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2012高三限时训练


数学限时训练 1
1.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 2

?

? ,集合 B ? ? x ?3 ? x ? 1 ? ,则 A ? B =
. .

.

2.函数 y ? lg( x2 ? 4x ? 21) 的定义域是 3.复数 z ?

2i ( i 为虚数单位)的实部是 1? i

4.已知椭圆的中心在原点、焦点在 y 轴上,若其离心率是

1 ,焦距是 8,则该椭圆的方程 2
. .

为________ . 5.在等差数列{ an }中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则数列{ an }前 15 项的和为 6.在 ?ABC 中,如果 sin A ∶ sin B ∶ sin C =5∶6∶8,那么此三角形最大角的余弦值是 7. 一个用流程图表示的算法如图所示, 则其运行后输出的结果为 .
开始

8.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注 的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字 之和为 5 或 7 的概率是 9. 若方程 1nx ? 2 x ? 10 ? 0 的解为 x0 ,则不小于 x 0 的最小整数是 10.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线是 l , 则 f (2) ? f ?(2) = . . y 4.5 l

i=12,S=1 i≥10
Y N 输出 S 结束

S=S×i i=i-1 (第 8 题图)

11.已知如下结论: “等边三角形内任意一点到各边的距 离之和等于此三角形的高” ,将此结论拓展到空间中的正 四面体(棱长都相等的三棱锥) ,可得出的正确结论是: . O 2 4 y=f(x) x

(第 11 题图)

?2an 12.若数列 {an } 满足 an ?1 ? ? ?an ? 1

(0 ? an ? 1), (an ? 1).

且 a1 ?

13. 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ?, 求 ? 的值。

?

?

6 ,则 a2008 ? 7

.

?

?

?

?

14.已知矩形纸片 ABCD 中,AB=6 cm ,AD=12 cm ,将矩形纸片的右下角折起,使该角的 顶点 B 落在矩形的边 AD 上,且折痕 MN 的两端点,M、N 分别位于边 AB、BC 上,设

?MNB ? ? , MN ? l 。
(1)试将 l 表示成 ? 的函数; (2)求 l 的最小值。

D

C N

A

M

B

15. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N ,点 ? n,
*

? ?

Sn ? ? 都在函数 f ? x ? ? x ? 1 的图 n?

像上。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)将数列 ?an ? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为 ? a1 ? , ? a2 , a3 ? , ? a4 , a5 , a6 ? ,

? a7 , a8 , a9 , a10 ? ; ? a11 ? , ? a12 , a13 ? , ? a14 , a15 , a16 ? , ? a17 , a18 , a19 , a20 ? ; ? a21 ? ,?, 分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 ?bn ? ,
求 b5 ? b100 的值;

数学限时训练 2
1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 3i (i 是虚数单位) ,则 z =__________. 2.已知命题 P :“ ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ”,请写出命题 P 的否定:
2



3.已知 sin ? ?

? 1 ? ?? ,其中 ? ? ? 0, ? ,则 cos( ? ? ) ? 6 2 ? 2?



4.若方程 ln x ? 6 ? 2 x 的解为 x0 ,则满足 k ? x0 的最大整数 k ? 5.已知函数 f ( x) ? x ? e x ,则 f '(0) ? 6.函数 y ? 1 ? sin ( x ?
2



. . .

?
6

) 的最小正周期是

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? a12 ? a 17 ? a 19 ? 8 ,则 S 25 的值为 8.已知圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 1 经过椭圆
2

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0? 的一个顶点和一个焦点,则

此椭圆的离心率 e =

.

9.设直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的倾斜角为 ?1 ,直线 l2 : mx ? y ? 4 ? 0 的倾斜角为 ? 2 , 且

?2 ? ?1 ? 90? ,则 m 的值为

. .

10.已知存在实数 a 满足 ab2 ? a ? ab ,则实数 b 的取值范围为

PB 满足 PA ? PB ? 4 , AB ? 2 , 11. 已知平面上的向量 PA 、 设向量 PC ? 2PA ? PB ,
则 PC 的最小值是

??? ? ??? ?

??? ?2
.

??? ?2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

x x 2 12.如果函数 f ( x) ? a (a ? 3a ?1) (a ? 0 且 a ? 1) 在区间 ?0 ,∞ ? ? 上是增函数,那么实

数 a 的取值范围是



13.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?

