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导数及其应用(核心)


决胜 2013 高考艺术生数学 120 分讲解版学案
★内部资料 严禁兜售 湖北至臻高考广东重点中学联合编写 2012 年 12 月

导数及其应用

【专题要点】 1. 导数的定义:利用导数的定义解题;高考资源网 2. 求导数(包括求导函数和某一点的导数); 3. 导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现 率较高; 4. 导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题); 5. 综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解 析几何中的切线问题等有机地结合在一起,设计综合问题。包括: (1) 函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决单调性、参数的范围等问题,这类 问题涉及含参数的不等式、不等式的恒成立的求解;高考资源网 (2) 函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决极值、最值等问题,这类问题涉及 求极值和极值点、求最值,有时需要借助方程的知识求解; (3) 利用导数的几何意义求切线方程,解决与切线方程有关的问题; (4) 通过构造函数,以导数为工具证明不等式; (5) 导数与解析几何或函数图像的混合问题,这是一个重要问题,也是高考中考察综 合能力的一个方向 【考纲要求】 ⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等) ,掌握 函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. ⑵熟记基本导数公式( C , x ( n 为有理数), sin x.cos x,loga x, a x , ex ,ln x 的导数) .掌握 两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件(导数要极值点两侧异号) ,会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小 值. 【知识纵横】
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f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?0 lim ?1 定义:f ? x0 ? ? ?x ?0 ?x ? ? ??1? 公式:①常函数,②指,③对,④幂,⑤复合函数。 ? 0 ? ?2 运算 ? ? u ?? ? ?? 2 ? 法则:① ? au ?? ,② ? u ? v ?? ,③ ? uv ?? ,④ ? ? ?v? ? ? ? ??1? 物理意义:瞬时速度及加速度 ? ? ? ?斜率:求法有三①知两点②知倾角③求导 ? ? 0 ? ? ?3 意义: ?①在该点出的切线方程, ? ? ? ? ?? 2 ? 几何意义 ?切线方程:②过某点做曲线的切线方程, ? ? ? ? ?③知切线求参数值. ? ? ? ? ? ? ? 导数 ? ? ?①证明或判断单调性; ? ? ? ? ??1? 单调性 ?②求单调区间; ? ?③知单调,求参数范围. ? ? ? ? ? ? ?①求极值; ? ? ? ? ? ?40 应用:? 2 ? 求两函数值 ?②求最值; ? ?③知极值或最值,求参数值. ? ? ? ? ?? 3? f ? x ? 与f ? ? x ?的图像关系 ? ? ? ? ?①证明不等式; ? ? ? ? ?? 4 ? 综合应用 ?②比较实数大小; ? ?③讨论方程根的个数. ? ? ? ? ?
【学法导航】 导数是高中数学中较为重要的知识,由于其应用的广泛性,为我们解决所学过的有关函 数问题提供了一般性方法,是解决实际问题强有力的工具。导数的概念及其运算是导数应用 的基础,是高考重点考查的对象。要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握 求导数的方法。导数的应用是高考考查的重点和难点,题型既有灵活多变的客观性试题,又 有具有一定能力要求的主观性试题,这要求我们复习时要掌握基本题型的解法,树立利用导 数处理问题的意识. 高考资源网 所以在复习中要重点把握以下几点:一是导数的概念及其运算是导数应用的基础,这是 高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及 导数的几何意义;二是导数的应用,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明 不等式以及讨论方程的根等,已成为高考热点问题.三是应用导数解决实际问题.

