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2008-2009年四川高考数学理科试题及答案


2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工农医类)及逐题详解

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2. 答第Ⅰ卷时, 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 用 如需改动、 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 ..... ......... 4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?
如果事件 A、B 相互独立,那么

S ? 4? R2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B?
如果事件 A 在一次实验中发生的概率是 p ,那么

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复实验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ? k ? ? Cn p k ?1 ? p ? n?k

, ? k ? 0,1, 2,? , n ?

第Ⅰ卷
一.选择题: 1.设集合 U ? ?1,2,3,4,5? , A ? ?1,2,3?, B ? ?2,3,4? ,则 ? ? A ? B ? ? ( B ) U (A) ?2,3? (B) ?1, 4,5? (C) ?4,5? (D) ?1,5?

【解】:∵ A ? ?1,2,3? , B ? ?2,3,4? ∴ A ? B ? ?2,3? 又∵ U ? ?1, 2,3, 4,5? ∴ ? ? A ? B? ? ?1,4,5? U 故选 B;

【考点】:此题重点考察集合的交集,补集的运算; 【突破】:画韦恩氏图,数形结合; 2.复数 2i ?1 ? i ? ? ( A )
2

(A) ?4
2

(B) 4

(C) ? 4i 故选 A;

(D) 4i

2 【解】:∵ 2i ?1 ? i ? ? 2i ?1 ? 2i ? 1? ? 2i ? 2i ? 4i ? ?4

【点评】:此题重点考复数的运算; 【突破】:熟悉乘法公式,以及注意 i ? ?1 ;
2

3. ? tan x ? cot x ? cos x ? ( D )
2

(A) tan x

(B) sin x
2

(C) cos x

(D) cot x

sin 2 x ? cos 2 x ? sin x cos x ? 2 【解】:∵ ? tan x ? cot x ? cos x ? ? ? ? cos 2 x ? cos x ? sin x cos x ? cos x sin x ?
? cos x ? cot x sin x
故选 D;

【点评】:此题重点考察各三角函数的关系; 【突破】:熟悉三角公式,化切为弦;以及注意 sin 2 x ? cos 2 x ? 1, tan x ?
0

sin x cos x ; , cot x ? cos x sin x

4.直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 ,再向右平移1个单位,所得到的直线为( A ) (A) y ? ?

1 1 x? 3 3

(B) y ? ?

1 x ?1 3

(C) y ? 3x ? 3

(D) y ?

1 x ?1 3

0 【解】:∵直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 的直线为 y ? ?

1 x ,从而淘汰(C),(D) 3 1 1 1 1 又∵将 y ? ? x 向右平移1个单位得 y ? ? ? x ? 1? ,即 y ? ? x ? 故选 A; 3 3 3 3

【点评】:此题重点考察互相垂直的直线关系,以及直线平移问题; 【突破】:熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数,过原点的直线无常数项;重视平移方法:“左 加右减”; 5.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:( C ) (A) ?

?? ? ? , ? ?3 2?

(B) ?

?? ? ,? ? ?3 ?

(C) ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?
?1 ?2 ?

(D) ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

【解】:∵ sin ? ? 3 cos ? ∴ sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,即 2 ? sin ? ?

? 3 ?? ? cos ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 0 ? 2 3? ? ?

又∵ 0 ? ? ? 2?

∴?

? ? 5? ? ? ? 4? ? ,∴ 0 ? ? ? ? ? ,即 x ? ? , ?? ? ? ? 故选 C; 3 3 3 3 ?3 3 ?

【考点】:此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用,以及正余弦函数的图象; 【突破】:熟练进行三角公式的化简,画出图象数形结合得答案; 6.从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同 的挑选方法共有( C ) (A) 70 种 (B) 112 种 (C) 140 种 (D) 168 种 【解】:∵从 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有 C10 种不同挑选方法;
4

4 从甲、乙之外的 8 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有 C8 种不同挑选方法; 4 4 ∴甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的挑选方法共有 C10 ? C8 ? 210 ? 70 ? 140 种不同挑

选方法 故选 C; 【考点】:此题重点考察组合的意义和组合数公式; 【突破】:从参加 “某项”切入,选中的无区别,从而为组合问题;由“至少”从反面排除易于 解决; 7.已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是(D ) (A) ? ??, ?1 (C) ?3, ?? ?

?

(B) ? ??,0? ? ?1, ??? (D) ? ??, ?1? ? ?3, ???

【解 1】:∵等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ∴当公比为 1 时, a1 ? a2 ? a3 ? 1 , S3 ? 3 ; 当公比为 ?1 时, a1 ? ?1, a2 ? 1, a3 ? ?1 , S3 ? ?1 从而淘汰(A)(B)(C) 故选 D; 【解 2】:∵等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ∴ S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ?1 ? q ?

? ?

