和点 B 距离相等的点在 MN 上 C.与 MN 距离相等的点在 AB 上 D.AB 垂直平分 MN

)

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分)

21.要使分式

有意义,则 x 应满足__________.

22.已知点 A(3,﹣2) ,点 B(a,b)是 A 点关于 y 轴的对称点,则 a+b=__________.

23.已知△ ABC≌△ADE,如果∠BAE=135° ,∠BAD=40° ,那么∠BAC=__________.

24.在△ ABC 中,DE 垂直平分线段 AB,交 AB 于 E,交 AC 于 D,已知 AC=16,△ BCD 的周长为 25,则 BC=__________.

三、解答题(共 5 小题,满分 48 分)

25. (1)计算: (2)先化简,再求值: (x﹣1﹣ ) ,其中 x= .

26.如图所示,∠BAC=120° ,若 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC,求∠PAQ 的度数.

27.请用圆规和直尺作一个已知角的平分线,保留作图痕迹,并写出作法. 已知:∠AOB 求作:∠AOB 的平分线 作法:

28.如图,点 E、F 在 BC 上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF 与 DE 交于点 O. (1)求证:AB=DC; (2)若∠EOF=60° 试判断△ OEF 的形状,并说明理由.

29.如图,在△ ABC 中,∠BAC=90° ,AB=AC,D 在 AC 上,过 C 作 CE⊥BD 的延长线于 F,交 BA 的延长线于 E.

(1)BD 与 CE 相等吗?请说明理由; (2)BE 与 AC+AD 相等吗?请说明理由.

2015-2016 学年山东省泰安市东平县八年级(上)期中数学试卷

一、选择题(共 20 小题,每小题 3 分,满分 60 分) 1.下列图形不是轴对称图形的是( )

A. 【考点】轴对称图形.

B.

C.

D.

【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相 重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可. 【解答】解:A、B、D 是轴对称图形,C 不是轴对称图形, 故选:C. 【点评】此题主要考查了轴对称图形,关键是轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分 沿对称轴折叠后可重合.

2.不能判定两个三角形全等的是( A.三条边对应相等 B.两条边及其夹角对应相等 C.两角和一条边对应相等 D.两条边和一条边所对的角对应相等 【考点】全等三角形的判定.

)

【分析】分别利用全等三角形的判定方法 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 进行分析即可. 【解答】解:A、三条边对应相等的两个三角形,可以利用 SSS 定理判定全等,故此选项不 合题意; B、两条边及其夹角对应相等的两个三角形,可以利用 SAS 定理判定全等,故此选项不合题 意; C、两角和一条边对应相等的两个三角形,可以利用 AAS 定理判定全等,故此选项不合题 意;

D、两条边和一条边所对的角对应相等,不能判定两个三角形全等,故此选项符合题意; 故选:D. 【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、 ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与, 若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.

3.在△ ABC 和△ A′B′C′中,AB=A′B′,∠A=∠A′,若证△ ABC≌△A′B′C′还要从下列条件 中补选一个,错误的选法是( A.∠B=∠B′ ) C.BC=B′C′ D.AC=A′C′

B.∠C=∠C′

【考点】全等三角形的判定. 【分析】注意普通两个三角形全等共有四个定理,即 AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形 可用 HL 定理,但 AAA、SSA,无法证明三角形全等. 【解答】解:AB=A′B′,∠A=∠A′, ∠B=∠B′符合 ASA,A 正确; ∠C=∠C′符合 AAS,B 正确; AC=A′C′符合 SAS,D 正确; 若 BC=B′C′则有“SSA”,不能证明全等,明显是错误的. 故选 C. 【点评】考查三角形全等的判定的应用.做题时要按判定全等的方法逐个验证.

4.如图所示,在 Rt△ ABC 中,AD 是斜边上的高,∠ABC 的平分线分别交 AD、AC 于点 F、E,EG⊥BC 于 G,下列结论正确的是( )

A.∠C=∠ABC

B.BA=BG

C.AE=CE

D.AF=FD

【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 AE=EG,再利用“HL”证明 Rt△ ABE 和 Rt△ GBE 全等,根据全等三角形对应边相等可得 BA=BG. 【解答】解:∵∠BAC=90° ,AD 是斜边上的高,AD 是∠ABC 的平分线, ∴AE=EG, 在 Rt△ ABE 和 Rt△ GBE 中,

, ∴Rt△ ABE≌Rt△ GBE(HL) , ∴BA=BG. 故选 B. 【点评】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质, 全等三角形的判定与性质, 熟记性质以及三角形全等的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键.