2 ? 2? , ?2) . 交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [

)的图象与 x 轴的

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

14.如图,四边形 ABCD 是正方形,PB?平面 ABCD,MA?平面 ABCD,PB=AB= 2MA. 求证:(1)平面 AMD∥平面 BPC;(2)平面 PMD?平面 PBD. M F A E D C

P

B

15. 某地政府为科技兴市, 欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技 工业园区.已知 AB ? BC, OA ∥ BC 且 AB ? BC ? 2 AO ? 4km , 曲线段 OC 是以点 O 为顶 点且开口向右的抛物线的一段. (1) 建立适当的坐标系,求曲线段的方程; (2)如果要使 矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上,且一个顶点落在 DC 上,问如何规划才能使矩形工业 园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到 0.1km2).

C

O

A

B

数学限时训练 3
1、已知 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3},集合 B={3,5},则 A∩( UB) = 2、 tan(?1125 ?) 的值是 . . .

3、若曲线 f ( x) ? x4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为 4、若复数 z 满足 (2 ? i) z ? 5 ( i 是虛数单位),则 z= 5、函数 y ? sin( x ? . . . .

?
3

)( x ? ? 0, ? ? )的单调减区间是

6、方程 lg x ? 8 ? 2 x 的根 x ? (k , k ? 1) , k ∈Z,则 k = 7、已知向量 a ? (1, 2), b ? (2,3) ,若 (? a ? b) ? (a ? b) ,则 ? =

?

?

? ?

? ?

8、设奇函数 f ( x ) 满足:对 ?x ? R 有 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 ,则 f (5) ? . 9 、 某 城 市 一 年 中 12 个 月 的 平 均 气 温 与 月 份 的 关 系 可 近 似 地 用 三 角 函 数

y ? a ? A cos[

?
6

( x ? 6)] ( x =1,2,3,?,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,
℃.

为 28℃,12 月份的月平均气温最低为 18℃,则 10 月份的平均气温值为 10、在等比数列 {an } 中,若 a2 ? 2 , a6 ? 32 ,则 a4 ?
2 2


2

11、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ? c ? 2bc ? a ,且 ∠C= .

a ? 2 ,则 b

( x ? 5)( x ? 2) 的最小值是 . x ?1 13.如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点. 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC . (3)若 G 为 ?ADC 的重心,试在线段 AE 上确定一点 F,使得 GF//平面 CDE
12、设 x ? 2 ,则函数 y ? E

A

B

C

D

14. 某地正处于地震带上,预计 20 年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区,同 时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a m 2 , 每年拆除的数量相同; 新城 区计划第一年建设住房面积 a m 2 ,开始几年每年以 100% 的增长率建设新住房,然后 从第五年开始,每年都比上一年增加 a m 2 .设第 n (n ? 1, 且n ?N)年新城区的住房总面 积为 an m 2 ,该地的住房总面积为 bn m 2 . ⑴求 an ;⑵若每年拆除 4 a m 2 ,比较 an +1 与

bn 的大小.

15. 已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x +

k 2 x ( k ≥0)。 (1)当 k =2 时, 求曲线 y = f ( x )在点(1, 2

f (1))处的切线方程;(2)求 f ( x )的单调区间。

数学限时训练 4
1. 若复数 z 满足 zi=2+i(i 是虚数单位) ,则 z= . . 是 2. 已知集合 A ? ? 3,m2 , B ? {?1,3,2m ?1}, 若 A ? B ,则实数 m 的值为

?

3. 已 知 直 线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0和l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0, 则l1 // l 2 的 充 要 条 件 . 4.根据 《中华人民共和国道路交通安全法》 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml (不 含 80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车.据 《法制晚报》报道,2010 年 3 月 15 日至 3 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人, 如图是对这 28800 人酒后驾车血液中酒精含 量进行检测所得结果的频率分布直方图, 则属于 醉酒驾车的人数约为______________. 5.执行右边的程序框图,若 p ? 9 ,则输出的 S= 6. P 为椭圆 . .

