kl800.com省心范文网

高中物理奥赛全集


CAI使用说明
1、加下划线文字 —— 表示有备注供查看 2、斜体文字 —— 表示有超链接 3、 4、 5、 6、 —— 表示返回至链接来处 —— 表示到上一张幻灯片 —— 表示到下一张幻灯片 —— 表示到首页

中学物理奥林匹克竞赛辅导
(南充高中)

第五讲 动能和动量
引言 Ⅰ、功与动能 基本知识与方法
一、功
二、动能定理 三、质点组的功能原理

Ⅱ、冲量与动量 基本知识与方法
一、冲量概念 二、质点动量定理及动量守恒定理
三、质点组的动量定理及动量守恒定理 四、碰撞

综合例题
例题1 例题2 例题3 例题4 例题5 例题6 例题7

综合例题
例题1 例题2 例题3 例题4 例题5 例题6 例题7 例题8 例题9 例题10 例题11 例题12

第四讲
一、力对质点的瞬时作用效应: F
?

动量和能量
引言
? ? ma

? ? ? a, 各瞬时的合外力 F 决定了加速度 a 的大小和方向 使质量为m的质点产生加速度

二、力对质点的累积作用效应 1、持续作用一段路程 力对质点的路程累积作用 ——功 与功相对应的质点的运动状态 ——动能 2、持续作用一段时间

力对质点的时间累计作用 ——冲量
与冲量相对应的质点的运动状态 ——动量

Ⅰ、功与动能
基本知识和方法
一、功 1 概念 反映力对质点的路程累积效应. 2 定义及计算式 2-1、前提条件: 将物体模型化为质点. 2-2、公式 2-2-1、质点沿直线运动,作用力为恒力
W ? F ( l co s ? ) ? l ( F co s ? )

? F

?

? v

? F

?
l
0?? ??

>0, 为锐角 Φ =0, =90° Φ <0, Φ为钝角

F c o s ?:
l co s ? :

力沿位移方向的分量大小 位移沿力的方向的分量的大小

2-2-2、质点沿曲线运动,作用力为变力
小 量 功 ? W ? F ? ? l ? cos ?

? F

Φ >0, 为锐角 =0, = 90° Φ <0, Φ为钝角

?
??? ?l
0?? ??
?? ? ? 在 ? l上 F 的 变 化 忽 略 不 计

? v

总功 W

?

?
1

?

Fi ? li c o s ? i

3、需要深入理解的几点 3-1、合力的功等于各分力做功之和 证明:
F c o s ? ? F1 c o s ? 1 ? F 2 c o s ? 2 ? F
3

cos ?3 ? ? ?

? ? ? ? F ? F1 ? F 2 ? F 3 ? ? ?

? W ? F ? ? l ? co s ? ? ? l ? F ? co s ?
? ? l ? ( F1 c o s ? 1 ? F 2 c o s ? 2 ? F 3 c o s ? 3 ? ? ? ) ? ? l ? F1 c o s ? 1 ? ? l ? F 2 c o s ? 2 ? ? l ? F 3 c o s ? 3 ? ? ?
? ?W 1? ?W2 ? ?W3 ? ??

?
??? ?l
0?? ??

? v

例 如图,人用大小不变的力F拉动物体,使物体在水平

光滑地面移动了S的位移,绳和地面的夹角由θ1变成了θ2. (1)求合外力对物体做的功; (2)求人收绳所做的功.
解 (1) 重力、地面支持力不做功. 水平绳的拉力做功为 W 1 倾斜绳的拉力做功为
W2 ?
? F(
? FS

F
L1

L2

F

F F
S

h

?1

?2 F

?
i

Fi ( ? S i c o s ? i ) ? F
? h s in ? 2

? (?S
i

i

c o s ? i ) ? F ( L1 ? L 2 )
1 s in ? 2 )

h s in ? 1

) ? Fh(

1 s in ? 1

?

? (?S
i

i

co s ? i ) : 表 示 沿 倾 斜

注意到
即h ? S

拉力F方向上绳的缩短总量.

S ? h c o t ? 1 ? h c o t ? 2 ? h (c o t ? 1 ? c o t ? 2 )

cot ?1 ? cot ? 2



所以 W 2

? F ? S

S cot ?1 ? cot ? (
2 2

(

1 s in ? 1 )
2 1

?

1 s in ?
2

).

故 W ? W1 ? W 2 ? F S ? F ?

1 s in ?
1

cot ?1 ? cot ?

?

s in ?

自己计算人收绳 所做的功.结果与 (1)相同哦!

? 1 ? FS ?1 ? cot ?1 ? cot ? ?

(
2

1 s in ?
1

?

1 s in ?
2

? )? ?

3-2、在不同参照系中同一力对质点的 同一次做功可以有不同的量值 例、火车以速度v匀速行驶. 在火车参照系中,力F的做功量为
W车 ? Fl

l

? F

? F

? v

在地面参照系中,力F的做功量则为
W 地 ? F ( l ? v t ) ? F l ? F vt

注意
计算做功量时要针对选定的参照系!!



如图所示,在倾角为θ =30°,长为L的斜面顶部放一个质量为m的木块,当斜
S ? L 2 cos?

面水平向右匀速移动

时,木块沿斜面匀速地滑到底部. 分别以地面为参照

系、斜面为参照系计算作用在木块上的各力所作的功. 解 木块受力如图. (1)对地面参照系:木块沿着AB下滑. 由已知条件B C
L AB ? BC ? 2 , ? cos 30 L ? S ? 2 , ? cos 30
N

f

A 知
?

L E C
30
?

G

? C AB ? 30 .

v D

故由 因木块相对地面匀速滑动, 平衡条件知
N ? G co s ? , f ? G sin ? .

B
S

于是各力做功为
W G ? G ? A B ? cos ? B A D ? m g ?
L 3 ? 3 2 L

?

1 2

m gL;
?

W N ? N ? A B ? co s ? B A N ? m g c o s ? ?
W
f

? cos120 ? ?
? cos150 ? ?
?

1 4 1
4

m gL;
m gL.

3
L 3

? f ? A B ? c o s ? B A f ? m g s in ? ?

(2)对斜面参照系: 故同样有 因木块相对其匀速滑动,
N ? m g co s ? , f ? m g sin ? .

N

f

A L E
G

v
D

C
于是各力做功为
? W G ? G ? A C ? cos ? C A D ? m gL ? ? W N ? N ? A C ? c o s ? C A N ? 0;
W f? ? f ? A C ? c o s ? ? ? m g sin ? ? L ? ?
1 2 m gL. 1 2 ? 1 2 m gL;

30

?

B
S

比较以上结果:

? WN ? WN ,

W

f

? W f? ,

? WG ? WG .

为什么此二者仍
相等??

3-3、一对作用力、反作用力做功的量值 3-3-1、做功之和未必为零

仅当两相互作用的质点的位移相同时,二者之和才为零.(如一对静摩擦力做功之 和为零)
3-3-2、做功之和在任何参照系中均相同 (虽然每一个力做功与参照系的选择有关) 证明:如图所示,物块和桌面所受的滑
l

动摩擦力为一对作用与反作用力.
在火车参照系中:
W ? ? f ji l ? f ij ? 0 ? ? f ji l

f ji f ij
v

在地面参照系中:

W ? ? ? f ji ( l ? v t ) ? f ij v t ? ? f ji l ? f ji v t ? f ij v t
?W ? W ?

? ? f ji l

一对作用力与反作用力做功之和的简易计算 选择其中一个力,以施加该力的物体为参照系,计算这 一个力所作的功.

二、动能定理 1、质点的动能定理
W 1-1、公式: 合 外 力 ? ?EK , 其 中 EK ?
1 2
v0
2

mv .

1-2、证明:
vt ? v0
2 2

当质点在恒力作用下沿直线运动时,
? F ? ma ? m ? 2S 2 2 vt ? v0 2S

? F
S

vt

m

m

? W ? FS ? m ?

?S

?

1 2

m vt ?
2

1 2

m v0

2

当质点在变力作用下做曲线运动时,仍可证明质点动能定理成立.
1-3、几点注意 1-3-1、动能定理只能在惯性参照系中成立 因为推导动能定理的牛顿定律只能在惯性系中成立. 1-3-2、在任何惯性系中动能定理均成立 (对同一做功过程而言) 因为导出定能定理的牛顿定律在任何惯性系 中成立 你能就如图的情况作一个简单证明吗?
? F

l
? F
? v

2、质点组的动能定理 2-1、公式推导: 由质点的动能定理可得 对质点组内的第i个质点,
W i 外 ? W i内 ? 1 2 m i v it ?
2

1 2

m ivi0 .

2

对质点组内的每一个质点均可写出这样的一个式子, 将各式相加即得:

3
W i内 ?

?
i

W i外 ?

?
i

?
i

1 2

m i v it ?
2

?
i

1 2

m ivi0 ,

2

2 1
i

或写成 1-3、几点注意

W 外 ? W内 ? E Kt ? E K 0 .

1-3-1、质点组的动能定理只能在惯性参照系中成立

因为导出它的质点动能定理的只能在惯性系中成立.
1-3-2、质点组的动能定理在任何惯性系中均成立 (对同一做功过程而言) 因为导出它的质点动能定理在任何惯性系中均成立.

2-2、W内的计算
2-2-1、一个争论问题 功的计算应在一定的

当内力为耗散力时,岂不 可以通过选择参照系来获 得很多的能量?? ——这可了不得呀!!

参照系中进行,W内的
计算应与参照系的选 择有关!

2-2-2、对问题的解答 内力做功之总和与参照系的选择无关 ——因为内力均为成对的作用力与反作用力. 2-2-3、计算内力总功的两种办法 (1)在选定的参照系中分别计算每一个内力的功,然后求和. (2)按前述计算作用力与反作用力做功之和的简易方法计算每一对内力的功, 然后求和.

3、质点、质点组的动能定理推广到加速度恒定的平动非惯性系 在惯性参照系成立 在非惯性系中 添加惯性力 在非惯性参照系成立

? ? 质 点 : F合 外 ? m a ? 质 点 组 : F合 外 ?