1? 1 ? ? 1? q ? q? q

∴当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ?

1 1 ? 1? 2 q ? ? 3 ; q q
? 1? 1? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 q? ? q?
故选 D;

当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? q ?

? ?

∴ S3 ? ? ??, ?1? ? ?3, ???

【考点】:此题重点考察等比数列前 n 项和的意义,等比数列的通项公式,以及均值不等式的应 用; 【突破】:特殊数列入手淘汰;重视等比数列的通项公式,前 n 项和,以及均值不等式的应用, 特别是均值不等式使用的条件; 8. M , N 是球心 O 的半径 OP 上的两点, NP ? MN ? OM , 设 且 分别过 N , M , O 作垂线于 OP 的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:( D ) (A) 3,5,6 (B) 3, 6,8 (C) 5, 7, 9 (D) 5,8, 9

【解】:设分别过 N , M , O 作垂线于 OP 的面截球得三个圆的半径为 r1 , r2 , r3 ,球半径为 R ,则:

?2 ? 5 ?1 ? 8 ?2 ? r12 ? R2 ? ? R ? ? R2 , r22 ? R2 ? ? R ? ? R2 , r32 ? R2 ? ? R ? ? R2 ?3 ? 9 ?3 ? 9 ?3 ?

2

2

2

∴ r 2 : r22 : r32 ? 5:8: 9 1

∴这三个圆的面积之比为: 5,8, 9

故选 D

【点评】:此题重点考察球中截面圆半径,球半径之间的关系; 【突破】:画图数形结合,提高空间想象能力,利用勾股定理; 9.设直线 l ? 平面 ? ,过平面 ? 外一点 A 与 l , ? 都成 30 0 角的直线有且只有:( D ) (A)1条 (B)2条 (C)3条
0

(D)4条

【解】:如图,当 ?AOC ? ?ACB ? 30 时,直线 AC 满足条件; 同理,当 ?AOB ? ?ABC ? 30 时,直线 AB 满足条件;
0

又由图形的对称性,知在另一侧存在两条满足条件与直线 l 成异面直线的直线 故选 D 【点评】:此题重点考察线线角,线面角的关系,以及空间想象能力,图形的对称性; 【突破】:数形结合,利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图,重视空间想象能力和图形的 对称性; 10.设 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ,其中 ? ? 0 ,则 f ? x ? 是偶函数的充要条件是( D ) (A) f ? 0? ? 1 (B) f ? 0? ? 0 (C) f
'

? 0? ? 1

(D) f

'

? 0? ? 0

【解】:∵ f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 是偶函数 ∴由函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 图象特征可知 x ? 0 必是 f ? x ? 的极值点, ∴f
'

? 0? ? 0

故选 D

【点评】:此题重点考察正弦型函数的图象特征,函数的奇偶性,函数的极值点与函数导数的关 系; 【突破】:画出函数图象草图,数形结合,利用图象的对称性以及偶函数图象关于 y 轴对称的要 求,分析出 x ? 0 必是 f ? x ? 的极值点,从而 f
'

? 0? ? 0 ;

11.设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 99? ? ( C ) (A) 13 (B) 2 (C)

13 2

(D)

2 13

【解】:∵ f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 且 f ?1? ? 2

∴ f ?1? ? 2 , f ? 3? ?

13 13 ? , f ?1? 2

f ? 5? ?

13 13 13 13 ? 2 , f ?7? ? ? , f ?9? ? ? 2 ,? , f ? 3? f ? 5? 2 f ? 5?
n为奇数 n为偶数
,∴ f ? 99 ? ? f ? 2 ?100 ? 1? ?

?2 ∴ f ? 2n ? 1? ? ?13 ? ?2 ?

13 2

故选 C

【点评】:此题重点考察递推关系下的函数求值; 【突破】:此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值,或者得到函数的周期性求解; 12 . 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 8x 的 焦 点 为 F , 准 线 与

x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且

A K ? 2 A F,则 ?AFK 的面积为( B )
(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32 ∴ K ? ?2,? 0 【解】:∵抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ? 2, ,准线为 x ? ?2 0? 设 A ? x0,y0 ? ,过 A 点向准线作垂线 AB ,则 B ? ?2,y0 ? ∵ AK ?

2 AF ,又 AF ? AB ? x0 ? ? ?2? ? x0 ? 2
2 2

2 2 2 2 ∴由 BK ? AK ? AB 得 y0 ? ? x0 ? 2 ? ,即 8 x0 ? ? x0 ? 2 ? ,解得 A? 2, 4? ?