[





a=

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 分别为其左,右焦点,则 ?PF1 F2 周长为 25 16 ? ? ? ? ? 7. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1) , a ? 3b ? (5, 4) ,则 sin ? = .
8. 设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若m / / n, n ? ? , 则m / /? ② 若m ? ? , n ? ? , m / / ?,n / / ?,则? / / ? ③ 若? / / ? , m ? ? , n ? ?,则m / / n

④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ; 其中正确命题的序号 为 . ??? ? ??? ? 9. 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相交于 A, B 两点, O 为原点,则 OA ? OB ? 10. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 是 .

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

11. 在等式 cos( ★)(1 ? 3 tan10? ) ? 1 的括号中,填写一个锐角,使得等式成立,这个 锐角是 . 12. 把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数, 得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列

?an ? ,若 an ? 2011 ,则 n ? ____________.

13. 在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水 域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直 线行驶的船只位于点 A 北偏东 45? 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B, 经 过 40 分 钟 又 测 得 该 船 已 行 驶 到 点 A 北 偏 东 45? + ? ( 其 中 sin ? =

26 , 0? ? ? ? 90? )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

x2 y 2 14..已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 和圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的两 a b
条切线,切点分别为 A , B . (1) (ⅰ)若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e ; (ⅱ)若椭圆上存在点 P ,使得 ?APB ? 90 ,求椭圆离心率 e 的取值范围;
?

(2)设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,求证:

a2 ON
2

?

b2 OM
2

为定值.

数学限时训练 5
1. 已知复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 1 ? i ,那么

z2 =_________。 z1

??? ? ? ? ? 2. 已知向量 a,b 满足 | a |? 3,| b |? 5,| a ? b |? 7 ,则 a,b 的夹角为
3. 从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三 角形的概率是________。 4. 已知点 P(1, 2) 在 ? 终边上,则

???

6 sin ? ? 8 cos ? = 3sin ? ? 2 cos ?

5. 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 所得图象的函数解析式是 6. .在 R 上定义运算⊙: 数 x 的取值范围为

? 个单位, 再向上平移 1 个单位, 4

a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x ⊙ ( x ? 2) <0 的实

7. 在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 8. 某算法的程序框如右图所示, 则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是

9. .已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 a2 b2

PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF
10. △ ABC 中 , C ? π , AC ? 1, BC ? 2 , 则 f (? )? 2 是 .

? ? ?? ? ? ?? 的最小值 2 ?C A? ( ? 1? C )B

11. 设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,正确命题的个数是 个。

? ? y ? 0, ? 1 12. 由线性约束条件 ? ? y ? x, 所确定的区域面积为 S,记 S ? f (t )(0 ? t ? 1) ,则 f ( 2 ) 等于 ? y ? 2 ? x, ? ? ?t ? x ? t ? 1
x2 y2 13. 已知点 M 在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上, 以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的右焦点 F. a b (1)若圆 M 与 y 轴相切,求椭圆的离心率; (2)若圆 M 与 y 轴相交于 A,B 两点,且△ABM 是边长为 2 的正三角形,求椭圆的方程.

14. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右两个焦点分别为 F1 , F2 ,短轴的上端点为 B, a 2 b2

短轴上的两个三等分点为 P,Q,且 F 1 PF2 Q 为正方形. (1)求椭圆的离心率; (2)若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一个截距为 ? 程.

3 2 ,求此椭圆方 4

数学限时训练 6
1 ? 2i 在复平面上对应的点位于第 象限. 3 ? 4i ? 1 ? 2.已知集合 M ? ??11 , ? , N ? ? x ? 2x?1 ? 4,x ? Z? ,则 M ? N ? ? 2 ? 3.命题“ ?x ? 0, 都有 sin x ? ?1 ”的否定:
1.复数 4.右图程序运行结果是 ______________ 5 把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段,则“其中一段的长度大于另一段 长度的 2 倍”的概率为 ____________ .