?
i

? ? m iai ? M aC

? ? ? 质 点 : F合 外 + m a ? ? m a ? ? 质 点 组 : F合 外 + M a ? ?

?
i

? ? m iai ? M aC

在惯性参照系成立
质 点 : W外力 ? ?EK 质 点 组 : W 外 ? W内 = ? E K

在加速度恒定的 平动非惯性系中 添加惯性力的功

在非惯性参照系成立
质 点 : W外力 +W惯性力 ? ?E K 质 点 组 : W 外 ? W 惯 性 力 + W内 ? ? E K

三、质点组的功能原理

1、保守力与非保守力
1-1、保守力: 其做功量与路径无关,仅由初、末位置确定. 重力、万有引力、弹力、库伦力等属于保守力. 1-2、非保守力: 做功量与路径有关. 各种摩擦力、水和空气对物体的粘滞阻力等属于非保守力.

非保守力中有的是耗散的(如滑动摩擦力),有的是非耗散的(如静摩擦力).
2、势能 E p = ? Fdx 2-1、概念: 由保守力做功的特点引入势能的概念. 质点势能的减少等于保守力的做功量. 或者 说,质点势能增量(或者说成变化量)的负值等于保守力所作的功.


由于 所以有

d W 保 ? ? d E P ? ? ( E P末 ? E P 初 )
? ? = F保 ? d x = F保 c o s ? d x ? ? d E P
p2 p1

2-2、保守力和势能的关系
dW保

E p末 ? E p初 ? ? ?

F保 c o s ? d x ;保 ? - s e c ? ? F

dE p dx

.

2-2、各种势能的表达式: (1)重力势能:
E P ? m gh

x
h ? dh

(对视为质点的重物)

h

m

由重力势能的表达式可求得重力:
G ? ? sec ? ? dE p dx = m g { ( h ? d h ) ? h} dh ? m gdh dh
1 2

? ? ( ? 1)

d (m gh) dh ? mg.
0

由重力势能计算重力

反之亦然. (2)弹性势能:
EP ? kx
2

(以弹簧处于自由长 度时为零势能位置)
0
x x

由弹性势能的表达式可求得弹力:
F弹 ? ? s e c ? ? k 2dx { x (1 ?
2

dE p dx

d( ? ? ( ? 1)
2

1

0

x +dx

kx ) k 2 2 2 ? {( x ? dx) ? x } dx 2dx
2

2

x

由弹性势能计算弹力

dx x

) - x }=

2

k 2dx

{ x (1 ? 2

dx x

)? x }?
2

k 2dx

? 2 xdx ? kx

反之亦然. (3)引力势能:详见后面《第七讲

万有引力与天体运动》部分

3、质点组的功能原理 3-1、推导:
W内 ? W 保 内 ? W 非 保 内 ? ? ? E P保 内 ? W 非 保 内 , W 外 ? W 保 外 ? W 非 保 外 ? ? ? E P保 外 ? W 非 保 外 .
则 ? E ? ? E K ? ? E P保 外 ? ? E P保 内 ? ? E K ? ? E P

记E

? E K ? E P保 外 ? E P保 内

为质点组的总能量,

由质点组的动能定理有 于是得 所以 即

W 外 ? W内 ? ? E K

(? ? E P保 内 ? W 非 保 内 ) ? (? ? E P保 外 ? W 非 保 外 ? ? E K ) W 非 保 外 ? W 非 保 内 ? ? E P保 外 ? ? E P保 内 ? ? E K ? ? E P ? ? E K ? ? E . W非保外 ? W非保内 ? ?E.

3-2、注意:功能原理仅适用于惯性系 (因为推导功能原理的质点组的动能定理仅适用于惯性系) 4、机械能守恒定律

4-1、推导:

W非保外 ? W非保内 ? 0 ,

由质点组的功能原理即得

?E ? 0.

也就是

E ? C ( W非保外 ? W非保内 ? 0 , )

4-2、注意:机械能守恒定律也仅适用于惯性系.

4、将质点组的功能原理及机械能守恒定律推广到加速度恒定的平动非惯性系

物体在重力场中所受重力 是大小、方向不变的恒力

重力场是保守力场 重力保守力

物体在加速度恒定的平动 非惯性系中所受非惯性力 是大小、方向不变的恒力

此种非惯性系等效于保守力场 此种非惯性力可视为保守力

质点组的功能原理
W非保外 ? W非保内 ? ?E =?EP +?E惯性力 ? ?E K .

质点组的机械能守恒定律
当 W 非 保 外 ? W 非 保 内 ? 0时 , E ? EP ? E惯性力 +E K ? C

爱因斯坦的理想实验: 在如图所示的两种情况下,密闭的升降机中的观察者所进行的一切力学实验都是

等效的,无法将两种情况区分。

? a ? 0
? g

? ? a ? ?g
? g

地球 在静止于地面上的升降机中 在无引力的太空中以g 加速上升的升降机中

综合例题
例题1 一辆在t=0时静止的车辆,被恒定的功率驱动,沿着水平直线向前行驶.忽略 阻力引起的机械能损失,车辆走过的路程与时间的关系可用下面五个关系式中的一个表 示,其余四个关系式都是错误的.试通过分析找出正确的式子(在分析中不必涉及微积 分方法). A、 S 解
功 率 P ? Fv 牵 引 力 F ? ma
? t ;

B、 S ? t ;

C、 S ?

t ;

3

D、 S ? t ;
2

E、 S ? t

3

.

① ② ③

由① 、②得
P ? m av

由以上各式可得知如下种种信息:

a恒不为零

?

v不断增大
?
v不 断 增 大

?

a不断减小

A、 S ?

t;
则S ? k t k t ? vt.

若此式正确, 而另一方面有
B、 S ? t ;

所以

v ?

k t

,

可 知 t ?? v ? .

S ? vt

这与上述信息矛盾. 若此式正确, 则

故该式子是错误的. 此结论仅在匀速直线运动时才成立.

S ? kt ,

这与上述信息矛盾. 故该式子是错误的.
C、 S ? t ;
3

若此式正确, S 则 而另一方面有
D、 S ? t ;
2

? k

t

3 3

S ? vt

k

t

? vt.

所以v ? k

t.

这与上述信息不矛盾. 但却难以据此断定其是否准确反映了车辆的路程与时间的关系. 若此式正确, 则 S ? k t 2 , 此结论仅在初速为零的匀加速直线运动时成立. 这与上述信息矛盾. 故该式子是错误的.
E、 S ? t .
3

若此式正确, 则 车 辆 行 驶 将 比 “ D ”中 的 情 况 更 快 , a必定随t增大. 这与上述信息矛盾. 故该式子是错误的. 排除各错误答案,故答案C是正确的.

利用高等数学的微积分知识,可直接得出正确答案
P ? Fv ? ma ? v ? mv
dv dt
? m 2 ? dv dt
2

即 两端积分得 即 所以

pdt ?

m 2

dv
v

2

?

t 0

Pdt ? Pt ?

?

m 2 v
2

dv

2

0

m 2

2P m

1

?t2 ? v ?
t

ds dt

得到
故答案C是正确的.

S ?

2P m

2 ? t dt ?

1

2p m

?

2 3

3

t

2

?

2 3

2p m

?

t .

3

0

例题2 如图,在一竖直固定的圆筒底部连接一根足够长的轻弹簧,弹簧的上方连接 一个圆活塞. 活塞与筒壁间有摩擦,其间的最大静摩擦力与滑动摩擦力同为活塞所受重 力的α 倍. 开始弹簧处于自由长度状态,活塞静止.随即观察到活塞降落,降落高度可

达L.
(1)以活塞初始位置为参考点,确定活塞最终可能停留的区域; (2)若观察到活塞的全部运动由两次下降和一次上升运动构成,试确定活塞最终可 能停留的区域. (活塞带孔,其上、下方的气体可自由穿越) 解 因开始时观察到活塞下降,必有
1> ? > 0 .

A
l1 l2

活塞的最后停留处必在初始位置的下方(请自行证明之). (1)需考虑活塞所受的摩擦力向上和向下两种情况时的受

B
D

力平衡. 设: 活塞初始位置在A处,降落高度可达C处,活塞的质量为m,
弹簧的劲度系数为k. 活塞向下运动时,在A下方l1的B处所受合力为零. 活塞向上运动时,在A下方l2的D处所受合力为零. 必 有 l1 l 2 . (请自行证明之) <

L

C

如果活塞在B~D之外速度为零的话,活塞还会继续运动吗? 如果活塞在B~D之外速度为零的话,则还会继续反向运动.

A
l1 l2

如果活塞在B~D之间速度为零的话,活塞还会继续运动吗?
如果活塞在B~D之间速度为零的话,便会永远停止. 下面确定范围:l1~l2 由力的平衡有: 在B处: k l1 ? m g ? ? m g 在D处: k l 2 ? m g ? ? m g 由能量关系有:
m gL ? ? m gL ? 1 2 kL
2

B
D

L

C

? (1 ? ? ) m g ? (1 ? ? ) m g

① ②
1 2

即 (1 ? ? ) m g ? l1 ? 1 2 L

kL



比较① 、③得: 由①、②得:
l 2需 满 足 :

l2 ?

1?? 1??

l1 ,

进而得到: 这要求: ?
? 1 3 .

l2 ?

1?? 2 (1 ? ? )

L.

l2 ? L ,

所以活塞最终可能停留的区域为:
当 ?< 时 (?>0 , ) 3 当? ? 1 3 时 (?<1) , 1
在 A下 方 L 2 ~ 1?? 2 (1 ? ?)

A
L.

l1 l2

E

在 A下 方

L 2

~ L.

B
D

(2)若观察到活塞的全部运动由两次下降和一次上 升运动构成,试确定活塞最终可能停留的区域. Ⅰ、为使活塞有第一次上升运动, 要求 故要求
?<
1 3
l 2< L .

L

?l

C

设活塞可由位置C上升Δl至位置E, 在此过程中有功能关系:
1 2 kL ? ? m g ? l ?
2

1 2

k (L ? ?l) ? mg ?l
2

解出:

?l ?

1 ? 3? 1??

? L.
L ? ? l< l1 ,

Ⅱ、为使活塞还有第二次下降运动,要求 由此解得:
?< .
5 1

即要求L ?