∴ ?AFK 的面积为

1 1 KF ? y0 ? ? 4 ? 4 ? 8 2 2

故选 B

【点评】:此题重点考察双曲线的第二定义,双曲线中与焦点,准线有关三角形问题; 【突破】:由题意准确化出图象,利用离心率转化位置,在 ?ABK 中集中条件求出 x0 是关键;

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。
2 13. ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 的系数为______ ?6 _________。
3 4

2 【解】:∵ ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 项为
3 4 0 2 1 1 0 C3 13 ? 2 x ? ? C4 12 ? ? x ? ? C312 ? 2 x ? ? C413 ? ? x ? ? C3212 ? 2 x ? ? C4 14 ? ? x ? 0 2 1 1 2 0

0 2 1 1 2 0 ∴所求系数为 C3 ? C4 ? C3 ? 2 ? C4 ? ?1? ? C3 ? 22 ? C4 14 ? 6 ? 24 ?12 ? ?6

故填 ?6

【点评】:此题重点考察二项展开式中指定项的系数,以及组合思想; 【突破】:利用组合思想写出项,从而求出系数; 14.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为
2 2

____ 2 ___。 【解】:如图可知:过原心作直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的垂线,则 AD 长即为所求; ∵ C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 的圆心为 C ? 2,2? ,半径为 2
2 2

点 C 到直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的距离为 d ?

1 ?1 ? 4 2

?2 2



AD ? CD ? AB ? 2 2 ? 2 ? 2

故 C 上各点到 l 的距离的最小值为 2

【点评】:此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离; 【突破】:数形结合,使用点 C 到直线 l 的距离距离公式。 15.已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为 的体积等于_______ 2 _________。 【解】:如图可知:∵ AC1 ? ∴ AC1 ? 2, AA ? 2 1 1

3 ,则该正四棱柱 3

6, cos ?AC1 A1 ?

3 3
1 A1C12 ? AA1 ? 2 2

∴正四棱柱的体积等于

【点评】:此题重点考察线面角,解直角三角形,以及求正四面题的体积; 【突破】:数形结合,重视在立体几何中解直角三角形,熟记有关公式。 16.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为______ 4 _____。 【解】:∵等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 10, S5 ? 15

4?3 ? ? S 4 ? 4a1 ? 2 d ? 10 ? ∴? ? S ? 5a ? 5 ? 4 d ? 15 1 ? 5 ? 2


? 2a1 ? 3d ? 5 即? ? a1 ? 2d ? 3

5 ? 3d 5 ? 3d ? ? 3d ? ?a4 ? a1 ? 3d ? ∴? 2 2 ?a4 ? a1 ? 3d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? 3 ? d ?

5 ? 3d ? a4 ? 3 ? d , 5 ? 3d ? 6 ? 2d , d ? 1 2
故 a4 的最大值为 4 ,应填 4

∴ a4 ? 3 ? d ? 3 ? 1 ? 4

【点评】:此题重点考察等差数列的通项公式,前 n 项和公式,以及不等式的变形求范围; 【突破】:利用等差数列的前 n 项和公式变形不等式,利用消元思想确定 d 或 a1 的范围解答本题 的关键; 三.解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

【解】: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x

? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11? 中的最大值为 ,
2

zm a x? ? ? ?1 1 ?
最小值为

2

?6 ?1 0

zm i n? ?1 ? 1 ?

2

?6 ?6

故当 sin 2 x ? ?1 时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 【点评】:此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】:利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键; 18.(本小题满分 12 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的概率为 0.6 ,且购买 甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅲ)记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求 ? 的分布列 及期望。 【解】:记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种, (Ⅰ) C ? A ? B ? A ? B

P ? C? ? P A B A B ? ? ? ? P A? B ? P A? B

?

?

?

? ? ? ?

? ? ?

? P ? A? ? P B ? P ? A? ? P B

? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5
(Ⅱ) D ? A ? B

P D ? P A? B ? P A ?P B

? ?

?

?

? ? ? ?

? 0.5 ? 0.4

? 0.2
P ? D? ? 1 ? P D ?0 . 8
(Ⅲ) ? ? B ? 3,0.8? ,故 ? 的分布列

? ?

P ?? ? 0? ? 0.23 ? 0.008
1 P ?? ? 1? ? C3 ? 0.8? 0.22 ? 0.096

2 P ?? ? 2? ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384

P ?? ? 3? ? 0.83 ? 0.512
所以 E? ? 3 ? 0.8 ? 2.4 【点评】:此题重点考察相互独立事件的概率计算,以及求随机变量的概率分布列和数学期望; 【突破】:分清相互独立事件的概率求法,对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用; 19.(本小题满分 12 分) 如,平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 900 , BC

// ?

1 AD , BE 2

// ?

1 AF 2

(Ⅰ)证明: C , D, F , E 四点共面; (Ⅱ)设 AB ? BC ? BE ,求二面角 A ? ED ? B 的大小;

1 【解 1】:(Ⅰ)延长 DC 交 AB 的延长线于点 G ,由 BC // AD 得
?

