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2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――数列概念及等差数列


2014 年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版) 数列概念及等差数列
一. 【课标要求】 1.数列的概念和简单表示法;通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几 种简单的表示方法(列表、图像、通项公式) ,了解数列是一种特殊函数; 2.通过实例,理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式; 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应 的问题。体会等差数列与一次函数的关系. 二. 【命题走向】 数列在历年高考都占有很重要的地位, 一般情况下都是一至二个客观性题目 和一个解答题。对于本将来讲,客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性 质、通项公式、前 n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用,对基本的计算 技能要求比较高. 预测 2014 年高考: 1.题型既有灵活考察基础知识的选择、填空,又有关于数列推导能力或解 决生产、生活中的实际问题的解答题; 2.知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系 的综合题,还可能涉及部分考察证明的推理题. 三. 【要点精讲】 1.数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项) ,在第二个位置的叫第 2 项,??,序号为 n 的项叫第 n 项(也叫 通项)记作 an ; 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,??, an ,??,简记作

? an ? 。

(2)通项公式的定义:如果数列 {a n } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个 公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式. 例如,数列①的通项公式是 an = n ( n ? 7, n ? N? ) ,数列②的通项公式是
an =

1 ( n ? N? ) 。 n

说明:① ?an ? 表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an = f ? n ? 表示数列的通 项 公 式 ; ② 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 。 例 如 , an =

??1, n ? 2k ? 1 (k ? Z ) ; (?1) n = ? ??1, n ? 2k

③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,

1.41,1.414,?? (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集 的映射。从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集 N ? (或它的有限子集) 的 函 数 f ( n) 当 自 变 量 n 从 1 开 始 依 次 取 值 时 对 应 的 一 系 列 函 数 值
f (1), f (2), f (3), ??, f (n) ,??.通常用 an 来代替 f ? n ? ,其图象是一群孤立

点。 (4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列; ②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列 和摆动数列. (5)递推公式定义:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an?1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式 就叫做这个 数列的递推公式. 2.等差数列 (1)等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列 的 公 差 , 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或
an?1 ? an ? d (n ? 1) 。

(2)等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ; 说明: 等差数列 (通常可称为 A P 数列) 的单调性:d ? 0 为递增数列,d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列。 (3)等差中项的概念: 定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 a?b a?b 。 A? a , A , b 成等差数列 ? A ? 2 2 n(a1 ? an ) n(n ? 1) (4)等差数列的前 n 和的求和公式: Sn ? ? na1 ? d。 2 2 四. 【典例解析】 题型 1:数列概念
(2009 安徽卷文)已知 为等差数列, ,则 等于

A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 【答案】B

2.根据数列前 4 项,写出它的通项公式: (1)1,3,5,7??; (2)
22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 , , , ; 2 3 4 5

(3) ?

1 1 1 1 , ,? , 。 3*4 1* 2 2 *3 4 *5

解析: (1) an =2 n ? 1 ;

(2) an =

(n ? 1) 2 ? 1 ; n ?1

(3) an =

( ?1) n 。 n( n ? 1)

点评: 每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对 应关系,这对考生的归纳推理能力有较高的要求。 例 2.数列 ?an ? 中,已知 an ? (1)写出 a10 , an?1 , an2 ; 项? 解析: (1)∵ an ?
2

n2 ? n ? 1 (n ? N ? ) , 3

2 (2) 79 是否是数列中的项?若是,是第几 3

n2 ? n ? 1 102 ? 10 ? 1 109 (n ? N ? ) ,∴ a10 ? , ? 3 3 3

an ?1

? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 ? n2 ? 3n ? 1 ?
3 3

, an 2

?n ? ?

