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2014一轮复习课件 第4章 第1节 平面向量的概念及其线性运算


考纲要求 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解 两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运 算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几 何意义,理解两个向量共线的 含义. 6.了解向量线性运算的性质及 其几何意义. 考情分析 1.本节是平面向量的起始部 分,从历年的高考看,平 面向量的线性运算、共线 向量定理是考查的重点和 热点. 2.考查的题型多为选择题、 填空题;向量与三角、解 析几何交汇命题时则出现 在解答题中,难度一般不 大,属中低档题. 一、向量的有关概念 1.向量平行与直线平行有什么区别? 提示:向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行 不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平 行,必须说明这两条直线不重合. 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: a+b=b+a . (2)结合律: (a+b)+c = a+(b+c) . 加法 求两个向 量和的运 算 向量运算 减法 定义 求a与b的 相反向量 -b的和的 运算叫做a 与b的差 法则(或几何意义) 运算律 a-b=a+(-b) 数乘 (1)|λa|=|λ||a|. λμ; a (2)当λ>0时,λa与a的 λ(μa)= 相同 求实数λ与 方向 ; (λ+μ)a= λa+μa 向量a的积 当λ<0时,λa与a的方 ; 的运算 向 相反; λ(a+b)= λa+λb . 当λ=0时, λ a= 0 . 三、共线向量定理 向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数λ, 使 b= . λa 2.如何用向量法证明三点A、B、C共线? → =λAC → (或AB → =λBC → 或AC → =λBC → ), →与 提示: 证明AB 即证明AB → 共线,又因为有一公共点,所以三点共线. AC 1.判断下列各命题的真假: → 的长度与向量BA → 的长度相等; (1)向量AB (2)向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; (3)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; (4)两个有公共终点的向量,一定是共线向量; → 与向量CD → 是共线向量,则点 A、B、C、D 必在 (5)向量AB 同一条直线上; (6)有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为( A.2 C.4 B.3 D.5 ) 解析:理解基本概念的内涵,按照定义逐个判定. (1)真命题;(2)假命题,若a与b中有一个为零向量时,其方 向是不确定的;(3)真命题;(4)假命题,终点相同并不能说明这 两个向量的方向相同或相反; (5) 假命题,共线向量所在直线可 以重合,也可以平行; (6) 假命题,向量可用有向线段来表示, 但并不是有向线段. 答案:C → 2.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD等 于( ) 1→ → A.-BC+2BA 1→ → C.BC-2BA 1→ → B.-BC-2BA 1→ → D.BC+2BA 1→ → 解析:∵D 是 AB 的中点,∴BD=2BA. 1→ → → → → ∴CD=CB+BD=-BC+2BA. 答案:A 3.给出下列四个命题: ①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则 a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.则正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ) 解析:

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