【专题综合】
导数是高中数学知识的一个重要的交汇点,命题范围非常广泛,为高考考查函数提供了广 阔天地,处于一种特殊的地位,高考命题在利用导数工具研究函数的有关性质,把导数应用 于单调性、极值等传统、常规问题的同时,进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明, 是函数知识和不等式知识的一个结合体,它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、 数形结合等数学思想与方法,突出了对能力的考查. 高考资源网
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1.利用导数处理方程问题 例 1(2009 江西卷文)设函数 f ( x) ? x ?
3

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9 2 x ? 6x ? a . 2

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(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解:(1) f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) , 因为 x ? (??, ??) , f ' ( x) ? m , 即 3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

(2) 因为 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 2 利用导数研究函数的图像变化规律高考资源网 例 3(2009 陕西卷文)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

5 . 2

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=m 与 y ?
取值范围。
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的

解析: (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a), 高考资源网

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0, 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??)
' 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ?

a;

由 f ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?
'

a,

当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x ) 的单调减区间为 (? a , a ) 。 (2)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值,高考资源网

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所以 f ' (?1) ? 3? (?1)2 ? 3a ? 0,? a ? 1. 所以 f ( x) ? x3 ? 3x ?1, f ' ( x) ? 3x2 ? 3, 由 f ' ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 因 为 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点 , 又 f (?3) ? ?19 ? ?3 ,

f (3) ? 17 ? 1 ,
结合 f ( x ) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 3.利用导数证明不等式 例 3(2007 年山东卷理)设函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (I)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(II)求函数 f ( x ) 的极值点; 高考资源网 (III)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( ? 1) ?

1 n

1 1 ? 都成立. n 2 n3

解:(I) 函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ?1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? .

f '( x) ? 2 x ?

b 2x2 ? 2x ? b ? ,高考资源网 x ?1 x ?1

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ?
2

1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ?
1 1 时, g ( x) min ? ? ? b ? 0 , 2 2

1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b . 2 2

当b ?

g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立.? f ' ( x) ? 0,
即当 b ?

1 时,函数 f ( x ) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增。 2 1 时函数 f ( x ) 无极值点. 2

(II)分以下几种情形讨论: (1)由(I)知当 b ?

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1 2( x ? )2 1 2 , (2)当 b ? 时, f '( x) ? 2 x ?1
1? ? ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ' ( x) ? 0, 2? ?
?b ?

? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? 2 ?

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2 1 (3)当 b ? 时,解 f ' ( x) ? 0 得两个不同解高考资源网 2

x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b , x2 ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? ?1 , 2 2

当 b ? 0 时, x1 ?

? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? ,
此时 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b . 2

1 时, x1, x2 ? ? ?1, ??? , 高考资源网 2

f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ; 2

综上可知, b ? 0 时, f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?b? b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点 2
2

(III) 当 b ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln( x ? 1). 令 h( x) ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln( x ? 1),
3 3 2

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3x3 ? ( x ? 1) 2 则 h ( x) ? 在 ?0,??? 上恒正, x ?1
'

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? h( x) 在 ?0,??? 上单调递增,当 x? ? 0, ??? 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 .
即当 x? ? 0, ??? 时,有 x3 ? x2 ? ln( x ? 1) ? 0, ln( x ? 1) ? x2 ? x3 , 对任意正整数 n ,取 x ?

1 1 1 1 得 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n n

点评:函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数

1 和定义域 ? ?1, ?? ? 共同作用的结果; (II)需要分类讨论,由(I) 2 1 1 可知分类的标准为 b ? , 0 ? b ? , b ? 0. (III)构造新函数为证明不等式“服务” ,构造函数 2 2
的单调性是 f ' ( x) ? 0 是 b ? 的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各 省市高考及各地市高考模拟试题的重点,究其原因,应该有三条:这里是知识的交汇处,这 里是导数的主阵地,这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握,但重要的是求导后 的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性?因而需要进行分类讨论判断: 当参 数给出了明确的取值范围后,应根据 f ( x ) 导函数的特点迅速判断 f ' ( x) ? 0 或 f ' ( x) ? 0 。参 数取某些特定值时,可直观作出判断,单列为一类;不能作出直观判断的,再分为一类,用 通法解决.另外要注意由 f ' ( x) ? 0 求得的根不一定就是极值点, 需要判断在该点两侧的异号性 后才能称为 “极值点”. 高考资源网

例 4 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , x ? ?1 ,证明: 1 ?
证:函数

f ( x) 的定义域为 (?1, ??) .