2 2

? n2 ? 1 3

n4 ? n2 ? 1 ? ; 3

2 n2 ? n ? 1 (2)令 79 ? ,解方程得 n ? 15, 或n ? ?16 , 3 3

2 ∵ n ? N ? ,∴ n ? 15 , 即 79 为该数列的第 15 项。 3 点评:该题考察数列通项的定义,会判断数列项的归属. 题型 2:数列的递推公式 y 例 3.如图,一粒子在区域 ?( x, y) | x ? 0, y ? 0? 上运动,在第一秒内它从原 B5

C5 C4 C3

点运动到点 B1 (0,1) ,接着按图中箭头所示方向 在 x 轴、 轴及其平行方向上运动, y 且每秒移动 一个单位长度。 (1)设粒子从原点到达点 An、Bn、Cn 时, 所经过的时间分别为 an、bn、cn ,试写出

B4 B3 B2 B1 0 C1 A1 A2 A3 C2

A4

A5

A6

x

{an }、{bn }、{cn } 的通相公式;

(2)求粒子从原点运动到点 P(16, 44) 时所需的时间; (3)粒子从原点开始运动,求经过 2004 秒后,它所处的坐标。 解析:(1) 由图形可设 A1 (1, 0), A2 (2, 0),?, An (n, 0) ,当粒子从原点到达 An 时, 明显有
a1 ? 3,

a2 ? a1 ? 1,

a3 ? a1 ? 12 ? a1 ? 3 ? 4, a5 ? a3 ? 20 ? a3 ? 5 ? 4,

a4 ? a3 ? 1, a6 ? a5 ? 1,

?
a2 n?1 ? a2 n?3 ? (2n ? 1) ? 4,
a2 n ? a2 n?1 ? 1 ? 4n2 。

?
a2 n ? a2 n ?1 ? 1,

∴ a2 n?1 ? a1 ? 4[3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)] = 4n2 ? 1 ,
b2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 2(2n ? 1) ? 4n 2 ? 4n ? 1 ,

b2 n ? a2 n ? 2 ? 2n ? 4n2 ? 4n 。
c2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 4n 2 ? 2n ? (2n ? 1) 2 ? (2n ? 1) , c2 n ? a2 n ? 2n ? 4n 2 ? 2n ? (2n) 2 ? (2n) ,

即 cn ? n 2 ? n 。 (2)有图形知,粒子从原点运动到点 P(16, 44) 时所需的时间是到达点 C44 所 经过得时间 c44 再加(44-16)=28 秒, 所以 t ? 442 ? 44 ? 28 ? 2008 秒。
?1 ? 8017 ,取最大得 n=44, 2 经计算,得 c44 =1980<2004,从而粒子从原点开始运动,经过 1980 秒后到

(3)由 cn ? n 2 ? n ? 2004,解得 1 ? n ?

达点 C44 ,再向左运行 24 秒所到达的点的坐标为(20,44) 。 点评:从起始项入手,逐步展开解题思维。由特殊到一般,探索出数列的递 推关系式,这是解答数列问题一般方法,也是历年高考命题的热点所在。 例 4. (1)已知数列 ?an ? 适合: a1 ? 1 , an?1 ? 通项公式; (2)用上面的数列 ?an ? ,通过等式 bn ? an ? an?1 构造新数列 ?bn ? ,写出 bn , 并写出 ?bn ? 的前 5 项. 解: (1) a1 ? 1 , a2 ? (2) bn ?
2 2 2 2 2 , a3 ? , a4 ? , a5 ? ,??, an ? ; 3 4 5 6 n ?1
2 an ,写出前五项并写出其 an ? 2

2 2 2 ? ? , n ? 1 n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)

1 1 1 1 1 b1 ? , b2 ? , b3 ? , b4 ? , b5 ? . 3 6 10 15 21 点评:会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,了解递推公式是给出 数列的又一种重要方法,能根据递推公式写出数列的前几项。 题型 3:数列的应用 例 5.湖南省 2008 届十二校联考第一次考试 如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差 是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.