5.如图,已知等边△ ABC 中,BD=CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE 的度数为(

)

A.45°

B.60°

C.55°

D.75°

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】通过证△ ABD≌△BCE 得∠BAD=∠CBE;运用外角的性质求解. 【解答】解:等边△ ABC 中,有

∵ ∴△ABD≌△BCE(SAS) , ∴∠BAD=∠CBE ∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60° . 故选:B.

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,三角形外 角与内角的关系的运用,解答时证明三角形全等是关键.

6.下列各式中,可能取值为零的是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】分式的值为零的条件. 【分析】要使分式的值为 0,必须使分式分子的值为 0,与分母的值不为 0,同时成立. 【解答】解:根据 m2+1≠0 一定成立,故选项 A,D 一定错误; C、m+1=0,解得:m=﹣1,由分子 m2﹣1=0 解得:m=± 1.故 C 不可能是 0; B、m2﹣1=0,解得:m=± 1,当 m=± 1 时,分母 m2+1=2≠0. 所以 m=± 1 时,分式的值是 0. 故选 B. 【点评】要注意分母的值一定不能为 0,分母的值是 0 时分式没有意义.

7.已知:如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,BE、CD 相交于 O 点,∠1=∠2.图 中全等的三角形共有( )

A.4 对

B.3 对

C .2 对

D.1 对

【考点】全等三角形的判定. 【分析】解此题的关键是三角形全等的判定定理的准确应用.三角形全等的判定定理有: SSS,SAS,ASA,AAS.做题时要从已知入手由易到难,不重不漏. 【解答】解:∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠ADO=∠AEO=90° ; ∵∠1=∠2,AO=AO, ∴△ADO≌△AEO(AAS) . ∴AD=AE,

∵∠DAC=∠EAB,∠ADO=∠AEO, ∴△ADC≌△AEB(ASA) . ∴AB=AC, ∵∠1=∠2,AO=AO, ∴△AOB≌△AOC(SAS) . ∴∠B=∠C, ∵AD=AE,AB=AC, ∴DB=EC; ∵∠BOD=∠COE, ∴△BOD≌△COE(AAS) . 故选 A. 【点评】此题考查了三角形全等的判定与性质,解题的关键是要注意正确识图.

8.下列分式中,一定有意义的是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】分式有意义的条件. 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零进行判断即可. 【解答】解:当 x=± 2 时,x2﹣4=0,分式无意义,A 不正确; y2+1>0,分式一定有意义,B 正确; x=0 时,3x=0,分式无意义,C 不正确; x=﹣1 时,x+1=0,分式无意义,D 不正确, 故选:B. 【点评】 本题考查的是分式有意义的条件, 掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的 关键.

9.分式 A.72xyz2 【考点】最简公分母.

的最简公分母是( B.108xyz

) C.72xyz D.96xyz2

【分析】按照求最简公分母的方法计算即可. 【解答】解:12、9、8 的最小公倍数为 72, x 的最高次幂为 1,y 的最高次幂为 1,z 的最高次幂为 2, 所以最简公分母为 72xyz2.故选 A. 【点评】 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母, 这样的公分 母叫做最简公分母.一般方法:①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最 小公倍数,相同字母的最高次幂,所有不同字母都写在积里.②如果各分母都是多项式,就 可以将各个分母因式分解,取各分母数字系数的最小公倍数,凡出现的字母(或含字母的整 式)为底数的幂的因式都要取最高次幂.

10.已知如图,AC⊥BC,DE⊥AB,AD 平分∠BAC,下面结论错误的是(

)

A.BD+ED=BC

B.DE 平分∠ADB C.AD 平分∠EDC

D.ED+AC>AD

【考点】角平分线的性质. 【专题】推理填空题. 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 DE=DC,然后利用 AAS 证明 △ ACD≌△AED,再对各选项分析判断后利用排除法. 【解答】解:∵AC⊥BC,DE⊥AB,AD 平分∠BAC, ∴DE=DC, A、BD+ED=BD+DC=BC,故本选项正确;

B、C、在△ ACD 与△ AED 中, ∴△ACD≌△AED(AAS) , ∴∠ADC=∠ADE, ∴AD 平分∠EDC,故 C 选项正确; 但∠ADE 与∠BDE 不一定相等,故 B 选项错误;



D、∵△ACD≌△AED, ∴AE=AC, ∴ED+AC=ED+AE>AD(三角形任意两边之和大于第三边) ,故本选项正确. 故选 B. 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,证明△ ACD≌△AED 是解题的关键.