1 ? 3? 1??

? L<

1 2

L.

设活塞由位置E下降Δl′至位置H速度为零,在此 过程中有功能关系:
m g ?l? ? 1 2 k (L ? ?l) ? ? m g ?l? ?
2

A
1 2 ?l? ? 1 ? 5? 1?? ? L.

k ( L ? ? l ? ? l ?)

l1
2

E

l2

B
D

?l?
H
L

由此解出:

?l

Ⅲ、为使活塞没有第二次上升运动而最终停下来, 要求:
l1 ? L ? ? l ? ? l ? ? l 2 ;

C

将 ? l、 ? l ?、 l1、 l 2的 关 于 L 的 表 达 式 代 入 后 可 解 出 :
1 5 ?? ? 1 7 . 1 5 1 ? 3? 1?? 2 3 L. >? ? 1 7 时,

综合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ几种情况, 向上运动.最终可停留在A下方:

可知当

活塞将有且仅有两次向下运动和一

l ? L ? ?l ? ?l? ?
1 1 对应于 >? ? , 5 7 有 L 2 <l ?

? L.

A

题后小结
?本题难在要根据α的大小范围来确定活塞运动的 上升下降情况、停留的位置. ?本题还可进一步研究对某一确定的α,活塞将往返
l2

l1

E

B
D

?l?
H
L

?l

几次、运动的总时间等.
C

例3

在光滑的水平面上放一质量为m1、高为h的长方形木块,长为l(>h)的光

滑轻杆斜靠在木块右上侧棱上,轻杆上端A点固定一个质量为m2的小重物,下端O点用 光滑的小铰链连在地面上,通过铰链轻杆可自由转动,开始时系统静止,而后轻杆连同

小重物一起绕O点开始转动并将木块推向左方运动.试问木块是否会在未遇小重物前便
离开轻杆?为什么?
m2


凭经验直觉,你认为木块是否会离开轻杆?

A
l
v
m1

N

h

O

若木块尚在向左加速运动,木块一定未离开轻杆. 因木块还受到轻杆的压力N. 当木块不再加速运动了,才可能出现木块离开轻杆的情况. 此时有两种情况:

(1)N=0, 木块以匀速v向左运动, 与轻杆若即若离. 此时,木块上的接触点处的速度的法向分量等于杆上该点处的转动速度.
(2)N=0, 木块以匀速v向左运动,离开轻杆. 此时,木块上的接触点处的速度的法向分量大于杆上该点处的转动速度.

假定N=0的情况会出现. 下面研究在此以后,杆上高度为h的P点转动速度:

假设N刚为零时,杆与地面的夹角为θ, m2的速度为v2. 此时系统的机械能为
E ? m 2 g l s in ? ? 1 2 m 2v2
2

A

m2
P

v2



l h

v1

?

O

设此时杆上P点的速度为v1, 则
v2 v1 ? AO PO

?

l h s in ?

?

l s in ? h

此时杆仅因m2g的作用而转动

由此得
代入①式得 E

v2 ?

l s in ? h

v1
m 2 l v 1 s in ?
2 2 4

? m 2 g l s in ? ?

2h

2



因机械能守恒,所以由②可知,当 ? 减 小 时 , v1增 大 .

但木块上的原来与杆的接触点的速度的法向分量(垂直于杆的分量)是不变的. 所以即使出现N=0的情况,木块也不可能和杆分开.

另解 则可以设想在木块的右上棱通过铰链安装一光滑的轻质小圆环,使轻杆A恰好

套在此环内.
设某时刻木块相对地面的加速度为a,轻杆相 对地面绕轴O转动的角加速度为β,杆与地面的夹角 为θ, 杆上的P点与圆环相接触. 木块m1的受力如图所示. 由牛顿运动定律有 ① N sin ? ? m 1 a 轻杆A和小球m2组成的系统受力如图所示. 由
m2

?

A
m2g m1

N?

P h

N

l

a
N

?

O

m1 g

转动定理有
m 2 g l c o s ? ? N ? O P ? m 2l ?
2

② ③

而a和β有关联
a s in ? ? ? ? O P
将 O P ? h s in ? 代 入

?对这种明知故问的问题 要正面说出道理来还有 真有些困难! ?本题所用的假定法(即 反证法)是从反面对付 它的好办法!

② 、③中, 由① 、② 、③解出
m 2 g lh s in ? c o s ?
2

a ?

m 1 h ? m 2 l s in ?
2 2 4

.

由于a始终不小于零,这表明木块始终不会受到轻杆的 拉力作用.所以木块在未遇小重物m2之前是不会离开轻杆的.

例4 如图所示,三个半径为R、质量相同的匀质光滑 小球放在光滑水平桌面上,用一根不可伸长的细绳把它们 约束起来. 再将一个半径也为R,质量是上述一个小球质量 3倍的匀质光滑小球放在上述三球中间正上方,因细绳的约 束,下面的三个小球并未分离,试求: (1)放置上面小球后,细绳张力的T; (2)将细绳剪断后,上面的小球碰到桌面时的速度.
解 本题先是一个静力学的平衡问题,然 后才是一个动力学问题。

俯视图

O3 O1 O2 O4

(1)细绳未剪断时 连接各球心O1、O2、O3、O4, 则有
O1O2 ? O1O4 ? O1O3 ? O2O3 ? O3O4 ? O2O4 ? 2 R

O1

N

连接O1、O2与ΔO2O3O4的中心O, 则有
sin ? 0 ? O1O O1O2 ? 2 1 ,  ? 0 ? cos . 3 3

θ0 O2 O O4

O3

设球1与下面各球的压力为N,对球1由平衡条件得
3N sin ?0 ? 3mg
N? 3 2 ? mg

N

球2(及球3、球4)受球1的压力N的水平分量N ′为
N ? ? N cos?0 ?
1 2 ? mg

O1

N

现在就知道了球2在水平方 向上的受力情况

N' N

θ0 O2 O O4

O3

正是由于N ‘ 对球2的作用导致细绳 产生张力T,由平衡条件得
2T cos 30 ? N ?
0

T
N' 600

所以

T ?

6 6

mg

O2

T

(2)细绳剪断后 你当然知道球1会向下运动、球2、3、4会 向对称的三方运动啦!不过,在球1与球2、 3、4分开前后它们的运动性质有些不同哦! 在球1还未和球2(球3、球4)分开时,可以认为 球1相对于球2在作圆周运动(圆心为O2),其速度为
? ? ? v ? v1 ? v2

O1

θ0 O2 O1
v1

O3

O
O4

即为

v ? v2 sin ? ? v1 cos?  

在球1和球2分离的瞬时,仍可视球2相对球1作 向心力仅由其重力沿O1—O2方向的分量提 v2 圆运动, 供. 所以有: v
3mg sin ? ? 3m ? v
2

O2
v1

θ O O4

O3

?

(v1 cos? ? v2 sin ? ) 2R

2

  ①

2R

球1、球2还有速度关联关系
v2 cos? ? v1 sin ?       ②

由①、②可解出
v1 ? 2 Rg sin ? cos ?  , v2 ? 2 Rg sin ?
2 2 2 3

只要找到分离 时的v1 和 O1O,事儿 就好办啦!

O1
v1 ? 2 Rg sin ? cos ?  , v2 ? 2 Rg sin ?
2 2 2 3

球1下降的高度为 2R(sin ?0 ? sin ? ) 由机械能守恒有
1 1 2 2 (3m)v1 ? 3( mv2 ) ? (3m) g ? 2 R(sin ? 0 ? sin ? ) 2 2

θ0
O2 O1
v1 v2

O3 O

将v1、v2的表达式代入此式后可解出
sin ? ? 2 6 9 76 6 243

O4

O2
v v1

θ O O4

于是得到

O3

v1 ?
2

Rg

球1着地时的速度大小u由自由落体运动规 律可求得 2 2
u ? v1 ? 2 g ? H

式中H 即分离时的 O1O :

H ? 2 R sin ?

最后得到

u?

876 6 27

?

Rg

现在只有找出 分离时的θ , 事儿就能办 成啦!而θ 与O1O又是 有对应的关 系的……

还有两个思考问题: 1、如果放上球1前后,球2、球3、球4被细绳 紧紧地束缚在一起,放上球1后细绳张力会

增加(ΔT)多少?
2、球1为啥会在着地前与球2分开?

T0 N′ N0

ΔT
O3 O1 v1 O4 v2 O2 O4

问题 2

O2

v4

问题1

例题5 如图所示,质量为2m的小环套在 水平光滑固定的细杆上,并用长为l的轻绳与质 量为m的小球相连,今将轻绳沿水平拉直使小球 从与环等高处从静止释放,试问当轻绳与水平 杆的夹角为θ 时绳中张力T为多大?再用θ =90° 时的特殊值检验求得的结果. 解 释放小球后,小球绕环作圆运 动,可小环也不会呆着……

2m l 2m u

m

θ
vx

vx ? u

m

? ? ? , 设小球相对地面的速度为 v ? vx ? v y  圆环相 ? 对地面的速度为 u .

vy
vy

v?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v? ? v ? u ? (vx ? v y ) ? u ? (vx ? u ) ? v y ? (vx ? u ) ? v y

于是,小球相对于圆环的速度为 并有
vx ? u ? v y tan ?

① ②

由于系统水平方向动量守恒,故有
vx ? 2u

又由地面参照系中的机械能守恒得
mgl sin ? ? 1 2 m( v x ? v y ) ?
2 2

1 2

(2m)u

2



由①、②、③式解出vx、vy、u ,代入
2 2 2 v? ? (vx ? u ) ? v y

2m u

θ
vx
vx ? u


2 v? ?

6 gl (2 ? 3ctg ? ) sin ?
2

m vy

现在我们该去研 究绳中的张力 了!

v?

vy

2m

a

m

小球相对圆环作圆运动的向心力为
T ? mg sin ? ? ma cos? ?
2 mv?

θ
T

l

而圆环的运动满足
T cos? ? 2ma

ma
v?