(1)设数列 {an} 是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an?1 (n ? 2, ? N ) 的关系式; n (2)若数列 {an} 既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列;
? (3) 设数列 {an} 是首项为 2 ,公方差为 2 的等方差数列,若将 a1,a2,a3, ,a10 这

种顺 序的排列作为某种密码,求这种密码的个数.
2 2 (1)解:由等方差数列的定义可知: an ? an?1 ? p (n ? 2, ? N ) ??????5 分 n

(2)证法一:∵ {an} 是等差数列,设公差为 d ,则 an ? an?1 ? an?1 ? an ? d
2 2 2 2 又 {an} 是等方差数列,∴ an ? an?1 ? an?1 ? an ????????????7 分

∴ (an ? an?1)(an ? an?1) ? (an?1 ? an )(an?1 ? an ) 即 d (an ? an?1 ? an?1 ? an ) ? ?2d 2 ? 0 , ?????????????10 分

∴ d ? 0 ,即 {an} 是常数列.???????????????????11 分 证法二:∵ {an} 是等差数列,设公差为 d ,则 an ? an?1 ? d ??○ 1
2 2 又 {an} 是等方差数列,设公方差为 p ,则 an ? an?1 ? p ??○????7 分 2 2 1 2 3 ○代入○得, d ? 2dan ? p ? 0 ??○

同理有, d 2 ? 2dan?1 ? p ? 0 ??○ 4 两式相减得:即 2d (an ? an?1) ? 2d 2 ? 0 ,?????????????10 分 ∴ d ? 0 ,即 {an} 是常数列.??????????????????11 分 证法三: (接证法二○、○) 1 2 由○、○得出:若 d ? 0 ,则 {an} 是常数列 1 2 ???????8 分

若 d ? 0 , 则 an ? ∴

d p ? 2 2d

是常数,

∴ d ? 0 ,矛盾????10 分 ???????11 分

{an} 是常数列.

2 2 (3)依题意, an ? an?1 ? 2 (n ? 2, ? N ) , n 2 a12 ? 4 , an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2

∴ an ? 2n ? 2 ,或 an ? ? 2n ? 2 ,

???????????13 分

即该密码的第一个数确定的方法数是 1 ,其余每个数都有“正”或“负”两种 确定方法, 当每个数确定下来时, 密码就确定了, 即确定密码的方法数是 29 ? 512 种, 故,这种密码共 512 种.???????????????????16 分 。 点评:解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。 例 6.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计 数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_____)内.

答案:140 85 解析:从题目所给数据规律可以看到:收缩压是等差数列.舒张压的数据变 化也很有规律:随着年龄的变化,舒张压分别增加了 3 毫米、2 毫米,?照此规 律,60 岁时的收缩压和舒张压分别为 140;85. 点评:本题以实际问题为背景,考查了如何把实际生活中的问题转化为数学 问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算,需要有一定的数学意识,有效 地把数学过程实施为数学思维活动。 题型 4:等差数列的概念 例 7.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数 列 答案:B; 解法一:an= ?

( n ? 1) ( n ? 1) ?S1 ?1 ? an ? ? ? 2 n ? 1 ( n ? 2) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

∴an=2n-1(n∈N) 又 an+1-an=2 为常数,

a n ?1 2 n ? 1 ? ≠常数 an 2n ? 1

∴{an}是等差数列,但不是等比数列. 解法二:如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数,则这个 数列一定是等差数列。 点评:本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识,以及灵活运用 递推式 an=Sn-Sn-1 的推理能力.但不要忽略 a1,解法一紧扣定义,解法二较为灵 活. 例 8.设数列 {a n } 、 {bn } 、 {cn } 满足: bn ? a n ? a n?2 , cn ? a n ? 2a n?1 ? 3a n?2 (n=1,2,3,…) 证明:a n } 为等差数列的充分必要条件是 {cn } 为等差数列且 bn ? bn ?1 , { (n=1,2,3,…) 证明: 1? 必要性:设数列 {a n } 是公差为 d 1 的等差数列,则:
bn?1 ? bn ? (an?1 ? an?3 ) ? (a n ? a n ? 2 ) = (a n?1 ? a n ) ? (a n?3 ? a n? 2 ) = d 1 - d 1 =0,