2

GB GC ? ? GA GD

B C1 ? A D2

延长 FE 交 AB 的延长线于 G ' 同理可得

G ' E G ' B BE 1 ? ? ? G ' F G ' A AF 2 G ' B GB ' 故 ' ? ,即 G 与 G 重合 G A GA
因此直线 CD、EF 相交于点 G ,即 C , D, F , E 四点共面。

(Ⅱ)设 AB ? 1 ,则 BC ? BE ? 1 , AD ? 2 取 AE 中点 M ,则 BM ? AE ,又由已知得, AD ? 平面 ABEF 故 AD ? BM , BM 与平面 ADE 内两相交直线 AD、AE 都垂直。 所以 BM ? 平面 ADE ,作 MN ? DE ,垂足为 N ,连结 BN 由三垂线定理知 BN ? ED,?BMN 为二面角 A ? ED ? B 的平面角。

B M?

2 1A D A E ? , M? ? N ? 2 2 DE BM 6 ? MN 2 6 2

3 3

故 tan ?BMN ?

所以二面角 A ? ED ? B 的大小 arctan

【解 2】:由平面 ABEF ? 平面 ABCD , AF ? AB ,得 AF ? 平面 ABCD ,以 A 为坐标原点, 射线 AB 为 x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A ? xyz (Ⅰ)设 AB ? a,BC ? b, BE ? c ,则

B ? a 0 , ,0 ? a , b , ? 0 E, ? a ? c , D , , ? C , 0 ? ?
??? ? ??? ? EC ? ? 0, b, ?c ? , FD ? ? 0, 2b, ?2c ?
故 EC ?

?

0 , 2? F 0 , c 0 , 0 , 2 b ,

??? ?

? 1 ??? FD ,从而由点 E ? FD ,得 EC // FD 2

故 C , D, F , E 四点共面 (Ⅱ)设 AB ? 1 ,则 BC ? BE ? 1 ,

B ?1,0,0? , C ?1,1,0? , D ?0,2,0? , E ?1,0,1?
在 DE 上取点 M ,使 DM ? 5ME ,则 M ? , , ?

???? ?

????

?5 1 5? ?6 3 6?

从而 MB ? ? , ? , ? ? 又 DE ? ?1, ?2,1? , MB ? DE ? 0, MB ? DE 在 DE 上取点 N ,使 DN ? 2 NE ,则 N ?

????

?1 ?6

1 3

5? 6?

????

???? ????
????

??? ?

?2 2 2? , , ? ?3 3 3?

从而 NA ? ? ? , ? , ?

??? ?

? 2 ? 3

2 3

? 2 ? ??? ???? , NA ? DE ? 0, NA ? DE ? 3?

故 MB 与 NA 的夹角等于二面角 A ? DE ? B 的平面角,

????

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? MB ? NA 10 cos MB ? NA ? ???? ??? ? ? 5 MB ? NA
所以二面角 A ? DE ? B 的大小 arccos

10 5

【点评】:此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题,考察空间想象能力,几何 逻辑推理能力,以及计算能力; 【突破】:熟悉几何公理化体系,准确推理,注意书写格式是顺利进行解法 1 的关键;在解法 2 中,准确的建系,确定点坐标,熟悉向量的坐标表示,熟悉空间向量的计算在几何位置的证明, 在有关线段,角的计算中的计算方法是解题的关键。 20.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式 【解】:由题意知 a1 ? 2 ,且

ban ? 2n ? ?b ?1? Sn ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2

n?1

当 b ? 2 时,由由①得

an ?1 ?

1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b b ? ban ? ? 2n 2?b

1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
因此 an ?1 ?

1 1 ? ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

?

2 ?1 ? b ? n ?b 2?b

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 n n ?1 n?2 ? 2 ? b ? 2 ? ? 2 ? 2b ? b ? ? ? ?
【点评】:此题重点考察数列的递推公式,利用递推公式求数列的通项公式,同时考察分类讨论 思想; 【突破】:推移脚标两式相减是解决含有 Sn 的递推公式的重要手段,使其转化为不含 Sn 的递推 公式,从而针对性的解决;在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点,同时重 视分类讨论,做到条理清晰是关键。 21.(本小题满分 12 分) 设椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 离心率 e ? , 右准线为 l ,M , N 2 a b 2

是 l 上的两个动点, F M ? F2 N ? 0 1 (Ⅰ)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 MN 取最小值时, F M ? F2 N 与 F1F2 共线。 1
2 2 2 【解】:由 a ? b ? c 与 e ?

????? ???? ?

?????

???? ?

????? ???? ?

???? ?

a 2 2 2 ,得 a ? 2b ? c 2

? ? ? 2 ? 2 F1 ? ? a,?,F2 ? 0? a,? , l 的方程为 x ? 2a 0? ? 2 ? 2 ? ? ? ?
设M

?