1 ? ln( x ? 1) ? x x ?1 1 x f ?( x ) = -1=- x ?1 x ?1

当 x∈(-1,0)时, 因此,当 x

f ?( x ) >0,当 x∈(0,+∞)时, f ?( x ) <0,

? ?1 时, f ( x) ≤ f (0) ,即 ln( x ? 1) ? x ≤0∴ ln( x ? 1) ? x .

令 g ( x)

? ln( x ? 1) ?

1 1 1 ? 1 则 g ?( x) ? ? x ?1 x ? 1 ( x ? 1)2



x ( x ? 1) 2

.高考资源网

∴ 当 x∈(-1,0)时, g ?( x ) <0,当 x∈(0,+∞)时, g ?( x ) >0. ∴ 当x

? ?1 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 ln( x ? 1) ? ? ?1 时,有 1 ?

1 1 ? 1 ≥0,∴ ln( x ? 1) ? 1 ? . x ?1 x ?1
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综上可知,当 x

1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1

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通过以上例题,我们可以体会到用导数来证明不等式的基本要领和它的简捷。总之,利 用导数证明不等式的关键是“构造函数” ,解决问题的依据是函数的单调性,这一方法在高等 数学中应用的非常广泛,因此,希望同学门能认真对待,并通过适当的练习掌握它 【专题突破】 1、 以下四图, . 都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像, 其中一定不正确的序号是 C ) (

A.①、②

B.①、③

C.③、④

D.①、④

2、函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间是( D )

A. (2,??)

B. (??,2)

C. (??,0)

D. (0,2)

3、若函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 为增函数,则( D )

A. b 2 ? 4ac ? 0
小值是( C )

B. b ? 0, c ? 0

C. b ? 0, c ? 0 D.b 2 ? 3ac ? 0

4、已知f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? a(a是常数)在[?2,2]上有最大值 3,那么在 [?2,2] 上 f (x) 的最

A. ? 5

B. ? 11

C. ? 37

D. ? 29 高考资源网

5. 在高台跳水运动中,t 秒时运动员相对于水面的高度为 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 ,则运动员 在 1 秒时的瞬时速度为 -3.3m/s ,此时运动状态是 以 3.3m/s 的速率下降

6.过函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 3x ? 4图象上点1,3) 处的切线方程是 y ? x ? 2 ? 0 。 ( 7. 设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。
3 2

(Ⅰ)求 b 、 c 的值。 (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值 解答: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? x ? bx ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c 。高考资源网
3 2 2

从而 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x ? bx ? cx ? (3x ? 2bx ? c) =
3 2 2

x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ;
(Ⅱ)(Ⅰ) g ( x) ? x ? 6 x , 由 知 从而 g ?( x) ? 3x ? 6 , 由此可知, ??, ? 2) 和 ( 2, ??) (
3 2

是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;

g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,
极小值为 ?4 2 。

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湖北至臻高考广东重点中学联合编写 2 8. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值 3
(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。高考资源网 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 由 f (? ) ?
'

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2 3

12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 9 3 2

f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

2 (??, ? ) 3

?

2 3

2 ( ? ,1) 3

1

(1, ??)

?
?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

2 ,1) ; 3 1 2 2 2 22 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 2 3 3 27
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。
2

2 3

9. 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? a ln x(a ? R) 2

(1)若函数 f ( x ) 的图象在 x ? 2 处的切线方程为 y ? x ? b , 求 a , b 的值; (2)若函数 f ( x ) 在 ?1, ? ?? 上是增函数,求 a 的取值范围 解: (1) f ? x ? ?

1 2 a x ? a ln x ? f ?( x) ? x ? ( x ? 0) 高考资源网 2 x

a ? 2? ?1 ? f ?(2) ? 1 ? a?2 ? ?? ?? 由题意得: ? 2 ? f (2) ? 2 ? b ?b ? ?2 ln 2 ?2 ? a ln 2 ? 2 ? b ?
(2)函数 f ( x ) 在 x ? 1 上是增函数

? f ?( x) ? x ?

a ? 0 在 x ? 1 上恒成立 x
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? a ? x2 在 x ? 1 上恒成立 ? a ? 1 高考资源网

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