∴ bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…)成立; 又 cn?1 ? cn ? (an?1 ? an ) ? 2 (a n? 2 ? a n?1 ) ? 3(a n?3 ? a n? 2 ) =6 d 1 ( 常 数 ) (n=1,2,3,…) ∴数列 {cn } 为等差数列。 , 2 ? 充分性:设数列 {c n } 是公差为 d 2 的等差数列,且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…) ∵ cn ? a n ? 2a n?1 ? 3a n?2 ……① ①-②得:
cn ? cn? 2 ? (an ? an? 2 ) ? 2(a n?1 ? a n?3 ) ? 3(a n? 2 ? an? 4 ) = bn ? 2bn ?1 ? 3bn ? 2

∴ cn ? 2 ? a n ? 2 ? 2a n?3 ? 3a n? 4 ……②

∵ cn ? cn? 2 ? (cn ? cn ?1 ) ? (cn?1 ? cn? 2 ) ? ?2d 2 ∴ bn ? 2bn ?1 ? 3bn ? 2 ? ?2d 2 ……③ 从而有 bn?1 ? 2bn? 2 ? 3bn?3 ? ?2d 2 ……④

④-③得: (bn?1 ? bn ) ? 2(bn? 2 ? bn?1 ) ? 3(bn?3 ? bn? 2 ) ? 0 ……⑤ ∵ (bn ?1 ? bn ) ? 0 , bn ? 2 ? bn ?1 ? 0 , bn ?3 ? bn ? 2 ? 0 , ∴由⑤得: bn ?1 ? bn ? 0 (n=1,2,3,…) , 由此,不妨设 bn ? d 3 (n=1,2,3,…) ,则 a n ? a n ? 2 ? d 3 (常数) 故 cn ? an ? 2an?1 ? 3a n? 2 ? 4a n ? 2a n?1 ? 3d 3 ……⑥

从而 cn?1 ? 4an?1 ? 2an? 2 ? 3d 3 ? 4an?1 ? 2an ? 5d 3 ……⑦ ⑦-⑥得: cn?1 ? cn ? 2(an?1 ? an ) ? 2d 3 , 故 an?1 ? a n ?
1 1 (n=1,2,3,…) , (cn?1 ? cn ) ? d 3 ? d 2 ? d 3 (常数) 2 2

∴数列 {a n } 为等差数列。 综上所述: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {cn } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,…) 。 证法二: 令 An = a n+1- a n,由 b n≤b n+1 知 a n - a n+2≤a n+1- a n+3。 从而 a n+1- a n≥a n+3 - a n+2,即 An≥An+2(n=1,2,3,?) 由 c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3 得 c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2),即 An+2An+1+3An+2=d2. ⑥ 由此得 An+2+2An+3+3An+2=d2. ⑦ ⑥-⑦得 (An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 ⑧ 因为 An-An+2≥0,An+1- An+3≥0,An+2- An+4≥0, 所以由⑧得 An-An+2=0(n=1,2,3,?)。 于是由⑥得 4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, ⑨ 从而 2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 ⑩ 由⑨和⑩得 4An+2An+1=2An+4An+1,故 An+1= An ,即 a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,?), 所以数列{a n}是等差数列。 点评:该题考察判断等差数列的方法,我们要讲平时积累的方法巧妙应用, 有些结论可以起到事半功倍的效果. 题型 5:等差数列通项公式
n ?1 例 9. (2009 天津卷文) 已知等差数列 {a n } 的公差 d 不为 0, S n ? a1 ? a 2 q ? ? ? a n q 设

Tn ? a1 ? a 2 q ? ? ? (?1) n?1 a n q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S 3 成等比数列,求 q 的值。

1 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( ? q)S 2 n ? (1 ? q )T2 n ?

