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2012高一数学 3.3.1 几何概型课件 新人教A版必修3


3.3 3.3.1

几何概型 几何概型

学习目标

通过具体问题理解几何概型的概念,并能求
其概率.

课前自主学案 3.3.1

几 何 概 型

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.古典概型的两个重要特征:一是一次试验 可能出现的结果只有_________;二是每种结 有限个 都相等. 果出现的可能性__________ 2.下列不能用古典概型解决的是(2)(3). (1)甲、乙等四人参加4×100 m接力赛,甲跑 第一棒的概率;

(2)运动员命中靶心的概率; (3)某公交车每10分钟一班,在车站停1分钟, 乘客到达站台立即上车的概率.

知新益能

1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概 几何概型. 率模型为几何概率模型,简称___________ 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 _______________ 无限多个. 相等. (2)每个基本事件出现的可能性______

3.几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果构成的区域长度?面积或体积?

问题探究

1.几何概型的概率计算与构成事件的区域形 状有关吗? 提示:几何概型的概率只与它的长度(面积或 体积)有关,而与构成事件的区域形状无关. 2.在几何概型中,如果A为随机事件,若P(A) =0,则A一定是不可能事件;若P(A)=1,则 A一定是必然事件,这种说法正确吗?

提示:这种说法是不正确的.如果随机事件 所在的区域是一个单点,由于单点的长度、 面积和体积都是0,则它出现的概率为0,显 然它不是不可能事件;如果一个随机事件所 在的区域是从全部区域中扣除一个单点,则 它出现的概率是1,但它不是必然事件.

课堂互动讲练

考点突破 一维型的几何概型 一维型的几何概型是指区域测度是线段的长 度、角度的大小、弧长等. 如图,在等腰直角三角形ABC中,过直角顶 例1 点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线 段AB交于点M. 求AM<AC的概率.

【思路点拨】 先计算AM=AC时∠ACM的 度数,再找出相应的区域角,利用几何概型 的概率公式求解即可.
【解】 这是几何概型问题且射线 CM 在∠ ACB 内部, 在 AB 上 取 AC′ = AC , 则 ∠ ACC′ = 180° -45° =67.5° . 2

设 A={在∠ACB 内部作一条射线 CM, 与线 段 AB 交于点 M,AM<AC}.则所有可能结 果的区域角度为 90° ,事件 A 的区域角度为 67.5° , 67.5 3 ∴P(A)= = . 90 4

【思维总结】 在解答本题的过程中,易出 现用线段来代替角度作为区域度量来计算概 率的错误,导致该种错误的原因是忽视了基 本事件的形成过程. 互动探究1 在等腰直角三角形ABC中,在斜 边AB上任取一点M,求AM的长大于AC的长 的概率.

解:设 AC=BC=a,则 AB= 2a,在 AB 上截取 AC′ = AC , 于 是 P(AM>AC) = P(AM>AC′) = BC′ AB-AC 2a- 2a 2- 2 = = = .即 AM 的长大 AB AB 2a 2 2- 2 于 AC 的长的概率为 . 2

二维型的几何概型
二维型的几何概型是指区域测度是由两个变 量确定的面积.
例2

在圆 x2+y2-2x-2y+1=0 内随机投点,

1 求点与圆心间的距离小于 的概率. 3

【思路点拨】

确定总结果的图形及面积 →

确定事件A的图形及面积 → 计算概率

【解】 圆 x2+y2-2x-2y+1=0 可化为(x- 1)2+(y-1)2=1,则圆的圆心为 C(1,1),半径 r =1. 1 点与圆心间的距离小于 的区域是以 C(1,1)为 3 1 圆心,以 为半径的圆内部分.故点与圆心距 3 12 π? ? 3 1 1 离小于 的概率为 P= 2 = . 3 π·1 9

【思维总结】 找出或构造出随机事件对应 的几何图形,利用图形的几何特征计算相关 面积,套用公式从而求得随机事件的概率. 变式训练2 向边长为2的正六边形内任意投 掷一点,则该点到正六边形的所有顶点的距 离均不小于1的概率是________.

解析:如图,根据题意可知,只要点落在图中 的空白区域即可,所求的概率是图中空白区域 的面积和正六边形的面积之比,故所求的概率 2π 3π 为 1- =1- . 9 3 3 2 ×2 2

3π 答案:1- 9

三维型的几何概型
三维型的几何概型是指区域测度是空间几何 体的体积.
例3

一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内

自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与 正方体6个面的距离均大于1,称其为“安全 飞行”,求蜜蜂“安全飞行”的概率.

【思路点拨】 要使这个飞到正方体六个面 的距离均大于 1,这个点必须在以正方体的 1 中心为中心,棱长为 的正方体内. 3 【解】 依题意,在棱长为 3 的正方体内任 意取一点,这个点到各面的距离均大于 1. 则满足题意的点区域为:位于该正方体中心 的一个棱长为 1 的小正方体. 由几何概型的概率公式,可得满足题意的概 率为: 13 1 P= 3= . 3 27

【思维总结】 本题相当于把正方体分割为 27块棱长为1的小正方体,蜜蜂位于正中间的 一个正方体内.

互动探究 3 本例条件不变, 求这个蜜蜂飞到 1 正方体某一顶点 A 的距离小于 的概率. 3

1 解:到 A 点的距离小于 的点,在以 A 为球心, 3 1 半径为 的球内部, 而点又必须在已知正方体内, 3 4 13 1 则满足题意的 A 点的区域体积为 π×( ) × . 3 3 8 4 13 1 π×? ? × 3 3 8 π ∴P= = 3 7. 3 2×3

方法感悟 方法技巧 1.在求解与长度有关的几何概型时,首先找 到几何区域D,这时区域D可能是一条线段或 几条线段或曲线段,然后找到事件A发生对应 的区域d,在找d的过程中,确定边界点是问 题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A 的概率.(如例1) 2.当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域 问题时,常以角度的大小作为区域度量来计 算概率.(如例1)

3.如果试验的全部结果所构成的区域可用体 积来度量,我们要结合问题的背景,选择好 观察角度,准确找出基本事件所占的区域的 体积及事件A所分布的体积.其概率的计算公 式为

构成事件A的区域体积 P(A)= .(如 试验的全部结果构成的区域体积 例 3)

失误防范 1.适当选择观察角度,注意区分几何量是长 度还是角度或是面积、体积.(如例1) 2.几何概型,事件A发生在总区域内也是均 匀的,即是等可能的.


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