由此两式解出
T ? 2(8 ? cos ? )
2

mg

(2 ? cos ? )(2 ? 3ctg ? )sin ?
2 2

? mg

u 至于θ = 90°的验证嘛……这 时,圆环没有加速度啦, 小球没有竖直速度 啦,……总之,问题简单 啦,……自己能做啦!!! θ

vx

题后小结

利用特殊的简单情况对一般结论进 行验证而判断结果的正确性是物理 学家一种常用的研究方法.

例题6 水平地面上有一质量很大的车厢以v0匀速向右行驶,车内的摆球开始时相 对车静止,摆线与竖直线夹角为θ0,其方向如图. 设摆线长为l,摆球质量为m. 试求(

相对地面参照系):
(1)摆球从初始位置第一次到达最低位置的过程中,绳张力对摆球所作的功W1. (2)摆球从初始位置第二次到达最低位置的过程中,绳张力对摆球所作的功W2. 解 在车厢参照系中,张力是否做功? 在地面参照系中,张力是否做功? 在地面参照系中张力的功能否直接计算? 在车厢参照系中,摆球的机械能守恒. 设最低点处摆球相对车厢的速度为v′,
m g l (1 ? c o s ? 0 ) ? 1 2 m v?
2

?0
v?

v0

则有

有了v′和v0,就容易在地面参
照系中由功能原理计算张力 的功了!

算得

v? ?

2 g l (1 ? c o s ? 0 ) .

(1)摆球第一次达到最低点时:

小球的速度为
1 2

v1 ? v 0 ? v ?. ( v 1 可正可负)

??
v?

由质点组的功能原理得
W1 ? ? 1 2 m v1 ? [
2

v0

1 2

m v 0 ? m g l (1 ? c o s ? 0 )]
2

2 m ( v 0 ? v ?) ?

1 2
2

m v 0 ? m g l (1 ? c o s ? 0 )
2

? ? m v0v? ?

1 2

m v ? ? m g l (1 ? c o s ? 0 )

将 v? ?

2 g l (1 ? c o s ? 0 ) 代 入 得 2 g l (1 ? c o s ? 0 ) .

W1 ? ? m v0

(1)摆球第二次达到最低点时: 小球的速度为
1 2
v1 ? v 0 ? v ?.

题后小结 还很少用功能原 理来计算功呢!

由质点组的功能原理得
W2 ? ? 1 2 m v2 ? [
2 2

1 2

m v 0 ? m g l (1 ? c o s ? 0 )]
2

m ( v 0 ? v ?) ?

1 2

m v 0 ? m g l (1 ? c o s ? 0 )
2

? m v0

2 g l (1 ? c o s ? 0 ) .

例题7 一个足够深的长为l、宽为b的矩形盛水金鱼缸放在火车车厢内,缸的长边方
向与火车的长边方向一致,当火车匀速运动时,水面与缸口的距离为h. 从某时刻开始火 车作加速度为a匀加速运动,为使水不溢出,求a的最大可取值. (设缸中水的表面始终保 持平面形状) 液体以AB面为平 以火车为参照系, 衡位置做振动. ? ? ? 等效的重力场为 g ? ? g ? a , 其方向垂直 于AB. 此场是一等效保守力场. 引入该力场中 的物体的等效重力势能. 在该力场(即以车 为参照系)中也有“机械能守恒”.
R
h
C1



a

A
N

?
a
g?

O

D

l

ta n ?

B g Z

2

l

设在平衡位置时全部液体的等效重力势 能为零.
液体的 则在开始液面处于水平面ND时, 等效势能为
E P1 l 1 l ? 1 1 ? ? ? ? [ ( l )( ta n ? )] ? b ? g ? ? 2 ? ( s in ? ? 2 2 ? ? 2 3 2 ? ? ? ? ) ? ?

三棱柱ODB的体积为
V1 ? [ 1 l l ( )( ta n ? )] ? b 2 2 2 1 l ( s in ? ) 3 2

其质心C1距AB的距离为
H1 ?

当液体振动至液面处于RZ位置时, 其等 效的重力势能为
EP2 ??1 l 1 ? ? ? ? ?? ( ) x ? b ? ? g ? 2 ? ( x ta n ? ? ? ? 3 ? ?? 2 2 ? ? ? ) ? ?

R
h x
C2
C1

a

A
N

?
a
g?

O

D

l

ta n ?

因机械能守恒,故有 即
? [

B g Z

2

E P1 ? E P 2

l 1 l ? 1 1 ? ? ( l )( ta n ? )] ? b ? g ? ? 2 ? ( s in ? ? 2 2 ? ? 2 3 2 ? ? ?
) ? ? ?

)

? ? ?

l

??1 l 1 ? ? ? ? ?? ( ) x ? b ? ? g ? 2 ? ( x cos ? ? ? ? 3 ? ?? 2 2 ? ? l la x ? ta n ? ? . 解出 2 2g

三棱柱OAR的体积为
V2 ? [ 1 l ( )x]?b 2 2 1 3

为使液体不溢出, 要求
x ? h ? AN
? h?
la 2g

l 2

ta n ? ? h ?
al 2g

la 2g

其重心C2距AB的距离为
H2 ? ( x cos ? )

即 所以

? h?

,

a ?

gh l

.

Ⅱ、冲量与动量
基本知识和方法
一、冲量概念 1、概念:作用于质点上的某力对时间的累积效应即该力对质点冲量. 2、定义及计算 2-1、恒力的冲量 2-2、变力的冲量 2-3、合力的冲量
? ? I ? Ft
? ( F i ? t ) ( ? t为 无 穷 小 量 时 间 )

? F

路径
? Fi

? I ?

?
i



? Fi ?

?
j

? Fj, ? ( F ij ? t )] ? ? F ij ) ? t ] ?
? ( F( 合 外 力 )? t ) i

?t

路径

则每一个力对质点的冲量之合等于合力对质点的冲量.
? I ?

? [?
i j

? [( ?
i j

?
i

2-4、一对作用力和反作用力的冲量 其冲量之合为零. 分别作用在两个质点上.

二、质点的动量及质点的动量定理 1、质点的动量 ? ? ? ? ? 由 F ? ma, 得 F ?t ? ma ? ?t ? m?v
? ? 定 义 动 量 “ m v ”为 质 点 的 动 量 P .

? ? ? ( m v ). ? ? P ? mv 即

2、质点的动量定理

? ? ? ? I ? P2 ? P 1 ( I 为 合 力 对 质 点 的 冲 量 )

三、质点组的动量及质点组的动量定理、动量守恒定理 1、质点组的动量
? P ?

?
k

? Pk ?

?
k

? ( m k v k ).

其质心表示为
? P ?

m1

? P1

?
k

? (m k vk ) ?

? (m
k k

? ? rk
k

?t

)?

?[
k

? ? ( m k rk ) ?t

]

C
vC

m2 ? P2

M
mk

?
?
k

? [ ? ( m k rk )] ?

? ? [ ? ( m k rk ) ] ?t ?

? ? ( M rC ) ?t



?t ? M ? rC ? ? ? M vC ?t ? P ?

? Pk

?
k

? ? Pk ? M v C
质点的动量及质点的动量定理

2、质点组的动量定理 对质点k:

? ? ? ? I k 外 ? I k内 ? Pk 2 ? Pk 1
m1
? I k外 ? ? I k内 ? ? Pk 2 ? ? Pk 1

式子两端对所有质点求合,得

? P1

?
k

?
k

?
k

?
k

? I

m2 ? P2

k内

由于内力必然成对出现,而一对作用力反作用力的 冲量之合为零. 所以 ?
k

? I k内 ? 0 .

? Pk

mk

于是

? I合外力 ?

?
k

? I k外 ?

?
k

? Pk 2 ?

?
k

? ? ? Pk 1 ? P2 ? P1

? I

k外

3、质点组的动量守恒定理 由?
k

? I k外 ?

?
k

? Pk 2 ?

?
k

? ? ? Pk 1 ? P2 ? P1

考虑一段小量时间? t . 在此时间内,所有外力对质点组的冲量为:

?
k

? I k外 ?

? [?
k j

? ( F k j ? t )] ?

? [( ?
k j

? Fkj ) ? t ] ? ( ?
k

?
j

? Fkj ) ? t

{式 中 ( ?
k

?
j

? ? F j )为 质 点 组 所 受 的 合 外 力 F 合 外 力 }

? ? 若 F 合 外 力 ? 0 , 则 ? I k 外 ? 0.
k

于是有
m1

? ? ? ? ) P2 ? P1 ? 0 ( 即 P ? C

? P1

或者

? P2 x ? P1 x ? 0 , ? ? P2 y ? P1 y ? 0 .

? ( F合 外 力 ? 0 )

? I

k内

C

m2 ? P2

如果仅在某一方向上质点组的合外力为零,则质点 组在且仅在该方向上动量守恒.

? Pi

mk

4、质点组的质心的动量定理及动量守恒定理 由质点组动量的质心表示, 可将上述质点组动量定理、 动量守恒定理化为
? ? ? ? ? I 合 外 力 ? PC 2 ? PC 1 ? M v C 2 ? M v C 1

? I

k外

或者

? ? ? ? M vC 2 ? M vC1 ? 0 ( 即 M vC ? C ) ? M C 2 x ? M C1x ? 0 , ? ( F合 外 力 ? 0 ) ? ? M C 2 y ? M C1 y ? 0 .

四、碰撞 碰撞中的物体通常模型化为质点. 常规外力(如重力、摩擦力等)的冲量一般可忽 略. 常规外力的做功也可忽略不计. 已知碰前物体速度求碰后的速度是碰撞的基本问题. 1、直线碰撞(正碰) 1-1、两体正碰

v 20

v1 0

2
v2

1
v1

x

2

1

x

碰撞前后的运动情况如图. 由动量守恒有
m 1 v1 0 ? m 2 v 2 0 ? m 1 v1 ? m 2 v 2

需要补充反映碰撞前、后能量关系的方程
1-1-1、对弹性碰撞 系统内部无耗散力做功,系统无动能损失. 所以
1 2 m 1 v1 ?
2

1 2

m 2v2 ?
2

1 2

m 1 0 v1 0 ?
2

1 2

m 20 v 20

2

与动量守恒方程联立,解得:
v 1? ( m 1 ? m 2 ) v1 0 ? 2 m 2 v 2 0 ( m 2 ? m 1 ) v 2 0 ? 2 m 1 v1 0 , v2 ? . m1 ? m 2 m1 ? m 2

( m 1 ? m 2 ) v1 0 ? 2 m 2 v 2 0 ( m 2 ? m 1 ) v 2 0 ? 2 m 1 v1 0 v 1? , v2 ? . m1 ? m 2 m1 ? m 2

v 20

v1 0

讨论: (1)若 m 1 (2) 若 m 1

2
v2

1
v1

x

? m, 可 得 出 v ? v , v ? v . 2 1 20 2 10

即两质点交换速度(大小、方向均交换)
? ?, 可 得 v1 ? v1 0 , v 2 ? ? v 2 0 .