2a,y1 ,N

?

?

2a,y2

?

则 F1M ? ?

?????

? ?3 2 ? ???? ? 2 ? a,y1 ?,2 N ? ? F ? 2 ? ? 2 a,y2 ? ? ? ? ? ?

由 F M ? F2 N ? 0 得 1

????? ???? ?

3 y1 y2 ? ? a 2<0 ① 2 ????? ???? ? (Ⅰ)由 F1M ? F2 N ? 2 5 ,得

?3 2 ? 2 ? ? 2 a ? ? y1 ? 2 5 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 a ? ? y2 ? 2 5 ? ? ?
2

2





2 由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 a ? 4

故 a ? 2, b ?
2

2 ? 2 2
? ? y1 ? y2 ? ? y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? ?2 y1 y2 ? 2 y1 y2 ? ?4 y1 y2 ? 6a 2
2

(Ⅱ) MN

当且仅当 y1 ? ? y2 ?

6 6 6 a 或 y2 ? ? y1 ? a 时, MN 取最小值 a 2 2 2
???? ? ?3 2 ? ? 2 ? a,y1 ? ? ? a,y2 ? ? 2 2a, y1 ? y2 ? 2 2a, 0 ? 2 F1F2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

此时, F1M ? F2 N ? ?

????? ???? ?

?

? ?

?

故 F M ? F2 N 与 F1F2 共线。 1 【点评】:此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆待定常数,考察向量的综合应用; 【突破】:熟悉椭圆各基本量间的关系,数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,设而不求消元 的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。 22.(本小题满分 14 分) 已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ?10x 的一个极值点。
2

????? ???? ?

???? ?

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。

' 【解】:(Ⅰ)因为 f ? x ? ? ' 所以 f ? 3? ?

a ? 2 x ? 10 1? x

a ? 6 ? 10 ? 0 4

因此 a ? 16 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f ? x? ? 1 6 l ? ? x ? 2x ? 1 0 x? ? 1, ? n 1 ? x ,? ? ?
f ? x? ?
'

2 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 1? x
'

当 x? ? ?1,1? ? ? 3, ??? 时, f 当 x ? ?1,3? 时, f
'

? x? ? 0

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ?3, ???

f ? x ? 的单调减区间是 ?1,3?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1,3? 内单调减少,在 ?3,??? 上单调增加, 且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f
'

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16ln 2 ? 9 ,极小值为 f ?3? ? 32ln 2 ? 21 因此 f ?16? ? 16 ?10 ?16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1?
2

f ? e?2 ? 1? ? ? 2 ? 1 1 ? ?2 1 ? 3 f?

?

3

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ?3, ??? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有一个交 点,当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? 因此, b 的取值范围为 ?32ln 2 ? 21,16ln 2 ? 9? 。 【点评】:此题重点考察利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题; 【突破】:熟悉函数的求导公式,理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键,数形结合理 解函数的取值范围。

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工农医科) 第Ⅰ卷 本试卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

S ? 4πR2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

其中 R 表示球的半径

如果事件 A,B 相互独立,那么

V?
球的体积公式 其中 R 表示球的半径

4 3 πR 3

P( A?B) ? P( A)?P( B)
一、选择题: 设集合 A.

S ? ? x | x ? 5? , T ? ? x | x 2 ? 4 x ? 21 ? 0? ,
B.

则 S ?T ? D.

?x | ?7 ? x ? ?5?

?x | 3 ? x ? 5?

C.

?x | ?5 ? x ? 3?

?x | ?7 ? x ? 5?

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? f ( x) ? ? x 2 ? 4 在点x ? 2处 (当x ? 2时) ? ? x?2 2.已知函数 连续,则常数 a 的值是
A.2 B.3 C.4 D.5

(1 ? 2i) 2 3.复数 3 ? 4i 的值是
A.-1 B.1 C.- i D. i

f ( x) ? sin( x ? )( x ? R ) 2 4.已知函数 ,下面结论错误的是

?

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2?

? ?? 0, f ( x) 在区间 ? 2 ? 上是增函数 ? ? B.函数

C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称 D.函数 f ( x ) 是奇函数 5. 如 图 , 已 知 六 棱 锥 P ? ABCDEF 的 底 面 是 正 六 边 形 ,

PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB ,则下列结论正确的是
A. PB ? AD B.平面 PAB ? 平面PBC

C. 直线 BC ∥平面 PAE

D. 直线PD与平面ABC所成的角为45

?

6.已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d 。则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 A. 充分而不必要条件 C.充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) F,F 2 b2 7.已知双曲线 的左右焦点分别为 1 2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 ???? ???? ? P( 3, y0 )在该双曲线上,则 PF1 ? PF2 =
A. ?12 B. ?2 C .0 D. 4
?