. .

a←1 b←1 i←3 1 6 . 设 OM ? (1, ), ON ? (0,1), O 为 坐 标 原 点 , 动 点 p ( x, y ) 满 足 WHILE i≤6 2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? a←a+b ,? 则 . 0 ? O P ?? O M ?1 , 0 ? O P? O N 1 z ? y ? x 的最小值是 ?? ?? b←a+b 7. 函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A , 若点 A 在 i←i+1 1 2 END WHILE 一 次 函 数 y ? mx ? n 的 图 象 上 , 其 中 mn ? 0 , 则 ? 的 最 小 值 m n PRINT a 为 . 程序运行结果是 8.设 O 是△ABC 内部一点,且 OA ? OC ? ?2OB, 则?AOB与?AOC 的面积之比为 9.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 a= a

10.在样本的频率分布直方图中,共有 4 个小长方形,这 4 个小长方形的面积由小到大构成等 比数列 {an } ,已知 a2 ? 2a1 ,且样本容量为 300,则小长方形面积最大的一组的频数为 11.已知数列{ an }、{ bn }都是等差数列, S n , Tn 分别是它们的前 n 项和,并且 S n ? 7n ? 1 ,
Tn n?3

则 a 2 ? a5 ? a17 ? a22 = b8 ? b10 ? b12 ? b16 12.已知 0 ? k ? 4, 直线 l1 : kx ? 2 y ? 2k ? 8 ? 0 和直线 l2 : 2x ? k 2 y ? 4k 2 ? 4 ? 0 与两坐标 轴;围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为 13. 已知 ? 为锐角, sin? ?

4 1 , tan( ? ? ? ) ? ,求 cos(2? ? ? ) 和 t an ? 的值。 5 3 4

14.如图,在棱长都相等的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别为 AA 1 , B1C 的中点。 (1)求证: DE || 平面ABC ; (2)求证: B1C ? 平面BDE
B1 A1 C1 E D

B A C

15. 设数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, S n 为其前 n 项和,数列 ?bn ? 为等比数列,且

a1 ? b1 ? 2 , S 2 ? 5b2 , S 4 ? 25b3 。 (1) 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式 an 及 bn ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? S n ? bn ,问当 n 为何值时, cn 取得最大值?

数学限时训练 7
1. 函数 y ? 2.已知 f ( x) ? ax ? bx ? 1 是偶函数,定义域为 ?a ? 1,2a ?,则 a ? b 的值为 . 3.在等差数列{an}中,a2 + a5 = 19,S5 = 40,则 a10 为 . 4.从一堆苹果中任取了 20 只,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下:
2

2 ? x ? log3 (1 ? x) 的定义域为

.

分组 频数

, ? ?110120 , ? ?120130 , ? ?130140 , ? ?140150 , ? 100? ?100110 ?90,
1 2 3 10 %. 1

则这堆苹果中,质量小于 120 克的苹果数约占苹果总数的

5.设点 P 是函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称 轴的距离的最小值为

6. 已 知 a, b ??? 2,? 1, 0,1, ?2且 a ? b , 则 复 数 z ? a ? bi 对 应 点 在 第 二 象 限 的 概 率 为 _____ . 7. 直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x 3 ? ax ? b 相切于点 A(1,3) , 则 b 的值为
2 2

? ,则 f ( x) 的最小正周期是______________. 4

??? ? ??? ? ?? 8. 已知圆 ( x ? 2) ? y ? 9 和直线 y ? kx 交于 A,B 两点,O 是坐标原点, 若 OA ? 2OB ? O , ??? ? 则 | AB |? __ . 9.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且 PA ? PB ,若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是___________________. 10.已知 ? , ? 是两个不同平面, m, n 是两条不同直线。给出下列命题:
①若 m ∥ n, m ? ? , 则n ? ? ③若 m ? ? , m ? ? , 则? ∥ ? 其中不正确的是 11.当 0 ? x ? ②若 m ∥ ? , ? ? ? ? n, 则m ∥ n ④若 m ? n, m ? ? , 则n ∥ ? (填写你认为正确的序号) 时,函数 f ( x) ?

.

?
2

1 ? cos 2 x ? 8cos 2 x 的最小值为 sin 2 x

.

12.图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉 祥物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎” ,则 f ( n) = . (答案用数字或 n 的解析式表示)

13. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 (1)求 sinA; (2)若 c=5,求 ?ABC 的面积。

b 5 5 。 ? , cos B ? a 2 5

14.如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=BC=CA= 3 ,AD=CD=1, 平面 AAC 1 1C ? 平面 ABCD 。 (1)求证: BD ? AA 1; (2)在 BC 上求一点 E,使 A 1E // 平面 DCC1 D 1。

D1

A1 B1
D

C1

C
A B E

15.已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O : x ? y ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 ,试证明当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动
2 2

时,直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围.