2

1

x

此即小球m2碰“墙m1”后反弹的情况.

(3)v 2

? v1 ? ? ( v 2 0 ? v1 0 ) ? 1 ? ( v1 0 ? v 2 0 ).

自己证明此结论! 表明碰撞前、后两质点相对速度大小不变 ,方向反向. 1-1-2、对完全非弹性碰撞 碰后两质点粘在一起运动, v1=v2. 将此代入 前面的动量守恒式,得
v 2 ? v1 ? m 1 v1 0 ? m 2 v 2 0 m1 ? m 2 .
v 20

v1 0

2

1

x

v1 ? v 2

2 1

x

v 2 ? v1 ?

m 1 v1 0 ? m 2 v 2 0 m1 ? m 2

.

v 20

v1 0

此时系统的动能损失为
?E损 ? ( ? 1 2 m 1 v1 0 ?
2 2

2
2

1

x

1 2 .

m 2 v 20 ) ? (

1 2

m 1 v1 ?
2

1 2

m 2v2 )

2

v1 ? v 2

m 1 m 2 ( v 2 0 ? v1 0 ) 2 ( m1 ? m 2 )

2 1

x

完全非弹性碰撞后质点间的相对速度为零,可表 示为
v 2 ? v1 ? 0 ? ( v1 0 ? v 2 0 )

1-1-3、对非弹性碰撞(不完全的非弹性碰撞) 碰撞前、后质点的相对速度的关系为
v 2 ? v1 ? e ? ( v1 ? v 2 ).

下面的v1、v2的表达式

能否用于弹性碰撞和 完全非弹性碰撞?

(0 < e <1 )

e: 恢 复 系 数 . e的大小由两碰撞的物体的材料性质

所决定. 与动量守恒方程联立,解得:
v1 ? v1 0 ? (1 ? e ) m 2 ( v1 0 ? v 2 0 ) (1 ? e ) m 1 ( v 2 0 ? v1 0 ) , v 2 ? v 20 ? . m1 ? m 2 m1 ? m 2

此时系统的动能损失为
?E损 ? (
2

1 2

m 1 v1 0 ?
2

1 2

m 2 v 20 ) ? (
2 2

1 2

m 1 v1 ?
2

1 2

m 2v2 )

2

? (1 ? e )

m 1 m 2 ( v 2 0 ? v1 0 ) 2 ( m1 ? m 2 )

? 如何用此式计算弹 性碰撞和完全非弹性碰 撞的动能损失? ? 如何由此式证明完 全非弹性碰撞动能损失 最大?

.

1-2、三体正碰 碰撞前、后动量总是守恒.
m 1 v1 ? m 2 v 2 ? m 3 v 3 ? m 1 v1 0 ? m 2 v 2 0 ? m 3 v 3 0

1-2-1、对完全非弹性碰撞 有两个补充方程
v 2 ? v1 ? v 3

v 2 0 v1 0

v30
3

2

1

可解出三质点碰后的速度
v1 ? v 2 ? v 3 ? m 1 v1 0 ? m 2 v 2 0 ? m 3 v 3 0 m1 ? m 2 ? m
3

x

.

v2

v1

v3

1-2-2、对弹性碰撞 有一个动能守恒的补充方程
1 2 m 1 v1 ?
2

2

1

3

x

1 2

m 2v 2 ?
2

1 2

m 3v3 ?
2

1 2

m 1 v1 0 ?
2

1 2

m 2 v 20 ?
2

1 2

m 3v30 .

2

m 1 v1 ? m 2 v 2 ? m 3 v 3 ? m 1 v1 0 ? m 2 v 2 0 ? m 3 v 3 0

v 2 0 v1 0

v30
3

1 2

m 1 v1 ?
2

1 2

m 2v 2 ?
2

1 2

m 3v3 ?
2

1 2

m 1 v1 0 ?
2

1 2

m 2 v 20 ?
2

1 2

2
m 3v30 .
v2
2

1

x

此 时 , 如 无 其 他 补 充 方 程 , 则 v1 、 v 2 、 v 3 的 解 不能确定.

v1

v3

2

1

3

x

实际上的三个弹性物体一次正碰后的

速度是有确定值的. 是什么妨碍我们求 得碰后的速度?这是目前物理学家们 还没讨论清楚的一个不大不小的问题. 聪明的同学,你对此有何见解?

1-2-3、对非弹性碰撞 同样不能确定碰后三体的速度.

2、二体平面碰撞(属斜碰) 碰撞情况如图. 常规外力(如重力等)的冲量可忽略. 常规外力的做功也可忽略不计. 由动量守恒有
? ? m 1 v1 ? m 2 v ? ? ? m 1 v1 0 ? m 2 v 2 0 . 2

y
? v1 0 1
? v1

? 10

?1
o
? v2

? 20
2
? v20

?2 x

分解为两个标量方程
? m 1v 1 0 c o s ? 1 0 ? m 2 v 2 0 c o s ? 2 0 ? m 1v 1 c o s ? 1 ? m 2 v 2 c o s ? , 2 ? ? m 1 v1 0 s in ? 1 0 ? m 2 v 2 0 s in ? 2 0 ? m 1 v 1 s in ? 1 ? m v 1 s in ? 2 .

2-1、若是完全非弹性碰撞 则可补充两个方程
v1 ? v 2 ( 设 为 v )

还需补充其它方程.

? 1 ? ? 2 ( 设 为 ?)

与上述动量守恒方程联立,不难解出v和θ.

2-2、若是弹性碰撞
则可补充动能守恒方程
1 2 m 1 v1 0 ?
2

1 2

m 2 v 20 ?
2

1 2

m 1 v1 ?
2

1 2

m 2v2

2

? m 1v 1 0 c o s ? 1 0 ? m 2 v 2 0 c o s ? 2 0 ? m 1v 1 c o s ? 1 ? m 2 v 2 c o s ? , 2 ? ? m 1 v1 0 s in ? 1 0 ? m 2 v 2 0 s in ? 2 0 ? m 1 v 1 s in ? 1 ? m v 1 s in ? 2 .
1 2 m 1 v1 0 ?
2

y
? v1 0 1
? v1

1 2

m 2 v 20 ?
2

1 2

m 1 v1 ?
2

1 2

m 2v2

2

? 10

?1
o
? v2

其解尚不能确定. 通常,对下述两种情况给出补充方程: (1)在某些碰撞中,可能知道一个质点碰后 的方向(即θ1 或θ1已知). (2)m1=∞,v10=0. 如小球与墙壁弹性斜碰. 此时由v20的方向可推得v2的方向. ①通过解上述系统的动量、动能守恒方程 得到结果. ②将质点2的运动沿碰撞面的法线和切线作 正交分解后,考察两个分运动,得到结果. 法线分速度大小不变方向反向 切线分速度大小方向均不变.

? 20
2
? v20

?2 x

2

? 20
?2
? v2

1

实际上的二个弹性小球某 次斜碰后的速度是确定的. 现在又是什么妨碍我们求 得碰后的速度?

2-3、若是非弹性碰撞
一般同样不能确定碰后两质点的速度. 除非另 添加一些特殊条件,以补充方程. 比如,所研究的两质点中的一质点质量无穷大,其碰 前速度为零的情况. 注意:若两个物体接触处有摩擦,这 一摩擦力便正比于法线碰撞力,同样 是一较大的力.
? v20

? 20
?2
2
? v2

1

综合例题
例1 一架质量为M=810kg的直升飞机,靠螺旋桨的转动使S=30m2m面积内的空气以 v0的速度向下运动,从而使飞机悬停在空中. 已知空气密度ρ0=1.20kg/m3,求v0的大小, 并计算飞机发动机的功率. 解 考察在Δt内通过螺旋桨的空气. 这些被由静止加速至v0的空气的质量为
? m ? ? 0 S v0 ? t. v0

这些空气的动量增量为
? P ? ( ? m )v0 ? 0 ? ( ? m )v0 ? ? 0 S v0 ? t.
2

设螺旋桨对空气的作用力为F,由动量定理
F ? ? t ? ? P ? ? 0 S v0 ? t
2

v ? 0 ?t
v0 ? t v0

得到 即 所以
v0 ?

F ? ? 0 S v0 .
2

为使飞机悬停在空中,应有F
? 0 S v0 ? M g .
2

加 速 区

? Mg.

Mg

?0S

? 1 4.9 ( m / s )

计算飞机发动机功率
? t内 ? m 的 空 气 获 得 的 动 能 为

?EK ?

1 2

(? m )v0 ? 0 ?
2

1 2

( ? 0 S v0 ? t ) ? v0 ?
2 2

1 2

v0

? 0 S v0 ? t.
3

此动能来源于发动机做功,故发动机功率
p ? ?EK ?t ? 1 2

? 0 S v 0 ? 5.9 5 ? 1 0 (W )
3 4

另解 空气在被螺旋桨加速过程中的平均速度 为
v0 2 .

v ? 0 ?t
v0 ? t v0

所以发动机的功率为
p ? F ? v0 2 ? Mg ? 1 2 Mg

加 速 区

?0S

? 5.9 5 ? 1 0 (W )
4

题后小结 选择好研究对象是解本题的关键!

例2上,3根绳子形成半个正六边形. 今有一冲力作用在图中A球,使A球获得沿 绳延长方向的速度 ,求此瞬时D球的速度 .
? u
? vD

解 如图,标出B、C两球的速度的正交分量. 因绳不可伸长,故有方程 对A、B球: v B ? c o s 6 0 ? ? v B ? c o s 3 0 ? ? u 对B、C球: 对C、D球:
vC ? co s 6 0 ? vC ? co s 3 0 ? v D
? ?




vB?