8.如图, 在半径为 3 的球面上有 A, B, C 三点,?ABC ? 90 , BA ? BC ,



3 2 心 O 到平面 ABC 的距离是 2 ,则 B、C 两点的球面距离是

? A. 3
9.已知直线

B. ?

4? C. 3

D. 2?

2 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , l l 抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 1 和直线 2 的

距离之和的最小值是

A.2

B.3

11 C. 5

37 D. 16

10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每吨乙 产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么该企业可 获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 11.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生 相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 12. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数

x 都有

5 f ( f ( )) x f ( x? 1) ? (1 x ) f (x ) ? 2 的值是 ,则

A.0

1 B. 2

C.1

5 D. 2

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数 学(理科) 第Ⅱ卷 考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.

(2 x ?
13. 14.若⊙

1 6 ) 2 x 的展开式的常数项是

(用数字作答)

O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处

的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 15.如图,已知正三棱柱 棱 是

ABC ? A1B1C1 的各条棱长都相等, M 是侧

CC1 的 中 点 , 则 异 面 直 线 AB1和BM 所 成 的 角 的 大 小


16 . 设 V 是 已 知 平 面 M 上 所 有 向 量 的 集 合 , 对 于 映 射

f : V ? V , a ?V ,记 a 的象为 f (a ) 。若映射 f : V ? V 满足:对所有 a, b ?V 及任意实数 ? , ?
都有 f (? a ? ?b) ? ? f (a) ? ? f (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换,则 f (0) ? 0 ②对 a ?V , 设f (a) ? 2a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a, b ?V ,若 a , b 共线,则 f (a), f (b) 也共线。 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

3 10 cos 2 A ? ,sin B ? 5 10 在 ? ABC 中, A, B 为锐角,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且
(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。

18. (本小题满分 12 分) 为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的 是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个

3 1 有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游, 其中 4 是省外游客, 其余是省内游客。 在省外游客中有 3 2 持金卡,在省内游客中有 3 持银卡。
(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列 及数学期望 E? 。

19(本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相 垂 直 , △

ABE



















AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45?
(I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得 PM ?平面BCE ?若存在, 请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (III)求二面角 F ? BD ? A 的大小。

20(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) e? 2 F1 , F2 , b 2 , 已知椭圆 a 的左右焦点分别为 离心率 右准线方程为 x ? 2 。
(I)求椭圆的标准方程;

????? ???? 2 26 ? F2 M ? F2 N ? F 3 ,求直线 l 的方程。 (II)过点 1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且

21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0, 且a ? 1 函数

f ( x) ? loga (1 ? a x ) 。

(I)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断 f ( x ) 的单调性;

a f (n) n ? N , 求 lim n ; n ??? a ? a (II)若
*

(III)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,设 h( x) ? (1 ? e 值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 h( x) 的极值。

f ( x)

)( x2 ? m ? 1) ,若函数 h( x) 的极

22. (本小题满分 14 分) 设数列

?an ? 的 前 n

项和为

Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 1 ? an 。

(I)求数列 (II)记

?bn ? 的通项公式;

cn ? b2n ? b2n?1(n ? N * ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都有

Tn ?

3 2;

(III)设数列 的最小值。

?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ?n 恒成立,求 ?

数学(理工农医类)参考答案 选择题:本体考察基本概念和基本运算。每小题 5 分,满分 60 分。 (1) C (2) B (3) A (4) D (5) D (6) B (7) C (8) B (9) A (10)D (11) B (12) A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。 (13) -20 (14)4 (15) 90
?

(16)①②③

三、解答题 (17)本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等 基础知识及基本运算能力。

解:(Ⅰ)? A 、 B 为锐角,

sin B ?

10 3 10 ? cos B ? 1 ? sin 2 b ? 10 , 10

cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ?


3 5,

? sin A ?

5 2 5 cos A ? 1 ? sin 2 A ? 5 , 5 , 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?

?0 ? A ? B ? ?
?A? B ?

?
4
????????????????6 分

C?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

3? 2 ? sin C ? 4 , 2 .

a b c ? ? 由正弦定理 sin A sin B sin C 得

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b

Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1
?a ? 2,c ? 5
??????????????12 分

(18)本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考 察运用概率只是解决实际问题的能力。 解:(Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持 银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”, 事件 事件

A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡”,
A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡”。

P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 )
1 2 1 1 1 C9C21 C9C6C21 ? 3 ? 3 C36 C36

?

9 27 ? 34 170 36 ? 85

36 所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 85 。
??????????????????????6 分 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0 ) ?

3 C3 1 ? 3 C9 84 ,

P(? ? 1) ?