11.下列三角形: ①有两个角等于 60° ; ②有一个角等于 60° 的等腰三角形; ③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形; ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形. 其中是等边三角形的有( A.①②③ ) B.①②④ C.①③ D.①②③④

【考点】等边三角形的判定. 【分析】根据等边三角形的判定判断. 【解答】解:①两个角为 60 度,则第三个角也是 60 度,则其是等边三角形,故正确; ②这是等边三角形的判定 2,故正确; ③三个外角相等则三个内角相等,则其是等边三角形,故正确; ④根据等边三角形三线合一性质,故正确. 所以都正确. 故选 D. 【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况.

12.下列各式正确的是(

)

A.

=﹣

B.

=﹣

C.

=﹣

D.

=﹣

【考点】分式的基本性质. 【分析】根据分式的分子分母同乘或同除以同一个整式(0 除外)分式的值不变,可得答案.

【解答】解:A

,故 A 错误;

B

,故 B 正确;

C

,故 C 错误;

D 故选:B.

,故 D 错误;

【点评】本题考查了分式的性质,分式的分子分母同乘或同除以同一个整式(0 除外)分式 的值不变,注意分式的分子分母都乘或都除以同一个整式(0 除外) ,不能遗漏.

13.等腰三角形的一个内角是 75° ,它的顶角是( A.30° B.75°

) D.105°

C.30° 或 75°

【考点】等腰三角形的性质. 【分析】由于等腰三角形的底角或顶角不能确定,故应分两种情况进行讨论. 【解答】解:等腰三角形的顶角为 75° ; 当等腰三角形的底角为 75° 时,其顶角=180° ﹣75° × 2=30° . 所以它的顶角是 30° 或 75° . 故选 C. 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,解答此题时要注意分两种情况进行讨论,不要漏 解.

14.尺规作图是指( A.用直尺规范作图 B.用刻度尺和圆规作图

)

C.用没有刻度的直尺和圆规作图 D.直尺和圆规是作图工具 【考点】作图—尺规作图的定义. 【分析】根据尺规作图的定义作答.

【解答】解:根据尺规作图的定义可知:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图. 故选 C. 【点评】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.

15.如图,△ ABC≌△EFD,AB=EF,AE=15,CD=3,则 AC=(

)

A.5

B.6

C .9

D.12

【考点】全等三角形的性质. 【分析】根据全等三角形的性质求出 AC=DE,求出 AD=CE,即可求出 AD,即可求出答案. 【解答】解:∵△ABC≌△EFD, ∴AC=DE, ∴AC﹣CD=DE﹣CD, ∴AD=CE, ∵AD+CD+CE=AE,AE=15,CD=3, ∴AD=CE=6, ∴AC=6+3=9, 故选 C. 【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用,能根据全等三角形的性质求出 AC=DE 是解 此题的关键,注意:全等三角形的对应角相等,对应边相等.

16.一张长方形按如图所示的方式折叠,若∠AEB′=30°,则∠B′EF=(

)

A.60°

B.65°

C.75°

D.95°

【考点】平行线的性质;翻折变换(折叠问题) . 【分析】根据折叠性质求出∠BEF=∠B′EF,根据∠AEB′+∠B′EF+∠BEF=180° 求出即可. 【解答】解:∵折叠 B 和 B′重合, ∴∠BEF=∠B′EF, ∵∠AEB′=30°, ∴∠B′EF= (180° ﹣30° )=75° , 故选 C. 【点评】 本题考查了折叠变换的应用, 能根据折叠性质求出∠BEF=∠B′EF 是解此题的关键.

17.如图所示,在∠AOB 的两边截取 AO=BO,CO=DO,连接 AD、BC 交于点 P,考察下 列结论,其中正确的是( )

①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD;③点 P 在∠AOB 的平分线上.