B
30
?

vC?

C
30
?

v B ? ? vC ?

vB?

vD

vC ?

A

D

③ ④

? u

“C+D”系统在垂直于BC方向动量守恒
vC ? ? v D c o s 3 0
?

“B+C+D”系统在垂直于AB方向动量守恒
(v B ? ? vC ? ) co s 3 0 ? ( v B ? ? vC ? ) co s 6 0 ? v D co s 3 0 ? 0
0 ? ?



解方程组得

vD ?

u 13

.

例3 质量为M,半径为R的匀质圆盘静止在水平地面上,盘与地面间无摩擦,圆盘

中心处有一质量为m的青蛙(可视为质点). (1)如果青蛙能够一次跳出圆盘,那么青蛙在起跳过程中至少做功W=? (2)若圆盘边紧挨着另一个相同的圆盘,青蛙一次跳出后正好落在此圆盘中心且与 圆盘一起向前运动,试求全过程中机械能损失量与青蛙做功量的比值η =? 解 (1)设青蛙刚跳离圆盘时相对地面的水平
速度为vx、竖直速度为vy,盘后退的速度为u. 则由水平方向动量守恒有 为保证青蛙落在圆盘之外,须
( v x ? u )( 2v y g
? M Rg 2( M ? m )v x .

mvx ? M u

① ②

vy

v

)? R

u

vx

由①得出u代入②有: v y

所以起跳过程中青蛙做功为
W ? 1 2 Mu ?
2

1 2

m (v x ? v y ) ?
2 2
2

1 2
2

M (
2

m vx M

) ?
2

1 2

m {v x ? (
2

M Rg 2( M ? m )vx

) }
2 2

2

1 m (m ? M ) 2 mM R g 1 ? { vx ? }? ?2 2 2 2 M 4(M ? m ) vx 2

m (M ? m ) M

?

mM R g 4(M ? m )

2

2

?

1 2

m

M m ? M

? Rg.

所以青蛙至少做功量为
W m in ? 1 2 m M m ? M ? Rg.
u1

v

?

2R

u

2

(2) 如图, 设青蛙起跳 方向与地面夹角为θ,相对地面的起跳速度为v. 依题设有
(v cos ? ) ? 2 v s in ? g ? 2 R.

设第一圆盘的后退速度为u1, 对“青蛙+第一圆盘”由水平方向的动量守恒有 ③ M u1 ? m v c o s ? 设第二圆盘与青蛙的共同前进速度为u2, 对“青蛙+第二圆盘”由水平方向的动量守 恒有 ④ ( M ? m )u ? m v c o s ?
2

青蛙做的总功为W

?

1 2

M u1 ?
2

1

mv .

2

W ?

2 2 mv
2M

由③得出u1代入得
2

( m c o s ? ? M ).

机械能的损失量为 ? E

?

1 2

mv ?
2

1 2

( M ? m )u 2 .
2
2

由④得出u2代入得

?E ?

mv

2

2(M ? m )

? ( m s in ? ? M ).

所求的比值 ?

?

?E W

?

M ( m s in ? ? M )
2

( M ? m )( m c o s ? ? M )
2

.

( 0 < ?<

?
2

)

题后小结 青蛙做功指的是青蛙作为 动物消耗体能做功.而不是 作为物体做功.

例4 两根长度均为L刚性轻杆,一端通过质量为m 球形铰链连接,另一端分别接质量为m和2m小球。将此 装置的两杆并拢,铰链在上竖直放在桌面上,以后因扰

m
L L

动使球往两边滑开,但两杆始终保持在竖直面内. 忽略一 切摩擦,求: (1)铰链碰到桌面前瞬间的速度v; (2)当两杆夹角为900时, 质量为2m的小球的速度v3.
解 (1)此时各球的运动如图. 对整个系统,由机械能守恒有
m gL ? 1 2 mv
2

m

2m

所以铰链落地的速度 v

?

2 gL .

v

(2) 铰链的运动方向大致如图. 因为系统在水平方向动量守恒,故 由机械能守恒有
1 2 m v1 ?
2

m ①
1 2 )

m v1 c o s(? ? 4 5 ) ? m v 2 ? 2 m v 3
0

L m v2

θ

v1

L 2m v3

1 2

m v2 ?
2

1 2

? 2 m v 3 ? m g L (1 ?
2



考虑v1、v2、v3的关联,有
v 2 c o s 4 5 ? v1 c o s ?
0

v 3 c o s 4 5 ? v1 s in ?
0

③ ④ v2

L m

θ

v1

L 2m v3

由①、②、③、④联立解得
v3 ? 3 gL (2 ? 20 2)

例5 图中两个圆代表内外搬进几乎同为R的圆环形 光滑轨道,它与长方形底座连在一起放在光滑的水平面 上,环与底座总质量为M. 轨道内有一质量为m的光滑小 球,开始时静置于光的最高处,后因微小扰动而朝右滑 下. 在此以后的运动过程中,底座地面始终全部与地面接 触. 试在地面参照系中确定小球的运动轨道. 解 小球的运动轨道如图所示. 在地面参照系建立 坐标系0-xy. 设小球运动至P(xm,ym)时,环心运动至o′(xM,y). 此时有
( xm - xM ) ? ( ym ? 0) ? R
2 2 2

m

M

y
m
O ?( x M , 0 ) o P ( xm . ym )



由质心的动量定理知,系统质心的水平位置不变. 所以有
m xm ? M xM m ? M ? 0

x



M

解②代入 ①,化简得
xm ( M m ? M R)
2 2

?

ym R
2

2

? 1.

可知,小球的轨道为一椭圆.

例6 在光滑的水平面上有一辆长为L=1.0m的小车A, 在车上有一小木块B (长度不 计). A与B质量相等,两者间的摩擦系数μ =0.05. 如图所示. 开始时,A静止, B位于A的 中央以初速v0=5.0m/s向右运动. 假设B与A左右两侧的碰撞都是弹性的, 且A不会翻倒. 试 问: (1)B与A共能发生多少次碰撞? L A (2)从开始到B相对A停止的全部时间内,A相对地 v0 B 面共行驶了多少路程?(g=10m/s2)
解 (1)设A、B的质量同为m,B相对A静止时二者 的共同右行速度为v. , 对系统由动量守恒有m v 0 ? ( m ? m ) v 所以
v ? 1 2 v0 .

设B相对A共反复行进的路程为l. 由功能原理有
( ? m g )l ? 1 2 m v0 ?
2

则对地面参照系
m v0 ?
2

究竟B和A碰了 多少次还得自己 仔细数一数哦!

1 2

(2 m )v ?
2

1 2

1 4

m v0 ?
2

1 4

m v0 .

2

于是得

l ?

v0

2

4? g

? 1 2 .5 m ? 1 2 .5 L .

故B和A共相碰12次.

L
B C

v0

A

L
B
C

v0 2

A

(2) 注意到系统动量守恒,系统质心的速度不变. 为 v 确定运动时间: B相对A的运动如图. B相对A加速度大小恒定. 为 a 路程为l的匀减速运动. 所以B相对A的运动时间为 系统质心运动的总路程为 S 代入已知数据,算出
1 2.5 ? 0.2 5 ? 1 2.2 5 (m ).
t ? v0 a ? vC t ? ? v0 2? g 1 2 v0 ? . v0 2? g v0
2

C

?

1 2

v0 .

L
B
? 2?

A

(ⅰ)

?mg
m

? 2? g.

B相对A的运动为一初速度为v0,末速度为0,加速度为a, 总

L
B

A

(ⅱ)

?

4? g

.

B相对A的运动究竟. 是一种什么性质的运 动呢?

S ? 1 2 .5 m .

由质心C和A的的先后位置关系,即知A相对地面行进路程为 题 ?质心动量定理及动量守恒定理不可忽视! 后 总 ?有没有其它方法可解(2)?? 结

例7 一条长为2L的、质量为m的不可伸长的柔软绳索,挂在一光滑的水平细钉上, 当两边的绳长均为L时,绳索处于平衡状态,如图所示. 若给其一端一个竖直向下的扰动 后,求当较长的一边绳索长度为x(L<x<2L)时,细钉所受的力. 解 如图, 设绳的线密度为λ,则绳的质心坐标为
(? x ) xC ? x 2 ? ? (2 L - x) ? 2L - x 2 .
(2 L ? x)

o

? ?2L
? xC ? 1 2 L ? 1 2L 1 2L (x ? L)

质心下降的高度为 h

2

由机械能守恒有
1 2
2

L

m v ? m gh ? m g ?

(x - L)

2

x

解出此时绳的速度 v

?

g L

? ( x ? L ).

设经过小量时间Δt后,绳子又滑过Δx. 在Δt前绳子的总动量为
P ( t ) ? ? xv - ? ( 2 L - x ) v ? 2 ? v ( x - L ).

x

将v代入得
P (t ) ? 2 ? ? g L ? ( x ? L )( x - L ) ? 2 ? g L ?(x - L) .
2

在Δt后绳子的总动量为
P (t ? ? t ) ? 2 ? g L ? [( x ? ? x ) - L ] .
2

F

o

故动量增量为

(2 L ? x)

? P ? P (t ? ? t ) ? p (t ) ? 2 ? ? 4? g L

g L

? [( x ? ? x ) - L ] ? 2 ?
2

g L

?(x - L)

2

mg

L

( x ? L ) ? x.
x

设钉给绳的作用力为F, 则对整个绳子由质点组动量定理得
(m g ? F )?t ? ?P

所以

F ? mg ?