数学限时训练 8
1 ? ai 2 ) 为实数,则实数 a 的值是 1? i 1 2. 已知等差数列{an},其中 a1 ? , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33, 则 n 的值为 3 _ 3. 若函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图像如右图所示, 则 ? ? ________. 1 1 2 4.已知函数 f ( x) ? x ? 2 f ?(? ) x, 则f ?(? ) ? ____________。 3 3
1. ( 5. a ? ( x,3),b ? (2,?1) ,若 a 与 b 的夹角为锐角,则 x 的范围是 ____________。 6.函数 y ? cos(

?

x ? ) 的单调递增区间为 4 3

.

7.已知 f ( x) ? ?

x?0 ? ?? cos ? x ,则 f ( 4 ) ? f (? 4 ) 的值等于____________。 3 3 f ( x ? 1) ? 1 x ? 0 ? ?

8.如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们面积分别为 6cm2、4cm2、3cm2,那么它的外接球 体积是 。 ,AB ? 2,AC ? 1, D 是边 BC 上 9.如图,在 △ ABC 中, ?BAC ? 120° A ???? ??? ? 一点, DC ? 2 BD ,则 AD ? BC ? _________. 10.已知椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 a 的值等于 2 a ?8 9

B

D

C

11.若一个三棱锥中有一条棱长为 x (其中 0 ? x ? 3 ) ,其余各条棱长均为 1,则它的体积

V ( x) 的最大值为_________.
2 12 已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y ? 8x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。若

FA ? 2 FB ,则 k=_______.
13. 某高级中学共有学生 3000 名,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 523 487 高二年级 x 490 高三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.17. (1)问高二年级有多少名女生? (2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取 300 名学生,问应在高三年级抽取多少 名学生?

14.如图, ABCD 为矩形,CF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD, AB=4a,BC= CF=2a, P 为 AB 的中点. (1)求证:平面 PCF⊥平面 PDE; (2)求四面体 PCEF 的体积. A D P B E

F

C

15.如图,直角三角形 ABC 中,∠B= 90? ,AB=1,BC= 3 .点 M,N 分别在边 AB 和 AC 上(M 点和 B 点不重合),将△AMN 沿 MN 翻折,△AMN 变为△ A? MN,使顶点 A? 落 在边 BC 上( A? 点和 B 点不重合).设∠AMN= ? . A (1) 用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围; N (2) 求线段 A?N 长度的最小值.

????
M ?? B A' C

答案: 试题 1:
1. {x | ?1 ? x ? 1} 2 8. 5 9.5 10. 9 8 2. (??, ?3) ∪ (7, ??) 3. ?1 4. x y2 + =1 64 48
2

5. 360

6. ?

1 20

7.1320 12

11. 正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高.

5 7

15 解: (1)? 点 ? n,

? ?

Sn ? ? 都在函数 f ? x ? ? x ? 1 的图像上, n?

?

Sn ? n ? 1 即 Sn ? n2 ? n ? a1 ? S1 ? 2 , n
2

2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 2n

显然, n ? 1 时,满足上述等式,? an ? 2n ( n ? N )
*

(2)由已知可知:原数列按 1、2、3、4 项循环分组, 每组中有 4 个括号,每组中共有 10 项, 因此第 100 个括号应在第 25 组第 4 个括号该括号内四项分别为 a247 、 a248 、 a249 、 a250 因此 b100 ? a247 ? a248 ? a249 ? a250 ? 494 ? 496 ? 498 ? 500 ? 1988 又?b5 ? a11 ? 22 ,?b5 ? b100 ? 2010 -----

试题 2
1. 3 ? 2i 2. ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 3.
2

1 4.2 2

5.1 6. ?

7.50

8.

1 3

9.-2

10.

? ??, ?1?

11.2

12.

3 ? a ?1 3

15. 解 (Ⅰ)以 O 为原点,OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系如图,依题意可设抛物线方 程 为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 且 C ( 4 , 2 ) .

? 22 ? 2 p ? 4 ? p ?