2dq(1 ? q 2 n ) ,n? N* 1? q2

(1)解:由题设, S 3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q , 将q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15
2

代入解得 d ? 4 ,所以 a n ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S 3 ? d ? 2dq ? 3dq ,? S1 , S 2 , S 3 成等比数列,
2

2 2 所以 S 2 ? S1 S 3 ,即 d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2 (
2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q

n ?1

,则 ① ②

S 2 n ? a1 ? a 2 q ? a3 q 2 ? ? a 2 n q 2 n ?1 T2 n ? a1 ? a 2 q ? a3 q 2 ? ? ? a 2 n q 2 n ?1
①-②得,

S 2 n ? T2 n ? 2(a 2 q ? a 4 q 3 ? ? ? a 2 n q 2 n?1 )
①+②得,

S 2 n ? T2 n ? 2(a1 q ? a3 q 2 ? ? ? a 2 n ?1 q 2 n ?2 )


2 2 n?2

③式两边同乘以 q,得 q( S 2 n ? T2 n ) ? 2(a1 q ? a3 q ? ? ? a 2 n ?1 q 所以 (1 ? q ) S 2 n ? (1 ? q )T2 n ? 2d (q ? q ? ? ? q
3 2 n ?1

)

)?

2dq(1 ? q 2 n ) 1? q2

(3)证明: c1 ? c 2 ? (a k1 ? al1 )b1 ? (a k 21 ? al2 )b2 ? (a k n ? aln )bn = (k1 ? l1 )db1 ? (k 2 ? l 2 )db1 q ? ? ? (k n ? l n )db1 q 因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以
n ?1

c1 ? c 2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n ?1 db1
若 k n ? l n ,取 i=n, 若 k n ? l n ,取 i 满足 k i ? li ,且 k j ? l j , i ?1 ? j ? n 由(1) (2)及题设知, 1 ? i ? n ,且

c1 ? c 2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n ?1 db1
① 当 k i ? li 时, k i ? li ? ?1 ,由 q ? n , k i ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1

即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1), ? (k i ?1 ? li ?1 )q 所以

i ?2

? q(q ? 1) i ?2

c1 ? c 2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q i ? 2 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q

因此 c1 ? c 2 ? 0 ② 当 k i ? li 时,同理可得

c1 ? c 2 ? ?1, 因此 c1 ? c 2 ? 0 db1

综上, c1 ? c2 【考点定位】 本小题主要考查了等差数列的通项公式, 等比数列通项公式与前 n 项和等基本 知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力.

例 10 . 已 知 等 比 数 列 { x n } 的 各 项 为 不 等 于 1 的 正 数 , 数 列 { y n } 满 足
y n l o g n a ? 2(a ? 0, a ? 1) ,设 y3 ? 18, y 6 ? 12 。 x

(1)求数列 { y n } 的前多少项和最大,最大值为多少? (2)试判断是否存在自然数 M,使当 n ? M 时, xn ? 1 恒成立?若存在,求出相 应的 M,若不存在,请说明理由; (3)令 a n ? log xn x n ?1 (n ? 13, n ? N ) ,试判断数列 {a n } 的增减性? 解: (1)由已知得: y n ? 2 log a x n 设等比数列{xn}的公比为 q(q≠1) 由 y n ?1 ? y n ? 2(log a x n ?1 ? log a x n ) ? 2 log a 公差为 d ∵ y3 ? 18, y 6 ? 12 ,∴d=-2; ∴ y n ? y3 ? (n ? 3)d ? 24 ? 2n
y12 ? 0
x n ?1 ? 2 log a q 得 { y n } 为等差数列,设 xn

? y k ?1 ? 0 ? 11 ? k ? 12 设前 k 项为最大,则 ? yk ? 0 ?

∴前 11 项和前 12 项和为最大,其和为 132 (2)xn=a12-n,n∈N*?; 若 xn>1,则 a12-n>1? 当 a ? 1 时,n<12,显然不成立 ; 当 0 ? a ? 1时,n ? 12

∴存在 M=12,13,14,…,?当 n ? M 时, xn ? 1

(3)an= log xn xn?1 ? log12?n a12?( n ?1) ? a ∵ a n ?1 ? a n ?

n ? 11 n ? 12

n ? 10 n ? 11 ?1 ? ? ?0 n ? 11 n ? 12 (n ? 11)( n ? 12)

∴ a n ?1 ? a n ∴ n ? 13 时数列{an}为递减数列 点评:该题通过求通项公式,最终通过通项公式解释复杂的不等问题,属于 综合性的题目,解题过程中注意观察规律. 题型 6:等差数列的前 n 项和公式 例 11. (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所 有项的和为 390,则这个数列有( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 (2)设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则 它的首项是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 (3) )设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若
3 1 B. 10 3 解析: (1)答案:A 设这个数列有 n 项
S3 S 1 = ,则 6 =( S6 S12 3


1 9

A.