?P ?t

? m g ? 4? ? ( x ? L )v

g L

?(x ? L)

?x ?t

x

? m g ? 4?

g L

将v代入得

F ? ? m g ( 2 x ? 4 x L ? L 2 ).
2

( 其 中 , L< x 2 L < )

题后小结 研究对象是两边的绳 子构成的质点组

例8、 如图,AB部分为一光滑水平面,BC部分是倾角为的 θ(0<θ<90°)的光滑斜面 .(θ=90°时为竖直面). 一条长为l的均匀柔软绳,绝大部分与B棱垂直地静止在AB面上, 只是其右端有极小部分处在BC面上,于是绳便开始由静止沿ABC下滑. (1)取 θ=90°,是定性分析细绳能否一直贴着ABC下滑,直至绳的右端到达B棱? (2)事实上,对于所给的角度范围(0<θ<90°) ,细绳左端到B棱尚有一定距离时,细 绳便会出现脱离BC的现象(既不会全部紧贴BC),试求出该距离. 解 (1) θ =90°时, 采用反证法论证. 绳在右滑过程中,整体有水平的动量(由B棱的冲量 所致) .若绳一直贴着A-B-C运动,最后必出现全部绳沿B
A
B

C下落的情况.
此时还有水平动量吗?
A
B

?
C

谁能够对绳施加向左的冲量? ?完成论证.

?能否有根据地定性画 出绳在AB面以下的形状?

C

(2)绳必定在棱B处最先出现脱离BC的现象. 设此时绳在AB上剩下的长度为x. 绳的速度为v. 由机械能守恒有
1 2 (? L )v ? ? ( L ? x ) ?
2

T

A

x

B T
L? x

( L ? x ) s im ? 2

.



v

设B处绳中的张力为T. 对上、下两部分绳,

?
v

由牛顿第二定律有
T ? (? x )a ,

A

T

B

?x

C

? ( L ? x ) g s in ? ? T ? ? ( L ? x ) a .

解得

T ?

?
L

x ( L ? x ) g s in ? .


?

v T

取在小量时间Δt内通过棱B的一小段绳Δx为研 究对象. 其在通过棱B的过程中,在水平方向由动量定理 有
v

C

?x

A

T

B

( T co s ? ? T ) ? t ? ( ? ? x ) v co s ? ? ( ? ? x ) v ? ( ? ? x ) v (co s ? ? 1)
T ? ?v ?x ?t ? ?v .
2

于是


?

v T

解①、②、③得

x ?

1 2

L.

C

例9 四个质量相同的小球A、B、C、D用相同长度的轻质刚性细杆光滑铰接成一个 菱形,开始时菱形为正方形,在光滑的水平面上沿着对角线AC方向以速度v作匀速运动. 如图所示,在它前方有一与速度方向垂直的粘性固定直壁,C球与其相碰后立即停止运

动. 试求碰后瞬间A球的速度vA.
解 碰后瞬间各球的运动如图. A、B、D球的速度有关系
vB ? vD ? v A cos 45
?

D ① A ② ③ A ④ v C

设碰撞中C球所受的冲量为I, 则对整个系统 由动量定理得
? I ? (m v A ? m vB cos 45 ? m vD cos 45 ) ? 4 m v
? ?

B D
vD

将① 代入②化简得
I ? 4mv - 2mvA

设碰撞时C球受到DC、BC杆的冲量为I′. 对C 球由动量定理得
? I ? 2 I ? co s 4 5 ? 0 ? m v ? ? m v
?

I?

I
vA vB

C
I?



I ? mv ?

2I?

B

x

BC杆、DC杆同时对B、D球也有冲量I′. 对B (或D)球,在BC(或DC)方向上由动量定理有
? I ? ? 0 ? m v co s 4 5 ? ? m v co s 4 5
? ?

I?

D

vD

I?



I? ?

mv 2



A

vA

I

C
I?

由③、④、⑤式
I ? 4mv - 2mvA

vB

B ③
I?
x?

I ? mv ?

2I?



便可解出

v A ? v.

此结果有点意外,

该如何解释?

例10 有一个正方形的台球桌,桌的四角有四个球洞(未画出), 桌上摆有两个相同的

匀质光滑小球A和B. 设桌面无摩擦,A和B之间作没有切向摩擦的弹性碰撞. A、B静置于 桌面上后,用杆打击A,使其与B碰撞. 球并不是几何点,A球可以朝B球的球心,也可以 朝着其他边缘部分撞击它. 若要求两球相碰后不与桌边相碰,而分别直接落入两个球洞, 2 问应该将A、B球分别放在桌面上哪些位置? 1
解 首先,A不能与B发生正碰, 这只可能使B球落入 球洞而不可能使A进入球洞.

设A以速度v0在B的边缘P处斜碰.
v x ? v0 co s ? , v y ? v 0 s in ? .

? ? ? 分解v0:v 0 ? v x ? v y

B

A
3

由弹性碰撞的性质可知两球碰后的速度分别是
A球 : B球 :

4

v Ax ? v0 co s ? v Ay ? 0 . , v B x ? 0 , v B y ? v 0 sin ?
? ? vA ? vB

y

v0

x

显然有

B

?

vx

P vy A

要使A、B两球落入1、2两 洞内,B球应放在何处?

B球位置应满足B球与洞1、洞2的两连线垂直的条件. 应放在以1、2两球洞的连线为直径的半圆周上. A球应放在图中四边形 B-C-3-D-B所围的区域中, 但BC、BD上不能放(自己 证明之). 进一步推广即知,B球 可放在如图所示的四个半 圆周上. B球放好后,A球按上述 要求放在相应位置即可. 当B球放好后,A球 又应该放在何处?

1

2

B
C 3

A

D

4

B球放好后,还得将A球 瞄准B球上特定部位击去 才能击中哦!你能确定此 特定部位吗?

1

2

B

题后小结 本题得到的结论很重要!
? ? vA ? vB

A
3

4

例11 如图7所示,有一个半径为R、质量为M的刚性 匀质光滑细圆环,开始时静止在光滑水平面桌面上,环 上有一小孔.桌上另有一个质量为m的光滑小球,可以 自由穿过孔,今使小球以初速度v0从小孔P0射入,小球 与圆环内辟发生n次弹性碰撞后,又从小孔P0穿出,圆环 中心O到小球的连线相对圆环刚好转过3600,试求小球 穿出小孔后,圆环中心相对于桌面的速度. 解 圆环相对桌面只有

M v0 O P0 m

平动而不可能转动

小球、圆环在两次碰 撞之间相对桌面做的 是匀速直线运动

小球相对圆环 速度大小不变

小球相对于圆环在两 次碰撞之间作的是匀 速(v)直线运动.

小球相对于 圆环每一 次碰撞的 入射角等 于反射角

小球相对圆环 上一次碰撞 的反射角等 于下一次碰 撞的入射角

小球相对圆环 的轨迹是 一个正的 (n+1)边形

M 小球的入射角φ:
? ? 2? ?
??
π 2 ? 2? n ?1

v0 O
? ? 2?

φ
m P0

?
n ?1

小球从孔P0穿出时相对圆环的速度 vn'=v0 ,v′n与OP0的夹角为φ. 设小球从孔P0穿出时圆环中心相对 桌面的速度为un ,则小球穿出时相对桌 面的速度为 ? ? ?
? vn ? vn ? un

M

v0
? ? 2?

vn'

φ
m P0

O

此时系统的动量为

? ? ? ? ? ? mvn ? Mun ? m(un ? vn ) ? Mun
? ? ? ? ? mv0 ? m(vn ? un ) ? Mun

因系统动量守恒,故有 所以
? un ? m m?M ? ? ? (v0 ? vn )

? ? ? v0 ? vn

? 由图可知 v0 ? vn ? ?

?

?

2 ; ?大小: v0 cos ? ?方向:P0 ? O.

v0

? ? 2?

vn'

因此

? 2mv0 m ? ? ? ?? 大小: ? 2v0 cos ? ? ? ? sin ; ? ? ? m?M n ?1 un ? ? ? 2 n ?1? m ? M ?方向:P ? O的方向。 0 ?

P0

例12 有两个相同的匀质小球,其中球1静止在光滑的水平桌面上,在桌面上运动的 球2以速度v0与球1相碰,相碰时v0与两球连心线的夹角为锐角φ,如图. 设两球在连心线 方向的碰撞为弹性碰撞,两球表面间的摩擦系数为μ,忽略两球的转动,试求碰后两球 的速度v1,v2. 解
? ? ? ? 分 解 v: v 0 ? v 0 ? ? v 0 , 0 ?



v 0 ? ? v 0 s in ? ,

v0? ? v0co s ? .

设碰后1、2两球在连心线方向和垂直连心线方向的分速度为
v 1 ? 、 1 ?和 v 2 ? 、 v 2 ? . v

1
? v0?

在连心线方向由碰撞特性知
? v2? ? 0, ? ? v1 ? ? v 0 ? ? v cos ? .

?

? v0

2

? v 0?

0

确定 v 2 ?、 1? v 碰后必有

: v1? ? v 2 ? . m v 2? ? m v0?


1

? v1 ?

在切线方向由动量守恒有: m v1? ? 即 由①、②可知 所以
v 2 ? ? v 0 ? ? v 1? .

? v 1?


2
v 2?

v 1? ? v 2 ? ? v 0 ? ? v 1? .
v 1? ? 1 2 v0? ? 1 2 v 0 s in ? .



1球的水平速度v1∥(相应的2球的v2∥) 究竟能达到多大须通过讨论决定:

1
? v0?

设 碰 撞 作 用 时 间 为 ? t N, 摩 擦 作 用 时 间 为 ? t f .

?

? v0

讨论: (1)碰撞作用期间摩擦作用始终存在. 碰 撞 结 束 时 v1? v 2 ? . <
即 ?tN ? ?t f .

2

? v 0?

则f ? ?N.
? v1 ?

在切线方向上,对球1由动量定理得
f ? t f ? m v 1? .

④ ⑤

1
N

在法线方向上,对球1由动量定理得
N ? t N ? m v1 ? ? m v 0 c o s ? .

? v 1?
f

2
v 2?

由④ 、⑤得

m v 1? ? ? m v 0 c o s ? .

v1? ? ? v 0 c o s ? . 即 而v1∥还满足③式取不等号的情况. 所以有

? v 0 c o s ?<

1 2

v 0 s in ? .

即 ?<

1 2

ta n ? .

此表明,当满足 ?<

1 2

ta n ? 时 , 出 现 情 况 ( ) . 1

在此条件下,由②式得
v 2 ? ? v 0 ? ? v1? ? v 0 sin ? ? ? v 0 co s ? ? v 0 (sin ? ? ? co s ? )

1
? v0?