1 C6C32 3 ? 3 C9 14

2 1 3 C6 C3 15 C6 15 P(? ? 2) ? 3 ? P(? ? 3) ? 3 ? C9 28 , C9 21 ,

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 84

3 14

15 28

5 21

E? ? 0 ?
所以

1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 84 14 28 21 , ????????12 分

(19)本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问 题的能力。 解法一: (Ⅰ) 因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AB , 所以 BC ⊥平面 ABEF 所以 BC ⊥ EF . 因为 ?ABE 为等腰直角三角形, 所以 ?AEB ? 45
?

A B? A E ,

? 又因为 ?AEF ? 45 ,
? ? ? 所以 ?FEB ? 45 ? 45 ? 90 ,

即 EF ⊥ BE ? B , 所以 EF ⊥平面 BCE 。 ??????????????4 分

(Ⅱ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCE

1 AB 取 BE 的中点 N,连接 AN,MN,则 MN∥= 2 ∥=PC
所以 PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN 因为 CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, 所以 PM∥平面 BCE ??????????????8 分 (Ⅲ)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知,EA⊥平面 ABCD 作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA。从而,FG⊥平面 ABCD

作 GH⊥BD 于 G,连结 FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH 因此,∠AEF 为二面角 F-BD-A 的平面角 因为 FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.

2 设 AB=1,则 AE=1,AF= 2 .
1 FG=AF·sinFAG= 2 1 3 在 Rt△FGH 中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ 2 = 2 , 3 2 3 2 GH=BG·sinGBH= 2 · 2 = 4 FG 在 Rt△FGH 中,tanFHG= GH =

2 3

2 故二面角 F-BD-A 的大小为 arctan 3 .

????????????12 分

解法二: (Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 AE⊥AB. 又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABEF, 平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 AE⊥平面 ABCD. 所以 AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图 的直角坐标系 A-xyz. 设 AB=1,则 AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为 FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

所 示

1 1 F (0, ? , ) 2 2 . 从而, ??? ? 1 1 ? ??? ? EF ? (0, ? , ) ??? 2 2 , BE ? (0, ?1,1) , BC ? (1,0,0) . 所以

??? ??? ? ? 1 1 ? ? EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 ??? ??? EF ? BC ? 0 . 2 2 ,

所以 EF⊥BE, EF⊥BC. 因为 BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B , 所以 EF⊥平面 BCE. (Ⅱ)存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM∥平面 BCE.

1 M ( 0,0, 2 ),

1 P ( 1, 2 ,0 ).

1 1 ???? (?1, ? , ) ? 2 2 , 从而 PM = 1 1 1 1 ???? ??? (?1, ? , ) (0, ? , ? ) ? ? 2 2 · 2 2 =0 于是 PM · EF =
所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内, 故 PMM∥平面 BCE. ????????????8 分

?? ?? n1 ,并设 n1 =(x,y,z). (Ⅲ)设平面 BDF 的一个法向量为
uuu v BD ? 1 ? 1, , (, 0)
uuu v 3 1 BF ? 0, ,) ( ? 2 2

uv uuu v ?n1 gBD ? 0 ? v ? uv uuu ?n1 gBF ? 0 ?



?x ? y ? 0 ? ? 3 1 ? y? z ?0 ? 2 ? 2

?? ? n1 ? 113) (, 。 , 取 y=1,则 x=1,z=3。从而 ?? ? n2 ? (0,0,1) 取平面 ABD 的一个法向量为 。 uv uu v uv uu u v n1 gn 2 3 3 11 cos(n1 , n 2 ) ? uv uu ? ? v 11 11g 1 n1 n 2


3 11 故二面角 F—BD—A 的大小为 arccos 11 。??????????????12 分
(20)本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推 理运算能力。

{
解:(Ⅰ)有条件有

c 2 ? a 2 a2 ?2 c ,解得 a ? 2,c=1 。

?b ? a 2 ? c2 ? 1。

x2 ? y2 ? 1 2 所以,所求椭圆的方程为 。?????????????4 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

F1 (?1,0) 、 F2 1 0) (, 。

若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1.

y??
将 x=-1 代入椭圆方程得

2 2 。

M (?1,
不妨设

2 2 ) N ? 1, ( ? ) 2 、 2 ,

uuuu uuuv v 2 2 ? F2 M ? F2 N ? (?2, ) ? (?2, ? ) ? (?4,0) 2 2 . uuuu uuuv v ? F2 M ? F2 N ? 4
,与题设矛盾。

? 直线 l 的斜率存在。
设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1)。 设

M (x1,y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

联立

{

x2 ? y 2 ?1 2 y=k(x+1)

,消 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 。
2 2 2 2

?4k 2 2k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2 1 ? 2k 2 , 1 ? 2k ,从而 由根与系数的关系知 ????? ???? ? ? F2 M ? ( x1 ?1, y1 ) , F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) , 又

????? ???? ? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) 。
????? ???? 2 ? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2)2 ? ( y1 ? y2 )2

?(

8k 2 ? 2 2 2k 2 ) ?( ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 4k 4 ? 4k 2 ? 1

?