C.

1 8

D.

3? 2 ? ?S 3 ? 3a1 ? 2 d ? ? ? ∵ ? S 3 ? S n ? S n ? 3 ? 3a1 ? 3nd ? 6d ? n( n ? 1) ?S n ? a1 n ? d 2 ? ?
∴n=13 (2)答案:B

? ?3( a1 ? d ) ? 34 ? ∴ ?3a1 ? 3d ( n ? 2) ? 146 ? n( n ? 1) d ?a1 n ? ? 390 ? 2

前三项和为 12,∴a1+a2+a3=12,∴a2=

S3 =4 3

a1·a2·a3=48,∵a2=4,∴a1·a3=12,a1+a3=8, 把 a1,a3 作为方程的两根且 a1<a3, ∴x2-8x+12=0,x1=6,x2=2,∴a1=2,a3=6,∴选 B. (3)答案为 A; 点评: 本题考查了数列等差数列的前 n 项和公式的运用和考生分析问题、解 决问题的能力. 例 12. (1)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,

S15=75,Tn 为数列{

Sn }的前 n 项和,求 Tn。 n

(2)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=100. (Ⅰ)求数列{bn}的通项 bn; (Ⅱ)设数列{an}的通项 an=lg(1+

1 ) ,记 Sn 是数列{an}的前 n 项和, bn

试比较 Sn 与

1 lgbn+1 的大小,并证明你的结论。 2

解析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

1 n(n-1)d.∴S7=7,S15=75, 2

∴?

?7 a1 ? 21d ? 7, ?a1 ? 3d ? 1, 即? ?15a1 ? 105d ? 75, ?a1 ? 7 d ? 5,

解得 a1=-2,d=1.∴

Sn 1 1 =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1) 。 2 2 n



S n ?1 S n 1 ? ? , n ?1 n 2 Sn 1 }是等差数列,其首项为-2,公差为 , 2 n

∴数列{

∴Tn=

1 2 9 n - n. 4 4

?b1 ? 1, ? (2) (Ⅰ)设数列{bn}的公差为 d,由题意得 ? 10(10 ? 1) d ? 100. ?10b1 ? ? 2
解得 ?

?b1 ? 1, ? d ? 2.

∴bn=2n-1.

(Ⅱ)由 bn=2n-1,知 Sn=lg(1+1)+lg(1+ )+?+lg(1+

1 3

1 ) 2n ? 1

=lg[ (1+1) (1+ )?(1+

1 3

1 ), ] 2n ? 1

1 lgbn+1=lg 2n ? 1 . 2
因此要比较 Sn 与 与 2n ? 1 的大小. 取 n=1,有(1+1)> 2 ?1 ? 1 , 取 n=2,有(1+1) (1+ )> 2 ? 2 ? 1 ,??

1 1 1 lgbn+1 的大小,可先比较(1+1) (1+ )?(1+ ) 3 2n ? 1 2

1 3

由此推测(1+1) (1+ )?(1+

1 3

1 )> 2n ? 1 . 2n ? 1
1 lgbn+1。 2



若①式成立,则由对数函数性质可断定:Sn> 下面用数学归纳法证明①式。 (i)当 n=1 时已验证①式成立。

(ii)假设当 n=k(k≥1)时,①式成立,即(1+1) (1+ )?(1+ > 2k ? 1 . 那么, n=k+1 时, 当 (1+1) (1+ ) (1+ ?