即得

v1? ? ? v 0 c o s ? .
v 2 ? ? v 0 ? ? v 1?

( 当 ?< ta n ? 时 ) 2 ? v 0 (s in ? ? ? c o s ? )

1

?

? v0

2
? v 2?.
? v1 ?

? v 0?

(2)碰撞作用结束时摩擦作用也刚好结束. 碰 撞 结 束 时 v1?
同 样 由 ? t N ? ? t f, f ? ? N 得 到

v1? ? ? v 0 c o s ? .

但v1∥还满足③式取等号的情况. 所以有
? v 0 cos ? ?
1 2 ? v 0 s in ? . 即 ? ? 1 1 2 ta n ? .

1
N

? v 1?
f

此表明,当满足?

ta n ? 时 , 出 现 情 况 (2 ) . 2 在此条件下,可 直 接 根 据 v 2 ? ? v1?, 得

2

v 2?

v 2? ? ? v 0 c o s ? .

也可将

v 1? ? v 2 ?
1 2 v0? ?

代入②, 得 v 2 ?
1 2 v 0 s in ? ? 1 2

? v 0? ? v 2?.

所以

v 2? ?

v 0 ta n ? c o s ? ? ? v 0 c o s ? .

亦可将

v 1? ? ? v 0 c o s ?
0

代入②式,得
1
1 2 ta n ? 时 )
? v0?

v 2? ? v 0? ? ? v

c o s ? ? v 0 s in ? ? ? v 0 c o s ? ? v 0 c o s ? ta n ? ? ? v 0 c o s ?
? v0

? 2 ? v0 co s ? ? ? v0 co s ? ? ? v0 co s ? .

即得

v 1? ? v 2 ? ?

1 2

v 0 s in ? ? ? v 0 c o s ?( 当 ? ? .

?

(3)碰撞作用结束时摩擦作用早已结束.
即 ? t N> ? t f . 则 f < ? N .

碰 撞 结 束 时 v 1? ? v 2 ? .

2

? v 0?

在切线方向上,对球1由动量定理得
f ? t f ? m v 1? ? 1 2 m v 0 s in ?

⑥ ⑦
1

? v1 ?

在法线方向上,对球1由动量定理得
N ? t N ? m v1 ? ? m v 0 c o s ?
f ?t f N ?tN ?t f ?tN

? v 1?
f

N

由于

=

f N

?

< ? ? 1=? .

所以由⑥ 、⑦得知

2

v 2?

?>

f ?t f N ?tN

m v 0 sin ? 1 2 ? ? ta n ? . m v0 co s ? 2
1 2 ta n ? 时 , 出 现 情 况 (3 ) .

1

此表明,当满足 ?>



v 1? ? v 2 ?

代入②,得
v 2? ? 1 2

v 2? ? v 0? ? v 2?.
v0? ? 1 2 1 2 v 0 s in ? .

所以
1
1 2 ta n ? 时 )
? v0?

? v1 ?

1
? v0

? v 1?

N

即得

v 1? ? v 2 ? ?

v 0 s in ? . ( 当 ?>

?

f

综上所述,碰后两球的速度为:
v1 ? ? v 0 co s ? ? v1 :

2

? v 0?

2
v 2?

? v0 co s ? .
1

v1? ?

2 1 2

v 0 s in ? ( 或 ? v 0 c o s ? ). v 0 s in ? .

ta n ? 时 . 2 1 当 ? ? ta n ? 时 . 2 1 当 ?> ta n ? 时 . 2

当 ?<

1

v2? ? 0 ? v2 : v 0 (sin ? ? ? c o s ? )

1

v 2? ?

2 1 2

v 0 s in ? ( 或 ? v 0 c o s ? ). v 0 s in ? .

ta n ? 时 . 2 1 当 ? ? ta n ? 时 . 2 1 当 ?> ta n ? 时 . 2

当 ?<

1

题后总结 处理有摩擦的斜碰关键 在于注意到摩擦作用时 间和碰撞作用时间不一

定相等!

奠基的问题:

N

水平地面上一以加速度a匀加速运动的车上
放有一矩形容器,求容器中的液面稳定时的倾角θ =? 解 在液面上取一质量为Δm的小薄液面.

?m

?
?mg

a

Δm受力如图. 稳定时此小液面也具有加速度a.
由牛顿运动定律得 于是
? m g ? ta n ? ? ? m ? a a ta n ? ? g

显然,a越大,则θ越大, 液体越易溢出. 但在车刚开始加速时,液面不会一达到这样的倾角就稳定下来,而是相对容器以这

一倾角θ为中心进行振动:
(? ? ? ? ) ? ? ? ? ? (? ? ? ? ) ? ?

在振动时,加速度a为多大水才能仍不溢出?

质点动能定理在任何惯性系中均成立的简单证明 如图所示. 在地面参照系中,由动能定理
W ? ? F l ? ? F ( l ? v t ) ? F l ? F vt 1 1 2 2 ? m (v ? a t ) ? m v 2 2 1 2 ? m (at ) ? m vat 2 1 于是 F l ? F v t ? m ( a t ) 2 ? m v a t 2 ? F ? ma, ? F vt ? m a ? vt
l
? F ? F
? v



代入①式得

Fl ?

1 2

m (at ) ? 0,
2

这正是在火车参照系中由动能定理应得到的结果.

几种常见的约束
1、光滑铰链

铰链施力 与施力

1-1、概念:使物体上的一点保持不动的一种约束. 1-2、分类:为柱铰链和球铰链两种. 1-3、性质: (1)光滑铰链与物体间 的作用力 (弹力)通过铰链“销”的中心.

(2)物体可绕柱铰链无摩擦地在二维平面内自由转动, 可绕球铰链无摩擦地在三维 空间自由转动.
? ?
G

物体绕铰链

自由转动

F
G

?

2、连杆
F
v1 v2

v

G

连杆受力 2-1、概念: 一根轻杆,其两端分别用光滑铰链和两物体相连. 2-2、性质: (1)无论静止还是运动,其两端受力为一对平衡力,方向沿杆长方向. (2)通过连杆,只能沿杆长方向向其他物体施力.
F
v1 v2

G

连杆施力

博 士 问 思

问 思


最新最全,高中物理,奥林匹克竞赛,专题讲解全集,(附完整....doc

最新最全高中物理奥林 匹克竞赛专题讲解全集 (附完整参考答案) 一、 专题一:运

高中物理竞赛全集讲座 所有知识点.doc

高中物理竞赛全集讲座 所有知识点 - 第五部分动量和能量 第一讲基本知识介绍 一

最新最全,高中物理,奥林匹克竞赛,专题讲解全集五.doc

最新最全高中物理奥林匹克竞赛 专题讲解全集五 (附完整参考答案) 一、 专题十五

16高一物理竞赛试题与解答全集.doc

16高一物理竞赛试题与解答全集 - 高中基础物理知识竞赛初赛试卷 一 单选题(每

高中物理奥赛运动学全本(精品)_图文.ppt

高中物理奥赛运动学全本(精品)_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中物理奥赛运动学全本(精品),私人珍藏版! 运动学 德化一中 肖满捷 第一节质点运动的描述 1-1 ...

2017年全国中学生物理竞赛试卷(高清)_图文.pdf

2017年全国中学生物理竞赛试卷(高清)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2017年全国中学生物理竞赛试卷(高清) 第3ZI届 全国 中学 生物 理 竞赛 预 赛试 卷 1~5 9 ...

高中物理竞赛第1章 质点运动学合集共40张_图文.ppt

高中物理竞赛第1章 质点运动学合集共40张 - 第一 章质点运动学 第一篇 力学

高中物理竞赛第六章机械波合集(共94张)_图文.ppt

高中物理竞赛第六章机械波合集(共94张) - 第六章 §6-1 §6-2 §6-

高中物理公式、规律汇编全集(修改后).doc

高中物理公式、规律汇编全集(修改后) - 高中物理公式、规律汇编表 一、力学公式

高中物理竞赛第十一章波动光学合集(共131张)_图文.ppt

高中物理竞赛第十一章波动光学合集(共131张) - 第十一章 波动光学 ? ?

高中物理竞赛第5章 狭义相对论基础合集共44张_图文.ppt

高中物理竞赛第5章 狭义相对论基础合集共44张 - 第一篇 力学 第五章 狭义相

第35届高中物理竞赛预赛试题答案(无水印高清pdf)_图文.pdf

第35届高中物理竞赛预赛试题答案(无水印高清pdf)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 第35届高中物理竞赛预赛试题答案(无水印...

高中物理竞赛第2章 牛顿运动定律合集共32张_图文.ppt

高中物理竞赛第2章 牛顿运动定律合集共32张_理化生_高中教育_教育专区。第二章

高中物理竞赛第4章 刚体的定轴转动合集共46张_图文.ppt

高中物理竞赛第4章 刚体的定轴转动合集共46张_理化生_高中教育_教育专区。第4

高清1费32届全国中学生物理竞赛初赛.doc

高清1费32届全国中学生物理竞赛初赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 32 届全国中学生物理竞赛预赛试卷 1~5 9 13 6 10 14 7 11 15 8 12 16 总分 本卷共...

[高清]2016年第33届全国中学生物理竞赛预赛试卷_图文.pdf

[高清]2016年第33届全国中学生物理竞赛预赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。[高清]2016年第33届全国中学生物理竞赛预赛试卷 第33届 全国 中学 生物 理 竞赛预 ...

32届全国物理决赛试题及答案(高清)_图文.pdf

32届全国物理决赛试题及答案(高清)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档32届全国物理决赛试题及答案(高清)_学科竞赛_高中教育_教育...

第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷(高清扫描)_图文.doc

第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷(高清扫描)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷(高清扫描)_...

高中物理竞赛第五章机械振动合集(共71张)_图文.ppt

高中物理竞赛第五章机械振动合集(共71张) - 第五章 §5-1 §5-2 §5

2014年第31届全国中学生物理竞赛预赛试题答案(高清扫描....pdf

2014年第31届全国中学生物理竞赛预赛试题答案(高清扫描版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014年第31届全国中学生物理竞赛预赛试题答案(高清扫描版) ...