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 2 26 2 ?( ) 4 2 4k ? 4k ? 1 3 。

4 2 化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0

k 2 ? 1或者k 2 ? ?
解得

17 40

? k ? ?1. ? 所求直线l的方程为y ? x ? 1或者y ? ? x ? 1
(21)本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运 算能力。
x 解:(Ⅰ)由题意知 1 ? a ? 0

时,f ( x)的定义域是(0, ?);当a ? 1时,f ( x)的定义域是(? ?, ? 0) 当 0 ? a ?1
f?(x)= -a x ln a ax glog a e ? x 1 ? ax a ?1
x x

时,x ? (0, ??).因为a ?1 ? 0, a ? 0, 故f?(x)<0,所以f(x)是减函数 当 0 ? a ?1 时,x ? (??,0),因为a ?1 ? 0, a ? 0, 故f ?( x) ? 0, 所以f ( x)是减函数 ….(4 分) 当 a ?1
x x

(Ⅱ)因为

f (n) ? loga (1 ? an ), 所以a f ( n) ? 1 ? an
n

由函数定义域知 1 ? a >0,因为 n 是正整数,故 0<a<1.

a f (n) 1 ? an 1 lim n ? lim n ? 所以 n?? a ? a n?? a ? a a

? h (Ⅲ) (x) ? e ( x ? m ? 1)( x ? 0), 所以h ( x) ? e ( x ? 2x ? m ? 1)
x 2 x 2

? 令 h ( x) ? 0,即x ? 2 x ? m ? 1 ? 0,由题意应有? ? 0,即m ? 0
2

当 m=0 时, h ( x) ? 0 有实根 x ? ?1 ,在 x ? ?1 点左右两侧均有 h ( x) ? 0 故无极值 当 0 ? m ? 1 时, h ( x) ? 0 有两个实根

?

?

?

x1 ? ?1? m, x2 ? ?1? m

当 x 变化时, h ( x) 、 h( x) 的变化情况如下表所示:

?

x
h?( x)

(??, x1 )
+

x1
0

( x1 , x2 )
-

x2
0

( x2 ,0)
+

h( x )


m

极大值



极小值



? h( x) 的极大值为 2e?1?

(1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1? m (1 ? m )

? 当 m ? 1 时, h ( x) ? 0 在定义域内有一个实根, x ? ?1 ? m
同上可得 h( x) 的极大值为 2e
?1? m

(1 ? m )

( ? 综上所述, m ? 0, ?) 时,函数 h( x) 有极值;
当 0 ? m ? 1 时 h( x) 的极大值为 2e 当 m ? 1 时, h( x) 的极大值为 2e
?1? m

(1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1? m (1 ? m )

?1? m

(1 ? m )

(22)本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, 又

a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ?

1 4

Q an ? 5an ? 1, an?1 ? 5an?1 ? 1

1 ? an ?1 ? an ? 5an ?1 , 即an ?1 ? ? an 4 a1 ? ? q?? 4 ,公比是 4 ? 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 1 ? an ? (? ) n 4 1 1

1 4 ? (? ) n 4 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4 ……………………………………..3 分
bn ? 4 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

5 (?4) n ? 1

? cn ? b2 n ? b2 n?1 ?

5 5 25 ?16n ? 2 n?1 ? 42 n ? 1 4 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)

25 ?16n 25 ?16n 25 ? ? (16n )2 ? 3 ?16n ? 4) (16n ) 2 16n =



b1 ? 3, b2 ?

13 4 ,? c1 ? 3 3 3 2 4 1 1 1 ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16



n ? 1时,T1 ?



n ? 2时,Tn ?

1 1 [1 ? ( ) n?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16
bn ? 4 ?
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 一方面,已知 则

5 (?4) n ? 1

Rn ? ?n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N * )

Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1
1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? ( ?1 ?2 ?3 K? K ?2 1 ) k? 4 ? 1 4 ? 1 4? 1 4 ? 1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5? ? 1 [ ? ( 2 ? 3 ?)K K ? (k 2 ? k ?2 1 4 ?1 4? 1 4 1 ? 4 ? 1 4 ?
> 4n ? 1

)] 1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1对一切大于 1 的奇数 n 恒成立

?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足

n?

1 4 ? ? 的正奇数 n 成立,矛盾。

R ? 4n 另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 n
事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ?

? 8?

5 20 ? k (16) ? 1 (16)k ? 4

? 8?

15 ?16k ? 40 ?8 (16k ? 1)(16k ? 4)

* ? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N )



Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m )
< 8m ? 4 n

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N )
*



Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1

< 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n
综上所述,正实数 ? 的最小值为 4………………………….14 分


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