1 3

1 ) 2k ? 1

1 3

1 1 ) [1+ ] > 2k ? 1 2(k ? 1) ? 1 2k ? 1

· (1+

1 2k ? 1 )= (2k+2) 。 2k ? 1 2k ? 1
2k ? 1 (2k+2) 2-( 2k ? 3 )2 ] 2k ? 1

∵[



4k 2 ? 8k ? 4 ? (4k 2 ? 8k ? 3) 1 ? ? 0, 2k ? 1 2k ? 1
2k ? 1 (2k ? 2) ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1. . 2k ? 1



因而

1 1 1 (1 ? 1)(1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 2(k ? 1) ? 1. 3 2k ? 1 2k ? 1

这就是说①式当 n=k+1 时也成立. 由(i)(ii)知①式对任何正整数 n 都成立. , 由此证得:Sn>

1 lgbn+1。 2

评述:本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用,对一些综合性的问 题要先理清思路再行求解. 题型 7:等差数列的性质及变形公式 例 13. (1)设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6, S6=S7>S8,则下列结论错误的是( ) .. A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 (2)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和 为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 解析: (1)答案:C; 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+?+a5<a1+a2+?+a5+a6,∴a6>0, 又 S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+?+a6+a7,∴a7=0, 由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0 ? 2(a7+a8)>0, 由题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的。 (2)答案:C

m(m ? 1) ? d ? 30 ?ma1 ? ? 2 解法一:由题意得方程组 ? , 2m( 2m ? 1) ?2ma ? d ? 100 1 ? ? 2
视 m 为已知数,解得 d ?

40 10(m ? 2) , a1 ? , 2 m m2

∴ S 3m ? 3ma1 ?

3ma1 (3m ? 1) 10(m ? 2) 3m(3m ? 1) 40 d ? 3m ? ? 210 。 2 m2 2 m2

解法二:设前 m 项的和为 b1,第 m+1 到 2m 项之和为 b2,第 2m+1 到 3m 项之和为 b3,则 b1,b2,b3 也成等差数列。 于是 b1=30,b2=100-30=70,公差 d=70-30=40。 ∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三:取 m=1,则 a1=S1=30,a2=S2-S1=70,从而 d=a2-a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。 点评: 本题考查等差数列的基本知识, 及灵活运用等差数列解决问题的能力, 解法二中是利用构造新数列研究问题,等比数列也有类似性质.解法三中,从题 给选择支获得的信息可知,对任意变化的自然数 m,题给数列前 3m 项的和是与 m 无关的不变量,在含有某种变化过程的数学问题,利用不变量的思想求解,立 竿见影。

例 14. XOY 平面上有一点列 P1 1, 1) P2 2, 2) ?, n n, n) ?, 在 (a b , (a b , P (a b , 对每个自然数 n,点 Pn 位于函数 y=2000(

a x ) (0<a<10=的图象上,且点 10

Pn、点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形。 (Ⅰ)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (Ⅱ)若对每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; (Ⅲ) (理)设 Bn=b1,b2?bn(n∈N).若 a 取(Ⅱ)中确定的范围内的最 小整数,求数列{Bn}的最大项的项数. (文)设 cn=lg(bn) (n∈N).若 a 取(Ⅱ)中确定的范围内的最小整数, 问数列{cn}前多少项的和最大?试说明理由。 解析:.解: (Ⅰ)由题意,an=n+
1 n? a 1 ,∴bn=2000( ) 2 。 10 2

(Ⅱ)∵函数 y=2000(

a x ) (0<a<10)递减, 10

∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn, 即(

a 2 a ) +( -1)>0, 10 10

解得 a<-5(1+ 5 )或 a>5( 5 -1) , ∴5( 5 -1)<a<10. (Ⅲ) (理)∵5( 5 -1)<a<10,
1 n? 7 ∴a=7,bn=2000( ) 2 。 10

数列{bn}是一个递减的正数数列.对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1。 于是当 bn≥1 时,Bn≥Bn-1,当 bn<1 时,Bn<Bn-1, 因此,数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1。
1 n? 7 由 bn=2000( ) 2 ≥1,得 n≤20.8,∴n=20。 10 1 n? 7 (文)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7,bn=2000( ) 2 。 10 1 n? 7 1 ) 2 ]=3+lg2(n+ )lg0.7 10 2