1 . 2
2

故曲线段 DC 的方程为 y ? x(0 ? x ? 4,y ? 0) . (Ⅱ)设 P( y ,y)(0 ? y ? 2) 是曲线段 OC 上的任意一
2

O

点, 则在矩形 PQBN 中, | PQ| ? 2 ? y,| PN | ? 4 ? y . ?
2

工业区面积 S ?| PQ | ?PN |? (2 ? y)(4 ? y 2 ) ? ? y3 ? 2 y 2 ? 4 y ? 8

.又 S ? ? ?3 y 2 ? 4 y ? 4 ,令

? y ? .当 y ? (0, ) 时, S ? ? 0 ,S 是 y 的增函数;当 S' ? 0 得 y1 ? ,y1 ? ?2 .?0 ? y ? 2,

2 3

2 3

2 3

2 2 y ? ( , 2) 时, S' ? 0 ,S 是 y 的减函数. ? y ? 时 , S 取 到 极 大 值 , 此 时 3 3 8 32 | PQ| ? 2 ? y ? | PN | ? 4 ? y 2 ? 3 9 8 32 256 故S ? ? ? ? 9.5 . ? y ? 0 时 S ? 8 ,? Smax ? 9.5( km2 ) . 答 : 当 矩 形 的 长 为 3 9 27 32 8 km ,宽为 km 时,园区面积最大,约为 9.5km 2 . 9 3 试题 3 ? 5 1、{2} 2、1 . 3(1,0) 4、1 5、 [ , ? ] 6、3 7、 ? 6 3
8、0 9、20.5 10、8 11、105
0

12、28/3

2 15.解: (I)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , f '( x) ?

1 ?1 ? 2x 1? x

由于 f (1) ? ln 2 , f '(1) ? (II) f '( x) ?

x(kx ? k ? 1) , x ? (?1, ??) . 1? x x 当 k ? 0 时, f '( x ) ? ? . 所以,在区间 (?1, 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ?? ) 上, 1? x

3 , 所以切线方程为 3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0 2

f '( x) ? 0 .
故 f ( x ) 得单调递增区间是 (?1, 0) ,单调递减区间是 (0, ??) .

x(kx ? k ? 1) 1? k ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ?0 1? x k 1? k 1? k , ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ) 上, f '( x) ? 0 所以,在区间 (?1, 0) 和 ( k k 1? k 1? k , ??) ,单调递减区间是 (0, ). 故 f ( x ) 得单调递增区间是 (?1, 0) 和 ( k k
当 0 ? k ? 1 时,由 f '( x) ? 当 k ? 1 时, f '( x) ? 当 k ? 1 时, f '( x) ?

x2 1? x

故 f ( x ) 得单调递增区间是 (?1, ??) .

x(kx ? k ? 1) 1? k ? 0 ,得 x1 ? ? (?1, 0) , x2 ? 0 . 1? x k 1? k 1? k ) 和 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , 0) 上, 所以没在区间 ( ?1, k k 1? k 1? k ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( , 0) f '( x) ? 0 故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, k k

试卷 4
1. 1-2i 2. 1 3.
a ? ?1

4. .4320 12

5.

2 6 20 7. 5

10 10

8. ④

9. 0

10. .

?4 ? m ? 2

11.

40?

10 28

13. 解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ? 由于 0? ? ? ? 90? ,所以 cos ? = 1 ? (

26 . 26

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB?AC? cos? ? 10 5.
10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

所以船的行驶速度为

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45? ? ? ) ? 30 , y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45? ? ? ) ? 20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 cos ?ABC ? 2 AB ? BC
=

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5
2

从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ?

9 10 ? . 10 10

AB sin ?ABC ? 在 ?ABQ 中,由正弦定理得,AQ= sin(45? ? ?ABC )

40 2 ?

10 10 ? 40. 2 2 10 ? 2 10

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45? ? ?ABC) = 15 ?

5 ? 3 5 ? 7. 所以船会进入警戒水域. 5

14.解: (Ⅰ) (ⅰ)∵圆 O 过椭圆的焦点,圆 O :

x 2 ? y 2 ? b2 ,

∴b ? c ,

∴ b2 ? a 2 ? c2 ? c2 ,∴ a 2 ? 2c 2 ,∴ e ? (ⅱ)由 ?APB ? 90? 及圆的性质, 可得 OP ?

2 . 2

2b ,∴ OP ? 2b 2 ≤ a 2 ,
1 2 , ≤ e ?1. 2 2

2

2 ∴ a 2 ? 2c 2 ∴ e ?