A.只有①

B.只有②

C.只有①②

D.①②③

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】由 AO=BO,∠O=∠O,DO=CO,①△AOD≌△BOC,∠A=∠B; AO=BO,CO=DO?AC=BD,又∠A=∠B,∠APC=BPD?② △ APC≌△BPD; 连接 OP,容易证明△ AOP≌△BOP?∠ AOP=∠BOP?③点 P 在∠AOB 的平分线上. 【解答】解:连接 OP, ∵AO=BO,∠O=∠O,DO=CO, ∴△AOD≌△BOC,①正确; ∴∠A=∠B; ∵AO=BO,CO=DO, ∴AC=BD,又∠A=∠B,∠APC=BPD, ∴△APC≌△BPD,②正确;

∴AP=BP, 又 AO=BO,OP=OP, ∴△AOP≌△BOP, ∴∠AOP=∠BOP,即点 P 在∠AOB 的平分线上,③正确. 故选 D.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、 AAS、ASA 和 HL,做题时,要根据已知条件结合图形进行思考.

18.分式 A.1 个



, B.2 个



中,最简分式有( C .3 个

)

D.4 个

【考点】最简分式. 【分析】 最简分式的标准是分子, 分母中不含有公因式, 不能再约分. 判断的方法是把分子、 分母分解因式, 并且观察有无互为相反数的因式, 这样的因式可以通过符号变化化为相同的 因式从而进行约分.

【解答】解:

分子分母有公因式 x2﹣1,

; 故选 C.



这三个是最简分式.

【点评】最简分式就是分子和分母没有可以约分的公因式.

19.化简

的结果是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】约分. 【分析】先把分子提取公因式,再把分母根据平方差公式进行因式分解,然后再分子与分母 约分即可.

【解答】解: 故选:B.

=

=



【点评】此题考查了约分,把要求的式子进行变形,再分子与分母进行约分是解题的关键, 注意约分时一定约到最简.

20.已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线,下列说法正确的是( A.与 AB 距离相等的点在 MN 上 B.与点 A 和点 B 距离相等的点在 MN 上 C.与 MN 距离相等的点在 AB 上 D.AB 垂直平分 MN 【考点】线段垂直平分线的性质.

)

【分析】由 MN 是线段 AB 的垂直平分线,可得与点 A 和点 B 距离相等的点在 MN 上,MN 垂直平分 AB.继而求得答案;注意排除法在解选择题中的应用. 【解答】解:∵MN 是线段 AB 的垂直平分线, ∴与点 A 和点 B 距离相等的点在 MN 上,MN 垂直平分 AB. 故 B 正确;A、C、D 错误. 故选 B. 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质.此题比较简单,注意掌握线段垂直平分线的定 义是关键.

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分)

21.要使分式 【考点】分式有意义的条件.

有意义,则 x 应满足 x≠﹣1 且 x≠2.

【分析】根据分式有意义,分母不为 0 列出不等式,计算即可. 【解答】解:由题意得, (x+1) (x﹣2)≠0,

解得 x≠﹣1 且 x≠2. 故答案为:x≠﹣1 且 x≠2. 【点评】本题考查的是分式有意义的条件,掌握分式有意义,分母不为 0 是解题的关键.

22.已知点 A(3,﹣2) ,点 B(a,b)是 A 点关于 y 轴的对称点,则 a+b=﹣5. 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质得出 a,b 的值即可. 【解答】解:∵点 A(3,﹣2) ,点 B(a,b)是 A 点关于 y 轴的对称点, ∴a=﹣3,b=﹣2, 则 a+b=﹣3﹣2=﹣5. 故答案为:﹣5. 【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质,正确掌握横纵坐标关系是解题关键.

23.已知△ ABC≌△ADE,如果∠BAE=135° ,∠BAD=40° ,那么∠BAC=95° .

【考点】全等三角形的性质. 【分析】求出∠DAE=95° ,根据全等三角形的性质求出∠BAC=∠DAE,代入求出即可. 【解答】解:∵∠BAE=135° ,∠BAD=40° , ∴∠∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=95° , ∵△ABC≌△ADE, ∴∠BAC=∠DAE=95° , 故答案为:95° . 【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用,能根据全等三角形的性质求出 ∠BAC=∠DAE 是解此题的关键,注意:全等三角形的对应角相等,对应边相等.

24.在△ ABC 中,DE 垂直平分线段 AB,交 AB 于 E,交 AC 于 D,已知 AC=16,△ BCD 的周长为 25,则 BC=9.