于是 cn=lg[2000(

数列{cn}是一个递减的等差数列. 因此,当且仅当 cn≥0,且 cn+1<0 时,数列{cn}的前 n 项的和最大。 由 cn=3+lg2+(n+

1 )lg0.7≥0, 2

得 n≤20.8,∴n=20。 点评:本题主要考查函数的解析式,函数的性质,解不等式,等差、等比数 列的有关知识,及等价转化,数形结合等数学思想方法. 五. 【思维总结】 1.数列的知识要点: (1)数列是特殊的函数,数列是定义在自然数集 N(或它的有限子集{1, 2,3,?,n,?} )上的函数 f(n) ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列 函数值:f(1) ,f(2) ,f(3) ,?,f(n) ,?。数列的图象是由一群孤立的点 构成的。 (2)对于数列的通项公式要掌握:①已知数列的通项公式,就可以求出数 列的各项;②根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式,这是一个难点,在 学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况,分解所给数列的前几项,看 看这几项的分解中.哪些部分是变化的,哪些是不变的,再探索各项中变化部分 与序号的联系,从而归纳出构成数列的规律,写出通项公式;③一个数列还可以 用递推公式来表示;④在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,
? S1 是本讲内容一个重点,要认真掌握之。即 an= ? ?S n ? S n ?1 ( n ? 1) ( n ? 2)

。特别要注意

的是,若 a1 适合由 an=Sn-Sn-1(n≥2)可得到的表达式,则 an 不必表达成分 段形式,可化统一为一个式子. 2.等差数列的知识要点: (1)等差数列定义 an+1-an=d(常数) (n ? N) ,这是证明一个数列是等 差数列的依据,要防止仅由前若干项,如 a3-a2=a2-a1=d(常数)就说{an} 是等差数列这样的错误,判断一个数列是否是等差数列。还可由 an+an+2=2 an +1 即 an+2-an+1=an+1-an 来判断。 (2)等差数列的通项为 an=a1+(n-1)d.可整理成 an=an+(a1-d) , 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次式,它的图象是一条直线上,那么 n 为自然数 的点的集合. (3)对于 A 是 a、b 的等差中项,可以表示成 2 A=a+b。 a ?a n(n ? 1) (4)等差数列的前 n 项和公式 Sn= 1 n ·n-na1+ d,可以整理 2 2 d d 成 Sn= n2+ (a1 ? ) n 。当 d≠0 时是 n 的一个常数项为 0 的二次式。 2 2 (5)等差数列的判定方法: ①定义法:对于数列 ?a n ?,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?a n ?是等差数列; ②等差中项:对于数列 ?a n ?,若 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,则数列 ?a n ?是等差数列。 3.等差数列的性质:

(1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2) 在等差数列 ?an ? 中, 相隔等距离的项组成的数列是 AP , 如:a1 ,a3 ,
a5 , a7 ,??; a3 , a8 , a13 , a18 ,??;

( 3 ) 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 对 任 意 m , n ? N? , an ? am ? (n ? m)d ,
d? an ? am ( m ? n) ; n?m

( 4 ) 在 等 差 数 列 ? an ? 中 , 若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q , 则
am ? an ? a p ? aq;

5.说明:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共 有 2n 项, 则① S 奇 ? S 偶 ? nd ; ②
S奇 a ? n ; (Ⅱ) 若项数为奇数, 设共有 2n ? 1 S偶 an ?1

项,则① S 偶 ? S 奇 ? an ? a中 ;②

S奇 n ? 。 S偶 n ? 1

6. (1) a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最小值; (2)
S n 最值的求法:①若已知 S n ,可用二次函数最值的求法( n ? N? ) ;②若已知 an ,
? an ? 0 ? an ? 0 则 S n 最值时 n 的值( n ? N? )可如下确定 ? 或? 。 ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0


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