( Ⅱ ) 设

P ? 0x ,

?0y , ?

A 1?, x ?1 ,y

?

, B , 则 x2 2

y0 ? y1 x y ?? 1 x0 ? x1 y1

整 理 得

x0 x1 ? y0 y1 ? x12 ? y12 ? x12 ? y12 ? b2 , ∴ PA 方程为: x1x ? y1 y ? b2 , PB 方程为: x2 x ? y2 y ? b2 .
PA 、 PB 都过点 P ? x0 , y0 ? ,∴ x1 x0 ? y1 y0 ? b2 且 x2 x0 ? y2 y0 ? b2
直线 AB 方程为

x0 x ? y0 y ? b2 .

令 x ? 0 ,得 ON ? y ?

b2 b2 ,令 y ? 0 ,得 OM ? x ? , y0 x0
2



a2 ON
2

?

b2 OM
2

?

2 2 a 2 y0 ? b 2 x0 a 2b 2 a 2 a2 b2 ? ? ? ,∴ 2 b4 b4 b2 ON OM

为定值,定值是

a2 . b2

试卷 5 1. i 2.
2? 3

3. 0.75

4. 5

5.

y ? 2cos2 x ,6. (-2,1)

7. 13.

8.

?2 x x ?1 y?? ?x ? 2 x ? 1

9.3 10 .

2 1.2

12. 3/4
c2 c2 ? ?1, a2 b2

13. (1)解:由题意可知,点 M 的坐标为(c,c),∴

c2 c2 c2 1 ? 1 即 2? 2 ,即 ? 2 2 2 a a a a ?c
c
2

? 1 ,即 e2 ?

1 1 ?1 e2

? 1 ,即 e 2 ?

?1

e2 ? 1, 1 ? e2

即 e2 ? e4 ? e2 ? 1 ? e2 ,即 e4-3e2+1=0,∴ e2 ?

3? 5 6? 2 5 5 ?1 2 ? ?( ) , 2 4 2

∴e=

5 ?1 5 ?1 ,又 e∈(0,1),∴e= . 2 2

x2 y2 b2 (2)解:把 x=c 代入椭圆方程 2+ 2=1,得 yM=± 。因为△ABM 是边长为 2 的正三角 a b a 形, b2 所以圆 M 的半径 r=2.M 到 y 轴的距离 d= 3.∴r= ,d=c, a b2 即 c= 3, =2. 又因为 a2-b2=c2.所以 a2-b2=3. a 代入得 a2-2a-3=0,a=3,a=-1(舍去).b2=2a=6. x2 y2 所以所求的椭圆方程为 + =1. 9 6 解析: (1)由题意知: P(0, ) ,设 F1 (?c,0) 因为 F 1 PF2 Q 为正方形,所以 c ? 所以离心率 e ?

b 3

b 2 2 即 b ? 3c ,∴ b 2 ? 9c 2 ,即 a ? 10c , 3

10 10

(2)因为 B(0,3c) ,由几何关系可求得一条切线的斜率为 2 2 所以切线方程为 y ? 2 2x ? 3c ,因为在轴上的截距为 ?

3 2 ,所以 c ? 1 , 4

所求椭圆方程为 试卷 6 1.三 2.{-1} 10.160 11. 的公比为 q 。 则

x2 y 2 ? ?1 10 9
7 24 2 6. ?x ? 0, 使得 sin x ? ?1 7.8 3

3.

4.34 5.

8.1 9.4

31 5

12.1/8

13.略.14.略 15、 (1)解:设数列 ?an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ?

S 2 ? 2a1 ? d , S 4 ? 4a1 ?