【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】由 DE 垂直平分线段 AB,根据线段垂直平分线的性质,可得 AD=BD,继而可得 △ BCD 的周长=AC+BC=25,继而求得答案. 【解答】解:∵DE 垂直平分线段 AB, ∴AD=BD, ∵△BCD 的周长为 25, ∴BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=25, ∵AC=16, ∴BC=9. 故答案为:9. 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质.注意垂直平分线上任意一点,到线段两端点的 距离相等.

三、解答题(共 5 小题,满分 48 分)

25. (1)计算: (2)先化简,再求值: (x﹣1﹣ ) ,其中 x= .

【考点】分式的化简求值;分式的混合运算. 【分析】 (1)先把后两项通分,再与第一项相加即可; (2)先算括号里面的,再把除法变为乘法,约分即可,最后把 x 的值代入计算即可.

【解答】解: (1)原式=

+



= =1;

+

(2)原式=[



]?

= = =x﹣3,

?

把 x= 代入原式= ﹣3=﹣ . 【点评】本题考查了分式的化简求值以及分式的混合运算,分式混合运算要注意先去括号; 分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要统一为乘法运算.

26.如图所示,∠BAC=120° ,若 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC,求∠PAQ 的度数.

【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】 由 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC, 可得 PA=PB, AQ=CQ, 即可证得∠B=∠BAP, ∠C=∠CAQ,又由∠BAC=120° ,可求得∠B+∠C 的度数,即可得∠BAP+∠CAQ 的度数, 继而求得答案. 【解答】解:∵PM 垂直平分 AB, ∴PA=PB, ∴∠B=∠BAP, 同理:QC=QA, ∴∠C=∠CAQ, ∵∠BAC=120° , ∴∠B+∠C=60° , ∴∠BAP+∠CAQ=60° , ∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=60° .

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.注意求得 ∠BAP+∠CAQ 的度数是关键.

27.请用圆规和直尺作一个已知角的平分线,保留作图痕迹,并写出作法. 已知:∠AOB 求作:∠AOB 的平分线 作法:

【考点】作图—基本作图. 【专题】计算题. 【分析】利用基本作图(作已知角的角平分线)作出∠AOB 的平分线. 【解答】作法: (1)以 O 点为圆心,任意长为半径画弧分别交 OA 于 M、OB 于 N, (2)分别以 M、N 点为圆心,以大于 MN 的长为半径画弧,两弧相交于点 P, (3)作射线 OP, OP 为所作.

【点评】本题考查了作图﹣基本作图:基本作图有:作一条线段等于已知线段;作一个角等 于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线.

28.如图,点 E、F 在 BC 上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF 与 DE 交于点 O. (1)求证:AB=DC; (2)若∠EOF=60° 试判断△ OEF 的形状,并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质. 【分析】 (1)易证 BF=CE,即可求得△ ABF≌△DCE,即可解题; (2)根据(1)中求证的△ ABF≌△DCE,即可求得∠OEF=∠OFE,即可解题. 【解答】解: (1)∵BE=CF, ∴BF=CE, 在△ ABF 和△ DCE 中,

, ∴△ABF≌△DCE, (AAS) ∴AB=DC; (2)∵△ABF≌△DCE, ∴∠OEF=∠OFE, ∵∠EOF=60° , ∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60° , ∴△OEF 为等边三角形. 【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,考 查了等边三角形的判定,本题中求证△ ABF≌△DCE 是解题的关键.

29.如图,在△ ABC 中,∠BAC=90° ,AB=AC,D 在 AC 上,过 C 作 CE⊥BD 的延长线于 F,交 BA 的延长线于 E. (1)BD 与 CE 相等吗?请说明理由; (2)BE 与 AC+AD 相等吗?请说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 【分析】 (1) 利用已知条件证明△ ABD≌△ACE, 利用全等三角形的对应边相等得到 BD=CE. (2)由(1)知△ ABD≌△ACE,得到 AD=AE,由 BE=AB+AE,利用线段的等量代换, 即可解答. 【解答】解: (1)∵CE⊥BF, ∴∠EFB=90° ∴∠E+∠ABD=90° , 又∵∠BAC=90° , ∴∠EAC=∠BAD=90° ∴∠E+∠ECA=90° , ∴∠ABD=∠ECA, 在△ BAD 和△ ACE 中,

, ∴△ABD≌△ACE, ∴BD=CE. (2)由(1)知△ ABD≌△ACE ∴AD=AE, 又∵AB=AC, ∴AB+AE=AC+AD, 即 BE=AC+AD. 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理,解决本题的关键是证明 △ ABD≌△ACE.


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