4?3 d ? 8 ? 6d , b2 ? 2q , b3 ? 2q 2 2

从而由

? 4 ? d ? 10q S 2 ? 5b2 , S 4 ? 25b3 得: ? 2 ?8 ? 6q ? 50q

4 2 或q ? 。 5 5 0 ? ?d ? 2 d ? 4 d ? 0 d ? 0 代入得 或 ,因为 ,所以 ? 舍去。所以 q? ? 5 ? 4 n ?1 ? 2( ) n ?1 所以 an ? 2 ? (n ? 1)4 ? 4n ? 2 , bn ? 2q 5 n(n ? 1) 4 d ? 2n 2 ? C n ? S n ? bn ? 4n 2 ( ) n ?1 (2)? S n ? na1 ? 2 5 64 n?2 假设 cn 最大,因为 c1 ? 4, c 2 ? 所以 c1 ? c2 5 4 n ? 2 4 n?1 ? 4n ( 5 ) ? 4(n ? 1)( 5 ) ?c n ? c n ?1 所以由 cn 最大,得 ? 即: ? 4 4 ? c n ? c n ?1 ?4n 2 ( ) n?1 ? 4(n ? 1)( ) n ?2 5 5 ?
2 消去 d 得, 25q ? 30q ? 8 ? 0 ,解得: q ?

4 ? ?d ? 4 ?q ? ? 5 ?

化简得, ?

? n 2 ? 8n ? 4 ? 0 2 ?n ? 10 n ? 5 ? 0

解得: 4 ? 20 ? n ? 5 ? 20

? 4 ? 20 ? 5
试卷 7 1.

? 8 ? n ? 10

?n? N?
1 5

n ? 9 即:当 n ? 9 时, cn 最大。

? ?1, 2?

2.

1 3

3.29. 4.30. 10.②④

5. ? .
2

6.

7. 3 8.

3 10 . 2

9. x ? y ? 5 ? 0

11. 4 12. 2n ? 2n ? 1 .13.略.14.略

15.解: (1)由 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k) y ? (3 ?12 k) ? 0( k ? R) , 得 ( x ? 2 y ? 3) ? k (4 x ? 3 y ? 12) ? 0 ,

则由 ?

? x ? 2y ?3 ? 0 ,解得 F(3,0) ?4 x ? 3 y ? 12 ? 0

? c?3 ?a ? 5 x2 y 2 ? ? 设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? a ? c ? 8 ,解得 ?b ? 4 ? a b ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c ? 3 ? ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 25 16 m2 n 2 ? ? m2 ? n 2 , 25 16
从而圆心 O 到直

(2)因为点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动,所以 1 ?

线 l : mx ? ny ? 1 的距离 d ?

1 m ? n2
2

?1? r .

所以直线 l 与圆 O 恒相交

又直线 l 被圆 O 截得的弦长为

L ? 2 r2 ? d 2 ? 2 1?

1 1 ? 2 1? 2 9 2 m ?n m ? 16 25
2

由于 0 ? m ? 25 ,所以 16 ?
2

9 2 15 4 6 m ? 16 ? 25 ,则 L ? [ , ], 25 2 5

试卷 8 1.1 2.50 3.3. 4 .

2 3

5. x?

3 9 3 ? ? .6. ?6k? ? ? ,6k? ? ? ?, k ? R .7.3.8. 2 4 4 ? ?
1 8
.12

29 29?cm 3 6
13.510. 99 14.

9.

8 3

10. 4, 或

5 4

11.

2 2 3 .

VPCEF ? VP ?CEF ? 1 PQ ? S?CEF ? 1 ? 4a 2 ? 2a ? 8 a3 . 3 3 3

A ?M A ?? x , 15.解: (1)设 M 则 MB ? 1 ?x . 在 Rt△MB A? 中,cos(180 ? ? 2 ?) ?

1? x ,∴ x

MA ? x ?

1 1 . ? 1 ? cos2? 2sin 2 ?
∴ 45? ? ? ? 90? .

∵点 M 在线段 AB 上,M 点和 B 点不重合, A? 点和 B

点不重合,

(2) 在△AMN 中,∠ANM= 120? ? ? ,

AN MA ? , sin ? sin(120? ? ?)

1 2sin 2 ? AN ? sin(120? ? ?) sin ? ?



1 2sin ? sin(120? ? ?)




令 =

1 3 t ? 2sin ? sin(120? ? ?) ? 2sin ?( sin ? ? cos ?) 2 2

sin 2 ? ? 3sin ? cos ?

1 3 1 1 ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin(2? ? 30? ) . 2 2 2 2 ∵ 45? ? ? ? 90? , ∴ 60? ? 2? ? 30? ? 150? .
当且仅当 2? ? 30? ? 90? , ? ? 60? 时, t 有最大值 ∴ ? ? 60? 时, A?N 有最小值

3 , 2

2 . 3


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